赤峰市高三 4·16 模拟考试试题
理科数学
本试卷共 23 题，共 150 分，共 8 页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写淸楚，将条形码粘贴在条形码区
域内.
2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色字迹的签字笔
书写，字体工整，笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无
效；在草稿纸、试卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求.
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求得集合 ，求三角函数值域求得集合 ，由此求得 .
【 详 解 】 由 解 得 . 当 时 ， 函 数
，所以 .
故选：B
【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查含有 的函数的值域的求法，考查
集合交集概念和运算，属于基础题.
2.已知复数 满足 ，且 ，则 （ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】C
{ }2| 2 3 0 , { | 1 sin , 0}A x x x B y y x x= + − < = = − > A B =
[ )3,1− [ )0,1 [ ]1,2 ( )3,2−
A B A B
( )( )2 2 3 3 1 0x x x x+ − = + − < 3 1x− < < 0x >
[ ]1 sin 0,2y x= − ∈ [ )0,1A B∩ =
sin x
z 0z z− = 9z z⋅ = z =
3i 3± 3i±【解析】
【分析】
设 ,则 ,利用 和 求得 , 即可.
【详解】设 ,则 ,
因为 ,则 ,所以 ,
又 ,即 ,所以 ,
所以 ,
故选:C
【点睛】本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用.
3.某个小区住户共 200 户，为调查小区居民的 7 月份用水量，用分层抽样的方法抽取了 50 户
进行调查，得到本月的用水量(单位：m3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过 15
m3 的住户的户数为( )
A. 10 B. 50 C. 60 D. 140
【答案】C
【解析】
从频率分布直方图可知，用水量超过 15m³的住户的频率为 ，即分层抽
样的 50 户中有 0.3×50=15 户住户的用水量超过 15 立方米
所以小区内用水量超过 15 立方米的住户户数为 ，故选 C
4.设等比数列 的前 项和为 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
z a bi= + z a bi= − 0z z− = 9z z⋅ = a b
z a bi= + z a bi= −
0z z− = ( ) ( ) 2 0a bi a bi bi+ − − = = 0b =
9z z⋅ = 2 9a = 3a = ±
3z = ±
(0.05 0.01) 5 0.3+ × =
15 200 6050
× =
{ }na n nS 1 0a < 2021 0S −
1 20210 0a S< ⇔ < 1 0a < 2021 0S <
n
C
2
2 1x ym
− = 3 2 0x y+ = m =
4
9
9
4
2
3
3
2
m
( )1 0y x m
m
= ± > 3 2 0x y+ =
3
2y x= − 1 3
2m
= 4
9m =
11
52
32 , 5 , log 2a b c= = = a b c， ，
a b c< < c b a< < c a b< < b a c< <
11
522 , 51 1a b =>= > 3log 2 1c = < ,a c b c> > 10a 10b
,a b a b c， ，
11
522 , 51 1a b =>= > 3log 2 1c = <
∴ ,a c b c> >又 ，
，即
综上所述，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了比较数的大小，解题关键是不等式的基本性质和对数函数单调性，
考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
7.若 满足约束条件 则 的最大值为（ ）
A. 10 B. 8 C. 5 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
画出可行域,将 化为 ,通过平移 即可判断出最优解,代入到目
标函数,即可求出最值.
【详解】解:由约束条件 作出可行域如图,
化目标函数 为直线方程 斜截式, .由图可知
当直线 过 时,直线在 轴上的截距最大, 有最大值为 3.
故选:D.
【点睛】本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为
的
10 52 =32a = 10 25 ,=25b =
∴ 10 10a b> a b>
c b a< <
,x y 0 2 6
3 6
x y
x y
≤ + ≤
≤ − ≤ ， 2z x y= +
2z x y= + 1
2 2
zy x= − + 1
2y x= −
0 2 6
3 6
x y
x y
≤ + ≤
≤ − ≤
2z x y+＝ 1
2 2
zy x= − +
1
2 2
zy x= − + ( )3,0A y z 的形式,在可行域内通过平移 找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求
出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.
8.关于函数 有下述四个结论：（ ）
① 是偶函数； ② 在区间 上是单调递增函数；
③ 在 上的最大值为 2； ④ 在区间 上有 4 个零点.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A. ①②④ B. ①③ C. ①④ D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数 的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析，由此得出正确结论的编
号.
【详解】 的定义域为 .
由于 ，所以 偶函数，故①正确.
由于 ，
，所以 在区间 上不是单调递增函数，所以②错误.
当 时， ，
且存在 ，使 .
所以当 时， ；
由于 为偶函数，所以 时 ，
所以 的最大值为 ，所以③错误.
依题意， ，当 时，
为
y ax bz= + y ax=
( ) sin | | | cos |f x x x= +
( )f x ( )f x ,02
π −
( )f x R ( )f x [ ]2 ,2π π−
( )f x
( )f x R
( ) ( )f x f x− = ( )f x
3 1 3 2sin cos , sin cos6 6 6 2 4 4 4 2f f
π π π π π π+ + − = + = − = + =
6 4f f
π π − < −
( )f x ,02
π −
0x ≥ ( ) sin cos sin cos 2 sin 24f x x x x x x
π = + = ± = ± ≤
4x
π= sin cos 24 4 4f
π π π = + =
0x ≥ ( ) 2f x ≤
( )f x x∈R ( ) 2f x ≤
( )f x 2
(0) sin 0 cos0 1f = + = 0 2x π< ≤，
所以令 ，解得 ，令 ，解得 .所以在区间 ，
有两个零点.由于 为偶函数，所以 在区间 有两个零点.故 在区
间 上有 4 个零点.所以④正确.
综上所述，正确的结论序号为①④.
故选：C
【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点，考查化归与转化的数学
思想方法，属于中档题.
9.已知等边△ABC 内接于圆 ：x2+ y2=1，且 P 是圆 τ 上一点，则 的最大值是
（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
如图所示建立直角坐标系，设 ，则 ，计算得到答案.
【 详 解 】 如 图 所 示 建 立 直 角 坐 标 系 ， 则 ， ， ， 设
，
则
.
当 ，即 时等号成立.
故选： .
( )
3sin cos ,0 , 22 2
3sin cos , 2 2
x x x x
f x
x x x
π π π
π π
+ < ≤ ≤ ≤=
− < = 2 9 18a + > 2
2
9 10,9 2e a
= ∈ +
20, 2e
∈取值范围的求法，属于中档题.
11.如图，在三棱柱 中，底面为正三角形，侧棱垂直底面， .若
分别是棱 上的点，且 ， ，则异面直线 与 所成
角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线 与 所成角的余弦值.
【详解】依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设 的中点为 ，建立空间直角
坐 标 系 如 下 图 所 示 . 所 以 ， 所 以
. 所 以 异 面 直 线 与 所 成 角 的 余 弦 值 为
.
故选：B
1 1 1ABC A B C− 14 8AB AA= =，
E F， 1BB CC， 1BE B E= 1 1
1
4C F CC= 1A E AF
2
10
26
13
13
13
13
10
1A E AF
AB O
( ) ( ) ( ) ( )1 0, 2,8 , 0,2,4 , 0, 2,0 , 2 3,0,6A E A F− − −
( ) ( )1 0,4, 4 , 2 3,2,6A E AF= − = −
1A E AF
1
1
8 24 26
134 2 2 13
A E AF
A E AF
⋅ −= =
×⋅
【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题.
12.已知定义在 上的可导函数 满足 ，若 是
奇函数，则不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
构造函数 ，根据已知条件判断出 的单调性.根据 是奇
函数，求得 的值，由此化简不等式 求得不等式的解集.
【详解】构造函数 ，依题意可知 ，所
以 在 上递增.由于 是奇函数，所以当 时， ，
所以 ，所以 .
由 得 ，所以 ，故不等式的解集为 .
故选：A
【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归
R ( )f x ( ) ( ) ( )'1 0x f x x f x− ⋅ + ⋅ > 3( 2)y f x e= + −
1( ) 2 0xx f x e +⋅ − <
( ),2−∞ ( ),1−∞ ( )2,+∞ ( )1,+∞
( ) ( )
x
x f xg x e
⋅= ( )g x ( ) 32y f x e= + −
( )2f 1( ) 2 0xx f x e +⋅ − <
( ) ( )
x
x f xg x e
⋅= ( ) ( ) ( ) ( )'
' 1 0x
x f x x f xg x e
− ⋅ + ⋅= >
( )g x R ( ) 32y f x e= + − 0x = ( ) 32 0y f e= − =
( ) 32f e= ( ) 3
2
22 2eg ee
×= =
1( ) 2 0xx f x e +⋅ − < ( ) ( ) ( )2 2x
x f xg x e ge
⋅= < = 2x < ( ),2−∞与转化的数学思想方法，属于中档题.
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为____________.
【答案】 （或写成 ）
【解析】
【分析】
设 与 的夹角为 ，通过 ，可得 ，化简整理可求出 ，从而得
到答案.
【详解】设 与 的夹角为
可得 ，
故 ，将 代入可得
得到 ，
于是 与 的夹角为 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，向量垂直转化为数量积为 0 是解决本题的关键，
意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.
14.在 中，内角 所对的边分别是 ，若 ， ，
则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求得 的值，由此求得 的值，再利用正弦定理求得 的值.
a b 2b a= ( )b a a− ⊥ a b
3
π
60°
a b θ ( )b a a− ⊥ ( ) =0b a a− ⋅ cosθ
a b θ
( )b a a− ⊥
( ) =0b a a− ⋅
∴ ( )2
=0a b a⋅ −
2
cos =0a b aθ⋅ ⋅ − 2b a=
1cos 2
θ =
a b
3
π
3
π
ABC A B C， ， a b c， ， 4 12cos ,cos5 13B C= = 1b =
a =
56
39
sin ,sinB C sin A a【详解】由于 ，所以 ，
所 以 . 由 正 弦 定 理 得
.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和
的正弦公式，考查三角形的内角和定理，属于中档题.
15.验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防
止 ），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用
某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小
区电子出入证的登录验证码由 0，1，2，…，9 中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后
向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如 14532，12543），已知某人收到了一个
“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是 7 的概率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先判断出中间号码的所有可能取值，由此求得基本事件的总数以及中间数字是 的事件数，
根据古典概型概率计算公式计算出所求概率.
【详解】根据“钟型验证码” 中间数字最大，然后向两边对称递减，所以中间的数字可能是
.
当中间是 时，其它 个数字可以是 ，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排
在右边（排法唯一），所以方法数有 种.
当中间是 时，其它 个数字可以是 ，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个
排在右边（排法唯一），所以方法数有 种.
4 12cos ,cos5 13B C= = 2 23 5sin 1 cos ,sin 1 cos5 13B B C C= − = = − =
( )sin sin sin cos cos sinA B C B C B C= + = + 3 12 4 5 56
5 13 5 13 65
= × + × =
56
sin 5665
3sin sin sin 39
5
a b b AaA B B
⋅= ⇒ = = =
56
39
OCR
5
36
7
4,5,6,7,8,9
4 4 0,1,2,3
2 2
4 2 6C C× =
5 4 0,1,2,3,4
2 2
5 3 10 3 30C C× = × =当中间 时，其它 个数字可以是 ，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两
个排在右边（排法唯一），所以方法数有 种.
当中间是 时，其它 个数字可以是 ，选其中两个排在左边（排法唯一），另外
两个排在右边（排法唯一），所以方法数有 种.
当中间是 时，其它 个数字可以是 ，选其中两个排在左边（排法唯一），另
外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有 种.
当中间是 时，其它 个数字可以是 ，选其中两个排在左边（排法唯一），
另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有 种.
所以该验证码的中间数字是 7 的概率为 .
故答案为：
【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查分类加法计数原理、分类乘法计数原理的
应用，考查运算求解能力，属于中档题.
16.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑 中，
平面 ，且有 ，则此鳖臑的外接球
（ 均在球 表面上）的直径为__________；过 的平面截球 所得截面面积
的最小值为__________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
判断出鳖臑 外接球的直径为 ，由此求得外接球的直径.根据球的截面的几何性质，
求得过 的平面截球 所得截面面积的最小值.
【详解】根据已知条件画出鳖臑 ，并补形成长方体如下图所示.所以出鳖臑
外接球的直径为 ，且 .
过 的平面截球 所得截面面积的最小值的是以 为直径的圆，面积为 .
是6 4 0,1,2,3,4,5
2 2
6 4 15 6 90C C× = × =
7 4 0,1,2,3,4,5,6
2 2
7 5 21 10 210C C× = × =
8 4 0,1,2,3,4,5,6,7
2 2
8 6 28 15 420C C× = × =
9 4 0,1,2,3,4,5,6,7,8
2 2
9 7 36 21 756C C× = × =
210 210 5
6 30 90 210 420 756 1512 36
= =+ + + + +
5
36
A BCD−
AB ⊥ BCD 2 1BD CD AB BD CD⊥ = = =， ， O
A B C D、 、 、 O BD O
3 π
A BCD− AC
BD O
A BCD−
A BCD− AC 2 2 2 3AC AB BD CD= + + =
BD O BD
2
2
BDπ π × = 故答案为：(1). (2).
【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，考查球的截面的性质，考查中国古代数学
文化，考查空间想象能力，属于基础题.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17~21 题为
必考题，每个试题考生都必须作答，第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分
17.如图，四棱锥 中，底面 为直角梯形， ∥
， 为等边三角形，平面 底面 ， 为 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）点 在线段 上，且 ，求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
3 π
P ABCD− ABCD 45AB AD ADC AD⊥ ∠ = °， ，
2 2BC AD AB= =， ADP△ PAD ⊥ ABCD E AD
PBC ⊥ PCE
F CD 3
2
CF
FD
= PAD PBF
4 183
61【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质证得 ，根据面面垂直的性质定理，证得 底面
，由此证得 ，结合 证得 平面 ，由此证得：平面
平面 .
（2）建立空间直角坐标系，利用平面 和平面 的法向量，计算出平面 与平面
所成的锐二面角的余弦值.
【详解】（1）证明：∵ 为等边三角形， 为 的中点，∴
∵平面 底面 ，平面 底面 ，
∴ 底面 平面 ，∴
又由题意可知 为正方形，
又 ，∴ 平面
平面 ，∴平面 平面
（2）如图建立空间直角坐标系，则 ， ，
，由已知 ，得 ，
设平面 法向量为 ，则
令 ，则 ，
∴
由（1）知平面 的法向量可取为
的
PE AD⊥ PE ⊥
ABCD PE BC⊥ CE BC⊥ BC ⊥ PCE PBC ⊥
PCE
PBF PAD PAD
PBF
PAD△ E AD PE AD⊥
PAD ⊥ ABCD PAD ABCD AD=
PE ⊥ ABCD BC ⊂， ABCD PE BC⊥
ABCE CE BC⊥
PE EC E= BC ⊥ PCE
BC ⊂ PBC PBC ⊥ PCE
( ) ( ) ( ) ( )0, 0, 0 0, 1, 0 1, 1, 0 1, 0, 0E A B C− −， ， ， ( )0,1,0D
(0,0, 3)P 3
5CF CD= 2 3, ,05 5F
2 3(1, 1, 3), , , 35 5PB PF = − − = −
PBF ( ), ,n x y z=
3 0
2 3 3 05 5
n PB x y z
n PF x y z
⋅ = − − = ⋅ = + − =
3z = 24 9,5 5x y= =
24 9, , 35 5n =
PAD ( )1,0,0m =∴
∴平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 .
【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查二面角的求法，考查空间想
象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
18.已知数列 和 满足： .
（1）求证:数列 为等比数列；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题目所给递推关系式得到 ，由此证得数列 为等比数列.
（2）由（1）求得数列 的通项公式，判断出 ，由此利用裂项求和法求得
数列 的前 项和 .
【详解】（1）
所以数列 是以 3 为首项，以 3 为公比的等比数列.
（2）由（1）知，
∴ 为常数列，且 ，
∴ ，
∴
2 2
2
24
4 1835| cos , | 6124 9 ( 3)5 5
m n< > = =
+ +
PAD PBF 4 183
61
{ }na { }nb 1 1 1 1 1 12, 1, 2 , 2 , *, 2n n n n n na b a a b b b a n N n− − − −= = − = − = − ∈ ≥
{ }n na b−
1
3n
n na a +
n nS
1
1 2
2 3 1nnS += − +
1 1
3n n
n n
a b
a b− −
− =− { }n na b−
{ }n na b− 1n na b+ =
1
3n
n na a +
n nS
( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 12 2 3n n n n n n n na b a b b a a b− − − − − −− = − − − = −
1 1
*, 2, 3n n
n n
a bn N n a b− −
−∈ ≥ =−
{ }n na b−
( ) ( )1 1 1 1 1 13 , 2 2n
n n n n n n n n n na b a b a b b a a b− − − − − −− = + = − + − = +
{ }n na b+ 1 1 1n na b a b+ = + =
2 13n
na = +
( )( ) 11
1
3 4 3 1 12 3 1 3 13 1 3 1
n n
n nn n
n na a ++
+
⋅ = = − + ++ + ∴
【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，考查裂项求和法，属于中档题.
19.为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典用经典”，
某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目.工作人员在前期的数据采集中，在某高中学校随
机抽取了 120 名学生做调查，统计结果显示：样本中男女比例为 3:2，而男生中喜欢阅读中国
古典文学和不喜欢的比例是 7:5，女生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是 5:3.
（1）填写下面列联表，并根据联表判断是否有 的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别
有关系？
男生 女生 总计
喜欢阅读中国古典文学
不喜欢阅读中国古典文学
总计
（2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的学生进行中国古典文学阅读交
流.实验人员已经从所调查的 120 人中筛选出 4 名男生和 3 名女生共 7 人作为代表，这 7 个代
表中有 2 名男生代表和 2 名女生代表喜欢中国古典文学.现从这 7 名代表中任选 3 名男生代表
和 2 名女生代表参加座谈会，记 为参加会议的人中喜欢古典文学的人数，求 5 的分布列及数
学期望
附表及公式： .
1
1 1 1 1 1 12 4 10 10 28 3 1 3 1n n nS +
= − + − + + − + +
1 1
1 1 1 22 4 3 1 2 3 1n n+ +
= − = − + +
95%
ξ
( )E ξ
2
2 ( ) ,( )( )( )( )
n ad bcK n a b c da b c d a c b d
−= = + + ++ + + +
( )2
0P K k≥ 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）见解析，没有（2）见解析，
【解析】
【分析】
（1）根据题目所给数据填写 列联表，计算出 的值，由此判断出没有 的把握认为
喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.
（2）先判断出 的所有可能取值，然后根据古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得数
学期望.
【详解】（1）
男生 女生 总计
喜欢阅读中国古典文学 42 30 72
不喜欢阅读中国古典文学 30 18 48
总计 72 48 120
所以，没有 的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.
（2）设参加座谈会的男生中喜欢中国古典文学的人数为 ，女生中喜欢古典文学的人数为
，则 .且
；
；
.
所以 的分布列为
17
6
2 2× 2K 95%
ξ
2
2 120(42 18 30 30) 0.208 3.84172 48 72 48K
× − ×= = ， : 2 0l x y− − = M
| | 3 2FM = P C P C PA PB，
A B，
C
AB PAB△
2 4x y=
F l c
, ,A B P ,PA PB AB
F PAB
| 0 2 | 3 2
22
cd
− −= = 1c =
C 2 4x y=
( ) ( )1 1 2 2, , , , ( , 1)A x y B x y P t − 2 4x y=
21
4y x= 1
2y x′ =
C A PA ( )1
1 12
xy y x x− = −
21
1 1
1
2 2
xy x y x= + −∵ ，∴ ∵点 在切线 上，
①，同理， ②
综合①、②得，点 的坐标都满足方程 .
即直线 恒过抛物线焦点
当 时，此时 ，可知：
当 ，此时直线 直线的斜率为 ，得
于是 ，而
把直线 代入 中消去 得
，即：
当 时， 最小，且最小值为 4
【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查抛物线方程的求法，考查抛物线的切线
方程的求法，考查直线过定点问题，考查抛物线中三角形面积的最值的求法，考查运算求解
能力，属于难题.
21.已知函数 .
（1）设 ，求函数 的单调区间，并证明函数 有唯一零点.
（2）若函数 在区间 上不单调，证明： .
【答案】（1） 为增区间； 为减区间.见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）先求得 的定义域，然后利用导数求得 的单调区间，结合零点存在性定理判断
出 有唯一零点.
（2）求得 的导函数 ，结合 在区间 上不单调，证得 ，
通过证明 ，证得 成立.
2
1 1
1
4y x= 1
12
xy x y= − ( , 1)P t − PA
1
11 2
x t y− = − 2
21 2
x t y− = −
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2
x t y− = −
: 12
tAB y x= + ( )0,1F
0t = ( )0, 1P − PF AB⊥
0t ≠ PF 2
PFk t
= − PF AB⊥
1 | | | |2PABS PF AB= ⋅△
2 2 2| | ( 0) ( 1 1) 4PF t t= − + − − +
12
ty x= + 2 4x y= x ( )2 22 1 0y t y− + + =
2
1 2 2 4AB y y t= + + = + ( ) ( )3
2 2 2 21 14 4 42 2S t t t= + + = +
0t = PABS
( ) lnf x x=
2
( )( ) f xg x x
= ( )g x ( )g x
( ) ( 1)xh x e af x= − − ( )1,1 ae−+ 1 1
1 aa a
+ >+
( )0,x e∈ ( ),x e∈ +∞
( )g x ( )g x
( )g x
( )h x ( )'h x ( )h x ( )1,1 ae−+ 1 lnae a a−+ − >
1 1 1 ln1
ae aa a
−+ > + −+
1 1
1 aa a
+ >+【详解】（1）∵函数 的定义域为 ，由 ，解得 为增
区间；
由 解得 为减区间.
下面证明函数只有一个零点：
∵ ，所以函数在区间 内有零点，
∵ ，函数在区间 上没有零点，
故函数只有一个零点.
（2）证明：函数 ，则
当 时， ，不符合题意；
当 时，令 ，
则 ，所以 在 上单调增函数，而 ，
又∵ 区间 上不单调，所以存在 ，使得 在 上有一个
零点 ，即 ，所以 ，
且 ，即
两边取自然对数，得 即 ，
要证 ，即证 ，
先证明： ，令 ，则
∴ 在 上单调递增，即 ，∴ ①
在①中令 ，∴
令 ∴ ，即
即 ，∴ .
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间和零点，考查利用导数证明不等式，
考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
( )g x (0, )+∞
3
1 2ln( ) 0xg x x
−′ = > ( )0,x e∈
3
1 2ln( ) 0xg x x
−′ = < ( ),x e∈ +∞
21 10, ( ) 02g e g ee e
= − < = >
( )0, e
, ( ) 0x g x→ +∞ → ( , )e +∞
( ) ( 1) ln( 1)x xh x e af x e a x= − − = − −
( 1)( ) , 11 1
x
x a x e ah x e xx x
− −′ = − = >− −
0a ≤ ( ) 0h x′ >
0a > ( ) ( 1) , 1xm x e x a x= − − >
( ) 0xm x xe′ = > ( )m x (1, )+∞ ( )1 0m <
( )h x ( )1,1 ae−+ ( )0 1,1 ax e−∈ + ( )h x′ ( )1,1 ae−+
0x ( )0 0h x′ = ( )0 0m x =
( ) ( )1 1
01 0a e e am e e e a e a m x
α αα− −− + − + −+ = ⋅ − = − > = 1 a ee a
α−− + >
1 lnaa e a−− + > 1 lnae a a−+ − >
1 1
1 aa a
+ >+
1 1 1 ln1
ae aa a
−+ > + −+
1( 0)xe x x> + > ( ) 1xn x e x= − − ( ) 1 0xn x e′ = − >
( )n x (0, )+∞ ( ) ( )0 0n x n> = ( )1 0xe x x> + >
x a= 1 1 11 1 1
a a
ae a ee a a
−> + ⇒ < ⇒ + 1 1 1ln 1 1 ln aa a a
> + ⇒ > −
1 1 1 ln1
ae aa a
−+ > + −+
1 1
1 aa a
+ >+（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则
按所做的第一题计分.做答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
选修 4-4：坐标系与参数方程
22.在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极
点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）若 ，求曲线 与 的交点坐标；
（2）过曲线 上任意一点 作与 夹角为 45°的直线，交 于点 ，且 的最大值为 ，
求 的值.
【答案】（1） ， ；（2） 或
【解析】
【分析】
（1）将曲线 的极坐标方程和直线 的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，即可求得曲
线 与 的交点坐标；
（2）由直线 的普通方程为 ，故 上任意一点 ，根据点
到直线距离公式求得 到直线 的距离，根据三角函数的有界性，即可求得答案.
【详解】（1） ，
.
由 ，得 ，
曲线 的直角坐标方程为 .
当 时，直线 的普通方程为
由 解得 或 .
从而 与 的交点坐标为 ， .
xOy l
2x a t
y t
= +
= − t
x C 2
2
12
3 sin
ρ θ= +
2a = − C l
C P l l A PA 10
a
( )2,0− 31, 2
1a = 1a = −
C l
C l
l 2 0x y a+ − = C (2cos , 3sin )P α α
P l
2
2
12
3 sin
ρ θ= +
∴ 2 2 23 sin 12ρ ρ θ+ =
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
2 23 4 12x y+ =
C
2 2
14 3
x y+ =
2a = − l 2 2 0x y+ + =
2 2
2 2 0
14 3
x y
x y
+ + = + =
2
0
x
y
= −
=
1
3
2
x
y
= = −
C l ( )2,0− 31, 2
（2）由题意知直线 的普通方程为 ，
的参数方程为 （ 为参数）
故 上任意一点 到 的距离为
则 .
当 时， 的最大值为 所以 ；
当 时， 的最大值为 ，所以 .
综上所述， 或
【点睛】解题关键是掌握极坐标和参数方程化为直角坐标方程的方法，和点到直线距离公式，
考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
选修 4-5：不等式选讲
23.已知函数 .
（1）解不等式 ；
（2）记函数 的最大值为 ，若 ，证明： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）将函数整理为分段函数形式可得 ,进而分类讨论求解不等式
即可；
l 2 0x y a+ − =
C
2cos
3sin
x
y
α
α
= =
α
C (2cos , 3sin )P α α l
4sin 6| 2cos 2 3sin |
5 5
aad
παα α
+ − + − = =
2 4sin 6| | 2sin 45 5
adPA d
πα
°
+ − = = =
0a ≥ | |PA 2 | 4 | 10
5
a− − = 1a =
0a < | |PA 2 | 4 | 10
5
a− = 1a = −
1a = 1a = −
( ) 1 2f x x x= + − −
( ) 1f x ≤
( )f x s ( ), , 0a b c s a b c+ + = > 2 2 2 2 2 2 3a b b c c a abc+ + ≥
( ],1−∞
3, 1
( ) 2 1, 1 2
3, 2
x
f x x x
x
− ≤ −
= − − <
微信/支付宝扫码支付