内蒙古赤峰市2020届高三文科数学下学期模拟试题（Word解析版）

赤峰市高三 4·16 模拟考试试题 文科数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名，淮考证号码填写淸楚，将条形码粘贴在条形码区 域内. 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色字迹的签字笔 书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无 效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 化简集合 ， ，根据交集定义，即可求得 ； 【详解】 故 故选：C. 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，解题关键是掌握交集定义和一元二次不等式的解 法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. { } { }2 2 0 , 1A x x x B x y x= − − < = = − A B = ( ],2−∞ ( ],1−∞ ( ]1,1− [ ]1,2− A B A B  { }2 2 0 ,A x x x= − − < ∴ { } ( )( ){ } ( )2 2 0 = 2 1 0 1,2A x x x x x x= − − < − + < = −  { }1B x y x= = − { } ( ]1 = ,1B x y x∴ = = − −∞ ( ) ( ] ( ]1,2 ,, 11 1A B = − − = −∞ 2.设复数 在复平面上 对应点为 ， 为 的共轭复数，则（ ） A. 是纯虚数 B. 是实数 C. 是纯虚数 D. 是纯虚 数 【答案】D 【解析】 【分析】 由复数 在复平面上的对应点为 ，可得 ，根据 为 的共轭复数，可得 ，逐项验证，即可求得答案. 【详解】 复数 在复平面上的对应点为 根据 为 的共轭复数 对于 A， ， 是实数，故 A 错误； 对于 B， ， 是纯虚数，故 B 错误； 对于 C， ， 是实数，故 C 错误； 对于 D， ， 是纯虚数，故 D 正确. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了复数共轭的定义和复数四则运算法则，考查了分析能力和计算能力， 属于基础题. 3.“ ”是“ ”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 的z ( )1, 1− z z z z+ z z− z z⋅ z z z ( )1, 1− 1z i= − z z 1z i= +  z ( )1, 1− ∴ 1z i= − z z ∴ 1z i= + 1 1 2iz z i− += + =+ z z+ 1 1 2z z i i i− − − − = −= z z− ( )( )1 1 2z z i i⋅ = + − = z z⋅ ( ) ( )( ) 211 1 1 1 i ii i i z i z − −=− + + = −= z z 0x y> > ( ) ( )lg 1 lg 1x y+ > +根本充分条件和必要条件定义，结合对数单调性，即可求得答案. 【详解】 ， 可得 由 在定义域是单调递增函数 故由“ ”可以推出“ ” “ ”是“ ”充分条件 由 ， 可得 ，解得 故由“ ”不能推出“ ” “ ”是“ ”非必要条件 综上所述，“ ”是“ ” 充分不必要条件 故选：A 【点睛】本题主要考查了判断充分不必要条件，解题关键是掌握充分条件和必要条件的定义， 及其对数的单调性，考查了分析能力和推理能力，属于基础题. 4.随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加.抽样发现赤峰市某家庭 2019 年全年 的收入与 2015 年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构随之也发生了 变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图： 则下列结论中正确的是（ ）  0x y> > 1 1 1x y+ > + > lgy x= ∴ ( ) ( )lg 1 lg 1x y+ > + 0x y> > ( ) ( )lg 1 lg 1x y+ > + ∴ 0x y> > ( ) ( )lg 1 lg 1x y+ > + ( ) ( )lg 1 lg 1x y+ > + 1 1 1 0 1 0 x y x y + > +  + >  + > 1x y> > − ( ) ( )lg 1 lg 1x y+ > + 0x y> > ∴ 0x y> > ( ) ( )lg 1 lg 1x y+ > + 0x y> > ( ) ( )lg 1 lg 1x y+ > +A. 该家庭 2019 年食品的消费额是 2015 年食品的消费额的一半 B. 该家庭 2019 年教育医疗的消费额是 2015 年教育医疗的消费额的 1.5 倍 C. 该家庭 2019 年休闲旅游的消费额是 2015 年休闲旅游的消费额的六倍 D. 该家庭 2019 年生活用品的消费额与 2015 年生活用品的消费额相当 【答案】C 【解析】 【分析】 先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的合情推理逐一检验即可得解. 【详解】由折线图可知：不妨设 2015 年全年的收入为 t，则 2019 年全年的收入为 2t， 对于 A，该家庭 2019 年食品的消费额为 0.2×2t=0.4t，2015 年食品的消费额为 0.4×t=0.4t，故 A 错误， 对于 B，该家庭 2019 年教育医疗的消费额为 0.2×2t=0.4t，2015 年教育医疗的消费额为 0.3×t=0.3t，故 B 错误， 对于 C，该家庭 2019 年休闲旅游的消费额是 0.3×2t=0.6t，2015 年休闲旅游的消费额是 0.1×t=0.1t，故 C 正确， 对于 D，该家庭 2019 年生活用品的消费额是 0.15×2t=0.3t，该家庭 2015 年生活用品的消费额 是 0.15×t=0.15t，故 D 错误， 故选：C. 【点睛】本题解题关键是掌握折线图基础知识，结合所给数据进行简单的合情推理，考查了 分析能力和计算能力，属于基础题. 5.已知 ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由 ，而 ，即可得到 .在比较 和 ，即可 大小关系，进而求得 的大小关系. 【详解】 ， 11 52 32 , 5 , log 2a b c= = = a b c， ， a b c< < c b a< < c a b< < b a c< < 11 522 , 51 1a b =>= > 3log 2 1c = < ,a c b c> > 10a 10b ,a b a b c， ，  11 522 , 51 1a b =>= > 3log 2 1c = >  10 52 =32a = 10 25 ,=25b = ∴ 10 10a b> a b> c b a< < C 2 2 1x ym − = 3 2 0x y+ = m = 4 9 9 4 2 3 3 2 m ( )1 0y x m m = ± > 3 2 0x y+ = 3 2y x= − 1 3 2m = 4 9m = p 2p + ( ), 2p p + 1 2 1 3 1 4 1 5由题意可得不超过 30 的素数有 10 个，满足题意的孪生素数对有 4 个，利用古典概型公式可 得结果. 【详解】不超过 30 的素数有 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共 10 个， 根据素数对 称为孪生素数， 则由不超过 30 的素数组成的孪生素数对为(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)， 这 4 个孪生素数只有孪生素数(3,5)的积为 共有 4 组，孪生素数的积不超过 20 的概率： ， 故选：C. 【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查组合知识的应用，考查分析问题解决问题的能力. 8.设等比数列 的前 项和为 ，若 ，且 ， 成等差数列，则 （ ） A. 510 B. 255 C. 512 D. 256 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，设等比数列 的公比为 ，由 ， 成等差数列，求得 ，进而求得 . 【详解】设等比数列 的公比为 ， ， 成等差数列， 即 ，则 ， 又 ， ，解得 ， . 故选：B. 【点睛】本题主要考查了等差数列的中项公式和等比数列的前 项和公式的应用，其中根据等 差数列和等比数列的基本量的运算，列出方程求解等比数列的公比是解答本题的关键，着重 考查了推理与运算能力. ( ), 2p p + 15 20< 1 4P = { }na n nS 1 1a = 24a 3 42a a， 8S = { }na q 24a 3 42a a， q 8S { }na q  24a 3 42a a， 3 2 44 4a a a= + 2 3 1 1 14 4a q a q a q= +  1 1a = ∴ 2 4 4 0q q− + = 2q = ∴ ( ) ( ) ( )8 8 8 1 8 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2551 2 a q S q − × − × − = = = =− − − n9.将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，下列 结论正确的是（ ） A. 是最小正周期为 的偶函数 B. 是最小正周期为 的奇函数 C. )在 上单调递减 D. 在 上的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】 化简 ，可得 ，由将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，可得 ，结合余弦 函数图象特征，即可求得答案. 【详解】 由将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象 可得 可得其周期为 ,故 A,B 错误 根据其周期为 ，结合余弦图象特征可知， 在 不是单调函数 根据 ，在 在 时， ，故 此时取最大值 ，故 D 正确； 综上所述，只有选项 D 符合题意 2 1sin cos cos 2y x x x= − + 8 π ( )g x ( )g x 2π ( )g x 4π ( )g x ( ),2π π ( )g x 0, 2 π     2 2 2 1sin cos cos 2y x x x= − + 2 sin 22 4y x π = −   2 1sin cos cos 2y x x x= − + 8 π ( )g x ( ) 2 cos22g x x= −  2 1sin cos cos 2y x x x= − + ∴ 1 1 2sin 2 cos2 sin 22 2 2 4y x x x π = − = −   2 1sin cos cos 2y x x x= − + 8 π ( )g x ( ) 2 2sin 2 = sin 22 48 2 4 4g x x x ππ π π    = − − − −         2 2sin 2 cos222 2x x π = − = −   2 2T π π= = π ( )g x ( ),2π π ( ) 2 cos22g x x= − 0, 2x π ∈   2x π= cos2 1x = − ( )g x 2 2故选：D. 【点睛】本题解题关键是掌握三角函数图象平移 方法和余弦函数图象特征，考查了分析能 力和计算能力，属于中档题. 10.已知椭圆 ， 是其左右焦点，若对椭圆 上的任意一点 ，都有 恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 椭圆 ， 是其左右焦点，若对椭圆 上的任意一点 ，画出图象，根 据图象可知当点 移动到 轴顶点时， 角度最大，此时 ， 移动到椭 圆其位置也必有 ，求出 ， ，根据向量数量积坐标公式，即可求得答案. 【详解】 椭圆 ， 是其左右焦点，若对椭圆 上的任意一点 ， 画出图象： 根据图象可知当点 移动到 轴顶点时， 角度最大，此时 ， 移动到 椭圆其位置也必有 根据 ， ， 点 移动到 轴顶点时， 的 2 2 2 2: 19 x yC a a + =+ 1 2F F、 C P 1 2 0PF PF⋅ >  a ( ) ( )3,0 0,3−  [ ) ( ]3,0 0,3−  ( ) ( ), 3 3,−∞ − +∞ ( ] [ ),3 3,−∞ ∪ +∞ 2 2 2 2: 19 x yC a a + =+ 1 2F F、 C P P y 1 2F PF∠ 1 2 0PF PF⋅ >  P 1 2 0PF PF⋅ >  1PF 2PF  2 2 2 2: 19 x yC a a + =+ 1 2F F、 C P P y 1 2F PF∠ 1 2 0PF PF⋅ >  P 1 2 0PF PF⋅ >  2 2 2 2: 19 x yC a a + =+ ∴ ( )1 3,0F − ( )2 3,0F P y ( )0,P a可得： ， 由 ，可得 ，即 解得 其 故选：C. 【点睛】本题解题关键是掌握椭圆的图象特征和向量的数量积坐标公式，数形结合，考查了 分析能力和计算能力，属于中档题. 11.已知三棱锥 中， ，当三棱锥 体积最大值时，三棱 锥 的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 三棱锥 ，以 为底， 到平面 的距离为高，得到三棱锥 在 两两垂直时体积最大，此时三棱锥 的外接球可以看作是以 为棱长的 正方体的外接球，从而求出其半径，得到球的体积. 【详解】三棱锥 ，以 为底， 到平面 的距离为高， 则可知 平面 时， 到平面 的距离最大为 ， 底面 为等腰三角形， ， 当 时， 的面积最大，即 ， 当 两两垂直时，三棱锥 体积最大， 此时三棱锥 的外接球可以看作是以 为棱长的正方体的外接球， 设球的半径为 ， 则 ， 解得 ， ( )1 3,PF a= − − ( )2 3,PF a= 1 2 0PF PF⋅ >  29 0a− > 2 9 ( ) ( )min 1 0f x f= = 2 1 1 1f e e   = +   ( ) 2 3f e e= − x e= ( ) 2 max 3f x e= − a 20, 3e −  ( )f x R ( ) ( )1 1f x f x− = + ( )0,1x∈ ( ) 3f x x= 7 2f   =   1 8 − ( ) ( )1 1f x f x− = + ( )f x ( )f x ( )0,1x∈ ( ) 3f x x= 7 2f       ( ) ( )1 1f x f x− = + ∴ ( ) ( )1 1 2f x f x− − = + ( ) ( )2f x f x− = +  ( )f x R ∴ ( ) ( )2f x f x+ = − — —故 ，即 ② 故 周期为 又 当 时， 故 故答案为： . 【点睛】本题考查函数周期性的应用，重点在于得出函数的周期，难点在于对所求式子的化 简，属中档题. 14.已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为____________. 【答案】 （或写成 ） 【解析】 【分析】 设 与 的夹角为 ，通过 ，可得 ，化简整理可求出 ，从而得 到答案. 【详解】设 与 的夹角为 可得 ， 故 ，将 代入可得 ( ) ( )2 2 2f x f x+ + = − + ( ) ( )4 2f x f x+ = − + — — ( ) ( )4f x f x= + ( )f x 4 7 7 42 2 2 1 1 2f f f f       = − = − = −                ( )0,1x∈ ( ) 3f x x= ∴ 1 1 2 8f   =   17 1 2 2 8f f   = − = −       1 8 − a b 2b a=  ( )b a a− ⊥   a b 3 π 60° a b θ ( )b a a− ⊥   ( ) =0b a a− ⋅   cosθ a b θ  ( )b a a− ⊥   ( ) =0b a a− ⋅   ∴ ( )2 =0a b a⋅ −   2 cos =0a b aθ⋅ ⋅ −   2b a= 得到 ， 于是 与 的夹角为 . 故答案为： . 【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，向量垂直转化为数量积为 0 是解决本题的关键， 意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力. 15.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈， 袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽 3 丈，长 4 丈 5 尺，可装粟一万斛.已知 1 斛粟的体积为 2.7 立方尺，1 丈为 10 尺，则该粮仓的高是 ____________尺.若将这些粟装入一个圆柱形粮仓内，若使这个圆柱形粮仓的表面积（含上下 两底）最小，那么它的底面半径是____________尺. 【答案】 (1). 20 (2). （或写成 ） 【解析】 【分析】 根据长方体的体积公式，即可求得该粮仓的高；设圆柱形底面半径为 ,根据一个长方体等于 圆柱形体积，列出等式，结合均值不等式，即可求得答案. 【详解】设长方体高为 1 斛粟的体积为 2.7 立方尺，即 立方丈 根据长方体体积公式可得： 解得 丈 设圆柱形底面半径为 ，高为 ，表面积为 根据题意可知：一个长方体等于圆柱形体积 可得 故 1cos 2 θ = a b 3 π 3 π 3 30 2π 3 13500 π R h  110000 2.7× 10000 2.7 30 45 h× = × × 20h = R H S 210000 2.7 R Hπ× = 2 10000 2.7H Rπ ×= 2 2 2 100002 2 2.72 2S R R H R R R π π π π π= + ⋅ = + ×当且仅当 即 ，可得 故答案为：20， . 【点睛】本题主要考查了长方体的体积和根据基本不等式求最值，着重考查了学生的空间想 象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题． 16.设数列 的前 项和为 ，且满足 ，则使 ，成立的 的最大值为____________. 【答案】3 【解析】 【分析】 对递推关系 再递推一步，得到新的等式，两个等式相减，结合等比数列的定义进 行求解即可. 【详解】 当 时， ，即 故 ； 当 时， 两式相减得 . 故数列 为首项为 ，公比为 的等比数列， 可得 ， 当 时， ，即 也符合 故数列 的通项公式为： 2 2 331000 27 1000 27 1000 27 1000 27 72 3 02 2 20R RR R R R π π π× × × ×= ≥ × =+ + × × 2 1000 27 100 72 0 2R R R π ×= = × 3 1000 2 27R π= × 3 30 2 R π = 3 30 2π { }na n S 2 1n na S= + 2 2 2 1 1 2 5 23 n na a a ++ + + < ⋅ n 2 1n na S= +  2 1n na S= + ∴ 1n = 1 12 1a S= + 1 1a = 1 1a = 2n ≥ 1 1 2 1, 2 1, n n n n a S a S− − = +  = + 12n na a −= { }na 1 2 2n ≥ 12n na -= 1n = 1 1a = 1n = 12n na -= { }na 12n na -= ∴ ( )212 12 4n n na − −= =故 由 可得 整理可得： 即 可得 故 的最大值为： . 故答案为：3. 【点睛】本题考查了由数列递推公式求数列通项公式，考查了等比数列的定义，考查了数学 运算能力. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17~21 题为 必考题，每个试题考生都必须作答，第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答. 17.如图，四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， 为等边三角形，平面 底面 为 的中点. （1）求证：平面 平面 ； （2）点 在线段 上，且 ，求三棱锥 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）要证平面 平面 ，只需证明 平面 ，结合已知条件，即可求得答 ( )2 2 2 1 2 1 1 4 4 1 1 4 3 n n na a a+ = =−+ − −+ 2 2 2 1 1 2 5 23 n na a a ++ + + < ⋅ 15 23 4 1 3 n n +⋅− < ( )2 2 1 10 2n n− < × ( )2 2 10 2 1 0n n− × − < 10 1040 2 5+ 262 n +< < = n 3 P ABCD- ABCD 45AB AD ADC⊥ ∠ = °， // 2 2AD BC AD AB= =， ADP△ PAD ⊥ ABCD E， AD PBC ⊥ PCE F CD 3 2 CF FD = F ABP− 4 3 15 PBC ⊥ PCE BC ⊥ PCE案； （2）过 作 ，垂足为 ， ，结合所给数据，即可 求得答案. 【详解】（1） 为等边三角形， 为 的中点， 平面 底面 ，平面 底面 底面 ， 平面 ， 由又 题意可知 为正方形， ，又 ， 平面 平面 ， 平面 平面 （2）过 作 ，垂足为 【点睛】本题主要考查了求证面面垂直和椎体体积，解题关键是掌握将面面垂直转化为线面 垂直方法和椎体体积公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 18.在 中，内角 所对的边分别是 ，且 . （1）求角 ； （2）若 ，求 的面积的最大值. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）因为 ，根据正弦定理“边化角”，结合正弦两角和公式，即可求 F FG AB⊥ G 4 1 3F ABP P ABF BFV V S PE− −= = ⋅△  PAD△ E AD ∴ PE AD⊥  PAD ⊥ ABCD PAD  ABCD AD= ∴ PE ⊥ ABCD BC ⊂ ABCD ∴ PE BC⊥  ABCE ∴ CE BC⊥ PE EC E= ∴ BC ⊥ PCE BC ⊂ PBC ∴ PBC ⊥ PCE F FG AB⊥ G 4 1 3F ABP P ABF BFV V S PE− −= = ⋅△ 1 1 1 1 8 4 31 33 2 3 2 5 15AB FG PE= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ABC , ,A B C , ,a b c cos 3 sinb c a B a B+ = + A 2 3a = ABC 3 π 3 3 cos 3 sinb c a B a B+ = +得角 ； （2）根据余弦定理求得 关系式，结合均值不等式和三角形面积公式，即可求得 的 面积的最大值. 【详解】（1）由题设及正弦定理得 化简得 ， ， 可得： （2）由已知 （1），根据余弦定理得 ， 即 ， ， （当且仅当 时取号） （当且仅当 时取号） 【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理解三角形问题，解题关键是掌握正弦定理和余 弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 19.3 月 3 日，武汉大学人民医院的团队在预印本平台 上发布了一项研究：在新冠肺炎病 例的统计数据中，男性患者往往比女性患者多.研究者分析了 1 月 1 日~29 日的 6013 份病例数 据，发现 的患者为男性；进入重症监护病房的患者中，则有 为男性.随后，他们 分析了武汉大学人民医院的数据.他们按照症状程度的不同进行分析，结果发现，男性患者有 A ,b c ABC sin sin sin cos 3sin sinB C A B A B+ = +  A B C π+ + = ∴ sin sin( )C A B= + sin sin( ) sin cos 3sin sinB A B A B A B+ + = + sin ( 3sin cos 1) 0B A A− − =  sin 0B > ∴ 3sin cos 1A A− = 1sin 6 2A π − =    0 A x< < ∴ 3A π= 2 3a = 2 2 12cos 2 b cA bc + −= 2 21 12 2 2 b c bc + −= ∴ 2 2 12bc b c= + −  2 2 2b c bc+ ≥ 12bc ≤ b c= ∴ 1 1 3 1 3sin 12 3 32 2 2 2 2ABCS bc A bc= = ⋅ ≤ ⋅ ⋅ =△ b c= SSRN 55.9% 58.8%为危重，而女性患者危重情况的为 .也就是说男性的发病情况似乎普遍更严重.研究 者总结道：“男性在新冠肺炎的传播中扮演着重要的角色.”那么，病毒真的偏爱男性吗？有一 个中学生学习小组，在自己封闭的社区进行无接触抽样问卷调查，收集到男、女患者各 50 个 数据，统计如下： 轻—中度感染 重度（包括危重） 总计 男性患者 女性患者 总计 （1）求 列联表中的数据 的值； （2）能否有 把握认为，新冠肺炎的感染程度和性别有关？ （3）该学生实验小组打算从“轻—中度感染”的患者中按男女比例再抽取 5 人，追踪某种中药 制剂的效果.然后从这 5 人中随机抽取 3 人进行每日的健康记录，求至少抽到 2 名女性患者的 概率. 附表及公式： . 【答案】（1） ， ， ， ；（2）没有；（3） 【解析】 【分析】 （1）根据 列联表所给数据，联立方程组，即可求得答案； （2）根所给数据得到列联表，利用公式求得 ，与临界值比较，即可求得答案； （3）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，求得所求概率. 11.8% 7% 20 m x 30 n y 50 50 100 2 2× m n x y, , , 99.9% 2 2 ( ) ,( )( )( )( ) n ad bcK n a b c da b c d a c b d −= = + + ++ + + + ( )2 0P K k≥ 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 30m = 20n = 50x = 50y = 7 10 2 2× 2K【详解】（1）求 列联表可得 解得： ， ， ， . （2）根据所给数据 由 没有 99.9%把握认为新冠肺炎的感染程度和性别有关 （3）由于在“轻-中度感染”的患者中，按男女比例为 2:3， 设抽取的 5 人中 3 名女性患者用 a，b，c 表示，2 名男性患者用 D，E 表示， 则所有组合为： (D,E,a)(D,E,b),(D,E,c),(D,a,b), (D,a,c),(D,b,c),(E,a,b),(E,a,c), (E,b,c),(a，b，c)， 可能的情况共有 10 种．其中至少抽到 2 名女性患者的情况有 7 种， 设至少抽到 2 名女性患者的事件为 ，则 【点睛】本题主要考查 列联表独立性检验，考查古典概型概率计算，考查运算求解能力， 属于基础题. 20.已知曲线 上的任意一点 到点 的距离比到直线 的距离少 1，动点 在 直线 上，过点 作曲线 的两条切线 ，其中 为切点. （1）求曲线 的方程； （2）判断直线 是否能恒过定点？若能，求定点坐标；若不能，说明理由. 【答案】（1） ；（2）能， 【解析】 【分析】 2 2× ∴ 20 30 50 100 m x n y m n x y + =  + = + =  + = 30m = 20n = 50x = 50y = 2 2 ( ) ,( )( )( )( ) n ad bcK n a b c da b c d a c b d −= = + + ++ + + + ∴ 2 2 100(20 20 30 30) 4 10.82850 50 50 50K × − ×= = ( )f x 0a < ( )f x 1 ,14      ( )f x 1 2 a= − min 1 7 2ln 2, 44 32 1 1( ) 1 ln , 4 12 1 , 1 02 a a f x aa a a a  − + ≤ −    = − + − − < < −     − − ≤ >， ( )f x′ ( )f x ( 1)( 1)( ) ( 0)ax xf x xx + −′ = > 1 0a≤ < 1 0a≤ < 4 1a− < < − min( )f x ( )f x (0, )+∞ 1 ( 1)( 1)( ) (1 ) x axf x ax a x x − +′ = + − − =  0 0a x> >， ∴ 2 1 0ax x + >  ( ) 0f x′ < ∴ 0 1x< < ( )f x ( )0,1 ( ) 0f x′ > 1x∴ > ( )f x (1, )+∞ ∴ ( )f x ( )1 1 2 af= = − ( 1)( 1)( ) ( 0)ax xf x xx + −′ = >，由 ， 可得 . 当 ，即 时， 在 成立， 在此区间 上为减函数， . 当 ，即 时， ， ； ， 在 为减函数，在 为增函数 当 ，即 时， ， 在 为增函数， 综上所述， 【点睛】本题主要考查了含参函数的极值问题和根据导数求最值问题，解题关键是掌握导数 求单调性的方法和极值的定义，考查了分析能力和计算能力，属于难题. 22.在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极  0a < ( ) 0f x′ = 1 2 1 , 1x xa = − = 1 1a − ≥ 1 0a≤ < ( ) 0f x′ ≤ 1 ,14x  ∈   ( )f x 1 ,14      ∴ min( ) (1) 1 2 af x f= = − 1 1 14 a < − < 4 1a− < < − 1 1,4x a  ∈ −   ( ) 0f x′ < 1 ,1x a  ∈ −   ( ) 0f x′ > ∴ ( )f x 1 ,4 1 a  −   1 ,1a  −   ∴ min 1 1 1( ) 1 ln2f x f a a a    = − = − + −       1 10 4a < − ≤ 4a ≤ −  1 ,1 , ( ) 04x f x  ′∈ ≥   ∴ ( )f x 1 ,14x  ∈   ∴ min 1 1 7( ) 2ln 24 4 32f x f a = = − +   min 1 7 2ln 2, 44 32 1 1( ) 1 ln , 4 12 1 , 1 02 a a f x aa a a a  − + ≤ −    = − + − − < < −     − − ≤ 2 2 2 2 2 2 3a b b c c a abc+ + ≥ ( ],1−∞ 3, 1 ( ) 2 1, 1 2 3, 2 x f x x x x − ≤ − = − − <