内蒙古赤峰二中2020届高三普通高等学校招生第三次模拟文科数学试题（Word解析版）

赤峰二中 2020 届普通高等学校招生第三次统一模拟考试 （文科）数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ， ，若 ，则 （ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由 ,可解得 ,代入即可求得结果. 【详解】 , ,解得: , , . 故选:C. 【点睛】本题考查已知交集求解参数,难度容易. 2.欧拉公式 （ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发 现的，它将指 数函数的定义扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里占有非 常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知， 表示的复数在复平面中位于 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 { }1,3aA = { , }B a b= 1 3A B  ∩ =    2 2a b− = 4 3 8 9 2 2 3 1 3A B  ∩ =    ,a b  1 3A B  ∩ =    33 1=a∴ 1a = − 1 3b = 2 2 1 81- =9 9a b−∴ = cos sinixe x i x= + i xi 6i e π【分析】 由 可知当 时, ,化简即可求得结果. 【详解】 , 当 时, , 表示的复数对应的点为 在第一象限. 故选:A. 【点睛】本题考查复数与平面内点的对应关系,难度容易. 3.已知角 的终边经过点 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先用诱导公式化简,再借助三角函数 定义即可解得. 【详解】因为角 的终边经过点 ,则有 , 所以 . 故选:B. 【点睛】本题考查诱导公式, 考查三角函数的定义求函数值,难度容易. 4.已知 是双曲线 一个焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 的 的 cos sinixe x i x= + 6x π= 6 =cos sin6 6 i ie π π π+  cos sinixe x i x= + ∴ 6x π= 6 3 1=cos sin = +6 6 2 2 i e i i π π π+ ∴ 6i e π 3 1,2 2       α ( 4,3)− cos 2 π α + =   4 5 − 3 5- 3 5 4 5 α ( 4,3)− 3sin = 5a 3cos sin2 5- =- π α α + =   ( 2,0) 2 2 1yx k − = 3 3y x= ± y x= ± 2y x= ± 3y x= ±【解析】 【分析】 利用已知条件列出关系式，求解 ，然后得到双曲线的渐近线方程． 【详解】解：由已知 为双曲线的一个焦点可得， ，即 ， 所以渐近线方程为： ． 故选： ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 5.《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式 为：弧田面积 （弦×矢+矢 2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中 的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为 ，矢为 4 的弧田，按照上述方法计算出其面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据在直角三角形的边角关系求出弦心距,弦长及“矢”的大小，结合弧田面积公式进行计算 即可. 【详解】设半径为 ,圆心到弦的距离为 ,则 , 所以弦长为 , k ( 2,0) 1 4k+ = 3k = 2 2 13 yx∴ − = 3y x= ± D 1 2 = × 2 3 π 4 4 3+ 8 4 3+ 8 8 3+ 8 16 3+ r d 1 2 1cos 2 3 2d r r π = ⋅ × =   1 1 42 2r d r r r− = − = = 8, 4r d∴ = = ∴ 2 22 2 64 16 8 3r d− = − =弧田面积为 . 故选:D. 【点睛】本题考查新定义的面积公式,考查学生分析问题的能力和计算能力,难度较易. 6.我区的中小学办学条件在政府的教育督导下，迅速得到改变.督导一年后.分别随机抽查了高 中（用 表示）与初中（用 表示）各 10 所学校.得到相关指标的综合评价得分（百分制）的 茎叶图如图所示.则从茎叶图可得出正确的信息为（80 分及以上为优秀）（ ） ①高中得分与初中得分的优秀率相同 ②高中得分与初中得分的中位数相同 ③高中得分的方差比初中得分的方差大 ④高中得分与初中得分的平均分相同 A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】 根据茎叶图可计算优秀率、中位数、平均数;根据得分的分散程度可判断方差大小关系,从而可 得各个选项的正误. 【详解】从茎叶图可知抽查的初中得分优秀率为: ；高中得分的优秀率为: 可知①正确;高中的中位数为 75.5,初中的中位数为 72.5,可知②错误；初中得 分比较分散，所以初中的方差大，可知③正确;高中的平均分为 75.7,初中的平均分为 75,可知④ 错误. 故选:B. 【点睛】本题考查利用茎叶图求解频率、中位数、平均数、方差的问题,难度较易. 7.如图所示，在边长为 2 的菱形 中， ，点 分别为对角线 上两个 ∴ ( )21 8 3 4 4 8 16 32 × × + = + A B 3 100% 30%10 × = 3 100% 30%10 × = ABCD 120BAD °∠ = ,E F BD三等分点，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 在菱形 中，求得 ，再根据向量的线性运算，得到 ， 再根据向量的数量积的运算，即可求解． 【详解】由题意，因为 ， ，所以 ， 所以 ， 又 ，所以 . 故选 A. 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及平面向量数量积的运算，其中解答中熟练应 用向量的三角形法则，以及准确利用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查 了推理与运算能力，属于基础题． 8.袋子中有四张卡片，分别写有“学、习、强、国”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三 次抽取后“学”“习”两个字都取到记为事件 ，用随机模拟的方法估计事件 发生的概率， 利用电脑随机产生整数 0，1，2，3 四个随机数，分别代表“学、习、强、国”这四个字，以每 三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下 18 组随机数： 232 321 210 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233 由此可以估计事件 发生的概率为（ ） AE CF⋅ =  4 3 − 4 3 28 3 − 28 3 ABCD 2AB AD⋅ = −  1 ( 2 )3AE AD AB= +   2AB AD= = 120BAD °∠ = 2AB AD⋅ = −  1 3AE AB BE AB BD= + = +     1 1( ) ( 2 )3 3AB AD AB AD AB= + − = +     AE CF= −  21 (2 )9AE CF AB AD⋅ = − + =    ( )2 21 44 49 3AB AB AD AD− + ⋅ + = −    A A AA. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 18 组随机数中,利用列举法求出事件 A 发生的随机数有共 6 个,由此能估计事件 A 发生的概率. 【详解】18 组随机数中,利用列举法求出事件 A 发生的随机数有 210，021，001，130，031， 103，共 6 个,估计事件 A 发生的概率为 . 故选:C. 【点睛】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率,难度较易. 9.已知 ， 在 上单调递减， ，则 的解集 是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由 可知 的图象关于直线 对称, 由 可知 ,则 可转化为 或 ,即可求得结果. 【详解】 , 的图象关于直线 对称, , , 在 上单调递减, 在 上单调递增, 2 9 5 18 1 3 7 18 6 1 18 3p = = (4 ) (2 )f x f x− = + ( )f x ( ,3]−∞ (0) 0f = (2 3 ) 0f x− > 2, (2, )3  −∞ ∪ +∞   2 ,23      2 2,3 3  −   4 2, ,3 3    −∞ − ∪ +∞       (4 ) (2 )f x f x− = + ( )f x 3x = (0) 0f = (6) 0f = (2 3 ) 0f x− > 2 3 0x− < 2 3 6x− >  (4 ) (2 )f x f x− = + ∴ ( )f x 3x =  (0) 0f = ∴ (6) 0f =  ( )f x ( ,3]−∞ ∴ ( )f x [ )3,+∞,可得 或 ,解得: 或 . 故选:D. 【点睛】本题主要考查函数图象及性质,考查数形结合思想、化归与转化思想的应用,难度一般. 10.已知 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，下列命题中： ①若 ，且 ∥ ，则 ∥ ； ②若 相交，且都在 外， ， ∥ ， ， ∥ ，则 ∥ ； ③若 ， ， ， ，则 ； ④若 ， ， ， ，则 .其中正确命题的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】 由线面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理,面面垂直的性质定理对命题依次判断即可得出 结论. 【详解】①错误，三个平面可以两两相交且交线互相平行;④错误, 相交时结论才成立.通 过排除可知②③正确. 故选:C. 【点睛】本题考查线面的位置关系,考查学生空间想象能力和对判定定理和性质定理的认知能 力,难度一般. 11.已知函数 有最小值，则函数 的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 取决于 的值 【答案】C 【解析】 【分析】 求导化简可得 ,由函数 有最小值可知, 应有 两解,即 由两解,即可得到 的零点个数. ∴ (2 3 ) 0f x− > 2 3 0x− < 2 3 6x− > 2 3x > 4 3x < − ,a b , ,α β γ ,a bα β β γ∩ = ∩ = a b α γ ,a b ,α β //a α a β //b α b β α β α β⊥ aα β∩ = b β⊂ a b⊥  b α⊥ a α⊂ b α⊂ l a⊥ l b⊥ l α⊥ a b、 ( )2( ) 2 xf x x m e= + 2( ) 2 4g x x x r= + + m ( )2( ) e 2 4 e ( )x xf x x x m g x′ = + + = ⋅ ( )f x ( )=0f x′ 22 4 =0x x m+ + ( )g x【详解】 ,函数 的最小值 即其极小值，即 解.当 有一解 时,在 两侧 都成立,此时 是单 调递增的,没有极值,不符合题意应舍去,因此 有两解，即 有两解，故 有两个零点. 故选:C. 【点睛】本题考查导数在求函数最值中的应用,考查函数的零点问题,难度较难. 12.有一正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）木料 ，其各棱长都为 2.已知 ， 分别为上，下底面的中心，M 为 的中点，过 A，B，M 三点的截面把该木料截成两部分， 则截面面积为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 如图: 连 延长交 于 M,易证 ,因为 为中心，所以 ，过 做 || ,则梯形 即为所求截面， , ,所 以梯形的高 ，故梯形面积为 ，故选 B. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄 ( ) ( )2 2( ) 4 e 2 e e 2 4 e ( )x x x xf x x x m x x m g x′ = ⋅ + + ⋅ = + + = ⋅ ( )f x ( )=0f x′ ( )=0f x′ 0x 0x ( )>0f x′ ( )f x ( )=0f x′ 22 4 =0x x m+ + ( )g x 1 1 1ABC A B C− 1Q 2Q 1 2Q Q 7 16 3 9 3 19 4 NO 1DC 1 1DO O M= 1O 1 1 1 3C M C D= M EF AB ABFE 1 223 3EF = × = 2 24 2 132 ( )3 3AE BF= = + = 52 4 4 3 9 9 3 − = 1 2 4 3 16 3+2 =2 3 3 9 × ×（ ）金分割值约为 ，这一数值也可以表示为 .若 ，则 ＝ ____．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】 首先利用余弦的倍角公式以及同角三角函数关系中的平方关系和正弦的倍角公式，对式子进 行化简，求得结果. 【详解】根据题中的条件可得： ， 故答案是： . 【点睛】该题考查的是有关三角函数的求值问题，涉及到的知识点有新定义，利用条件对式 子进行正确的变形是解题的关键. 14.在锐角 中，角 的对边分别为 ， 且 ，则角 ___. 【答案】 【解析】 【分析】 根据已知条件,反凑余弦定理,即可求得角 A. 【详解】 , , 由余弦定理得: ,又 . 故答案为: . 【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用,难度较易. 15.直线 过抛物线 的焦点 ，且与 交于 两点，则 ______， 0.618 2sin18m = ° 2 4m n+ = 21 2cos 27 m n − ° 1 2 − 2 2 2 1 2cos 27 cos54 2sin18 2cos182sin1 1 2c 8 4 4sin 18 os 27 m n − −= ⋅− − ° =      sin36 1 2sin36 2 −= = −  1 2 − ABC , ,A B C , ,a b c 2a = 2 24 bc b c+ = + A = 3 π  2a = 2 2 24 bc a bc b c+ = + = +∴ 2 2 2b c a bc∴ + − = 2 2 2 1cos 2 2 2 b c a bcA bc bc + −= = = 0 3A A ππ< < ∴ =， 3 π l ( )2: 2 0C y px p= > ( )1,0F C ,A B p =______． 【答案】 (1). 2 (2). 1 【解析】 【分析】 由题意知 ，从而 ，所以抛物线方程为 ．联立方程，利用韦达定理可得结 果. 【详解】由题意知 ，从而 ，所以抛物线方程为 ． 当直线 AB 斜率不存在时： 代入，解得 ，从而 ． 当直线 AB 斜率存在时：设 的方程为 ，联立 ，整理，得 ，设 ， ，则 从而 ． （方法二）利用二级结论： ，即可得结果． 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化能力与计算能力， 属于基础题. 16.已知函数 ，若正实数 满足 ，则 的 最小值为____. 【答案】 【解析】 【分析】 通过求导数,根据导数符号可判断出 是 上的增函数,且 是奇函数,从而根据 1 1 AF BF + = 12 p = 2p = 2 4y x= 12 p = 2p = 2 4y x= 1x = 2AF BF= = 1 1 1AF BF + = AB ( )1y k x= − ( ) 2 1 4 y k x y x  = −  = ( )2 2 2 22 4 0k x k x k− + + = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 1 2 2 1 2 2 4 1 kx x k x x  ++ =  = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 21 1 1 1 11 1 1 2 x x x x AF BF x x x x x x x x + + + ++ = + = = =+ + + + + + + 1 1 2 AF BF p + = ( ) sinf x x x= + ,a b 1 2 1 0f fa b    + − =       3 4 1 2 a b a b +− − 7 4 3+ ( )f x R ( )f x可 得 出 ， 从 而 得 出 ， 所 以 且 都为正数,从而根据基本不等式即可求出最小值. 【详解】 , 是增函数,且 是奇函数, 由 ,得 , ,即 . 都为正数, . 当且仅当 时取等号. 故答案为: . 【点睛】本题考查了根据导数符号判断函数单调性的方法，基本初等函数的求导公式，奇函 数的定义，基本不等式求最值的方法,考查了计算和推理能力,难度一般. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第 17-21 题为必考题， 每个考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.设数列 的前 项和为 ， . （Ⅰ）当 、 ，且 时，求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 的各项均为负实数，当 时，求实数 的取值范围. 1 2 1 0f fa b    + − =       1 21f fa b    = −       2 1 ab a = − 3 4 37 4( 1)1 2 1 a b aa b a + = + + −− − − ,a b ( ) sinf x x x= + ( ) 1 cos 0, ( ) sin( ) ( )f x x f x x x f x′∴ = + ≥ − = − + − = − ( )f x∴ ( )f x 1 2 1 0f fa b    + − =       1 21f fa b    = −       1 21a b ∴ = − 2 1 ab a = − ,a b 1a∴ > 3 4 3( 1) 3 4( 2) 8 3 8 3 87 7 21 2 1 2 1 2 1 21 a b a b aa b a b a b a a − + − +∴ + = + = + + = + +− − − − − − − −− 3 37 4( 1) 7 2 4( 1) 7 4 31 1a aa a = + + − ≥ + ⋅ − = +− − 3 4( 1)1 aa = −− 7 4 3+ { }na n nS 2 , 0nS An Bn C A= + + ≠ 2A = 0C = 2 10a = − { }na { }na 1 336, 9a a= − = − A【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】 【分析】 (Ⅰ) 时, 化简可得 , 代入可解得 , 代入验证即可求得通项公式. (Ⅱ) 由(Ⅰ)可知 时, , ,可得 则 ,由 及各项均为负实数,可知需满足 , 即可. 【详解】解：（Ⅰ）数列 的前 项和为 ，且 ， 若 、 ， 时， 可得 ∴ ，则 ， 当 时，可得 ； 则 . （Ⅱ）设 的各项均为负实数， 由（Ⅰ）知，当 时， ∴ ∴ ∴ ∴ 若 的各项均为负实数，则 ， *4 18,na n n N= − ∈ 9 02 A− < < 2n ≥ 1 1 1 2n n n S na S nS − ==  − ≥ ， ， 4 ( 2)n na B= + − =2n 16B = − 1n = 2n ≥ 1 2 ( )n n na S S An B A−= − = + − 3 9a = − 5 9B A= − − 2 6 9na An A= − − 1 36a = − 0A < 2 0a < { }na n nS 2 nS An Bn C= + + 2A = 0C = 2n ≥ 1n n na S S −= − 2 2( 1) ( 1)An Bn C A n B n C= + + − − − − − 2 ( )An B A= + − 4 ( 2)n B= + − 2 8 ( 2) 10a B= + − = − 16B = − 4 18na n= − 1n = 1 1 14a S= = − *4 18,na n n N= − ∈ { }na 2n ≥ 1 2 ( )n n na S S An B A−= − = + − 3 6 ( ) 5 9a A B A A B= + − = + = − 5 9B A= − − 1 2 ( )n n na S S An B A−= − = + − 2 6 9na An A= − − { }na 0A − A 9 02 A− < < 1 1 1 2n n n S na S nS − ==  − ≥ ， ， P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD 60ABC∠ = ° E F BC PC PBD ⊥ PAC 2AB = AEF 39 4 P ABCD− ABCD AC BD⊥ PA ⊥ ABCD PA BD⊥ BD ⊥ PAC PA ⊥ ABCD AB AC= PB PC= E F BC PC 1 2EF PB= 1 2AF PC= AF EF a= = 21 39sin2 4AEFS a AFE= ⋅ ∠ =△ 2 23 2 cosa a a a AFE= + − ⋅ ⋅ ∠ a Rt PAC∆ PA ABCD∴ ∵ 平面 ， 平面 ∴ 又∵ ∴ 平面 又∵ 平面 ∴平面 平面 （Ⅱ）∵四边形 是菱形， ， ， ∴ 为等边三角形. ∵ 是 的中点, ∴ 又∵ 平面 ， ∴ 又∵ 、 分别是 、 的中点， ∴ ， 在 中， ，设 ， 且 ∴ ∴ 所以 . 【点睛】本题考查面面垂直的判定定理,考查求解几何体的体积问题,难度一般. 19.某市据实际情况主要采取以下四种扶贫方式：第一，以工代赈方式，指政府投资建设基础 设施工程，组织贫困地区群众参加工程建设并获得劳务报酬，第二，整村推进方式指以贫困 村为具体帮扶对象，帮扶对口到村，资金安排到村，扶贫效益到户，第三，科技扶贫方式， AC BD⊥ PA ⊥ ABCD BD ⊂ ABCD PA BD⊥ PA AC A= BD ⊥ PAC BD ⊂ PBD PBD ⊥ PAC ABCD 2AB = 60ABC∠ = ° ABC E BC 3AE = PA ⊥ ABCD 2AB AC= = PB PC= E F BC PC 1 2EF PB= 1 2AF PC= AEF 3AE = AF EF a= = 1 39sin2 4AEFS EF AF AFE= ⋅ ⋅ ∠ =△ 2 23 2 cosa a a a AFE= + − ⋅ ⋅ ∠ 2AF EF a= = = 2 3PA = 1 2 3 2 3=43P ABCDV − = × × ×指组织科技人员深入贫困乡村实地指导、技术培训等传授科技知识，第四，移民搬迁方式， 指对目前极少数居住在生存条件恶劣、自然资源贫乏地区的特困人口，实行自愿移民，该市 为了 2020 年更好的完成精准扶贫各项任务，2020 年初在全市贫困户（分一般贫困户和“五特” 户两类）中随机抽取了 5000 户就目前的主要四种扶贫方式行了问卷调查，支持每种扶贫方式 的结果如表： 调查的贫困户 支持以工代赈 户数 支持整村推进 户数 支持科技扶贫 户数 支持移民搬迁 户数 一般贫困户 1200 1600 200 五特户（五保户和特困 户） 100 100 已知在被调查的 5000 户中随机抽取一户支持整村推进的概率为 0.36. （Ⅰ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的贫困户中抽取 50 户进行深入访谈，问应在支持 科技扶贫户数中抽取多少户？ （Ⅱ）虽然“五特”户在全市 贫困户所占比例不大，但本次调查要有意义，其中这次调查的“五 特”户户数不能低于被调查总户数的 9.2%，已知 ，求本次调查有意义的概率 是多少？ 【答案】（Ⅰ）16 户（Ⅱ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）5000 户中随机抽取一户支持整村推进的概率为 0.36.可求得支持整村推进的户数 1800, 可知 ,进而求得 ,由 即可求得结果; （Ⅱ）因为 ， ， ，列出所有符合的结果共 13 种,由于五特户户 数不能低于被调查总户数的 9.2%,即 ,即 , 即 有意义,找到符合题意的结果即可求出概率. 【详解】解：（Ⅰ）∵支持整村推进户数为 户. ∴ 户. 的 b a c 1530, 58b c≥ ≥ 11 13 200a = b c+ ( )50 5000 b c× + 1530b ≥ 58c ≥ 1600b c+ = 5000 9.2% 460× = 100+ 100 400 460a c c+ + = + ≥ 60c ≥ 5000 0.36 1800× = 5000 1200 100 1800 300 1600b c+ = − − − − =∴应在支持科技扶贫户数中抽取的户数为： （户）. （Ⅱ）∵ 五特户户数不能低于被调查总户数的 9.2% ∴即 ∴ 有意义，又 ， ， ， 情况列举如下： ， 共 13 种情况. ∴本次调查有意义的概率 . 【点睛】本题考查分层抽样的应用及古典概型概率公式的应用,考查学生分析问题的能力,难度 一般. 20. ，曲线 在点 处的切线方程为 . （Ⅰ）求 、 值； （Ⅱ）若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（Ⅰ） ， .（Ⅱ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）求导可得 ，由 ,解得 ,由切点为 在切线 上， 代入即可求得结果; （Ⅱ）由（Ⅰ）得 , , 恒成立等价于 恒成立,构造函数 ，只需符合 的 50 1600 165000 × = 200a = 5000 9.2% 460× = 60c ≥ 1530b ≥ 58c ≥ 1600b c+ = ,b c (1530,70),(1531,69),(1532,68),(1533,67),(1534,66),(1535,65),(1536,64) (1537,63),(1538,62),(1539,61),(1540,60),(1541,59),(1542,58) 11 13P = ( ) ln ( , 0)bf x a x a a R a= + ∈ ≠ ( )y f x= (1, (1))f 2 ( )y x b b R= + ∈ a b [1, )x∀ ∈ +∞ 1 1( ) 22 f x m x x  − − ≤   m 2a = 2b = 1 2m ≥ ( ) af x x ′ = (1) 21 af ′ = = a ( )1, ba 2y x b= + ( ) 2ln 4f x x= + [1, )x∀ ∈ +∞ 1 1( ) 22 f x m x x  − − ≤   1ln x m x x  ≤ −   1( ) lng x x m x x  = − −   [1, ), ( ) 0x g x∀ ∈ +∞ ≤恒成立,由 通过求导讨论 的单调性及讨论函数值和 的关系,即可求出求实数 的取值范围. 【详解】解：（Ⅰ）∵ ， ， ∴ ， 由题意得 ， ∴ ， 又切点为 在切线 上， ∴ ∴ ∴ ， . （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ， ∴ ， ， 即 ， 设 ， 即 ， ， ①若 ， ， 在 上为增函数， ，这与题设 矛盾； ②若 方程 的判别式 ， 当 ，即 时， .∴ 在 上单调递减， ∴ ，即不等式成立， (1)=0g ( )g x (1)g m ( ) ln ( , 0)bf x a x a a R a= + ∈ ≠ 0x > ( ) af x x ′ = (1) 21 af ′ = = 2a = ( )1, ba 2y x b= + 2 2bb+ = 2b = 2a = 2b = ( ) 2ln 4f x x= + [1, )x∀ ∈ +∞ 1 1( ) 22 f x m x x  − − ≤   1ln x m x x  ≤ −   1( ) lng x x m x x  = − −   [1, ), ( ) 0x g x∀ ∈ +∞ ≤ 2 2 2 1 1( ) 1 mx x mg x mx x x − + − ′ = − + =   0m ≤ ( ) 0g x′ > ( )g x [1, )+∞ ( ) (1) 0g x g≥ = ( ) 0g x ≤ 0m > 2 0mx x m− + − = 21 4m= −△ 0∆ ≤ 1 2m ≥ ( ) 0g x′ ≤ ( )g x (1, )+∞ ( ) (1) 0g x g≤ =当 时，方程 ，设两根为 ， ， ， 当 ， 单调递增， ，与题设矛盾， 综上所述， . 【点睛】本题考查导函数的几何意义,导数在恒成立问题求解参数中的应用,难度较难. 21.已知椭圆 过点 且椭圆 短轴长为 . （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）已知动直线 过右焦点 ，且与椭圆 分别交于 两点.试问 轴上是否存在定点 ， 使得， 恒成立？若存在求出点 的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）存在， 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由椭圆性质可知 ,点代入即可求得结果. （Ⅱ）假设存在定点 符合题意，①当直线 的斜率不存在时，由 解 得 或 ；②当直线 的斜率为 0 时,解得 或 .由①②可得 , 然后证明当 时,通过方程联立,借助韦达定理,坐标表示 即可证得结论. 【详解】解：（Ⅰ）因为椭圆 过点 ，所以 . 又椭圆的短轴长为 ，所以 ，所以 ， 解得 . 所以椭圆 的方程为 . （Ⅱ）假设在 轴上存在定点 ，使得 ， 的 10 2m< < 2 0mx x m− + − = ( )1 2 1 2,x x x x< 2 1 1 1 4 (0,1)2 mx m − −= ∈ 2 2 1 1 4 (1, )2 mx m + −= ∈ +∞ ( )21,x x∈ ( ) 0, ( )′ >g x g x ( ) (1) 0g x g> = 1 2m ≥ 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > (2 3, 3)− 4 3 C l F C ,M N x Q 135 16QM QN⋅ = −  Q 2 2 116 12 x y+ = 11,04Q     2 4 3b = ( ,0)Q m l 135 16QM QN⋅ = −  5 4m = 11 4m = l 11 4m = − 11 4m = 11 4m = 11 4m = 135 16QM QN⋅ = −  C (2 3, 3)− 2 2 12 3 1a b + = 4 3 2 4 3b = 2 12b = 2 16a = C 2 2 116 12 x y+ = x ( ,0)Q m 135 16QM QN⋅ = − ①当直线 的斜率不存在时，则 ， ， ， 由 ，解得 或 ； ②当直线 的斜率为 0 时，则 ， ， ， 由 ，解得 或 . 由①②可得 ，即点 的坐标为 . 下面证明当 时， 恒成立，当直线 的斜率不存在或斜率为 0 时，由 ①②知结论成立. 当直线斜率存在且不为 0 时，设其方程为 ， ， ， 由 ，得 ， 直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点， 且 ， . ， 所以 . 综上所述，在 轴上存在定点 ，使得 恒成立.. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查直线和椭圆位置关系中定点定值问题,难度较难. （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则 按所做的第一题计分. [选修 4-4：坐标系与参数方程] l (2,3)M (2, 3)N − (2 ,3), (2 , 3)QM m QN m= − = − −  2 135(2 ) 9 16QM QN m⋅ = − − = −  5 4m = 11 4m = l ( 4,0), (4,0)M N− ( 4 ,0)QM m= − − (4 ,0)QN m= − 2 13516 16QM QN m⋅ = − = −  11 4m = − 11 4m = 11 4m = Q 11,04      11 4m = 135 16QM QN⋅ = −  l ( 2)( 0)y k x k= − ≠ ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 2 2 ( 2) 116 12 y k x x y = − + = ( ) ( )2 2 2 23 4 16 16 3 0k x k x k+ − + − = 2 1 2 2 16 4 3 kx x k + = + ( )2 1 2 2 16 3 4 3 k x x k − = + ( ) ( ) ( )2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 4y y k x k x k x x k x x k= − ⋅ − = − + + 1 1 2 2 11 11, ,4 4QM QN x y x y   ⋅ = − ⋅ −         ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 16 3 11 16 121 1351 2 44 3 4 4 3 16 16 k kk k kk k −  = + − + + + = − + +  x 11,04Q     135 16QM QN⋅ = − 22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数， ）.以坐标原 点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，射线 与曲线 交于 两点，直线 与曲线 相交于 两点. （Ⅰ）求直线 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）当 时，求 的值. 【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ） 或 【解析】 【分析】 （Ⅰ）将 参数方程消去 即可得到普通方程；由 ，根据极坐标和直角坐标互化 原则可得 的直角坐标方程；（Ⅱ）联立 和射线的极坐标方程可得 点极坐标，从而得到 ；将 参数方程代入圆 的直角坐标方程，利用 的几何意义，结合韦达定理构造关于 的方程，解方程求得结果. 【详解】（1）将直线 的参数方程消去 ，化为普通方程得： 由 得： 整理可得曲线 的直角坐标方程为： （2）由 得： 将直线 的参数方程代入 得： 由 得： 设 两点对应的参数分别为 ，则： 解得： 或 xOy l 1 2 3 2 x t y a t  = −  = + t a∈R x C 4cosρ θ= ( 0)3 πθ ρ= ≥ C ,O P l C ,A B l | | | |AB OP= a : 3 0l x y a+ − = ( )2 2: 2 4C x y− + = 0 4 3 l t 2 4 cosρ ρ θ= C C P OP l C t a l t 3 0x y a+ − = 4cosρ θ= 2 4 cosρ ρ θ= 2 2 4x y x∴ + = C ( )2 22 4x y− + = ( ) 4cos 03 ρ θ πθ ρ = = ≥ 2, 3P π     2OP∴ = l C ( )2 22 3 0t a t a+ + + = ( )2 22 3 4 0a a∆ = + − > 2 3 4 2 3 4a− < < + ,A B 1 2,t t ( )2 2 1 2 1 2 1 24 4 4 3 2AB t t t t t t a a= − = + − = + − = 0a = 4 3a=所求 的值为 或 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程化普通方程、极径的意义、直线参数 方程中参数的几何意义的应用等知识，属于常考题型. [选修 4-5：不等式选讲] 23.已知函数 （其中 ）． （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若关于 x 的不等式 恒成立，求 a 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）当 时不等式 化为 ，即 ，即可求得不等式 的解集； （2）不等式化为 ，即 ，利用绝对 值不等式化为 ，即可求出 的取值范围. 【详解】（1）当 时，求不等式 ，即为 ， 所以 ，即 或 ， 原不等式的解集为 ． （2）不等式 即为 ， 即关于 x 的不等式 恒成立． 而 ，所以 ， 解得 或 ，解得 或 ． 所以 a 的取值范围是 【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式的解法，不等式恒成立问题，属于中档题． ∴ a 0 4 3 ( ) | 2 | | 2 |f x x a x= + + − a∈R 4a = − ( ) 6f x ≥ 2( ) 5 | 2 |f x a x≥ − − { | 0 4}x x x≤ ≥或 4 ,15  −   4a = − ( ) 6f x ≥ 2 2 2 6x x− + − ≥ 2 2x − ≥ 2| 2 | | 2 | 5 | 2 |x a x a x+ + − ≥ − − 2| 2 | | 4 2 | 5x a x a+ + − ≥ 24 5a a+ ≥ a 4a = − ( ) 6f x ≥ | 2 4 | | 2 | 6x x− + − ≥ | 2 | 2x − ≥ 2 2x − ≤ − 2 2x − ≥ { | 0 4}x x x≤ ≥或 2( ) 5 | 2 |f x a x≥ − − 2| 2 | | 2 | 5 | 2 |x a x a x+ + − ≥ − − 2| 2 | | 4 2 | 5x a x a+ + − ≥ | 2 | | 4 2 | | 4 |x a x a+ + − ≥ + 2| 4 | 5a a+ ≥ 24 5a a+ ≥ 24 5a a+ ≤ − 4 15 a− ≤ ≤ a φ∈ 4 ,15  −  