内蒙古包头市2020届高三数学（理）第一次模拟试题（Word解析版）

2020 年普通高等学校招生全国统一考试 （包头市第一次模拟考试） 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号、试卷类型（A 或 B）涂写 在答题卡上．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 2．作答时将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 化简集合 A，根据交集运算即可求解 【详解】因为 ， 所以 ， 故选：A 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式，集合的交集，属于容易题. 2.已知 是虚数单位，若 ，则 （ ） A. B. 2 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复数模的性质计算即可. { | ( 1)( 2) 0}, { |1 2}A x x x B x x= + − ≤ = < < A B = (1,2) (1,2] [ 1,2]− [ 1,2)− { | ( 1)( 2) 0} { | 1 2}, { |1 2}A x x x x x B x x= + − ≤ = − ≤ ≤ = < < A B = (1,2) i z 2 11 ii = +− | |z = 2 10【详解】因为 ， 所以 ， ， 故选：C 【点睛】本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质，属于容易题. 3.设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ） A. 23 B. 25 C. 28 D. 29 【答案】D 【解析】 【分析】 由 可求 ，再求公差，再求解即可. 【详解】解： 是等差数列 ，又 ， 公差为 ， ， 故选：D 【点睛】考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题. 4.曲线 在点 处的切线方程为 ，则 （ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 求函数导数，利用切线斜率求出 ，根据切线过点 求出 即可. 【详解】因为 ， z 2 11 ii = +− (1 )(2 1)z i i= − + | | |1 | | 2 1| 2 5 10z i i= − ⋅ + = × = { }na n nS 4 95, 81a S= = 10a = 9 81S = 5 9a = { }na 9 59 81S a∴ = = 5 9a∴ = 4 5a = ∴ 4d = 410 6 29a a d∴ = + = ( 2) xy ax e= + (0,2) 2y x b= − + ab = 4− 8− a (0,2) b ( 2) xy ax e= +所以 ， 故 ， 解得 ， 又切线过点 ， 所以 ，解得 ， 所以 ， 故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题. 5.当 时，函数 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由 ， 解 得 ， 即 或 ， 函 数 有 两 个 零 点 ， ， 不 正 确 ， 设 ， 则 ， 由 ，解得 或 ，由 ， 解得： ，即 是函数的一个极大值点， 不成立，排除 ， 故选 B. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数 的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点 是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手， ( 2 )xy e ax a′ = + + 0| 2 2xk y a=′= = + = − 4a = − (0,2) 2 2 0 b= − × + 2b = 8ab = − 0a > ( ) ( )2 xf x x ax e= − ( ) 0f x = 2 0x ax− = 0x = x a= 0,a > ∴ ( )f x ,A C∴ 1a = ( ) ( ) ( ) ( )2 2, ' 1x xf x x x e f x x x e= − ∴ = + − ( ) ( )2' 1 0xf x x x e= + − > 1 5 2x − +> 1 5 2x − −< ( ) ( )2' 1 0xf x x e= − < 1 5 1 5 2 2x − − − +− < < 1x = − D∴ D根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及 时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除. 6.已知定点 都在平面 内，定点 是 内异于 的动点，且 ，那么动点 在平面 内的轨迹是（ ） A 圆，但要去掉两个点 B. 椭圆，但要去掉两个点 C. 双曲线，但要去掉两个点 D. 抛物线，但要去掉两个点 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意可得 ,即知 C 在以 AB 为直径的圆上. 【详解】 , ， , 又 ， , 平面 ,又 平面 ， 故 在以 为直径的圆上， 又 是 内异于 的动点， 所以 的轨迹是圆，但要去掉两个点 A,B 故选：A 【点睛】本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题. 7.小张家订了一份报纸，送报人可能在早上 之间把报送到小张家，小张离开家去 工作的时间在早上 之间.用 表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人 到达的时间为 ，小张离开家的时间为 ， 看成平面中的点，则用几何概型的公式得到 事件 的概率 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 0 , 0 , ,x x x x+ −→ → → +∞ → −∞ ,A B α , ,P PB Cα α∉ ⊥ α ,A B PC AC⊥ C α AC BC⊥ PB α⊥ AC α⊂ PB AC∴ ⊥ PC AC⊥ PB PC P∩ = AC∴ ⊥ PBC BC ⊂ PBC AC BC∴ ⊥ C AB C α ,A B C 6:30 7 :30− 7.00 8:00− A x y ( , )x y A ( )P A 5 8 2 5 3 5 7 8【分析】 这是几何概型，画出图形，利用面积比即可求解. 【详解】解：事件 发生，需满足 ，即事件 应位于五边形 内，作图如下： 故选：D 【点睛】考查几何概型，是基础题. 8.在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，且 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根 据 向 量 的 线 性 运 算 可 得 , 利 用 及 ， 计算即可. 【详解】因为 , 所以 ， A x y≤ A BCDEF ( ) 1 1 11 72 2 2 1 8P A − × × = = ABC AD BC E AD | | 1,| | 2AB AC= =  120BAC∠ = ° | |EB = 19 4 11 4 3 2 7 4 3 1 4 4EB AB AC= −   2 2 | |B EBE =  | | 1,| | 2AB AC= =  120BAC∠ = ° 1 1 1 3 1( )2 2 2 4 4EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC= + = − + = − × + + = −          22 2 29 3 1 1216 4 4 1| | 6EB AB ABB AC ACE = − ×= × ⋅ +     2 29 3 1 11 1 2 ( ) 216 8 2 16 = × − × × × − + × 19 16 =所以 ， 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中 档题. 9.公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可 无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后 两位的近似值 ，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程 序框图，则输出的 值为（ ）（参考数据： ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】 由 开始，按照框图，依次求出 s，进行判断． 【详解】 ，故选 C. 【点睛】框图问题，依据框图结构，依次准确求出数值，进行判断，是解题关键． 10.已知 是双曲线 的左、右焦点， 是 的左、右顶点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的渐近线方 程为（ ） 19| | 4EB = 3.14 n 0 03 1.732,sin15 0.2588,sin75 0.9659≈ ≈ ≈ 6n = 0 01 16 s 6sin60 2.598,n 12 s 12sin30 3,2 2n = ⇒ = × ≈ = ⇒ = × = 01n 24 s 24sin152 = ⇒ = × 3.1058≈ 1 2,F F 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > ,A B C P 1F 3 4 PAB△ 120ABP∠ = ° CA. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据 为等腰三角形， 可求出点 P 的坐标，又由 的斜率为 可得出 关系，即可求出渐近线斜率得解. 【详解】如图， 因为 为等腰三角形， ， 所以 ， , ， 又 ， ， 解得 ， 所以双曲线的渐近线方程为 ， 故选：D 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于中档题. 1 2y x= ± 2y x= ± 3 3y x= ± 3y x= ± PAB△ 120ABP∠ = ° 1PF 3 4 ,a c PAB△ 120ABP∠ = ° | | | | 2PB AB a= = 60PBM∠ = ° | | cos60 2 , | | sin 60 3P Px PB a a y PB a∴ = ⋅ °+ = = ⋅ ° = 1 3 0 3 2 4PF ak a c −= =+ 2a c∴ = 2 23a b∴ = 3b a = 3y x= ±11.棱长为 2 的正方体 内有一个内切球 ，过正方体中两条异面直线 ， 的中点 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】 连结并延长 PO，交对棱 C1D1 于 R，则 R 为对棱的中点，取 MN 的中点 H，则 OH⊥MN，推 导出 OH∥RQ，且 OH＝ RQ＝ ，由此能求出该直线被球面截在球内的线段的长． 【详解】如图， MN 为该直线被球面截在球内的线段 连结并延长 PO，交对棱 C1D1 于 R， 则 R 为对棱的中点，取 MN 的中点 H，则 OH⊥MN， ∴OH∥RQ，且 OH＝ RQ＝ ， ∴MH＝ ＝ ＝ ， ∴MN＝ ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查该直线被球面截在球内的线段的长的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 1 1 1 1ABCD A B C D− O AB 1 1A D ,P Q 2 2 2 1− 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2OM OH− 2 2 21 2  −    2 2 2 2MH =12.设 是定义域为 的偶函数，且在 单调递增， ， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据偶函数的性质，比较 即可. 【详解】解： 显然 ，所以 是定义域为 的偶函数，且在 单调递增， 所以 故选：C 【点睛】本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题. 二、填空题：本大题共 4 小题，13～15 题每题 5 分，16 题第一问 2 分，第二问 3 ( )y f x= R [ )0,+∞ 0.2 2log 0.3, log 0.3a b= = ( ) ( ) (0)f a b f ab f+ > > ( ) (0) ( )f a b f f ab+ > > ( ) ( ) (0)f ab f a b f> + > ( ) (0) ( )f ab f f a b> > + + ,a b ab 0.2 2 lg0.3 lg0.3+ log 0.3 log 0.3 +lg0.2 lg 2a b = + = 5 5lg0.3 lg lg0.3 lg2 2 lg5 lg 2 lg5 lg 2 × × = = −− × × ( ) 0.2 2 lg0.3 lg0.3log 0.3 log 0.3 lg0.2 lg 2 lg0.3 lg0.3 lg0.3 lg0.3 lg5 lg 2 lg5 lg 2 lg0.3 lg0.3 lg5 lg 2 10lg0.3 lg 3 lg5 lg 2 ab = × = × − × ×= =× × − × −= × × = − × 5 10lg lg2 3 < +a b ab< ( )y f x= R [ )0,+∞ ( ) ( ) (0)f ab f a b f> + >分，共 20 分． 13.已知多项式 的各项系数之和为 32，则展开式中含 项的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】 令 可得各项系数和为 ，得出 ,根据第一个因式展开式的常数项 与第二个因式的展开式含 一次项的积与第一个因式展开式含 x 的一次项与第二个因式常数 项的积的和即为展开式中含 项，可得解. 【详解】令 ， 则得 ， 解得 ， 所以 展开式中含 项为： ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二项展开式的系数和，二项展开式特定项，赋值法，属于中档题. 14.已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 2 的直线 与 的交点为 ，若 ，则直线 的方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】 设直线 l 的方程为 ， ，联立直线 l 与抛物线 C 的方程，得到 A， B 点横坐标的关系式，代入到 中，解出 t 的值，即可求得直线 l 的方程 【详解】设直线 ． 由题设得 ，故 ， 由题设可得 ． 5 4(1 ) (1 2 )ax x+ − x 3− 1x = 5 4(1 ) (1 2) 32a+ − = 1a = x x 1x = 5 4(1 ) (1 2) 32a+ − = 1a = 5 4(1 ) (1 2 )x x+ − x 1 1 4 51 ( 2 ) ( ) 1 8 5 3C x C x x x x× − + × = − + = − 3− 2: 4C y x= F l C ,A B | | | | 5AF BF+ = l 2 2 0x y− − = 2y x t= + ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 4AF BF+ = . ( ) ( )1 1 2 2: 2 , , , ,l y x t A x y B x y= + ( )1,0F 1 2 2AF BF x x+ = + + 1 2 3x x+ =由 可得 ， 则 ， 从而 ，得 ， 所以 l 的方程为 , 故答案为： 【点睛】本题主要考查了直线的方程，抛物线的定义，抛物线的简单几何性质，直线与抛物 线的位置关系，属于中档题. 15.若函数 在 和 上均单调递增，则实数 的取值范围为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】 化简函数，求出 在 上的单调递增区间，然后根据 在 和 上均 单调递增，列出不等式求解即可． 【详解】由 知， 当 时， 在 和 上单调递增， 在 和 上均单调递增， ， ， 2 2 , 4 y x t y x = +  = ( )2 24 4 1 0x t x t+ − + = 1 2 1x x t+ = − 1 3t− = 2t = − 2 2y x= − 2 2 0x y− − = ( ) sin 2 cos2f x x x= + [0, ]2 m [3 , ]m π m 5 ,24[ 4] π π ( )f x [ ]0,π ( )f x 0, 2 m     [ ]3 ,m π ( ) sin 2 cos2 2 sin(2 )4f x x x x π= + = + [ ]0,x π∈ ( )f x [0, ]8 π 5 ,8 π π     ( )f x 0, 2 m     [ ]3 ,m π 2 8 53 8 m m π π  ≤∴  ≥ 5 24 4m π π∴ ≤ ≤取值范围为： ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，关键是根据函数的单调性列出关于 m 的方 程组，属中档题． 16.分形几何学是数学家伯努瓦·曼得尔布罗在 20 世纪 70 年代创立的一门新的数学学科，它的 创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图甲所示的分形规律可得如 图乙所示的一个树形图：记图乙中第 行黑圈的个数为 ，则（1） _______；（2） ______． 【答案】 (1). 13 (2). 【解析】 【分析】 观察图形，归纳规律，得到结论. 【详解】根据图甲所示的分形规律，1 个白圈分形为 2 个白圈 1 个黑圈，1 个黑圈分形为 1 个 白圈 2 个黑圈， 第一行记为 ，第二行记为 ，第三行记为 ，第四行的白圈数为 ； 黑圈数为 ， 第四行的“坐标”为 ； 第五行的“坐标”为 ， 各行白圈数乘以 2，分别是 2，4，10，28，82，即 ， ， ， ， ， 第 n 行的白圈数为 ，黑圈数为白圈数减 1，即 ． 的m∴ 5 ,24 4 π π     5 ,24 4 π π     n na 4a = 2 na = 13 1n− − ( )1,0 ( )2,1 ( )5,4 2 5 4 14× + = 5 2 4 13+ × = ∴ ( )14,13 ( )41,40 1 1+ 3 1+ 9 1+ 27 1+ 81 1+ ∴ 13 1 2 n− + 1 13 1 3 112 2 n n− −+ −− =故答案为：13， . 【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，多观察几组数据是发现规律的有效方法，属于难 题. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程 和演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选 考题考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17.在 中，角 的对边分别为 ，且 . （1）求角 的大小； （2）已知 外接圆半径 ,求 的周长. 【答案】（1） （2）3+3 【解析】 【分析】 （1）利用余弦的二倍角公式和同角三角函数关系式化简整理并结合范围 0＜A＜π，可求 A 的 值．（2）由正弦定理可求 a，利用余弦定理可得 c 值，即可求周长． 【详解】（1） ， 即 又 （2） , ∵ ， ∴由余弦定理得 a2＝b2+c2﹣2bccosA， ∴ ， ∵c＞0，所以得 c=2 , 1 1 4 3 113,2 2 3 12 n n na a − −−∴ = = × = − 13 1n− − ABC∆ A B C、 、 a b c、 、 22 3sin sin 3 02 A A+ − = A ABC∆ 3 3R AC= =， ABC∆ 3 π 3  22 3sin sin 3 02 A A+ − = ∴ 1 cos2 3 sin 3 02 A A −× + − = sin 3cos 0A A− = tan 3A∴ = 0 A π< < 3A π∴ = 2sin a RA = 2 sin 2 3sin 33a R A π∴ = = = 3AC b= = 2 3 6 0c c− − = 3∴周长 a+b+c=3+3 ． 【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考 查了转化思想，属于中档题． 18.如图，三棱柱 中，侧面 是菱形，其对角线的交点为 ，且 ． （1）求证： 平面 ； （2）设 ，若直线 与平面 所成的角为 ，求二面角 的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）根据菱形的特征和题中条件得到 平面 ，结合线面垂直的定义和判定定理即 可证明； 2 建立空间直角坐标系，利用向量知识求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形 是菱形， ， 平面 平面 ， 又 是 的中点， 3 1 1 1ABC A B C− 1 1BB C C O 1 16,AB AC AB B C= = ⊥ AO ⊥ 1 1BB C C 1 60B BC∠ = ° 1 1A B 1 1BB C C 45° 1 1 1A B C B− − 2 5 5 1B C ⊥ 1ABC ( ) 1 1BB C C 1 1B C BC⊥∴ 1 1, ,AB B C AB BC B⊥ ∩ = 1B C∴ ⊥ 1ABC AO ⊂ 1ABC 1B C AO∴ ⊥ 1,AB AC O= 1BC， 又 平面 （2） ∴直线 与平面 所成的角等于直线 与平面 所成的角． 平面 ， ∴直线 与平面 所成的角为 ，即 ． 因为 ，则在等腰直角三角形 中 ， 所以 ． 在 中，由 得 ， 以 为原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系 ． 则 所以 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，可得 ， 取平面 的一个法向量为 ， 1AO BC∴ ⊥ 1 1B C BC O=  AO∴ ⊥ 1 1BB C C 1 1/ /AB A B 1 1A B 1 1BB C C AB 1 1BB C C AO ⊥ 1 1BB C C AB 1 1BB C C ABO∠ 45ABO∠ = ° 1 6AB AC= = 1ABC 1 2 3BC = 13, tan30 1BO CO B O BO= = = ⋅ ° = Rt ABO 45ABO∠ = ° 3AO BO= = O 1, ,OB OB OA , ,x y z O xyz− 1 1(0,0, 3), ( 3,0,0), (0,1,0), ( 3,0,0)A B B C − 1 1 1 1( 3,0, 3), ( 3, 1,0)A B AB B C= = − = − −   11 1A B C 1 ( , , )n x y z= 1 1 1 1 3 3 0 3 0 n A B x z n B C x y  ⋅ = − = ⋅ = − − =   1 (1, 3,1)n = − 1 1BB C C 2 (0,0,1)n =则 ， 所以二面角 的正弦值的大小为 ． （注：问题（2）可以转化为求二面角 的正弦值，求出 后，在 中，过点 作 的垂线，垂足为 ，连接 ，则 就是所求二面角平面 角的补角，先求出 ，再求出 ，最后在 中求出 ．） 【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定以及二面角的求解，属于中档题． 19.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测 试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记 5 分，“不合格”记 0 分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下： 等级 不合格 合格 得分 频数 6 24 （1）由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数； （2）其他条件不变，在评定等级为“合格”的学生中依次抽取 2 人进行座谈，每次抽取 1 人， 求在第 1 次抽取的测试得分低于 80 分的前提下，第 2 次抽取的测试得分仍低于 80 分的概率； （3）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取 10 人进行座谈．现再 从这 10 人中任选 4 人，记所选 4 人的量化总分为 ，求 的数学期望 ． 【答案】（1）64，65；（2） ；（3） . 1 2 1 2 1 2 1 5cos , 5| || | 5 n nn n n n ⋅〈 〉 = = =      1 1 1A B C B− − 2 5 5 1A BC B− − 3AO BO= = Rt OBC O BC H AH AHO∠ 3 2OH = 15 2AH = Rt AOH 2sin 55AHO∠ = [20,40] [40,60] [60,80] [80,100] a b ξ ξ ( )E ξ 23 35 ( ) 12E ξ =【解析】 【分析】 （1）根据频率分布直方图及其性质可求出 ，平均数，中位数； （2）设“第 1 次抽取的测试得分低于 80 分”为事件 ，“第 2 次抽取的测试得分低于 80 分”为 事件 ，由条件概率公式 可求出； （3）从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取 10 人进行座谈，其中“不合格” 的学生数为 ，“合格”的学生数为6；由题意可得 ，5，10，15，20，利用“超 几何分布”的计算公式即可得出概率，进而得出分布列与数学期望． 【详解】由题意知，样本容量为 ， ． （1）平均数为 ， 设中位数为 ，因为 ，所以 ，则 ， 解得 ． （2）由题意可知，分数在 内的学生有 24 人，分数在 内的学生有 12 人．设“第 1 次抽取的测试得分低于 80 分”为事件 ，“第 2 次抽取的测试得分低于 80 分”为事件 ， 则 ，所以 ． （3）在评定等级为“合格”和“不合格”的学生中用分层抽样的方法抽取 10 人，则“不合格”的学 生人数为 ，“合格”的学生人数为 ． 由题意可得 的所有可能取值为 0,5,10,15,20． ， , ,a b c A B ( )( | ) ( ) P ABP B A P A = 24 10 460 × = 0ξ = 6 60, 60 (0.01 20) 120.005 20 b= = × × =× 1860 6 12 24 18, 0.01560 20a c= − − − = = =× (30 0.005 50 0.015 70 0.02 90 0.01) 20 64× + × + × + × × = x 0.005 20 0.015 20 0.4 0.5,0.005 20 0.015 20 0.02 20 0.8 0.5× + × = < × + × + × = > (60,80)x∈ 0.005 20 0.015 20 ( 60) 0.02 0.5x× + × + − × = 65x = [60,80) [80,100] A B 24 2 24 23 46( ) , ( )36 3 36 35 105P A P AB ×= = = =× ( ) 23( | ) ( ) 35 P ABP B A P A = = 24 10 460 × = 10 4 6− = ξ 3 1 2 24 4 6 4 64 4 4 4 10 10 10 1 24 90( 0) , ( 5) , ( 10)210 210 210 C C C CCP P PC C C ξ ξ ξ= = = = = = = = =． 所以 的分布列为 0 5 10 15 20 ． 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的性质、分层抽样、超几何分布列及其数学期望， 考查了计算能力，属于中档题． 20.已知椭圆 的右焦点为 ，过点 且与 轴垂直的直线被椭圆截 得的线段长为 ，且 与短轴两端点的连线相互垂直. （1）求椭圆 的方程； （2）若圆 上存在两点 ， ，椭圆 上存在两个点 满足： 三点共线， 三点共线，且 ，求四边形 面积的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）又题意知， ， 及 即可求得 ，从而得椭圆方程. （2）分三种情况：直线 斜率不存在时， 的斜率为 0 时， 的斜率存在且不为 0 时，设出直线方程，联立方程组，用韦达定理和弦长公式以及四边形的面积公式计算即可. 【详解】（1）由焦点与短轴两端点的连线相互垂直及椭圆的对称性可知， ， ∵过点 且与 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . 又 ，解得 . 1 3 4 4 6 6 4 4 10 10 80 15( 15) , ( 20)210 210 C C CP PC C ξ ξ= = = = = = ξ ξ P 1 210 24 210 90 210 80 210 15 210 24 90 80 15( ) 0 5 10 15 20 12210 210 210 210E ξ = + × + × + × + × = 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1F 1F x 2 1F C 2 2 2:O x y a+ = M N C ,P Q 1, ,M N F 1, ,P Q F 0PQ MN⋅ =  PMQN 2 2 12 x y+ = [2,2 2] 2a b= 2a c= 2 2 2a b c= + a b c、 、 MN MN MN b c= 1F x 2 22 2b a ∴ = 2 2 2a b c= + 2, 1a b c= = =∴椭圆 的方程为 （2）由（1）可知圆 的方程为 ， （i）当直线 的斜率不存在时，直线 的斜率为 0， 此时 （ii）当直线 的斜率为零时， . （iii）当直线 的斜率存在且不等于零时，设直线 的方程为 ， 联立 ，得 ， 设 的横坐标分别为 ，则 . 所以 ， （注： 的长度也可以用点到直线的距离和勾股定理计算.） 由 可得直线 的方程为 ，联立椭圆 的方程消去 ， 得 设 的横坐标为 ，则 . . 综上，由（i）（ii）（ⅲ）得 的取值范围是 . 【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题，解 答此类题目，通常利用 的关系，确定椭圆方程是基础；通过联立直线方程与椭圆方 程建立方程组，应用一元二次方程根与系数，得到目标函数解析式，运用函数知识求解；本 C 2 2 12 x y+ = O 2 2 2x y+ = MN PQ | | 2,| | 2 2, 2 2PMQNMN PQ S= = =四边形 MN | | 2 2,| | 2, 2PMQNMN PQ S= = =四边形 MN MN ( 1)( 0)y k x k= − ≠ 2 2 2x y+ = 2 2 2 2(1 ) 2 2 0( 0)k x k x k+ − + − = ∆ > ,M N ,M Nx x 2 2 2 2 2 2,1 1M N M N k kx x x xk k −+ = ⋅ =+ + 2 2 2 2 2| | 1 1M N kMN k x x k += + − = + | |MN PQ MN⊥ PQ 1 ( 1)( 0)y x kk = − − ≠ C y 2 2 2( 2) 4 2 2 0( 0)k x x k+ − + − = ∆ > ,P Q ,P Qx x 2 2 2 4 2 2,2 2p pQ Q kx x x xk k −+ = ⋅ =+ + 2 2 2 2 2 2 2 1 4 2 2 2 2(1 )| | 1 42 2( ) 2 k kPQ k k k k − +∴ = + − × =+ + + 2 2 2 1 1 1| || | 2 2 2 2 12 2 2PMQN kS MN PQ k k += = = −+ +四边形 2 2 1 1 2 10 , 1 1 2 2 22 2 2 2 PMQNSk k < < ∴ < − < ∴ < ( ) ( )xh x e f x= (0, )+∞ a :l y kx b= + 1 1 2 2: ( , ) 0 ( , ) 0:C f x y C f x y= =、 l 1C 2C ( ) ln( ) ,( 0)f x ax a a= − > ( ) ,( 0)xg x ae a= > 1a = ( ) 0h x′  (0, )+∞ 1( ) ln( )x ax ax ϕ = + − 1 2,x x 2 2 2 1 1 2 1 ln( ) 1 x x x ae x ax a ae ax e  =  − − = − ( ) [ln( ) ], 0xh x e ax a x= − > 1( ) ln ) ]([xh x e ax ax ′∴ = + − ( )h x (0, )+∞ ( ) 0h x′  (0, )+∞ 1( ) ln( )x ax ax ϕ = + − 2 2 1 1 1( ) xx x x x ϕ′ −= − = ( )xϕ (0,1) (1, )+∞ min( ) (1)xϕ ϕ= 0xe > ( ) 0h x′  (0, )+∞ ( ) 0xϕ  (0, )+∞ 1( ) 0,a ϕ = 1( ) (1) 0a ϕ ϕ∴ = =所以 ，即 ． （2）设 的切点横坐标为 ，则 切线方程为 ……① 设 的切点横坐标为 ，则 ， 切线方程为 ……② 若存在 ，使①②成为同一条直线，则曲线 与 存在公切线，由①②得 消去 得 即 令 ，则 所以，函数 在区间 上单调递增， ，使得 时总有 又 时， 在 上总有解 综上，函数 与 总存在公切线． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的恒成立问题，导数的几何意义，利用导数证明 方程有解，属于难题. （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔 将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按照所做的第一题 1 1a = 1a = ( ) ln( ) ,( 0)f x ax a a= − > 1x x= 1 1 ( ) 1f x x ′ = 1 1 1 1ln( ) ( )y ax a x xx − + = − ( ) ,( 0)xg x ae a= > 2x x= 2 2( ) xg x ae′ = 2 2 2( )x xy ae ae x x− = − 1 2,x x ( )f x ( )g x 2 2 2 1 1 2 1 ln( ) 1 x x x ae x ax a ae ax e  =  − − = − 1x 2 2 2 21 x xx a ae ax e− − − = − 2 2 22 2 2 1 11 2 1 1 1 ( )x x xe x eea x x − − += = −+ + 2 1( ) 1 x x et x e x += − + 2 2 1( ) 0( 1) x xx e et x x ′ + += >+ ( )y t x= (0, )+∞ 0(1) (2) 0 (1,2)t t x⋅ < ∴∃ ∈ 0( ) 0t x = 0( , )x x∴ ∈ +∞ 0( ) ( ) 0t x t x> = x∴ → +∞ ( )t x → +∞ 1 ( 1) 1 1 xe x a x − −∴ = + (0, )+∞ ( ) ln( ) ,( 0)f x ax a a= − > ( ) ,( 0)xg x ae a= >记分． 选修 4-4：坐标系与参数方程 22.在平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 ： ，直线 的参数方程为 （ 为参数）.直线 与曲 线 交于 ， 两点． （I）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程（不要求具体过程）； （II）设 ，若 ， ， 成等比数列，求 的值． 【答案】（I） ， ；（II） . 【解析】 【分析】 （I）利用所给的极坐标方程和参数方程，直接整理化简得到直角坐标方程和普通方程； （II）联立直线的参数方程和 C 的直角坐标方程，结合韦达定理以及等比数列的性质即可求 得答案. 【详解】（I）曲线 ： ，两边同时乘以 可得 ，化简得） ； 直线 的参数方程为 （ 为参数），可得 x-y=-1，得 x-y+1=0； （II）将 （ 为参数）代入 并整理得 韦达定理： xOy O x C 2cos 4 sin ( 0)a aρ θ θ= > l 22 ,2 21 2 x t y t  = − +  = − + t l C M N C l ( 2, 1)P − − | |PM | |MN | |PN a ( )2 4 0x ay a= > 1 0x y− + = 1 4 C 2cos 4 sin ( 0)a aρ θ θ= > ρ 2ρ 2cos 4 sin ( 0)a aθ ρ θ= > ( )2 4 0x ay a= > l 22 ,2 21 2 x t y t  = − +  = − + t 22 ,2 21 2 x t y t  = − +  = − + t ( )2 4 0x ay a= > 2 4 2( 1) 8( 1) 0t a t a− + + + = 1 2 1 24 2( 1), 8( 1) 0t t a t t a+ = + ⋅ = + >由题意得 即 可得 即 解得 【点睛】本题考查了极坐标方程、参数方程与直角坐标和普通方程的互化，以及参数方程的 综合知识，结合等比数列，熟练运用知识，属于较易题. 选修 4-5:不等式选讲 23.已知函数 . （1）当 时，解关于 的不等式 ； （2）若对任意 ，都存在 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 分析】 （1）分类讨论去绝对值号，然后解不等式即可. （2）因为对任意 ，都存在 ，使得不等式 成立，等价于 ， 根据绝对值不等式易求， 根据二次函数易求， 然后解不等式即可. 【详解】解：（1）当 时， ，则 当 时，由 得， ，解得 ； 当 时， 恒成立； 当 时，由 得， ，解得 . 所以 的解集为 【 2MN PM PN= 2 1 2 1 2t t t t− = ⋅ 2 1 2 1 2 1 2( ) 4t t t t t t+ − ⋅ = ⋅ 232( 1) 40( 1), 0a a a+ = + > 1 4a = 2 2( ) | | | 2 3|, ( ) 3f x x a x a g x x ax= − + − + = + + 1a = x ( ) 6f x ≤ 1x R∈ 2x R∈ 1 2( ) ( )f x g x> a { | 3 3}x x− ≤ ≤ ( ) 8,0 ,5  −∞ ∪ +∞   1x R∈ 2x R∈ 1 2( ) ( )f x g x> min min( ) ( )f x g x> min( )f x min( )g x 1a = ( ) | 1| | 1|f x x x= − + + 2 , 1, ( ) 2, 1 1, 2 , 1. x x f x x x x − < − = − 2 22 3 ( 1) 2 0a a a− + = − + > 2 2 3a a> − 2 2 2| 2 3| ( ) ( 2 3) 2 3x a x a x a x a a a− + − + − − − + = − + 2 2 3a a= − + 22 3a x a−   2 min( ) 2 3f x a a= − + 2 2 2 23 ( ) 3 32 4 4 a a ax ax x+ + = + + − − 2 ax = − 2 min( ) 3 4 ag x = − 2 2 2 3 3 4 aa a− + > − 25 8 0a a− > a ( ) 8,0 ,5  −∞ ∪ +∞  