文科数学试题
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）
1. 已知集合 2，3，4，5，6， ，集合 ，则
A. 2，3，5，6， B. 3，4，
C. 3， D.
2. 若 其中 i 是虚数单位 ，则实数
A. B. C. 1 D. 3
3. 当 时，在同一坐标系中，函数 与 的图象是
A. B. C. D.
4. 已知直线 平面 ，直线 平面 ，有下列命题：
，
正确的命题是
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
5. 从 1，2，3，4，5，6 中任意取出两个不同的数，其和为 7 的概率为
A. B. C. D.
6. 设等差数列 的前 n 项和为 ，若 ， ，则
A. 45 B. 54 C. 72 D. 81
7. 在下列区间中，函数 的零点所在的区间为
A. B. C. D.
8. 若函数 的部分图象如图所示，
则函数 的解析式为
A. B.
C. D.
9. 如图， 是以 ABCD 为底面的长方体的一个斜截面，其中 ， ， ，
， ，则该几何体的体积为
A. 96 B. 102 C. 104 D. 14410. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字
命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过 x 的最大整数，则 称为高斯函数
例如： ， ，已知函数 ，则函数 的值域为
A. B. C. 1， D. 1，2，
11. 已知抛物线 C： 的焦点为 F，直线 l 过焦点 F 与抛物线 C 分别交于 A，B 两点，且
直线 l 不与 x 轴垂直，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 ，则 的面积为
A. B. C. D.
12. 如图是函数 的部分图象，则函数
的零点所在的区间是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
13. 若变量 x，y 满足约束条件 则 的最大是
______．
14. 在 中，D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点，F 为 BE 的中点，若 ，则
______．
15. 数列 满足 ，则数列 的通项公式为______．
16. 已知双曲线 的右焦点为 F，以 F 为圆心，焦距为半径的圆交 y 轴正半轴
于点 M，线段 FM 交双曲线于点 P，且 ，则双曲线的离心率为______．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 70 分）
17. 在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
Ⅰ 求角 C 的大小；
Ⅱ 若 ， ，求 的面积．
18. 如图，在三棱锥 中， ，
， 平面 PAB，D、E 分别是 AC，BC
上的点， 平面 PAB．
Ⅰ 求证： 平面 PDE；
Ⅱ 若 D 为线段 AC 中点， 求点 B 到平面 PDE 的距离．
19. 十九大提出，坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫，坚持扶贫同
扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用电商进行销售，为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了 100 个蜜柚进行测重，其质量分别在 ， ，
， ， ， 单位：克 中，其频率分布直方图
如图所示，
Ⅰ 已经按分层抽样的方法从质量落在 ， 的蜜柚中抽取了 5 个，
现从这 5 个蜜柚中随机抽取 2 个 求这 2 个蜜柚质量均小于 2000 克的概率：
Ⅱ 以各组数据的中间值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜
柚树上大约还有 5000 个蜜柚等待出售，某电商提出了两种收购方案：
方案一：所有蜜柚均以 30 元 千克收购；
方案二：低于 2250 克的蜜柚以 60 元 个收购，高于或等于 2250 克的以 80 元 个收购．
请你通过计算为该村选择收益最好的方案．
20. 已知 F 是椭圆 的右焦点，过点 F 的直线交椭圆于 A，B 两点 是 AB 的中点，直
线 OM 与直线 交于点 N．
Ⅰ 求征： ；
Ⅱ 求四边形 OANB 面积的最小值．
21. 已知函数
Ⅰ 若 ，求函数 的单调区间；
Ⅱ 若函数 有两个极值点，求征： ．
22. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 为参数 ，以原点 O 为极点，x
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 ．
Ⅰ 求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；
Ⅱ 设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，当 时，求 的取值范围．
23. 已知函数
Ⅰ 求不等式 的解集；
Ⅱ 若关于 x 的不等式 恒成立，求实数 a 的取值范围．答案（文科）
1. B 2. A 3. C 4. D 5. B 6. B 7. C
8. D 9. B 10. C 11. A 12. D
13. 7 14. 15. 16.
【解析】
1. 解： 集合 2，3，4，5，6， ，
集合 3，4， ，
3，4， ．故选：B．
2. 解： ， ，
，故选：A．
3. 解： 函数 与可化为
函数 ，其底数大于 1，是增函数，
又 ，当 时是减函数，
两个函数是一增一减，前增后减．故选：C．
4. 解： ， ， ，又直线 ，故有 ，即 正确；
， ， ，或 ，此时 l 与 m 可能平行，相交或异面，即 错误；
， ， ，又 ，故有 ，即 正确．
， ， 又 ，此时 与 可能相交可能平行，故 错误；故选：D．
本题应逐个判断： 需用熟知的定理即线线垂直，面面垂直来说明， 可举出反例来即
可．
5. 解：从 1，2，3，4，5，6 中任意取出两个不同的数，共有 15 种不同的取法，
它们分别是 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ，
从 1，2，3，4，5，6 中任意取出两个不同的数，它们的和为 7，则不同的取法为： ，
， ，共有 3 种情形，
故所求的概率为 ，故选：B．
6. 解：由等差数列的性质可得： ， ， 成等差数列．
，解得 ．故选：B．
由等差数列的性质可得： ， ， 成等差数列 即可得出．
7. 解： ， 为 R 上的增函数，
，
因为 ，所以 ，所以 ，但 ，
所以 的零点在区间 ，故选：C．
8. 解：由函数的部分图象可知 ， ，故 ， 所以 ，即： ．
由函数图象的对称轴为 ，
所以： ， ，
因 ， 故 ， 所以 故选：D．
根据图象得到函数的振幅和周期，从而得到 A， 的值，再根据对称轴得到 的值后可得函数
的解析式．
已知 的图象，求其解析式时可遵循“两看一算”，“两看”指从图象上看出振
幅和周期，“一算”指利用最高点或最低点的坐标计算 ．
9. 解：过 作 ，垂足为 E，
平面 平面 ， ．
过 作 ，垂足为 H，
，
．
平面 平面 ， 和 是它们分别与截面的交线，
．
过 作 ，垂足为 H，
则 ， ．
作 ，垂足为 G，作 ，垂足为 F，连接 EF，EH，
则几何体被分割成一个长方体 ，
一个斜三棱柱 ，一个直三棱柱 ．
从而几何体的体积为：
．
故选：B．
过 作 ，垂足为 E，通过平面 平面 ，说明 过 作
，垂足为 H，然后求 的长，作 ，垂足为 G，作 ，垂足为 F，连接
EF，EH，则几何体被分割成一个长方体 ，一个斜三棱柱 ，一个直三
棱柱 分别求出体积，即可求这个几何体的体积．
本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考
查运算求解能力，是中档题．
10.解析：本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.
A． ，
B． ，
C． ，
D． .
( ) ( )lg 3 1 lg10 3y x x= + + = +
( ) ( )lg 3 1 lg10 3y x x= − + = −
( ) 3lg 3 1 lg 10
xy x
+= + − =
( ) 3lg 3 1 lg 10
xy x
−= − − =故选：C．
11. 解： 的焦点坐标是 ，
则过焦点且垂直 x 轴的直线是 ，代入 得 ，
故 ．
故选：D．
先求出抛物线的焦点坐标，从而得出垂直 x 轴的直线方程，将直线方程代入 求得 y 的值，
即可求出 ．
直线与圆锥曲线相交时的产生的对称问题，应利用两个几何性质来构造不同变量之间的关系，
这个两个几何性质就是中点和垂直．
12. 解：由函数 的部分图象得 ， ，即有 ，
从而 ，
而 在定义域内单调递增，
，
由函数 的部分图象，结合抛物线的对称轴得到：
，解得 ，
，
函数 的零点所在的区间是 ；
故选：D．
由二次函数图象的对称轴确定 a 的范围，据 的表达式计算 和 的值的符号，从而确
定零点所在的区间．
本题主要考查了导数的运算，以及函数零点的判断，同时考查了运算求解能力和识图能力，
属于基础题．
13. 解：不等式组对应的可行域所示：
其中 ，
当动直线 过 A 时，z 有最大值为 7．
故答案为：7．画出不等式组对应的可行域后平移动直线 可得 z 的最大值．
二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往
要考二元函数的几何意义，比如 表示动直线 的横截距的三倍，而 则表示
动点 与 的连线的斜率．
14.【解答】
解：联立 ，得 ，
，
设 ， ，则 ，
．
故答案为 ．
15. 解：当 时， ，
，
两式相减得 ，
则 ，
当 时， 满足 ，
综上 ．
故答案为：
构造新数列，利用作差法即可．
本题主要考查数列通项公式的求解，根据作差法是解决本题的关键．
16. 解：如图，
为 BC 的中点，E 为 AD 的中点，F 为 BE 的中点；
；
又 ；根据平面向量基本定理得， ；
．
故答案为： ．
可画出图形，根据 D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点，F 为 BE 的中点即可得出 ，
而根据平面向量基本定理即可求出 ， ，从而得出 ．
考查向量加法的平行四边形法则，以及向量数乘的几何意义，平面向量基本定理．
17. 解： Ⅰ 因为 ，
所以 ，即 ，
由正弦定理得到： ，即： ，
因为 ， 故 ，所以 ，
又 ， 可得： ．
Ⅱ 由 Ⅰ 得由余弦定理可得： ，
所以： ，由于 ， ，得 ，
可得： ．
18. 证明： Ⅰ 平面 PAB， 平面 ABC，
平面 平面 ，
，又 平面 PDE， 平面 PDE．
解： Ⅱ 取 AB 的中点为 F，连接 EF，
， ，
平面 平面 ABC，
平面 平面 ， 平面 PAB，
平面 ABC，
又 ， ，故 PF 为等腰直角三角形斜边 AB 上的高，故 ，
点 P 到平面 ABC 的距离为 ，
为线段 AC 中点， ，故 E 为 BC 的中点，故 DE ，
平面 PAB， 平面 PAB， ，同理 ，
， ，故 AD ，
而 ，故 EF ，
又 平面 ABC， 平面 ABC，故 AB ，
，故 AB 平面 PEF，而 平面 PEF，
，故 DE ，
在 中， ， ，故 ，
在 中， ， ，故 ，故 ，
又 ，
设点 B 到平面 PDE 的距离为 d，
则 ，
解得 ．
19. 解： Ⅰ 质量落在 和 中的频率分别是 和 ，分层抽样的方法抽
取 5 个蜜柚，则 中抽取 2 个， 中抽取 3 个，2 个蜜柚质量均小于 2000
的概率为 ；
Ⅱ 根据题意，
方案一收益为：
元
方案二收益为：
元
，
选择方案二．
20. 解： 设 ， 为曲线 C： 上两点，
则直线 AB 的斜率为 ；
设直线 AB 的方程为 ，代入曲线 C： ，
可得 ，即有 ， ，
再由 的导数为 ，
设 ，可得 M 处切线的斜率为 ，
由 C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，可得 ，
解得 ，即 ，
由 可得， ，
即为 ，
化为 ，
即为 ，
解得 ．
则直线 AB 的方程为 ． 21. 解： Ⅰ 当 时， ，
，
当 时， ，当 时， ，
的增区间为 ，减区间为 ．
Ⅱ ，
有两个极值点 ， ，故 ， 为 的两个正数解，
， ，
，
令 ，则 ，
在 上单调递增， ，
．
22. 解 Ⅰ 由 消去参数可得直线 l 的普通方程为： ；
由 得曲线 C 的直角坐标方程为： ．
Ⅱ 将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程得： ，
设 A，B 对应的参数为 ， ，
则 ， ，
则 ，
， ．
23. 解： Ⅰ 函数 ；
画出函数 的图象，如图所示，
根据函数图象知，当 时，x 的取值范围是 ，或 ；所以不等式 的解集为 ；
Ⅱ 恒成立，即 恒成立，
令 ，
则 ，
所以 的最小值为 ，
则 a 的取值范围是 ．
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