2019 年普通高等学校招生全国统一考试（包头市第二次模拟
考试）
理科数学
一､选择题
1.已知 是虚数单位，复数 的共轭复数是（ ）
A. B. C. 1 D. -1
【答案】B
【解析】
【分析】
先把复数化简，然后可求它的共轭复数.
【详解】因为 ,
所以共轭复数就是 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数的求解，把复数化到最简形式是求解的关键，
侧重考查数学运算的核心素养.
2.已知集合 ，则满足 的集合 的个数是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
先求解集合 ，然后根据 可求集合 的个数.
【详解】因为 ， ，
所以集合 可能是 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查集合的运算，化简求解集合是解决这类问题的关键，侧重考查数学运
算的核心素养.
i 1 1
1 1i i
−− +
i i−
( )1 i 1 i1 1 i1 i 1 i 2
+ − −− = =− +
i−
{ }2| 0,A x x x x R= + = ∈ { }0, 1,1A B = − B
A { }0, 1,1A B = − B
{ } { }2| 0, 0, 1A x x x x= + = ∈ = −R { }0, 1,1A B = −
B { } { } { } { }1 , 0,1 , 1,1 , 0, 1,1− −3.设向量 ， 满足 ， ，则 （ ）
A. -2 B. 1
C. -1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
由平面向量模的运算可得： ，① ，②，则① ②即可得
解．
【详解】因为向量 ， 满足 ， ，
所以 ，①
，②
由① ②得：
，
即 ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查了平面向量模和数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握
水平，属基础题．
4.定义运算 ，则函数 的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
a b 3a b+ = 7a b− = a b⋅ =
2 22 3a a b b+ ⋅ + = 2 22 7a a b b− ⋅ + = −
a b | | 3a b+ = | | 7a b− =
2 22 3a a b b+ ⋅ + =
2 22 7a a b b− ⋅ + =
−
4 4a b⋅ = −
1a b⋅ = −
C
a b ad bcc d
= − ( )
1 sin2
1
xf x
x
=【解析】
【分析】
图象题应用排除法比较简单，先根据函数 为奇函数排除 、 ；再根据函数的单调性排
除选项 ，即可得到答案．
【详解】根据题意得， 且函数 为奇函数，排除 、 ；
；
当 时， ，
令 ，
令 ，
函数 在 上是先递减再递增的，排除选项 ；
故选： ．
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的判断，考查根据解析式找图象，意在考查
学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
5.已知圆 : ，定点 ，直线 : ，则“点 在圆 外”是“直线
与圆 相交”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
通过圆心到直线的距离与圆的半径进行比较可得.
【 详 解 】 若 点 在 圆 外 ， 则 ， 圆 心 到 直 线 : 的 距 离
，此时直线 与圆 相交；
若直线 与圆 相交，则 ，即 ，此时点 在圆 外.
故选：C.
( )f x B D
C
1( ) sin2f x x x= − ( )f x B D
(0) 0f =
0 πx< < 1( ) cos2f x x′ = −
( ) 0 3f x x
π π′ > ⇒ < <
( ) 0 0 3f x x
π′ < ⇒ < <
∴ ( )f x (0, )π C
A
C 2 2 1x y+ = ( )0 0,P x y l 0 0 1x x y y+ = P C l
C
P C 2 2
0 0 1x y+ > l 0 0 1x x y y+ =
2 2
0 0
1 1d
x y
= <
+ l C
l C 2 2
0 0
1 1d
x y
= <
+
2 2
0 0 1x y+ > P C【点睛】本题主要考查以直线和圆的位置关系为背景的条件的判定，明确直线和圆位置关系
的代数表示是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.
6.某程序框图如图所示，若输入的 ，则输出的值是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
按照程序框图的流程，写出前五次循环的结果，直到第六次不满足判断框中的条件，执行输
出结果．
【详解】经过第一次循环得到
经过第二次循环得到
经过第三次循环得到
经过第四次循环得到
经过第五次循环得到
经过第六次循环得到
此时，不满足判断框中的条件，执行输出
故输出结果为
故选： ．
【点睛】本题主要考查解决程序框图中的循环结构，常按照程序框图的流程，采用写出前几
【
6N =
6
5
5
6
7
6
6
7
1 , 22s k= =
1 1 2 , 32 6 3s k= + = =
2 1 3 , 43 12 4s k= + = =
3 1 4 , 54 20 5s k= + = =
4 1 5 , 65 30 6s k= + = =
5 1 6 ,6 42 7s = + = 6 6≥
6
7
D次循环的结果，找规律．
7.在公差不等于零的等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列，则 （ ）
A. 4 B. 18 C. 24 D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 ， ， 成等比数列可求公差，然后可得 .
【详解】设等差数列 的公差为 ，
因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
即有 ，解得 ， （舍），
所以 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，根据已知条件构建等量关系是求解的关键，侧
重考查数学运算的核心素养.
8.已知 ， 为椭圆 的左右焦点，点 在 上（不与顶点重合）， 为等腰直角三
角形，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据 为等腰直角三角形可得 ，结合椭圆的定义可求离心率.
【 详 解 】 由 题 意 等 腰 直 角 三 角 形 ， 不 妨 设 ， 则
，
由椭圆的定义可得 ，解得 .
为
{ }na 2 4a = 1a 3a 9a 8a =
1a 3a 9a 8a
{ }na d
1a 3a 9a 2
3 1 9a a a=
2(4 ) (4 )(4 7 )d d d+ = − + 2d = 0d =
8 2 6 16a a d= + =
1F 2F E M E 1 2MF F∆
E
2 1+ 2 1− 3 1
2
− 3 1
2
+
1 2MF F∆ 1 2,MF MF
1 2MF F∆ 1 1 2MF F F⊥
1 1 2 22 , 2 2MF F F c MF c= = =
2 2 2 2c c a+ = 1 2 1
2 1
c
a
= = −
+故选：B.
【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求解，离心率问题的求解关键是构建 间的关系式，
侧重考查数学运算的核心素养.
9.若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出
几何体的体积．
【详解】
根据三视图可知几何体是一个三棱锥，
由俯视图和侧视图知，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是 、4，
由正视图知，三棱锥的高是 4，
该几何体的体积 ，
故选： ．
, ,a b c
80
3
60
3
50
3
40
3
2 3+
∴ 1 1 404 (2 3) 43 2 3V = × × × + × =
D【点睛】本题主要考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考
查空间想象能力．
10.若 的展开式中的各项系数的和为 1，则该展开式中的常数项为（ ）
A. 672 B. -672 C. 5376 D. -5376
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据 的展开式中的各项系数的和为 1，求解 ，然后利用通项公式可得常数项.
【详解】因为 的展开式中的各项系数的和为 1，
所以 ，即 ；
的通项公式为 ，
令 得 ，所以展开式中的常数项为 .
【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的常数项，利用通项公式是求解特定项的关键，侧
重考查数学运算的核心素养.
11.已知函数 ，则 的最大值为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简函数 ，然后利用 解析式的特点求解最大值.
【详解】 ，
9
2 1ax x
−
9
2 1ax x
−
a
9
2 1ax x
−
( )91 1a − = 2a =
9
2 12x x
−
( ) ( ) ( )92 1 9 18 3
1 9 92 1 2r r rr r r r
rT C x x C x
− − − −
+ = − = −
18 3 0r− = 6r = 3 6
92 672C× =
( ) 2 2 32cos sin sin2 2 2
x xx xf = + + ( )f x
5
2
3
2
( )f x ( )f x
( ) 2 2 3 3 1 3 32cos sin sin cos sin sin2 2 2 2 2 2 6 2
xf x x x x x x
π = + + = + + = + + 因为 ，所以 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查三角函数的最值问题，三角函数的最值问题主要是先化简为最简形式，
结合解析式的特点进行求解.
12.将边长为 2 的正方形 (及其内部)绕 旋转一周形成圆柱，点 ､ 分别是圆 和
圆 上的点， 长为 ， 长为 ，且 与 在平面 的同侧，则 与
所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由弧长公式可得 ， ，由异面直线所成角的作法可得 为异面直
线 与 所成角，再求解即可．
【详解】由弧长公式可知 ， ，
在底面圆周上去点 且 ，
则 面 ，
连接 ， ， ，
则
即 为异面直线 与 所成角，
又 ， ，
所以 ，
故选： ．
sin 16x
π + ≤
5( ) 2f x ≤
1 1AAO O 1OO B C O
1O AB
2
3
π
1AC 4
3
π
B C 1 1AAO O 1 1AO BC
3
π
6
π
4
π
2
π
1 1
2
3AO C
π∠ =
3AOB
π∠ = CBD∠
1 1AO BC
1 1
2
3AO C
π∠ =
3AOB
π∠ =
D 2
3AOD
π∠ =
CD ⊥ AOD
CD BC BD
1 1/ /BD AO
CBD∠ 1 1AO BC
2DB = 2DC =
4CBD
π∠ =
C【点睛】本题主要考查了弧长公式及异面直线所成角的作法，考查了空间位置关系的证明，
意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
二､填空题
13.向平面区域 内随机投入一点，则该点落在曲线 下
方 概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意画出图形，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由几何概型概率面积比得答案．
【详解】作出平面区域 ， 及曲线 如图，
， ．
向平面区域 ， 内随机投入一点，
则该点落在曲线 下方的概率为 ．
故答案为： ．
的
( ){ }, | 0 1,0 1x y x y≤ ≤ ≤ ≤ 21y x= −
4
π
{( , ) | 0 1x y x 0 1}y 21 ( 0, 0)y x x y= −
1 1 1OABCS = × =正方形
21 14 4S
ππ= × =阴影
∴ {( , ) | 0 1x y x 0 1}y
21y x= − 4P
π=
4
π【点睛】本题主要考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，意在考查学生
对这些知识的理解掌握水平．
14.设 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 的取值范围．
【详解】作出 ， 满足约束条件，则 对应的平面区域（阴影部分），
由 ，得 ，
平移直线 ，由图象可知当直线 经过点 时，直线
的截距最大，此时 最大．
此时 的最大值为 ，
由图象可知当直线 经过点 时，直线 的截距最小，此时 最
小．
此时 的最小值为 ，
故答案为： ， ．
x y
1 0
1 0
1
x y
y x
x
+ − ≥
− − ≤
≤
2 3z x y= +
[ ]2 8,
z
x y
1 0
1 0
1
x y
y x
x
+ −
− −
2 3z x y= + 2
3 3
zy x= − +
2
3 3
zy x= − + 2
3 3
zy x= − + (1,2)A
2
3 3
zy x= − + z
z 2 1 3 2 8z = × + × =
2
3 3
zy x= − + (1,0)B 2
3 3
zy x= − + z
z 2 1 3 0 2z = × + × =
2 8z∴
[2 8]【点睛】本题主要考查线性规划的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，利用数
形结合是解决线性规划题目的常用方法．
15.设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ， ，则 ______.
【答案】8
【解析】
【分析】
根据等差数列的通项公式及求和公式可得.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
设等差数列的公差为 ，则 ，解得 ，
由 得 ，解得 .
故答案为：8.
【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的运算，熟记相关的求解公式是求解的关键，侧重
考查数学运算的核心素养.
16.若直线 既是曲线 的切线，又是曲线 的切线，则 ______.
【答案】1
{ }na n nS 5 4 3S S− = 3
9
2S = 22nS = n =
5 4 3S S− = 5 3a =
3
9
2S = 2
3
2a =
d
1
1
4 3
3
2
a d
a d
+ = + =
1
11, 2a d= =
22nS = ( 1) 1 222 2
n nn
−+ × = 8n =
y kx= 1xy e= − ( )lny x b= + b =【解析】
【分析】
分别设出两个切点，根据导数的几何意义可求.
详解】设直线 与曲线 相切于点 ，直线 与曲线
相切于点 ，
则 且 ，解得 ；
同理可得 且 ，解得 ；
故答案为：1.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，设出切点建立等量关系式是求解的关键，侧重考查
数学运算的核心素养.
三､解答题
17.在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
（1）若 ，求 和 ；
（2）求 的最小值.
【答案】（1） ， （2）
【解析】
【分析】
（1）利用已知条件求出 的余弦函数值，然后求解 的值，然后求解三角形的面积；（2）
通过余弦定理结合三角形的面积转化求解即可．
【详解】（1）因为 ，代入 ，得 ，
所以 ， ，由正弦定理得 ，
所以 ， .
（2）把余弦定理代入 ，得 ，
【 y kx= 1xy e= − ( )1
1,e 1xx − y kx= ( )lny x b= +
( )2 2,ln( )x x b+
1exk = 1
1e 1x kx− = 11, 0k x= =
2
1k x b
= + 2 2ln( )x b kx+ = 21, 0b x= =
ABC∆ A B C a b c 2 cos 0b c A+ =
1b c= = a ABCS∆
cos B
3a = 3
4ABCS∆ = 3
2
A A
1b c= = 2 cos 0b c A+ = 1cos 2A = −
120A = ° 30C B= = °
sin sin
a b
A B
=
sin120 3sin30a
°= =°
1 1 3sin 3 1 sin302 2 4ABCS ac B∆ = = × × × ° =
2 cos 0b c A+ =
2 2 2
2 02
b c ab c bc
+ −+ ⋅ =解得 .再由余弦定理得
.当且仅当 ，即 时， 取最小值 .
【点睛】本题主要考查三角形的解法、正余弦定理的应用、三角形的面积以及基本不等式的
应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是中档题．
18.一只红玲虫的产卵数 和温度 有关.现收集了 7 组观测数据如下表:
温度 21 23 25 27 29 32 35
产卵数 /个 7 11 21 24 66 115 325
为了预报一只红玲虫在 时的产卵数，根据表中的数据建立了 与 的两个回归模型.模型①:
先建立 与 的指数回归方程 ，然后通过对数变换 ，把指数关系变为
与 的线性回归方程: ；模型②:先建立 与 的二次回归方程
，然后通过变换 ，把二次关系变为 与 的线性回归方程:
.
（1）分别利用这两个模型，求一只红玲虫在 时产卵数的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.（参考数据:模型①的残差平方和
，模型①的相关指数 ；模型②的残差平方和 ，模型
②的相关指数 ； ， ， ； ，
， ， ， ， ，
）
【答案】（1） ， （2）模型①得到的预测值更可靠，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）把 分别代入两个模型求解即可；
（2）通过残差及相关指数的大小进行判定比较.
2 2
2
2
a cb
−=
2 2
2 2
2 2 2 2 232cos 2 2 4
a ca ca c b a cB ac ac ac
−+ −+ − += = =
2 22 3 3
4 2
a c
ac
⋅≥ = 2 23a c= 3a c= cos B 3
2
y t
/t C°
y
40° y t
y t (1) 0.272 3.849ty e −= lnu y=
u t (1)
0.272 3.849u t= − y t
(2) 20.367 202.543y t= − 2x t= y x
(2)
0.367 202.543y x= −
40°
1 1550.538Q = 2
1 0.98R = 2 15448.431Q =
2
2 0.8R = 7.031 1131e = 7 1096e = 8 2981e = ln 7 1.946=
ln11 2.398= ln 21 3.045= ln 24 3.178= ln 66 4.190= ln115 4.745=
ln325 5.784=
(1)
1131y = (2)
384.657y =
40t = °【详解】(1)当 时，根据模型①，得 ，
，根据模型②，得 .
（2）模型①得到的预测值更可靠.理由 1:因为模型①的残差平方和 小于模型②
的残差平方和 ，所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠；理
由 2:模型①的相关指数 大于模型②的相关指数 ，所以模型①得到的预测
值比模型②得到的预测值更可靠；理由 3:因为由模型①，根据变换后的线性回归方程
计算得到的样本点分布在一条直线的附近；而由模型②，根据变换后的
线性回归方程 得到的样本点不分布在一条直线的周围，因此模型②
不适宜用来拟合 与 的关系；所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠.（注:
以上给出了 3 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得）
【点睛】本题主要考查回归分析，模型拟合程度可以通过两个指标来判别，一是残差，残差
平方和越小，拟合程度越高；二是相关指数，相关指数越接近 1，则拟合程度越高.
19.如图，在四棱锥 中，已知 底面 ， ， ， ，
， 是 上一点.
（1）求证:平面 平面 ；
（2）若 是 的中点，且二面角 的余弦值是 ，求直线 与平面 所
成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
40t = ° (1)
0.272 40 3.849 7.031u = × − =
(1) 7.031 1131y e= = 2(2)
0.367 40 202.543 384.657y = × − =
1 1550.538Q =
2 15448.431Q =
2
1 0.98R = 2
2 0.80R =
(1)
0.272 3.849u t= −
(2)
0.367 202.543y x= −
y t
P ABCD− PC ⊥ ABCD AB AD⊥ / /AB CD 2AB =
1AD CD= = E PB
EAC ⊥ PBC
E PB P AC E− − 6
3
PA EAC
2
3（1）先证明 平面 ，然后可得平面 平面 ；
（2）建立坐标系，根据二面角 的余弦值是 可得 的长度，然后可求直线
与平面 所成角的正弦值.
【详解】（1） 平面 ， 平面 ，得 .
又 ，在 中，得 ，
设 中点为 ，连接 ，则四边形 为边长为 1 的正方形，所以 ，且
，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .
（2）以 为坐标原点，分别以射线 ､射线 为 轴和 轴的正方向，建立如图空间直角
坐标系，
则 ， ， .
又设 ，则 ， ， ，
， .
由 且 知， 为平面 的一个法向量.
设 为平面 的一个法向量，则 ，
即 ，取 ， ，则 ，有
，得 ，从而 ， .
设直线 与平面 所成的角为 ，则 .
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
AC ⊥ PBC EAC ⊥ PBC
P AC E− − 6
3
PC PA
EAC
PC ⊥ ABCD AC ⊂ ABCD AC PC⊥
1AD CD= = Rt ADC∆ 2AC =
AB G CG ADCG CG AB⊥
2BC =
2 2 2AC BC AB+ = AC BC⊥
BC PC C∩ = AC ⊥ PBC
AC ⊂ EAC EAC ⊥ PBC
C CD CP y z
( )0,0,0C ( )1,1,0A ( )1, 1,0B −
( )( )0,0, 0P a a > 1 1, ,2 2 2
aE −
( )1,1,0CA = ( )0,0,CP a=
1 1, ,2 2 2
aCE = −
( )1,1,PA a= −
BC AC⊥ BC PC⊥ ( )1, 1,0m CB= = − PAC
( ), ,n x y z= EAC 0n CA n CE⋅ = ⋅ =
0
0
x y
x y az
+ =
− + =
x a= y a= − ( ), , 2n a a= − −
2
6cos , 32
m n am n
m n a
⋅
= = =
⋅ +
2a = ( )2, 2, 2n = − − ( )1,1, 2PA = −
PA EAC θ sin cos ,
n PA
n PA
n PA
θ
⋅
= =
⋅
2 2 4 2
36 12
− += =
×
PA EAC 2
3【点睛】本题主要考查空间平面与平面垂直及线面角的求解，平面与平面垂直一般转化为线
面垂直来处理，空间中的角的问题一般是利用空间向量来求解.
20.设 为抛物线 : 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 ， 为
的中点，且 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）过 作两条互相垂直的直线 ， ，直线 与 交于 ， 两点，直线 与 交于
， 两点，求四边形 面积的最小值.
【答案】（1） （2）32
【解析】
【分析】
（1）由题意画出图形，结合已知条件列式求得 ，则抛物线 的方程可求；（2）由已知直
线 的斜率存在且不为 0，设其方程为 ，与抛物线方程联立，求出 ， ，
可得四边形 的面积，利用基本不等式求最值．
【详解】（1）如图， 为 的中点， 到 轴的距离为 ，
，解得 ．
抛物线 的方程为 ；
（2）由已知直线 的斜率存在且不为 0，设其方程为 ．
由 ，得 ．
△ ，设 ， 、 ，
F C 2 2y px= A C FA y B A
FB 3FB =
C
F 1l 2l 1l C M N 2l C
D E MDNE
2 4y x=
p C
1l ( 1)y k x= − | |MN | |DE
MDNE
A FB A∴ y
4
p
3 | | 3| | 4 2 4 2 2
p p p FBAF∴ = + = = = 2p =
∴ C 2 4y x=
1l ( 1)y k x= −
2
( 1)
4
y k x
y x
= −
=
2 2 2 2(2 4) 0k x k x k− + + =
0> 1(M x 1)y 2(N x 2 )y，则 ；
同理设 ， 、 ， ，
，则 ．
四边形 的面积 ．
当且仅当 时，四边形 的面积取得最小值 32．
【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交弦长问题、一元二次方
程的根与系数的关系、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能
力，属于中档题．
21. 是自然对数的底数，已知函数 ， .
（1）求函数 的最小值；
（2）函数 在 上能否恰有两个零点?证明你 结论.
【答案】（1） （2）能够恰有两个零点，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先求导数，再求极值。然后可得最小值；
（2）结合零点存在定理进行判定.
【详解】（1）求导 ，由 ，得
.列表如下:
的
∴ 1 2 2
42x x k
+ = + 1 2 2
1| | 2 4(1 )MN x x k
= + + = +
3(D x 3 )y 4(E x 4 )y
∴ 2
3 4 2 4x x k+ = + 2
3 4| | 2 4(1 )DE x x k= + + = +
∴ MDNE 2
2
1 1| | | | 8(2 ) 322S MN DE k k
= = + +
1k = ± BCDE
e ( ) ( )2 xf x x x e= − x∈R
( )y f x=
( ) ( ) ( )2g x f x f= − − R
( ) ( ) 22 2 1 2f e= −
( ) ( ) ( ) ( )2 2' 2 2 2 2x x xf x x e x x e x e= − ⋅ + − ⋅ = − ( )' 0f x =
2x = ±
x ( ), 2−∞ − 2− ( )2, 2− 2 ( )2,+∞+ 0 0 +
单调递增
有极大值
单调递减
有极小值
单调递增
知 为极大值， 为极小值.
又因为 当且仅当 时， ，并且在区间 上
为减函数，在区间 上 为增函数，
故 在 上的最小值为 .
（2）函数 在 上能够恰有两个零点；
证明如下:由 ，知 是一个零点.
又由（1）知， 是函数的一个极大值， 在单调区间 和 都
不会再有零点了.
考虑单调区间 ，由 ，
，
可见，函数 在单调区间 恰有一个零点.所以，函数
在 上恰有两个零点.
【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数求解最值问题一般是先求解极值，利用导数研
究零点问题一般也是借助函数的单调性来处理，侧重考查推理论证的能力.
（选修 4-4:坐标系与参数方程）
22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ，（ 为参数），在以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 .
( )'f x −
( )f x ( )2f − ( )2f
( )2f − ( )2f
( ) ( )2 xf x x x e= − 0 2x< < ( ) 0f x < ( )0, 2
( )y f x= ( )2,2 ( )y f x=
( )y f x= ( ),−∞ +∞ ( ) ( ) 22 2 1 2f e= −
( ) ( ) ( )2g x f x f= − − R
( ) ( ) ( )2 2 2 0g f f− = − − − = 2x = −
( )2f − ( )g x ( ), 2−∞ − ( )2, 2−
( )2,+∞ ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 1 2 2 1 2 0g f e e− −= − + = − + <
( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 2 1 2g f e−+ = + − + ( )( )2 2 22 1 2 0e e+ −= + − >
( ) ( ) ( )2g x f x f= − − ( )2,+∞
( ) ( ) ( )2g x f x f= − − R
xOy l
3
1
x t
y t
= −
= + t
x : 2 2cos 4C
πρ θ = − （1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）求曲线 上的点到直线 的距离的最大值.
【答案】（1） ， （2）
【解析】
分析：（1）消去 得直线方程为 ，极坐标化为直角坐标可得曲线 的直角坐标
方程为： ；
（2）设曲线 上的点为 ，由点到直线距离公式可得
，则曲线 上的点到直线 的距离的最大值为 .
详解：（1）由 ，消去 得： ，
曲线 的直角坐标方程为： ；
（2）设曲线 上的点为 ，
则点 到直线 的距离为 ，
当 时， ，
即曲线 上的点到直线 的距离的最大值为 .
点睛：本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，参数方程转化为直角坐标方程的方法等知识，
意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
（选修 4-5:不等式选讲）
23.设函数 .
l C
C l
4 0x y+ − = ( 1) ( 1) 2x y− + − =２ ２ ２２
t 4 0x y+ − = C
( ) ( )1 1 2x y− + − =２ ２
C ( )1 1 2P cos sinα α+ +２ ，
2 2sin
d
πα + − = ４
２
C l 2 2
3
1
x t
y t
= −
= + t 4 0x y+ − =
C ( ) ( )1 1 2x y− + − =２ ２
C ( )1 1 2P cos sinα α+ +２ ，
P l 2 21 1 2 4 sincos sin
d
２ ４
２ ２
παα α
+ − + + + − = =
1sin ４
πα + = − maxd = 2 2
C l 2 2
( ) 1 2 1f x x x= + − −（1）画出 的图象；
（2）当 时， ，求 的最大值.
【答案】（1）图像见解析（2）2
【解析】
【分析】
（1）去掉绝对值符号，化简函数的解析式，然后画出函数的图象；（2）当 ， 时，
借助（1）知， 的图象与 轴交点的纵坐标为 ，且各部分所在直线斜率的最小值
为 1，转化求解即可．
【详解】（1）当 时， ；
当 时， ；
当 时， . 的图象如图所示.
（2）当 ， 时，由（1）知， 的图象与 轴交点的纵坐标为 ，
且各部分所在直线斜率的最小值为 1，
( )y f x=
( ],0x∈ −∞ ( )f x ax b≤ + −a b
(x∈ −∞ 0]
( )y f x= y 1−
1x < − ( ) 3f x x= −
1 1x− ≤ < ( ) 3 1f x x= −
1x ≥ ( ) 3f x x= − + ( )y f x=
(x∈ −∞ 0] ( )y f x= y 1−故当且仅当 ，且 时，
在 ， 成立．
因此， ，即 的最大值为 2．
【点睛】本题主要考查函数的最值的求法，考查函数的图象的应用，意在考查学生对这些知
识的理解掌握水平及数形结合以及计算能力．
1a 1b −
( )f x ax b+ (−∞ 0]
2a b− −a b
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