内蒙古包头市2020届高三数学（文）第一次模拟试题（Word解析版）

2020 届内蒙古包头市高三下学期普通高等学校招生全国统一 考试 （第一次模拟考试）数学（文）试题 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 中只有 2 属于 【详解】解： ， 故选：A 【点睛】考查集合的交集运算，是基础题. 2.已知 是虚数单位，若 ，则 （ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 直接将 两边同时乘以 求出复数 ，再求其模即可. 【详解】解：将 两边同时乘以 ，得 故选：A 【点睛】考查复数的运算及其模的求法，是基础题. {0,1,2}, { |1 2}A B x x= = < ≤ A B = {2} {1,2} {0} {0,1,2} A B 2 A∈ 2 B∈ ( )2 A B∴ ∈ ∩ i 1 z ii =− | |z = 2 3 1 z ii =− 1 i− z 1 z ii =− 1 i− ( )1 1z i i i= − = + 2z =3.设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ） A. 23 B. 25 C. 28 D. 29 【答案】D 【解析】 【分析】 由 可求 ，再求公差，再求解即可. 【详解】解： 等差数列 ，又 ， 公差为 ， ， 故选：D 【点睛】考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题. 4.已知实数 满足 则 的最大值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】 作出可行域，平移目标直线即可求解. 【详解】解：作出可行域： 是 { }na n nS 4 95, 81a S= = 10a = 9 81S = 5 9a = { }na 9 59 81S a∴ = = 5 9a∴ = 4 5a = ∴ 4d = 410 6 29a a d∴ = + = ,x y , 1 0, 1, x y x y y ≥  + − ≤  ≥ − 2z x y= + 3 2由 得， 由图形知， 经过点时，其截距最大，此 时最大 得 ， 当 时， 故选：B 【点睛】考查线性规划，是基础题. 5.已知角 的终边与单位圆 交于点 ，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先由三角函数的定义求出 ，再由二倍角公式可求 . 【详解】解：角 的终边与单位圆 交于点 ， ， 故选：B 【点睛】考查三角函数的定义和二倍角公式，是基础题. 6.下列说法正确的是（ ） A. “若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ” B. 在 中，“ ”是“ ”成立的必要不充分条件 2z x y= + 1 1 2 2y x z= − + 1 1 2 2y x z= − + z 1 0 y x x y =  + − = 1 2 1 2 x y  =  = 1 1,2 2C     1 2 1 2 x y  =  = max 1 2 322 2 2z = + × = α 2 2 1x y+ = 0 1 ,3P y     cos2α 1 9 7 9 − 2 3 − 1 3 sinα cos2α α 2 2 1x y+ = 0 1 ,3P y     1cos 3 α = 2 2 1 7cos2 2cos 1 2 13 9 α α  = − = × − = −   1a > 1a > 1a > 2 1a < ABC A B> sin sinA B>C. “若 ，则 ”是真命题 D. 存在 ，使得 成立 【答案】C 【解析】 【分析】 A：否命题既否条件又否结论，故 A 错. B：由正弦定理和边角关系可判断 B 错 C：可判断其逆否命题的真假，C 正确. D：根据幂函数的性质判断 D 错. 【详解】解：A：“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”，故 A 错. B：在 中， ，故“ ”是“ ”成 立的必要充分条件，故 B 错. C：“若 ，则 ” “若 ，则 ”，故C 正确. D：由幂函数 在 递减，故 D 错. 故选：C 【点睛】考查判断命题的真假，是基础题. 7.在直三棱柱 中，己知 ， ， ，则异面直线 与 所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由条件可看出 ，则 为异面直线 与 所成的角，可证得三角形 中， ，解得 从而得出异面直线 与 所成的角． 【详解】连接 ， ，如图： tan 1α ≠ 4 πα ≠ 0 ( ,0)x ∈ −∞ 0 02 3x x< 1a > 1a > 1a ≤ 2 1a ≤ ABC 2 sin 2 sinA B a b R A R B> ⇔ > ⇔ > A B> sin sinA B> tan 1α ≠ 4 πα ≠ ⇔ = 4 πα tan =1α ( 0)ny x n= < ( )0 +∞， 1 1 1ABC A B C− AB BC⊥ 2AB BC= = 1 2 2CC = 1AC 1 1A B 30° 45° 60° 90° 1 1AB A B 1BAC∠ 1AC 1 1A B 1BAC 1AB BC⊥ 1tan BAC∠ ， 1AC 1 1A B 1AC 1BC又 ，则 为异面直线 与 所成的角. 因为 且三棱柱为直三棱柱，∴ ∴ 面 ， ∴ ， 又 ， ，∴ ， ∴ ，解得 . 故选 C 【点睛】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考 查了逻辑推理能力，属于基础题． 8.当 时，函数 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由 ， 解 得 ， 即 或 ， 函 数 有 两 个 零 点 ， ， 不 正 确 ， 设 ， 则 ， 由 1 1AB A B 1BAC∠ 1AC 1 1A B AB BC⊥ ， 1AB CC⊥ ， AB ⊥ 1 1BCC B 1AB BC⊥ 2AB BC= = 1 2 2CC = ( )2 2 1 2 2 2 2 3BC = + = 1tan 3BAC∠ = 1 60BAC∠ = ° 0a > ( ) ( )2 xf x x ax e= − ( ) 0f x = 2 0x ax− = 0x = x a= 0,a > ∴ ( )f x ,A C∴ 1a = ( ) ( ) ( ) ( )2 2, ' 1x xf x x x e f x x x e= − ∴ = + −，解得 或 ，由 ， 解得： ，即 是函数的一个极大值点， 不成立，排除 ， 故选 B. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数 的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点 是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手， 根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及 时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除. 9.小张家订了一份报纸，送报人可能在早上 之间把报送到小张家，小张离开家去 工作的时间在早上 之间.用 表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人 到达的时间为 ，小张离开家的时间为 ， 看成平面中的点，则用几何概型的公式得到 事件 的概率 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 这是几何概型，画出图形，利用面积比即可求解. 【详解】解：事件 发生，需满足 ，即事件 应位于五边形 内，作图如下： 故选：D ( ) ( )2' 1 0xf x x x e= + − > 1 5 2x − +> 1 5 2x − −< ( ) ( )2' 1 0xf x x e= − < 1 5 1 5 2 2x − − − +− < < 1x = − D∴ D 0 , 0 , ,x x x x+ −→ → → +∞ → −∞ 6:30 7 :30− 7.00 8:00− A x y ( , )x y A ( )P A 5 8 2 5 3 5 7 8 A x y≤ A BCDEF ( ) 1 1 11 72 2 2 1 8P A − × × = =【点睛】考查几何概型，是基础题. 10.过抛物线 的焦点且与 的对称轴垂直的直线 与 交于 ， 两点， ， 为 的准线上的一点，则 的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】 设抛物线的解析式 ，得焦点为 ，对称轴为 轴，准线为 ， 这样可设 点坐标为 ，代入抛物线方程可求得 ，而 到直线 的距离为 ，从而 可求得三角形面积． 【详解】设抛物线的解析式 ， 则焦点为 ，对称轴为 轴，准线为 ， ∵　直线 经过抛物线的焦点， ， 是 与 的交点， 又 轴，∴可设 点坐标为 ， 代入 ，解得 ， 又∵点 在准线上，设过点 的 的垂线与 交于点 ， ， ∴ . 故应选 C. 【点睛】本题考查抛物线的性质，解题时只要设出抛物线的标准方程，就能得出 点坐标， 从而求得参数 的值．本题难度一般． 11.在 中， 为 边上的中点，且 ，则 （ ） A. B. C. D. C C l C A B | | 4AB = P C ABP∆ 2 2 ( 0)y px p= > ,02 pF      x 2 px = − A ,22 p     p P AB p 2 2 ( 0)y px p= > ,02 pF      x 2 px = − l A B l C AB x⊥ A ,22 p     2 2y px= 2p = P P AB AB D | | 22 2 p pDP p= + − = = 1 1| | | | 2 4 42 2ABPS DP AB∆ = ⋅ = × × = A p ABC D BC | | 1, | 2, 120AB AC BAC= = ∠ = °  | |=AD 3 2 1 2 3 4 7 4【答案】A 【解析】 【分析】 由 为 边上的中点，表示出 ，然后用向量模的计算公式求模. 【详解】解： 为 边上的中点， ， 故选：A 【点睛】在三角形中，考查中点向量公式和向量模的求法，是基础题. 12.设 是定义域为 的偶函数，且在 单调递增， ， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据偶函数的性质，比较 即可. 【详解】解： D BC ( )1 2AD AB AC= +   D BC ( )1 2AD AB AC= +   ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 4 1 24 1 1 2 2 1 2 1204 3= 2 AD AB AC AB AC AB AC AB AC COS = + = + = + + ⋅ = + + × × ×          。 ( )y f x= R [ )0,+∞ 0.2 2log 0.3, log 0.3a b= = ( ) ( ) (0)f a b f ab f+ > > ( ) (0) ( )f a b f f ab+ > > ( ) ( ) (0)f ab f a b f> + > ( ) (0) ( )f ab f f a b> > + + ,a b ab 0.2 2 lg0.3 lg0.3+ log 0.3 log 0.3 +lg0.2 lg 2a b = + = 5 5lg0.3 lg lg0.3 lg2 2 lg5 lg 2 lg5 lg 2 × × = = −− × ×显然 ，所以 是定义域为 的偶函数，且在 单调递增， 所以 故选：C 【点睛】本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知点 是双曲线 渐近线上的一点，则双曲线的离心率为_______ 【答案】 【解析】 【分析】 先表示出渐近线，再代入点 ，求出 ，则离心率易求. 【详解】解： 的渐近线是 因为 在渐近线上，所以 ， 故答案为： ( ) 0.2 2 lg0.3 lg0.3log 0.3 log 0.3 lg0.2 lg 2 lg0.3 lg0.3 lg0.3 lg0.3 lg5 lg 2 lg5 lg 2 lg0.3 lg0.3 lg5 lg 2 10lg0.3 lg 3 lg5 lg 2 ab = × = × − × ×= =× × − × −= × × = − × 5 10lg lg2 3 < +a b ab< ( )y f x= R [ )0,+∞ ( ) ( ) (0)f ab f a b f> + > (1,2) 2 2 2 1( 0)4 x y aa − = > 5 (1,2) a 2 2 2 1( 0)4 x y aa − = > 2 2 2 0( 0)4 x y aa − = > (1,2) 2 2 2 0( 0)4 1 2 aa − = > 1( 0)a a= > 2 21 2 5c = + = 5ce a = = 5【点睛】考查双曲线的离心率的求法，是基础题. 14.已知圆柱的上下底面的中心分别为 ，过直线 的平面截该圆柱所得的截面是面积 为 36 的正方形，则该圆柱的体积为____ 【答案】 【解析】 【分析】 由轴截面是正方形，易求底面半径和高，则圆柱的体积易求. 【详解】解：因为轴截面是正方形，且面积是 36， 所以圆柱的底面直径和高都是 6 故答案为： 【点睛】考查圆柱的轴截面和其体积的求法，是基础题. 15.正项等比数列| 满足 ，且 成等差数列，则 取得最小值时 的值为_____ 【答案】2 【解析】 【分析】 先由题意列出关于 的方程，求得 的通项公式，再表示出 即可求解. 【详解】解：设 公比为 ，且 ， 1 2,O O 1 2O O 54π 2 23 6 54V r hπ π π= = × × = 54π { }na 1 3 5 4a a+ = 2 4 3 12 , ,2a a a 1 2 2 3( ) ( )a a a a⋅ ⋅ 1( )n na a +⋅ n 1,a q { }na 1 2 2 3( ) ( )a a a a⋅ ⋅ 1( )n na a +⋅ { }na q 0q > 2 3 2 4 2,a a q a a q∴ = = 4 2 3 12 22 a a a× = + 2 2 2 2 12 22 a q a a q∴ × = +时，上式有最小值 ， 故答案为：2. 【点睛】本题考查等比数列、等差数列的有关性质以及等比数列求积、求最值的有关运算， 中档题. 16.已知函数 恰好有 3 个不同的零点，则实数 的取值范围为____ 【答案】 【解析】 【分析】 恰好有 3 个不同的零点 恰有三个根，然后转化成 求函数值域即可. 【详解】解： 恰好有 3 个不同的零点 恰有三个根， 令 ， 2 1 1 1 1 3 2 0 0 2 54 4 1 4 1 2 24 n n n q q q q a a a a − − ∴ − − = > ∴ = ∴ + = ∴ = ∴ = × =  3 2 2 5 1 2 2 2n n n n n nb a a − − − +∴ = = × = 3 1 2 5 1 2 2 2 2 n nb b b − − −∴ = × × ×  2 2 3 ( 1) (2 5) 4 ( 2) 4 2 2 2 n n n n − + − + + − − − − = = =  2n∴ = 4 12 16 − = ( ) | ln |f x x m x= − m ( , )e +∞ ( ) | ln |f x x m x= − ( )0 1ln xm xx ⇔ − = ≠ ( ) | ln |f x x m x= − ( )0 1ln xm xx ⇔ − = ≠ ( ) ( ), 1ln xg x xx = ≠ ( ) ( ) ( ) , 0,1ln=ln , 1,ln x xx xg x xx xx − ∈=   ∈ +∞， 在 递增； ， 递减， 递增， 时， 在 有一个零点，在 有 2 个零点； 故答案为： . 【点睛】已知函数的零点个数求参数的取值范围是重点也是难点，这类题一般用分离参数的 方法，中档题. 三、解答题：本大题共 6 小题共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和演 算步骤. 17.在 中，角 的对边分别为 ，且 . （1）求角 的大小； （2）已知 外接圆半径 ,求 的周长. 【答案】（1） （2）3+3 【解析】 【分析】 （1）利用余弦的二倍角公式和同角三角函数关系式化简整理并结合范围 0＜A＜π，可求 A 的 值．（2）由正弦定理可求 a，利用余弦定理可得 c 值，即可求周长． 【详解】（1） ， 即 ( ) ( ) 2 1 ln0,1 , 0ln xx g x x −′∈ = > ( )g x ( )0,1x∈ ( ) ( ) 2 ln 11, , 0ln xx g x x −′∈ ∞ = > ( ) ( ) ( )2 ln 11, , 0,ln xx e g x g xx −′∈ = < ( ) ( ) ( )2 ln 1, , 0,ln xx e g x g xx −′∈ ∞ = > ( ) ( )ming x g e e= = m e∴ > ( )f x ( )0,1x∈ ( )1,x∈ +∞ ( ),m e∈ +∞ ABC∆ A B C、 、 a b c、 、 22 3sin sin 3 02 A A+ − = A ABC∆ 3 3R AC= =， ABC∆ 3 π 3  22 3sin sin 3 02 A A+ − = ∴ 1 cos2 3 sin 3 02 A A −× + − = sin 3cos 0A A− = tan 3A∴ =又 （2） , ∵ ， ∴由余弦定理得 a2＝b2+c2﹣2bccosA， ∴ ， ∵c＞0，所以得 c=2 , ∴周长 a+b+c=3+3 ． 【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考 查了转化思想，属于中档题． 18.每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”，以交通业为例，当天气太冷时，不少人都会选择利 用手机上的打车软件在网上预约出租车出行,出租车公司的订单数就会增加.下表是某出租车 公司从出租车的订单数据中抽取的 5 天的日平均气温(单位：℃)与网上预约出租车订单数(单 位：份)； 日平均气温（℃） 6 4 2 网上预约订单数 100 135 150 185 210 （1）经数据分析，一天内平均气温 与该出租车公司网约订单数 （份）成线性相关关系， 试建立 关于 的回归方程，并预测日平均气温为 时,该出租车公司的网约订单数； （2）天气预报未来 5 天有 3 天日平均气温不高于 ，若把这 5 天的预测数据当成真实的 数据，根据表格数据，则从这 5 天中任意选取 2 天，求恰有 1 天网约订单数不低于 210 份的 概率. 附：回归直线 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为： 0 A π< < 3A π∴ = 2sin a RA = 2 sin 2 3sin 33a R A π∴ = = = 3AC b= = 2 3 6 0c c− − = 3 3 2− 5− Cx。 y y x 7 C− ° 5 C− ° ˆˆ ˆy bx a= + 1 1 2 2 1 1 2 ( )( ) ˆ ˆˆ, ( ) n n ii i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b a y bx x x x nx = = = = − − − ⋅ = = = − − − ∑ ∑ ∑ ∑【答案】（1） ，232；（2） 【解析】 【分析】 (1) 根据公式代入求解； (2) 先列出基本事件空间 ，再列出要求的事件，最后求概率即可. 【详解】解：（1）由表格可求出 代 入公式求出 ， 所以 ，所以 当 时， . 所以可预测日平均气温为 时该出租车公司的网约订单数约为 232 份. （2）记这 5 天中气温不高于 的三天分别为 ，另外两天分别记为 ，则在这 5 天中任意选取 2 天有 ，共 10 个基本事件，其中 恰有 1 天网约订单数不低于 210 份的有 ，共 6 个基本事件， 所以所求概率 ，即恰有 1 天网约订单数不低于 20 份 概率为 . 【点睛】考查线性回归系数的求法以及古典概型求概率的方法，中档题. 19.如图，点 是以 为直径的圆 上异于 、 的一点，直角梯形 所在平面与圆 所在平面垂直，且 ， . （1）证明： 平面 ； 的 ˆ 9.5 165.5y x= − + 3 5 Ω 5 5 2 1 1 1, 156, 20,5 780, 85 n n i i i i i x y x y x y x = = = = = = = ⋅ = =∑ ∑ 9.5b = −  165.5a y bx= − = ˆ 9.5 165.5y x= − + 7x = − ˆ ( 9.5) ( 7) 165.5 232y = − × − + = 7 C− ° 5 C− ° , ,A B C ,D E , , , , , , , , ,AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE , , , , , AD AE BD BE CD CE 6 3 10 5P = = 3 5 C AB O A B BCDE O / / ,DE BC DC BC⊥ 1 2, 32DE BC AC CD= = = = / /EO ACD（2）求点 到平面 的距离. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）取 的中点 ，证明 ,则平面 平面 ，则可证 平面 . （2）利用 ， 是平面 的高，容易求. ，再求 ，则点 到平面 的距离可求. 【详解】解：（1）如图： 取 的中点 ，连接 、 . 在 中， 是 的中点， 是 的中点， 平面 平面 ,故 平面 在直角梯形 中， ，且 ， ∴四边形 是平行四边形， ，同理 平面 又 ,故平面 平面 ， 又 平面 平面 . （2） 是圆 的直径，点 是圆 上异于 、 的一点， 又∵平面 平面 ，平面 平面 平面 ， 可得 是三棱锥 的高线. E ABD 6 41 41 BC M // , / /OM AC EM CD //OME ACD / /EO ACD E ABD A EBDV V− −= AC BED 1 1 2 3 32 2BDES DE CD= × = × × =△ ABDS E ABD BC M OM ME ABC O AB M BC ,OM AC AC∴ ⊄∥ EMO MO ⊂, EMO AC∥ EMO BCDE DE CB DE CM= MCDE EM CD∴ ∥ CD ∥ EMO CD ∩ AC=C EMO ∥ ACD EO ⊂ , EMO EO∴ ∥ ACD AB O C O A B AC BC∴ ⊥ BCDE ⊥ ABC BCDE ∩ ABC BC= AC∴ ⊥ BCDE AC A BDE−在直角梯形 中， . 设 到平面 的距离为 ，则 ，即 由已知得 ， 由余弦定理易知： ，则 解得 ，即点 到平面 的距离为 故答案为： . 【点睛】考查线面平行的判定和利用等体积法求距离的方法，是中档题. 20.已知函数 的图象在 处的切线方程是 . （1）求 的值； （2）若函数 ，讨论 的单调性与极值； （3）证明： . 【答案】（1） ；（2） 单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， 的极小值为 ，无极大值；（3）见解析. 【解析】 【分析】 （1）切点既在切线上又在曲线上得一方程，再根据斜率等于该点的导数再列一方程，解方程 组即可； （2）先对 求导数，根据导数判断和求解即可. （3）把证明 转化为证明 ，然后证明 极 BCDE 1 1 2 3 32 2BDES DE CD= × = × × =△ E ABD h E ABD A EBDV V− −= 1 1 3 3ABD EBDS h S AC⋅ = ⋅△ △ 5, 5, 3 2AB BD AD= = = 16cos 25ABD∠ = 1 3 41sin2 2ABDS AB BD ABD= ⋅ ∠ =△ 6 41 41h = E ABD 6 41 41 6 41 41 ( ) ln bf x a x ex = + 1x = 2 4(1 ) 1y xe e = − + − ,a b ( ) ( )g x xf x= ( )g x 1( ) xf x e > 1, 2a b= = ( )g x 10, e      1,e  +∞   ( )g x 1 e ( ) ( )g x xf x= 2 1ln ( 0)xx xex e + > > 2ln ( 0)x xx x xe e + > > 2lnx x e +小值大于 极大值即可. 【详解】解：（1）函数 的定义域为 由已知得 ，则 ，解得 . （2）由题意得 ，则 . 当 时， ，所以 单调递减， 当 时， ，所以 单调递增， 所以， 单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， 的极小值为 ，无极大值. （3）要证 成立， 只需证 成立. 令 ，则 ， 当 时， 单调递增， 当 时， 单调递减， 所以 极大值为 ，即 由（2）知， 时， ，且 的最小值点与 的最大值点不同， 所以 ，即 . 的 ( 0)x x xe > ( )f x (0, )+∞ 2( ) a bf x x ex ′ = − 2(1) 2(1) 1 bf e e bf a e e  ′ = =  = − = − 1, 2a b= = 2( ) ( ) ln ( 0)g x x f x x x xe = ⋅ = + > ( ) ln 1g x x′ = + 1(0, )x e ∈ ( ) 0g x′ < ( )g x 1( , )x e ∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x ( )g x 1(0, )e 1( , )e +∞ ( )g x 1 1( )g e e = 2 1ln ( 0)xx xex e + > > 2ln ( 0)x xx x xe e + > > ( ) x xh x e = 1( ) x xh x e ′ −= (0,1)x∈ ( ) 0, ( )h x h x′ > (1, )x∈ +∞ ( ) 0, ( )h x h x′ < ( )h x ( )h 1 1( ) (1)h x h e = (0, )x∈ +∞ 1 1( ) ( )g x g e e = ( )g x ( )h x 2ln x xx x e e + > 2 1ln xx ex e + >所以， . 【点睛】知识方面，考查建立方程组求未知数，利用导数求函数的单调区间和极值以及不等 式的证明；能力方面，考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力； 试题难度大. 21.已知椭圆 的右焦点为 ，过点 且与 轴垂直的直线被椭圆截 得的线段长为 ，且 与短轴两端点的连线相互垂直. （1）求椭圆 的方程； （2）若圆 上存在两点 ， ，椭圆 上存在两个点 满足： 三点共线， 三点共线，且 ，求四边形 面积的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）又题意知， ， 及 即可求得 ，从而得椭圆方程. （2）分三种情况：直线 斜率不存在时， 的斜率为 0 时， 的斜率存在且不为 0 时，设出直线方程，联立方程组，用韦达定理和弦长公式以及四边形的面积公式计算即可. 【详解】（1）由焦点与短轴两端点的连线相互垂直及椭圆的对称性可知， ， ∵过点 且与 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . 又 ，解得 . ∴椭圆 的方程为 （2）由（1）可知圆 的方程为 ， （i）当直线 的斜率不存在时，直线 的斜率为 0， 此时 （ii）当直线 的斜率为零时， . （iii）当直线 的斜率存在且不等于零时，设直线 的方程为 ， 1( ) xf x e > 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1F 1F x 2 1F C 2 2 2:O x y a+ = M N C ,P Q 1, ,M N F 1, ,P Q F 0PQ MN⋅ =  PMQN 2 2 12 x y+ = [2,2 2] 2a b= 2a c= 2 2 2a b c= + a b c、 、 MN MN MN b c= 1F x 2 22 2b a ∴ = 2 2 2a b c= + 2, 1a b c= = = C 2 2 12 x y+ = O 2 2 2x y+ = MN PQ | | 2,| | 2 2, 2 2PMQNMN PQ S= = =四边形 MN | | 2 2,| | 2, 2PMQNMN PQ S= = =四边形 MN MN ( 1)( 0)y k x k= − ≠联立 ，得 ， 设 的横坐标分别为 ，则 . 所以 ， （注： 的长度也可以用点到直线的距离和勾股定理计算.） 由 可得直线 的方程为 ，联立椭圆 的方程消去 ， 得 设 的横坐标为 ，则 . . 综上，由（i）（ii）（ⅲ）得 的取值范围是 . 【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题，解 答此类题目，通常利用 的关系，确定椭圆方程是基础；通过联立直线方程与椭圆方 程建立方程组，应用一元二次方程根与系数，得到目标函数解析式，运用函数知识求解；本 题是难题. 22.在平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 ： ，直线 的参数方程为 （ 为参数）.直线 与曲 线 交于 ， 两点． （I）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程（不要求具体过程）； 2 2 2x y+ = 2 2 2 2(1 ) 2 2 0( 0)k x k x k+ − + − = ∆ > ,M N ,M Nx x 2 2 2 2 2 2,1 1M N M N k kx x x xk k −+ = ⋅ =+ + 2 2 2 2 2| | 1 1M N kMN k x x k += + − = + | |MN PQ MN⊥ PQ 1 ( 1)( 0)y x kk = − − ≠ C y 2 2 2( 2) 4 2 2 0( 0)k x x k+ − + − = ∆ > ,P Q ,P Qx x 2 2 2 4 2 2,2 2p pQ Q kx x x xk k −+ = ⋅ =+ + 2 2 2 2 2 2 2 1 4 2 2 2 2(1 )| | 1 42 2( ) 2 k kPQ k k k k − +∴ = + − × =+ + + 2 2 2 1 1 1| || | 2 2 2 2 12 2 2PMQN kS MN PQ k k += = = −+ +四边形 2 2 1 1 2 10 , 1 1 2 2 22 2 2 2 PMQNSk k < < ∴ < − < ∴ < l 22 ,2 21 2 x t y t  = − +  = − + t l C M N C l（II）设 ，若 ， ， 成等比数列，求 的值． 【答案】（I） ， ；（II） . 【解析】 【分析】 （I）利用所给的极坐标方程和参数方程，直接整理化简得到直角坐标方程和普通方程； （II）联立直线的参数方程和 C 的直角坐标方程，结合韦达定理以及等比数列的性质即可求 得答案. 【详解】（I）曲线 ： ，两边同时乘以 可得 ，化简得） ； 直线 的参数方程为 （ 为参数），可得 x-y=-1，得 x-y+1=0； （II）将 （ 为参数）代入 并整理得 韦达定理： 由题意得 即 可得 即 解得 【点睛】本题考查了极坐标方程、参数方程与直角坐标和普通方程的互化，以及参数方程的 综合知识，结合等比数列，熟练运用知识，属于较易题. 23.已知函数 . ( 2, 1)P − − | |PM | |MN | |PN a ( )2 4 0x ay a= > 1 0x y− + = 1 4 C 2cos 4 sin ( 0)a aρ θ θ= > ρ 2ρ 2cos 4 sin ( 0)a aθ ρ θ= > ( )2 4 0x ay a= > l 22 ,2 21 2 x t y t  = − +  = − + t 22 ,2 21 2 x t y t  = − +  = − + t ( )2 4 0x ay a= > 2 4 2( 1) 8( 1) 0t a t a− + + + = 1 2 1 24 2( 1), 8( 1) 0t t a t t a+ = + ⋅ = + > 2MN PM PN= 2 1 2 1 2t t t t− = ⋅ 2 1 2 1 2 1 2( ) 4t t t t t t+ − ⋅ = ⋅ 232( 1) 40( 1), 0a a a+ = + > 1 4a = 2 2( ) | | | 2 3|, ( ) 3f x x a x a g x x ax= − + − + = + +（1）当 时，解关于 的不等式 ； （2）若对任意 ，都存在 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）分类讨论去绝对值号，然后解不等式即可. （2）因为对任意 ，都存在 ，使得不等式 成立，等价于 ， 根据绝对值不等式易求， 根据二次函数易求， 然后解不等式即可. 【详解】解：（1）当 时， ，则 当 时，由 得， ，解得 ； 当 时， 恒成立； 当 时，由 得， ，解得 . 所以 的解集为 （2）对任意 ，都存在 ，得 成立，等价于 . 因为 ，所以 ， 且| ，① 当 时，①式等号成立，即 . 又因为 ，② 当 时，②式等号成立，即 . 1a = x ( ) 6f x ≤ 1x R∈ 2x R∈ 1 2( ) ( )f x g x> a { | 3 3}x x− ≤ ≤ ( ) 8,0 ,5  −∞ ∪ +∞   1x R∈ 2x R∈ 1 2( ) ( )f x g x> min min( ) ( )f x g x> min( )f x min( )g x 1a = ( ) | 1| | 1|f x x x= − + + 2 , 1, ( ) 2, 1 1, 2 , 1. x x f x x x x − < − = − 2 22 3 ( 1) 2 0a a a− + = − + > 2 2 3a a> − 2 2 2| 2 3| ( ) ( 2 3) 2 3x a x a x a x a a a− + − + − − − + = − + 2 2 3a a= − + 22 3a x a−   2 min( ) 2 3f x a a= − + 2 2 2 23 ( ) 3 32 4 4 a a ax ax x+ + = + + − − 2 ax = − 2 min( ) 3 4 ag x = −所以 ，即 即 的取值范围为： . 【点睛】知识：考查含两个绝对值号的不等式的解法；恒成立问题和存在性问题求参变数的 范围问题；能力：分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力；中档题. 2 2 2 3 3 4 aa a− + > − 25 8 0a a− > a ( ) 8,0 ,5  −∞ ∪ +∞  