理科数学试题
一、选择题
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
求解二次不等式可得： ，
求解对数不等式可得： ，
结合交集的定义有： .
本题选择 A 选项.
2.复数 的共轭复数记作 ，已知复数 对应复平面上的点 ，复数 :满足
.则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数 的几何意义得出复数 ，进而得出 ，由 得出 可计算出 ，
由此可计算出 .
【详解】由于复数 对应复平面上的点 ， ，则 ，
， ，因此， .
故选：A.
【点睛】本题考查复数模的计算，考查了复数的坐标表示、共轭复数以及复数的除法，考查
计算能力，属于基础题.
{ }2| 16 0A x x= − ≤ { }lg 2 0B x x= − A B =
[ ) ( ]4,1 3,4− ∪ [ ) ( ]4, 3 1,4− − ∪ −
( ) ( )4,1 3,4− ( ) ( )4, 3 1,4− − ∪ −
{ }| 4 4A x x= − ≤ ≤
{ }3 1B x x x= 5?i < 4?i > 4?i <
i
1 10 1 1 21 2 2S i= + = = + =× ，
1 1 2 2 1 32 2 3 3S i= + = = + =× ，
2 1 3 3 1 43 3 4 4S i= + = = + =× ，
4i∴ < ？意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结
构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制
循环次数；(5) 要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程
序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．
7.将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位长度后，得到函数 的图象，
则“ ”是“ 是偶函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
求出函数 的解析式，由函数 为偶函数得出 的表达式，然后利用充分条
件和必要条件的定义判断即可.
【详解】将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位长度，得到的图象对应函数
的解析式为 ，
若函数 为偶函数，则 ，解得 ，
当 时， .
因此，“ ”是“ 是偶函数”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以
及利用三角函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.
8.已知 是偶函数， 在 上单调递减， ，则 的
解集是
A. B.
C. D.
( )sin 3y x ϕ= + x
9
π ( )f x
6
π=ϕ ( )f x
( )y f x= ( )y f x= ϕ
( )sin 3y x ϕ= + x
9
π
( ) sin 3 sin 39 3f x x x
π πϕ ϕ = + + = + +
( )y f x= ( )
3 2k k Z
π πϕ π+ = + ∈ ( )
6k k Z
πϕ π= + ∈
0k =
6
π=ϕ
6
π=ϕ ( )y f x=
( 2)f x + ( )f x ( ]2−∞， (0) 0f = (2 3 ) 0f x− >
2( ) (2 )3
−∞ + ∞， ，
2( 2)3
，
2 2( )3 3
− ， 2 2( ) ( )3 3
−∞ − + ∞， ，【答案】D
【解析】
【分析】
先由 是偶函数，得到 关于直线 对称；进而得出 单调性，再分别讨论
和 ，即可求出结果.
【详解】因为 是偶函数，所以 关于直线 对称；
因此，由 得 ；
又 在 上单调递减，则 在 上单调递增；
所以，当 即 时，由 得 ，所以 ，
解得 ；
当 即 时，由 得 ，所以 ，
解得 ；
因此， 的解集是 .
【点睛】本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等
性质即可，属于常考题型.
9.函数 的图象大致是( )
A. B.
C. D.
( 2)f x + ( )f x 2x = ( )f x
2 3 2x− ≥ 2 3 2x− <
( 2)f x + ( )f x 2x =
(0) 0f = (4) 0f =
( )f x ( ]2−∞， ( )f x [ )2,+∞
2 3 2x− ≥ 0x ≤ (2 3 ) 0f x− > (2 3 ) (4)f x f− > 2 3 4x− >
2
3x < −
2 3 2x− < 0x > (2 3 ) 0f x− > (2 3 ) (0)f x f− > 2 3 0x− <
2
3x >
(2 3 ) 0f x− > 2 2( ) ( )3 3
−∞ − + ∞， ，
1( ) ln 1f x x x
= − −【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函
数单调性,对应函数图像得到答案.
【 详 解 】 设 ， ， 则 的 定 义 域 为
. ，当 ， ， 单增，当 ，
， 单减，则 .则 在 上单增， 上单减，
.选 B.
【点睛】本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值
法等方法进行判断.
10.从 5 名学生中选出 4 名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物
竞赛，则不同的参赛方案种数为
A. 48 B. 72 C. 90 D. 96
【答案】D
【解析】
因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外 3 场比赛或甲学生不参加任何比赛
①当甲参加另外 3 场比赛时，共有 • =72 种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，
共有 =24 种选择方案．综上所述，所有参赛方案有 72+24=96 种
故答案为 96
点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，
属于基础题．
11.已知 、 是双曲线 的左右焦点，过点 与双曲线的一条渐近线
平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 ，若点 在以线段 为直径的圆外，则双曲线
离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
( ) ln 1g x x x= − − (1) 0g = 1( ) ln 1f x x x
= − −
(0,1) (1, )x∈ +∞
1( ) 1g x x
′ = − (1, )x∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x (0,1)x∈
( ) 0g x′ < ( )g x ( ) (1) 0g x g≥ = ( )f x (0,1)x∈ (1, )x∈ +∞
( ) 0f x >
1
3C 3
4A
4
4A
1F 2F
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 2F
M M 1 2F F
(2, )+∞ ( 3,2) ( 2, 3) (1, 2)【答案】A
【解析】
双曲线 ﹣ =1 的渐近线方程为 y= x，
不妨设过点 F2 与双曲线 一条渐过线平行的直线方程为 y= （x﹣c），
与 y=﹣ x 联立，可得交点 M（ ，﹣ ），
∵点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外，
∴|OM|＞|OF2|，即有 + ＞c2，
∴ ＞3，即 b2＞3a2，
∴c2﹣a2＞3a2，即 c＞2a．
则 e= ＞2．
∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．
故选 A．
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a，b，c 的方
程或不等式，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式，建立关于 a，b，c 的方程或
不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
12.已知函数 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线 的对
称点在 的图像上，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
可将问题转化，求直线 关于直线 的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，
的
2
2
x
a
2
2
y
b
b
a
±
b
a
b
a 2
c
2
bc
a
2
4
c 2 2
24
b c
a
2
2
b
a
c
a
( ) 2
ln 2 , 0
3 , 02
x x x x
f x
x x x
− >= + ≤
1y = −
1y kx= − k
1 ,12
1 3,2 4
1 ,13
1 ,22
1y kx= − 1y = −结合函数图像，分析临界点，进一步确定 的取值范围即可
【详解】可求得直线 关于直线 的对称直线为 ，
当 时， ， ，当 时， ，则当
时， ， 单减，当 时， ， 单增；
当 时， ， ，当 ， ,当 时，
单减，当 时， 单增；
根据题意画出函数大致图像，如图：
当 与 （ ）相切时，得 ，解得 ；
当 与 （ ）相切时，满足 ，
解得 ，结合图像可知 ，即 ，
故选：A
【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题
的关键，属于中档题
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
13.在 的二项展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项
等于_____.
【答案】112
k
1y kx= − 1y = − 1y mx= − ( )m k= −
0x > ( ) ln 2f x x x x= − ( )' ln 1f x x= − x e= ( )' 0f x = ( )0,x e∈
( )' 0f x < ( )f x ( ),x e∈ +∞ ( )' 0f x > ( )f x
0x ≤ ( ) 2 3
2f x x x= + ( ) 3' 2 2f x x= + 3
4x = − ( )' 0f x = 3
4x < −
( )f x 3 04 x− < < ( )f x
1y mx= − ( ) 2 3
2f x x x= + 0x ≤ 0∆ = 1
2m = −
1y mx= − ( ) ln 2f x x x x= − 0x >
ln 2
1
ln 1
y x x x
y mx
m x
= −
= −
= −
1, 1x m= = − 11, 2m ∈ − −
11, 2k − ∈ − −
1 ,12k ∈
3 2 n
x x
− 【解析】
【分析】
由题意可得 ，再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值．
【详解】 的二项展开式的中，只有第 5 项的二项式系数最大， ，
通项公式为 ，令 ，求得 ，
可得二项展开式常数项等于 ，
故答案为 112．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属
于基础题．
14.设数列 为等差数列，其前 项和为 ，已知 ， ，
若对任意 都有 成立，则 的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知条件得出关于首项和公差的方程组，解出这两个量，计算出 ，利用二次函数的基本
性质求出 的最大值及其对应的 值，即可得解.
【详解】设等差数列 的公差为 ，由 ，解得 ，
.
所以，当 时， 取得最大值，
对任意 都有 成立，则 为数列 的最大值，因此， .
故答案为： .
【点睛】本题考查等差数列前 项和最值的计算，一般利用二次函数的基本性质求解，考查计
算能力，属于中等题.
15.已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线过 且与抛物线交于
8n =
3 2( )nx x
− 8n∴ =
4 8 4
3 3
1 8( 2) ( 2)
n r r
r r r r
r nT C x C x
− −
+ = − = −
8 4 03
r− = 2r =
2
84 112C× =
{ }na n nS 1 4 7 99a a a+ + = 2 5 8 93a a a+ + =
*n N∈ n kS S≤ k
20
nS
nS n
{ }na d 1 4 7 1
2 5 8 1
3 9 99
3 12 93
a a a a d
a a a a d
+ + = + =
+ + = + =
1 39
2
a
d
=
= −
( ) ( ) ( )22
1
1 39 1 40 20 4002n
n n dS na n n n n n n
−∴ = + = − − = − + = − − +
20n = nS
*n N∈ n kS S≤ kS { }nS 20k =
20
n
( )2 2 0y px p= > F 2 2 F A B，两点， 为坐标原点，若 在第一象限，那么 _______________．
【答案】2
【解析】
【分析】
如图所示，先证明 ，再利用抛物线的定义和相似得到 .
【详解】
由题得 , .
因为 .
所以 ,
过点 A、B 分别作准线的垂线，垂足分别为 M，N，过点 B 作 于点 E,
设|BF|=m，|AF|=n，则|BN|=m，|AM|=n，
所以|AE|=n-m，因为 ,
所以|AB|=3(n-m)，
所以 3(n-m)=n+m，
所以
O A AFO
BFO
S
S
=
| |
| |
AFO
BFO
S AF
S BF
=
| | 2| |
AFO
BFO
S AF
S BF
= =
1 | || | sin2AFOS OF AF AFO∆ = ⋅ ∠ 1 | || | sin2BFOS OF BF BFO∆ = ⋅ ∠
, sin sinAFO BFO AFO BFOπ∠ + ∠ = ∴ ∠ = ∠
| |
| |
AFO
BFO
S AF
S BF
=
BE AM⊥
2 2ABk =
2n
m
=所以 .
故答案为：2
【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，意在考查学生对这些
知识的理解掌握水平.
16.在 中， ， 是 的角平分线，设 ，则实数 的取
值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
设 ， ， ，由 ，用面积公式表
示面积可得到 ，利用 ，即得解.
【详解】设 ， ， ，
由 得：
，
化简得 ，
由于 ，
故 .
故答案为：
【点睛】本题考查了解三角形综合，考查了学生转化划归，综合分析，数学运算能力，属于
中档题.
三、解答题：
17.设数列 ，其前 项和 ，又 单调递增的等比数列， ，
| | = 2| |
AFO
BFO
S AF n
S BF m
= =
ABC 2 3AB AC= AD BAC∠ AD mAC= m
60, 5
3AB t= 2AC t= BAD CAD α∠ = ∠ = BAD CAD BACS S S+ =△ △ △
6 cos5m α= 0, 2
πα ∈
3AB t= 2AC t= BAD CAD α∠ = ∠ =
BAD CAD BACS S S+ =△ △ △
1 1 13 2 sin 2 2 sin 3 2 sin 22 2 2t mt t mt t tα α α⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
6 cos5m α=
0, 2
πα ∈
60, 5m ∈
60, 5
{ }na n 23nS n= − { }nb 1 2 3 512b b b = 1 1a b+.
(Ⅰ)求数列 ， 的通项公式；
(Ⅱ)若 ，求数列 的前 n 项和 ，并求证： .
【答案】（1） ， ；（2）详见解析.
【解析】
【 详 解 】 （ 1 ） 当 时 ， ， 当 时 ，
，
当 时，也满足 ，∴ ，∵等比数列 ，∴ ，
∴ ，又∵ ，
∴ 或 （舍去），
∴ ；
（2）由（1）可得： ，
∴
，显然数列 是递增数列，
∴ ，即 .）
18.如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 平面 ， 是棱
上的一点，满足 平面 .
（Ⅰ）证明： ；
3 3a b= +
{ }na { }nb
( )( )2 1
n
n
n n
bc b b
= − − { }nc nT 2 13 nT≤ <
6 3na n= − + 12n
nb +=
1n = 1 3na S= = − 2n ≥
2 2
1 3 [ 3( 1) ] 6 3n n na S S n n n−= − = − − − − = − +
1n = 6 3na n= − + 6 3na n= − + { }nb 2
1 3 2b b b=
3
1 2 3 2 2512 8b b b b b= = ⇒ = 1 1 3 3a b a b+ = +
83 15 8 2q qq
− + = − + ⇒ = 1
2q = −
2 1
2 2n n
nb b q − += =
1
1 1 1 1
2 2 1 1
(2 2)(2 1) (2 1)(2 1) 2 1 2 1
n n
n n n n n n nc
+
+ + + += = = −− − − − − −
1 2 3n nT c c c c= + + + + 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n+= − + − + + −− − − − − −
1
11 12 1n+= −
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