数学（文）试题
一、单项选择题
1.设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合中元素的意义判断即可.
【详解】由题,集合 为点的集合, 为数的集合.故 .
故选：A
【点睛】本题主要考查了集合的元素意义与交集运算,属于基础题.
2.设 是两个平面向量，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由 ，则 是成立的；反之，若 ，而 不一定成立，即可得到答案.
【详解】由题意 是两个平面向量，若 ，则 是成立的；
反之，若 ，则向量 可能是不同的，所以 不一定成立，
所以 是 是成立的充分而不必要条件，故选 A.
【点睛】本题主要考查了向量的概念以及向量模的概念的应用，以及充分条件与必要条件的
判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3.已知复数 ， 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D. 的虚部
为
( ), 2
y xM x y y x
= = = − +
{ }2 3 2 0N x x x= − + ≤ M N =
∅ { }2 { }1 { }1,2
M N M N∩ = ∅
,a b a b= a b=
a b= a b= a b=
a b=
,a b a b= a b=
a b= ,a b a b=
a b= a b=
( )3 1 3i z i+ = − i
z i= z i= − 2 1z = z
i−【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数的除法求出 后可得正确的选项.
【详解】因为 ，则 ， ， ，
的虚部为 ，
故选：B.
【点睛】本题考查复数的除法，计算时分子、分母同乘以分母的共轭复数，本题属于容易题.
4.已知定义在 上的奇函数 ，满足 时， ，则 的
值为（ ）
A. -15 B. -7 C. 3 D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】
根据奇函数定义域关于原点中心对称,可求得 的值.根据奇函数性质,即可求得 的值.
【详解】因为奇函数 定义域关于原点中心对称
则 ,解得
因为奇函数 当 时,
则
故选:A
【点睛】本题考查了奇函数的定义域关于原点对称,奇函数的性质应用,属于基础题.
5.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据
明代杨慎《丹铅总录》记载“两环互相贯为一得其关换，解之为三，又合而为一”.在某种玩
法中，用 表示解下 个圆环所需的移动最少次数， 满足 ，且
，则解下 4 个圆环所需的最少移动次数为（ ）
的
z
( )3 1 3i z i+ = − ( )( )1 3 31 3 10
3 10 10
i ii iz ii
− −− −= = = = −+ 1z = 2 1z = −
z 1−
[ ]5,1 2m m− − ( )f x 0x > ( ) 2 1xf x = − ( )f m
m ( )f m
5 1 2 0m m− + − = 4m = −
( )f x 0x > ( ) 2 1xf x = −
( ) ( ) ( )44 4 2 1 15f f− = − = − − = −
na ( )*9,n n n N≤ ∈ { }na 1 1a =
1
1
2 1,
2 2,
n
n
n
a na a n
−
−
−= +
为偶数
为奇数
A. 7 B. 10 C. 12 D. 18
【答案】A
【解析】
【分析】
利用给定的递推关系可求 的值，从而得到正确的选项.
【详解】因为 ，故 ， ， ，
故选：A.
【点睛】本题以数学文化为背景，考虑数列指定项的计算，注意依据分段的递推关系来计算，
本题属于基础题.
6.若函数 的大致图像如图所示，则 的解析式可以为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
通过奇偶性分析排除 B，D 两个选项，通过极限思想取值选出选项.
【详解】对四个选项解析式分析发现 B，D 两个均为偶函数，图象关于 y 轴对称，与题不符，
故排除；
极限思想分析， ，A 错误；
4a
1 1a = 2 2 1 1 1a = × − = 3 2 1 2 4a = × + = 4 2 4 1 7a = × − =
( )y f x= ( )f x
( )
2 2x x
xf x −= + ( )
2 2x x
xf x −= −
( ) 2 2x x
f x x
−+= ( ) 2 2x x
f x x
−−=
0 ,2 2 2, 02 2
x x
x x
xx + −
−→ + → →+，C 符合题意.
故选：C
【点睛】此题考查函数图象与解析式的关系，是对函数基本性质的综合应用，解题中需要注
意观察函数定义域，单调性，奇偶性，周期性，特殊值等性质，对图像进行辨析，考查综合
能力.
7.已知 两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于
，当 时，函数 取得最小值，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于 ,可求得周期与 ,再代入 分析 的
值即可.
【详解】因为两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于 可得周期为 ,故 .
故 ,又当 时,函数 取得最小值,
故 ,又 ,故 .
故选：A
【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像的性质求解参数的问题,需要根据题意分析所给的
条件与周期等的关系列式求解,属于基础题.
8.图 1 是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1 号到 16 号的同学的成绩依次为 ，
，图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框
图输出的结果是（ ）
2 20 ,2 2 2,
x x
x xx x
−
+ − +→ + → → +∞
( ) ( )cos 0, ,2f x x x R
πω ϕ ω ϕ = + > < ∈
2
π 2
3x
π= ( )f x ϕ
3
π−
3
π
6
π
6
π−
2
π ω 2
3x
π= ϕ
2
π π 2 2
π π ωω = ⇒ =
( ) ( )cos 2f x x ϕ= + 2
3x
π= ( )f x
( )22 2 2 ,3 3k k k Z
π πϕ π π ϕ π× + = + ⇒ = − ∈
2
πϕ <
3
πϕ = −
1A
2 16, ,A A…
A. 10 B. 6 C. 7 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】
先弄清楚程序框图中是统计成绩不低于 分的学生人数，然后从茎叶图中将不低于 分的个
数数出来，即为输出的结果．
【详解】 ， ， 成立， 不成立， ；
， ， 成立， 不成立， ；
， ， 成立， 成立， ， ；
依此类推，上述程序框图是统计成绩不低于 分的学生人数，从茎叶图中可知，不低于 分
的学生数为 ，故选 A．
【点睛】本题考查茎叶图与程序框图的综合应用，理解程序框图的意义，是解本题的关键，
考查理解能力，属于中等题．
9.已知正方形 的边长为 ，以 为圆心的圆与直线 相切.若点 是圆 上的动点，
则 的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
90 90
1 76A = 1i = 16i ≤ 1 90A ≥ 1 1 2i = + =
2 79A = 2i = 16i ≤ 2 90A ≥ 1 1 2i = + =
7 92A = 7i = 16i ≤ 7 90A ≥ 0 1 1n = + = 7 1 8i = + =
90 90
10
ABCD 2 B AC P B
DB AP⋅
2 2 4 2 4 8建立平面直角坐标系，圆 的方程为： , ，利用正弦
型函数的性质得到最值.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，则 ， ， ，
圆 的方程为： ,∴ ，
∴ ， ，
∴
∴ 时， 的最大值是 8，
故选：D
【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了，考查了正弦型函数的性
质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
10.有一个长方形木块，三个侧面积分别为 8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，则该
正四面体模型棱长的最大值为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求长方体从同一顶点出发的三条棱的长度，从而可得正四面体模型棱长的最大值.
B 2 2 2x y+ = 4 4 4DB AP sin
πθ ⋅ = − +
( )0,0B ( )A 0,2 ( )D 2,2
B 2 2 2x y+ = ( )2 2P cos sinθ θ，
( )2 2DB = − − ， ( )2 2 2AP cos sinθ θ= − ，
2 2 2 2 4 4 4 4DB AP cos sin sin
πθ θ θ ⋅ = − − + = − +
14sin
πθ + = − DB AP⋅
2 2 4 2【详解】设长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为 ，则 ，故 ，
若能从该长方体削得一个棱长最长的正四面体模型，
则该四面体的顶点必在长方体的面内，
过正四面体的顶点作垂直于长方体的棱的垂面切割长方体，
含正四面体的几何体必为正方体， 故正四面体的棱长为正方体的面对角线的长，
而从长方体切割出一个正方体，使得面对角线的长最大，
需以最小棱长 为切割后的正方体的棱长切割才可，
故所求的正四面体模型棱长的最大值 .
故选：B.
【点睛】本题考查正四面体的外接，注意根据外接的要求确定出顶点在长方体的侧面内，从
而得到正四面体的各顶点为某个正方体的顶点，从而得到切割的方法，本题属于中档题.
11.已知在平面直角坐标系 中， 为坐标原点， ， ，若平面内
点 满足 ，则 的最大值为（ ）
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
设 ， ，根据 可得 ，再根据 可得点
的轨迹，它一个圆，从而可求 的最大值.
【详解】设 ， ，故 ， .
由 可得 ，故 ，
因为 ，故 ，
整理得到 ，故点 的轨迹为圆，其圆心为 ，半径为 2，
, ,a b c
8
12
24
ab
ac
bc
=
=
=
2
4
6
a
b
c
=
=
=
2
2 2
xOy O ( )0,2A 2 2 20OB OA+ =
P 3PB PA= PO
( ),P x y ( ),B m n 3PB PA= 2
6 2
m x
n y
= −
= −
2 2 20OB OA+ = P
PO
( ),P x y ( ),B m n ( ),PB m x n y= − − ( ),2PA x y= − −
3PB PA= 3
6 3
m x x
n y y
− = −
− = −
2
6 2
m x
n y
= −
= −
2 2 20OB OA+ = ( )224 4 3 4 20x y+ − + =
( )22 3 4x y+ − = P ( )0,3故 的最大值为 ，
故选：C.
【点睛】本题考查坐标平面中动点的轨迹以及圆中与距离有关的最值问题，一般地，求轨迹
方程，可以动点转移法，也可以用几何法，而圆外定点与圆上动点的连线段长的最值问题，
常转化为定点到圆心的距离与半径的和或差，本题属于中档题.
12.函数 ，若存在实数 ，使得方程 有三个相异
实根，则实数 的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先考虑 时 的单调性，再就 分类讨论求 在 上的最值，
结合存在实数 ，使得方程 有三个相异实根可得实数 的取值范围.
【详解】当 时， ，
当 时， ， 在 为增函数，
当 时， ， 在 为减函数.
又 ，
因为存在实数 ，使得方程 有三个相异实根，
所以当 时， 的最小值小于 ， 的最大值大于或等于 .
但当 ， 时， ，故 ，故 ；
而当 ， 时，任意 ， 总成立，舍去.
故选：D.
【点睛】本题考查分段函数的零点，注意先研究不含参数的函数的单调性，再结合函数的零
PO 3 2 5+ =
( ) 3 22 3 1, 2 0
, 0 2x
x x xf x
ae x
+ + − ≤ ≤= < ≤
m ( )f x m=
a
2
1 ,e
+∞ 2
10, e
( ],2−∞
2
1 ,2e
2 0x− ≤ ≤ ( )f x 0, 0a a> ≤ ( )f x ( ]0,2
m ( )f x m= a
2 0x− ≤ ≤ ( ) ( )26 6 6 1f x x x x x′ = + = +
2 1x− ≤ ≤ − ( ) 0f x′ ≥ ( )f x [ ]2, 1− −
1 0x− < ≤ ( ) 0f x′ ≤ ( )f x [ ]1,0−
( ) ( ) ( )1 2, 2 3, 0 1f f f− = − = − =
m ( )f x m=
( ]0,2x∈ ( )f x 2 ( )f x 1
0a > ( ]0,2x∈ ( ) 2a f x ae< ≤ 2
2
1
a
ae
> ( )1 2,0F − ( )2 2,0F M
C 1MF y P 2MPF∆ 2PF Q
2=PQ C
2
2=
2c
a
= =
217.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
（1）若 ， 的面积为 ，求 ， 的值；
（2）若 ，且角 为钝角，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ， 或 ， （2）
【解析】
分析】
先由正弦定理和三角恒等变换，同角的三角函数基本关系求出 cosA、sinA 的值；
（1）利用余弦定理和三角形的面积公式列出方程组，求出 b、c 的值；
（2）利用正弦定理和余弦定理，结合角 为钝角，求出 k 的取值范围．
【详解】△ABC 中，4acosA＝ccosB+bcosC，
∴4sinAcosA＝sinCcosB+sinBcosC＝sin（C+B）＝sinA，
∴cosA ，
∴sinA ；
（1）a＝4，
∴a2＝b2+c2﹣2bc•cosA＝b2+c2 bc＝16①；
又△ABC 的面积为：
S△ABC bc•sinA bc• ，
∴bc＝8②；
由①②组成方程组，解得 b＝4，c＝2 或 b＝2，c＝4；
（2）当 sinB＝ksinC（k＞0），b＝kc，
∴a2＝b2+c2﹣2bc•cosA＝（kc）2+c2﹣2kc•c• （k2 k+1）c2；
又 C 为钝角，则 a2+b2＜c2，
即（k2 k+1）+k2＜1，解得 0＜k ；
所以 k 的取值范围是 ．
【
ABC∆ A B C a b c 4 cos cos cosa A c B b C= +
4a = ABC∆ 15 b c
( )sin sin 0B k C k= > C k
4b = 2c = 2b = 4c = 10, 4
C
1
4
=
2 151 4cos A= − =
1
2
−
1
2
= 1
2
= 15 154
=
1
4
= 1
2
−
1
2
− 1
4
＜
10, 4
【点睛】主要考查了同角三角函数的基本关系式，三角恒等变换，正弦定理和余弦定理的应
用问题，是综合性题目．
18.中国北京世界园艺博览会于 2019 年 4 月 29 日至 10 月 7 日在北京市延庆区举行．组委会为
方便游客游园，特推出“导引员”服务．“导引员”的日工资方案如下：
方案：由三部分组成
（表一）
底薪 150 元
工作时间 6 元/小时
行走路程 11 元/公里
方案：由两部分组成：（1）根据工作时间 20 元/小时计费；（2）行走路程不超过 4 公里时，
按 10 元/公里计费；超过 4 公里时，超出部分按 15 元/公里计费．已知“导引员”每天上班 8
小时，由于各种因素，“导引员”每天行走的路程是一个随机变量．试运行期间，组委会对
某天 100 名“导引员”的行走路程述行了统计，为了计算方便对日行走路程进行取整处理．例
如行走 1.8 公里按 1 公里计算，行走 5.7 公里按 5 公里计算．如表所示：
（表二）
行走路程
（公里）
人数 5 10 15 45 25
（Ⅰ）分别写出两种方案的日工资 （单位：元）与日行走路程 （单位：公里） 的
函数关系
（Ⅱ）①现按照分层抽样的方工式从 ， 共抽取 5 人组成爱心服务队，再从这 5 人
中抽取 3 人当小红帽，求小红帽中恰有 1 人来自 的概率；
②“导引员”小张因为身体原因每天只能行走 12 公里，如果仅从日工资的角度考虑，请你帮
小张选择使用哪种方案会使他的日工资更高？
A
B
( ]0,4 ( ]4,8 ( ]8,12 ( ]12,16 ( ]16,20
y x ( )x∈N
( ]4,8 ( ]8,12
( ]4,8【答案】（Ⅰ） 方案： ， ， 方案： ；
（Ⅱ）① ，②建议选 方案.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据题设条件可得两种方案的日工资 与日行走路程 的函数关系.
（Ⅱ）①用列举法可得基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，从而可得所求的概率.
② 利用（Ⅰ）的函数可得小张的日工资，根据所得工资额的大小关系选择 方案.
【详解】（Ⅰ） 方案： ， ，
方案： ，即 .
（Ⅱ）（ⅰ）因为 ，依题意从 中抽取 2 人，分别设为 ， ，
从 中抽取 3 人，分别设为 ， ， .
设“小红帽中恰有一人来自 ”为事件 ，
则基本事件有 、 、 、 、 、 、 、
、 、 共 10 种.
中的基本事件有 、 、 、 、 、 共 6 种，
所以 .
（ⅱ）“ 方案”： ，
方案： .
所以建议选 方案.
【点睛】本题考查一次函数及分段函数在实际问题中应用，也考查了古典概型概率的计算，
注意利用枚举法、树形图法或借助排列组合的方法来计数，本题属于中档题.
19.如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 底面 ， ，
为线段 的中点．
A 198 11y x= + *x∈N B
160 10 ,0 4,
140 15 , 4,
x x x Ny x x x N
+ < ≤ ∈= + > ∈
3
5 A
y x
A
A 150 6 8 11 198 11y x x= + × + = + x∈N
B ( )
20 8 10
20 8 10 4 15 4
xy x
× += × + × + −
160 10 ,0 4,
140 15 , 4,
x x x Ny x x x N
+ < ≤ ∈= + > ∈
10:15 2:3= ( ]4,8 A B
( ]8,12 a b c
( ]4,8 M
{ }, ,A B a { }, ,A B b { }, ,A B c { }, ,A a b { }, ,A a c { }, ,A b c { }, ,B a b
{ }, ,B a c { }, ,B b c { }, ,a b c
M { }, ,A a b { }, ,A b c { }, ,B a b { }, ,B a c { }, ,B b c { }, ,a b c
( ) 6 3
10 5P M = =
A 198 11 12 330y = + × =
B 140 15 12 320 330y = + × = <
A
P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD PA AB=
E PB（1）若 为线段 上的动点，证明：平面 平面 ；
（2）若 为线段 ， ， 上的动点（不含 ， ）， ，三棱锥 的
体积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在， .
【解析】
【分析】
(1)利用 ,可得 平面 ,根据面面 垂直的判定定理 可证平面
平面 ;
(2) 由 底面 ，得平面 平面 ．将问题转化为点 到直线 的距离
有无最大值即可解决.
【详解】（1）证明:因为 ， 为线段 的中点，所以 ,
因为 底面 ， 平面 ，所以 ,
又因为底面 为正方形，所以 ， ,
所以 平面 ,
因为 平面 ，所以 ,
因为 ，所以 平面 ,
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）由 底面 ，则平面 平面 ,
所以点 到平面 的距离（三棱锥 的高）等于点 到直线 的距离,
因此，当点 在线段 ， 上运动时，三棱锥 的高小于或等于 2,
当点 在线段 上运动时,三棱锥 的高为 2,
因为 的面积为 ,
所以当点 在线段 上，三棱锥 的体积取得最大值,
最大值为 .
F BC AEF ⊥ PBC
F BC CD DA A B 2PA = A BEF−
2
3
,AE PB AE BC⊥ ⊥ AE ⊥ PBC
AEF ⊥ PBC
PA ⊥ ABCD PAB ⊥ ABCD F AB
PA AB= E PB AE PB⊥
PA ⊥ ABCD BC ⊂ ABCD BC PA⊥
ABCD BC AB⊥ PA AB A=
BC ⊥ PAB
AE ⊂ PAB AE BC⊥
PB BC B∩ = AE ⊥ PBC
AE ⊂ AEF AEF ⊥ PBC
PA ⊥ ABCD PAB ⊥ ABCD
F ABE F ABE− F AB
F BC AD F ABE−
F CD F ABE−
ABE△ 1 2 1 12ABES = × × =△
F CD F ABE−
1 223 3ABEV S= × × =△由于三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积,
所以三棱锥 的体积存在最大值 .
【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质,考查了直线与平面垂直的判定定理,考查了平面与
平面垂直的判定定理,考查了三棱锥的体积公式,属于中档题.
20.已知椭圆 左、右焦点分别为 ， ，过点 的直
线与椭圆 交于 两点，延长 交椭圆 于点 ， 的周长为 8.
（1）求 的离心率及方程；
（2）试问： 否存在定点 ，使得 为定值？若存在，求 ；若不存在，请说
明理由.
【答案】（1） , ； （2）存在点 ，且 .
【解析】
【分析】
（1）由已知条件得 ， ，即可计算出离心率和椭圆方程
（2）假设存在点 ，分别求出直线 的斜率不存在、直线 的斜率存在的表达式，令
其相等，求出结果
【详解】（1）由题意可知， ，则 ，
又 的周长为 8，所以 ，即 ，
则 ， .
故 的方程为 .
的
是
A BEF− F ABE−
A BEF− 2
3
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1 2,F F 1 2| | 2F F = 1F
C ,A B 2BF C M 2ABF∆
C
0( ,0)P x ·PM PB 0x
1
2
2 2
14 3
x y+ = P 0
11
8x =
1c = 2a =
P BM BM
1 2| |=2c=2F F 1c =
2ABF∆ 4 8a = 2a =
1
2
ce a
= = 2 2 2 3b a c= − =
C
2 2
14 3
x y+ =（2）假设存在点 ，使得 为定值.
若直线 的斜率不存在，直线 的方程为 ， ， ，
则 .
若直线 的斜率存在，设 的方程为 ，
设点 ， ，联立 ，得 ，
根据韦达定理可得： ， ，
由于 ， ，
则
因为 为定值，所以 ，
解得 ，故存在点 ，且 .
【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及定值问题，在解答定值问题时先假设存在，分别求
出斜率不存在和斜率存在情况下的表达式，令其相等求出结果，此类题型的解法需要掌握
21.设函数 ， .
（1）若 ， ，求函数 的单调区间；
（2）若曲线 在点 处的切线与直线 平行.
①求 ， 的值；
②求实数 的取值范围，使得 对 恒成立.
【答案】（1）单调增区间为 ，单调减区间为 ；（2）① ；② .
【解析】
P ·PM PB
BM BM 1x = 31, 2B
31, 2M −
( )2
0
9· 1 4PM PB x = − −
BM BM ( )1y k x= −
( )1 1,B x y ( )2 2,M x y
( )
2 2
14 3
1
x y
y k x
+ =
= −
( )2 2 2 24 3 8 4 12 0k x k x k+ − + − =
2
1 2 2
8
4 3
kx x k
+ = +
2
1 2 2
4 12
4 3
kx x k
−= +
( )2 0 2,PM x x y= − ( )1 0 1,PB x x y= −
( ) 2
1 2 1 2 0 0 1 2•PM PB x x x x x x y y= − + + +
( ) ( )( ) ( )2 2 2
0 0 02 2 2 2
1 2 0 1 2 0 2
4 8 5 3 12
1 4 3
x x k x
k x x x k x x k x k
− − + −
= + − + + + + = +
·PM PB 2 2
0 0 04 8 5 3 12
4 3
x x x− − −=
0
11
8x = P 0
11
8x =
( ) ( )ln 1f x ax bx= + + ( ) ( ) 2g x f x bx= −
1a = 1b = − ( )f x
( )y g x= ( )1,ln3 11 3 0x y− =
a b
( )3k k ≤ ( ) ( )2g x k x x> − ( )0,x∈ +∞
( )1,0− ( )0, ∞+ 2
3
a
b
=
= −
[ ]1,3【分析】
（1）求出 后讨论其符号可得函数的单调区间.
（2）根据函数在 处切线的斜率可得 ，构建新函数 ，
就 分类讨论 的单调性后可得 的取值范围.
【详解】（1）当 ， 时， ， ，
则 .
当 时， ；当 时， ；
所以 的单调增区间为 ，单调减区间为 .
（Ⅱ）（ⅰ）因为 ，
所以 .
依题设有 ，即 .
解得 .
（ⅱ）由（ⅰ）得 ， .
对 恒成立即 对 恒成立.
令 .则有 .
①当 时，当 时， ，
所以 在 上单调递增.
所以 ，即当 时， 恒成立；
②当 时，当 时， ，
( )f x′
( )1,ln3 2
3
a
b
=
= −
( ) ( ) ( )2F x g x k x x= − −
1,1 3k k< ≤ ≤ ( )F x k
1a = 1b = − ( ) ( )ln 1f x x x= + − ( )1x > −
( ) 1 11 1
xf x x x
−′ = − =+ +
( ) 0f x′ > 1 0x− < < ( ) 0f x′ < 0x >
( )f x ( )1,0− ( )0, ∞+
( ) ( ) ( ) ( )2 2ln 1g x f x bx ax b x x= − = + + −
( ) ( )1 21
ag x b xax
′ = + −+
( ) ( )
( )
1 ln 1
111 3
g a
g
= +
=′
( )ln 1 ln3
11
1 3
a
a ba
+ = − = +
2
3
a
b
=
= −
( ) ( ) ( )2ln 1 2 3g x x x x= + − − 1 ,2x ∈ − +∞
( ) ( )2g x k x x> − ( )0,x∈ +∞ ( ) ( )2 0g x k x x− − > ( )0,x∈ +∞
( ) ( ) ( )2F x g x k x x= − − ( ) ( ) 24 3 1
1 2
k x kF x x
− + −′ = +
1 3k≤ ≤ ( )0,x∈ +∞ ( ) 0F x′ >
( )F x ( )0, ∞+
( ) ( )0 0F x F> = ( )0,x∈ +∞ ( ) ( )2g x k x x> −
1k < 1 10, 2 3
kx k
−∈ −
( ) 0F x′ −
[ ]1,3k ∈
xOy O
cos
sin
x
y
θ
θ
=
=
θ 2x x
y y
=′
′
=
C x
C
A B C 2AOB
π∠ = 2 2
1 1
OA OB
+
2 2
2 2cos sin 14
ρ α ρ α+ =
,x y′ ′ θ C
cos
sin
x
y
ρ α
ρ α
=
=
2AOB
π∠ = ,A B ( )1,A ρ α 2, 2B
πρ α +
2 2
1 1
OA OB
+
O
cos
sin
x
y
θ
θ
=
=
θ 2x x
y y
=′
′
=得曲线 的参数方程 （ 为参数），也就是 .
消去参数 得到 的直角坐标方程为 ，
故曲线 的极坐标方程为： .
（Ⅱ）不妨设 ， ，
又曲线 的极坐标方程可化为 ，
所以 即 ，
两式相加得 ，故 为定值.
【点睛】本题考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化以及极坐标方程的应用，注
意在解析几何中我们可以利用极坐标来沟通角与线段长度的关系，本题属于中档题.
23.已知函数 ， .
（Ⅰ）若不等式 对 恒成立，求正实数 的取值范围；
（Ⅱ）设实数 为（Ⅰ）中 的最大值.若正实数 ， ， 满足 ，求
的最小值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）8.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用绝对值不等式可求 的最小值为 ，从而有 ，结合 可得 的取
值范围.
C cos2
sin
x
y
θ
θ
=
=
′
′
θ cos2
sin
x
y
θ
θ
=
=
θ C
2
2 14
x y+ =
C
2 2
2 2cos sin 14
ρ α ρ α+ =
( )1,A ρ α 2, 2B
πρ α +
C
2
2
2
1 cos sin4
α αρ = +
2
2
2
1
2
2
2
2
1 cos sin4
cos1 2 sin4 2
α αρ
πα παρ
= +
+ = + +
2
2
2
1
2
2
2
2
1 cos sin4
1 sin cos4
α αρ
α αρ
= +
= +
2 2
1 1 5
4OA OB
+ = 2 2
1 1
OA OB
+
( ) 2f x x m x= − + x∈R
( ) 2f x m≥ x∀ ∈R m
t m a b c
2
tabc =
( )( )( )1 1 1a b c+ + +
( ]0,2
( )f x m 2m m≥ 0m > m（Ⅱ）利用基本不等式可求 的最小值.
【详解】（1） ，当且仅当 时等号成
立，
，解得 ， 正实数 的取值范围为 .
（2）由（1）知， ，即 .
， ，
，
当且仅当 时 取得最小值为 8.
【点睛】本题考查绝对值不等式以及基本不等式的应用，注意绝对值不等式 中，
等号成立的条件是 ，而用基本不等式求最值时，注意验证等号成立的条件.
( )( )( )1 1 1a b c+ + +
( ) 2 2 2f x x m x x m x m= − + ≥ − − = ( )2 0x m x− ≤
2 2m m∴ ≤ 2 2m− ≤ ≤ ∴ m ( ]0,2
2t = 1abc =
1 2 0a a+ ≥ > 1 2 0b b+ ≥ > 1 2 0c c+ ≥ >
( )( )( )1 1 1 8 8a b c abc∴ + + + ≥ =
1a b c= = = ( )( )( )1 1 1a b c+ + +
a b a b+ ≥ +
0ab ≥
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