2020 年石嘴山市高三年级适应性测试数学试卷（理科）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生
信息条形码粘贴区.
2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书
写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无
效；在草稿纸、试卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， 则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用对数函数求出 ，再利用交集定义求出 .
【详解】解： ， ，
= ，
故选 A.
【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运
用.
2.设复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
{ }0 3A x x= < < { }2log 1B x x= > A B =
(2,3) (0,3) (1,2) (0,1)
{ }2B | 1 { | 2}x log x x x= > = > A B
{ }0 3A x x= < < { }2B | 1 { | 2}x log x x x= > = >
∴ A B { | 2 3}x x< <
z ( )1 3i z i+ = + z =
2 2 2 2 5分析：先根据复数除法得 ，再根据复数的模求结果.
详解：因为 ，所以 ,
因此
选 D.
点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
. 其次要熟悉复数相关基本概念，如
复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为
3.已知实数 成等比数列，则椭圆 的离心率为
A. B. 2 C. 或 2 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】
由 1，m，9 构成一个等比数列，得到 m=±3．当 m=3 时，圆锥曲线是椭圆；当 m=﹣3 时，圆
锥曲线是双曲线，(舍）由此即可求出离心率．
【详解】∵1，m，9 构成一个等比数列，
∴m2=1×9，
则 m=±3．
当 m=3 时，圆锥曲线 +y2=1 是椭圆，它的离心率是 = ；
当 m=﹣3 时，圆锥曲线 +y2=1 是双曲线，故舍去，
则离心率为 ．
故选 A．
【点睛】本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，
注意分类讨论思想的灵活运用．
z
( )1 3i z i+ = + 3 1 (3 )(1 ) 21 2
iz i i ii
+= = + − = −+
5,z =
( )( ) ( ) ( ) ,( , , . )+ + = − + + ∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R
( , )a bi a b R+ ∈ a b 2 2a b+ ( , )a b .−a bi
1, ,9m
2
2 1x ym
+ =
6
3
6
3
2
2 3
2x
m
2
3
6
3
2x
m
6
34.在边长为 2 的菱形 ABCD 中， ，E 是 BC 的中点，则 （ ）
A. B. C. D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量基本定理,利用 作为基底化简 再求解即可.
【 详 解 】 因 为 在 边 长 为 2 的 菱 形 ABCD 中 , , 故
.
E 是 BC 的中点,故
.
故选：D
【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用以及数量积的运算,属于中档题.
5.由我国引领的 5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行
业整体的快速发展，进而对 GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，
间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，
对今后几年的 5G 经济产出所做的预测．结合图，下列说法不正确的是（ ）
60BAD∠ = ° AC AE⋅ =
33 3
+ 9
2 3
,AC AB AC AE⋅
60BAD∠ = °
( )2
AC AB AD AB AD= + = +
2 2 2 2 22 2 2 2 2 cos60 2 3AB AD AB AD= + + ⋅ = + + ⋅ ⋅ ° =
( ) 21 1 1
2 2 2AC AE AC AB AC AB AC AC⋅ = ⋅ + = ⋅ +
221 1 1 1cos30 92 2 2 2AB AC AC AB AC AC= ⋅ + = ⋅ ⋅ °+ = A. 5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加
B. 设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓
C. 设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位
D. 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势
【答案】C
【解析】
【分析】
由柱状图观察信息服务商逐年增长并在后续 2029 年开始超过设备制造商 GDP.
【详解】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而后期是信息服
务商处于领先地位，故 C 项表达错误．
故选：C
【点睛】本题考查观察柱状图得出相关信息，属于基础题.
6.已知函数 的图象如图所示，则 可以为（ ）
A. B. C. D.
( )f x ( )f x
( ) 3
x
xf x
e
= ( ) x x
xf x e e−= − ( ) x
xf x e
=
( ) xf x xe=【答案】A
【解析】
【分析】
由图象可知，函数 为 上的奇函数，且在 上先增后减，然后逐项分析各选
项中函数 的定义域、奇偶性及其在区间 上的单调性，结合排除法可得出正
确选项.
【详解】由图象可知，函数 为 上的奇函数，且在 上先增后减.
对于 A 选项，函数 的定义域为 ， ，该函数为奇
函数，当 时， ， .
当 时， ，此时函数 单调递增；当 时， ，此时函
数 单调递减，合乎题意；
对于 B 选项，函数 的定义域为 ，不合乎题意；
对于 C 选项，函数 的定义域为 ， ， ， ，
该函数不是奇函数，不合乎题意；
对于 D 选项，函数 的定义域为 ，当 时， ，
，该函数在区间 上单调递增，不合乎题意.
故选：A.
【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数
值符号来判断，结合排除法求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
7.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方
五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为 3 尺的正方体方木，要把它作成边
长为 5 寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，
则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为( )
( )y f x= R ( )0, ∞+
( )y f x= ( )0, ∞+
( )y f x= R ( )0, ∞+
( ) 3
x
xf x
e
= R ( ) ( )x x
x xf x f x
e e−
−− = = − = −
0x > ( ) x
xf x e
= ( ) 1
x
xf x e
−′ =
0 1x< < ( ) 0f x′ > ( )y f x= 1x > ( ) 0f x′ <
( )y f x=
( ) x x
xf x e e−= −
{ }0x x ≠
( ) x
xf x e
= R ( )1f e− = − ( ) 11f e
= ( ) ( )1 1f f− ≠ −
( ) xf x xe= R 0x > ( ) xf x xe=
( ) ( )1 0xf x x e′ = + > ( )0, ∞+A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
有一块棱长为 3 尺的正方体方木，要把它作成边长为 5 寸的正方体枕头，可作 216 个，由正
方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那 16 块，共有 6×16＝
96 个，由此能求出从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率．
【详解】有一块棱长为 3 尺 正方体方木，要把它作成边长为 5 寸的正方体枕头，可作 216
个，
由正方体的结构及锯木块的方法，
可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那 16 块，共有 6×16＝96 个，
∴从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率：
p ．
故选 C．
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体的结构特征等基础知识，考查运算求
解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使
得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.
8.下列说法正确的是（ ）
A. 命题“ ， ”的否定形式是“ ， ”
B. 若平面 ， ， ，满足 ， 则
C. 随机变量 服从正态分布 （ ），若 ，则
D. 设 是实数，“ ”是“ ”的充分不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
由特称命题的否定是全称命题可判断选项 A； 可能相交，可判断 B 选项；利用正态分布
的性质可判断选项 C； 或 ，利用集合间的包含关系可判断选项 D.
的
125
216
8
27
4
9
1
4
96 4
216 9
= =
0 0x∃ ≤ 0 02 sinx x≤ 0x∀ > 2 sinx x>
α β γ α γ⊥ β γ⊥ //α β
ξ ( )21,N σ 0σ > (0 1) 0.4P ξ< < = ( 0) 0.8P ξ > =
x 0x < 1 1x
<
,α β
1 1x
< ⇒ 0x < 1x >【详解】命题“ ， ”的否定形式是“ ， ”，故 A 错误；
，
，则 可能相交，故 B 错误；若 ，则 ，所以
，故 ，所以 C 错误；由 ，得 或
，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件，D 正确.
故选：D.
【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、
充分条件与必要条件等，是一道容易题.
9.将函数 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图
象，若函数 为偶函数，则函数 在 的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由图象平移可得 ，根据 为偶函数和 的范围可求得 ，从而得到 解析式；
利用 的范围求得 的范围，根据正弦函数图象可求得函数值域.
【详解】 向左平移 个单位得：
又 为偶函数 ， ，
当 时，
0 0x∃ ≤ 0 02 sinx x≤ 0x∀ ≤ 2 sinx x>
α γ⊥
β γ⊥ ,α β (0 1) 0.4P ξ< < = (1 2) 0.4P ξ< < =
1 0.4 0.4( 0) 0.12P ξ − −< = = ( 0) 0.9P ξ > = 1 1x
< 0x <
1x >
0x < 1 1x
<
( ) 2sin(2 )(0 )f x x ϕ ϕ π= + < <
6
π ( )y g x=
( )y g x= ( )y f x= [0, ]2
π
[ 1,2]− [ 1,1]− [ 3,2]
[ 3, 3]−
( )g x ( )g x ϕ ϕ ( )f x
x 2 6x
π+
( )f x 6
π ( ) 2sin 2 2sin 26 3g x x x
π πϕ ϕ = + + = + +
( )g x
3 2 k
π πϕ π∴ + = + k Z∈
6 k
πϕ π∴ = + k Z∈
0 ϕ π< > ( ) ln( 1)f x x= +
2 3 5
( ) ln( 1)f x x= + ( )0,0
,a b
( ) ln( 1)f x x= + 1'( ) 1f x x
= +
1'(0) 10 1f = =+
2 2 2
2 21 1 2 2b c a c ea a a
−= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
C ABOD− CO ⊥ , // ,ABOD AB OD OB OD⊥
2 12, 6 2AB OD AD= = = CD AB 30° , , ,O B C D
3 2 4 2 21 42【解析】
由条件可知 ，所以， 为异面直线 与 所成角，故 ，
而 ，故 ，在直角梯形 中，易得 ，以
为相邻的三条棱，补成一个长方体，则该长方体的外接球半径 即为所求的球的
半径，由 ，故 .
本题选择 C 选项.
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切
点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，
切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点
均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
12.已知函数 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线 的对
称点在 的图像上，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
可将问题转化，求直线 关于直线 的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，
结合函数图像，分析临界点，进一步确定 的取值范围即可
【详解】可求得直线 关于直线 的对称直线为 ，
当 时， ， ，当 时， ，则当
时， ， 单减，当 时， ， 单增；
当 时， ， ，当 ， ,当 时，
单减，当 时， 单增；
AB OD∥ CDO∠ CD AB 30CDO∠ =
6OD = tan30 2 3OC OD= ⋅ = ABOD 6OB =
, ,OB OC OD R
( ) ( )22 2 22 2 3 6 6 84R = + + = 21R =
( ) 2
ln 2 , 0
3 , 02
x x x x
f x
x x x
− >= + ≤
1y = −
1y kx= − k
1 ,12
1 3,2 4
1 ,13
1 ,22
1y kx= − 1y = −
k
1y kx= − 1y = − 1y mx= − ( )m k= −
0x > ( ) ln 2f x x x x= − ( )' ln 1f x x= − x e= ( )' 0f x = ( )0,x e∈
( )' 0f x < ( )f x ( ),x e∈ +∞ ( )' 0f x > ( )f x
0x ≤ ( ) 2 3
2f x x x= + ( ) 3' 2 2f x x= + 3
4x = − ( )' 0f x = 3
4x < −
( )f x 3 04 x− < < ( )f x根据题意画出函数大致图像，如图：
当 与 （ ）相切时，得 ，解得 ；
当 与 （ ）相切时，满足 ，
解得 ，结合图像可知 ，即 ，
故选：A
【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题
的关键，属于中档题
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 的展开式中，含 项的系数为______.
【答案】
【解析】
【分析】
求出二项展开式的通项，利用 的指数为 ，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出结
果.
【详解】 的展开式通项为 ，
令 ，得 ，因此， 的展开式中，含 项的系数为 .
故答案为： .
1y mx= − ( ) 2 3
2f x x x= + 0x ≤ 0∆ = 1
2m = −
1y mx= − ( ) ln 2f x x x x= − 0x >
ln 2
1
ln 1
y x x x
y mx
m x
= −
= −
= −
1, 1x m= = − 11, 2m ∈ − −
11, 2k − ∈ − −
1 ,12k ∈
5
2 12x x
+
4x
80
x 4
5
2 12x x
+
( )52 5 10 3
1 5 5
12 2
k
kk k k k
kT C x C xx
− − −
+
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
10 3 4k− = 2k =
5
2 12x x
+
4x 3
5
2 2 80C ⋅ =
80【点睛】本题考查利用二项式定理求展开式中指定项的系数，考查计算能力，属于基础题.
14.在各项均为正数的等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列，记 是数
列 的前 n 项和，则 ________.
【答案】126
【解析】
【分析】
设等比数列 公比为 ,再根据 , , 成等差数列以及基本量法求解 ,再根据等比
数列求和公式求 即可.
【详解】设等比数列 公比为 ,因为 , , 成等差数列,故 ,又
,故 ,即 ,因为 ,
故 .故 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查了等差等比数列的综合运用,包括基本量的用法以及等比数列求和公式
等.属于中档题.
15.已知直线 l 经过点 P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 截得的弦长为 8，则直线 l 的
方程是________．
【答案】x＋4＝0 和 4x＋3y＋25＝0
【解析】
由已知条件知圆心(－1，－2)，半径 r＝5，弦长 m＝8.
设弦心距是 d，则由勾股定理得 r2＝d2＋ 2，解得 d＝3.若 l 的斜率不存在，则直线 l 的
方程为 x＝－4，圆心到直线的距离是 3，符合题意．若 l 的斜率存在，设为 k，则直线 l 的方
程为 y＋3＝k(x＋4)，即 kx－y＋4k－3＝0，则 d＝ ＝3，即 9k2－6k＋1＝9k2＋9，
解得 k＝－ ，则直线 l 的方程为 4x＋3y＋25＝0.所以直线 l 的方程是 x＋4＝0 和 4x＋3y＋25＝
0.
16.已知 是奇函数并且是 R 上 单调函数,若函数 只有一个的
{ }na 1 2a = 2a 4 2a + 5a nS
{ }na 6S =
{ }na q 2a 4 2a + 5a q
6S
{ }na q 2a 4 2a + 5a ( )4 2 52 2a a a+ = +
1 2a = ( )3 42 2 2 2 2q q q⋅ + = + ( )( )4 3 32 2 0 1 2 =0q q q q q− + − = ⇒ + − 0q >
2q =
( )6
6
2 1 2
1261 2S
−
= =−
126
( )f x ( ) ( )2 2 2y f x f x m= + + − −零点,则函数 的最小值为________.
【答案】5
【解析】
【分析】
根据 是奇函数并且是 R 上的单调函数,求解 中 的值,再
利用基本不等式求解 的最小值即可.
【详解】由题, 只有一个零点,故 ,又
是奇函数并且是 R 上的单调函数,
故 , 仅有一个零点.
故 .
又 ,故 ,当且仅当
时取得等号.
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了奇函数的性质运用以及基本不等式的用法.属于中档题.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为
必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17.如图，在四棱柱 中， 平面 ，底面 ABCD 满足 ∥BC，
且
4( ) ( 1)1g x mx xx
= + >−
( )f x ( ) ( )2 2 2 0f x f x m+ + − − = m
4( ) ( 1)1g x mx xx
= + >−
( ) ( )2 2 2 0f x f x m+ + − − = ( ) ( )2 2 2f x f x m+ = − − −
( )f x
( ) ( )2 2 2f x f x m+ = + 2 22 2 2 2 0x x m x x m+ = + ⇒ − + − =
( ) ( )22 4 2 0 1m m∆ = − − − = ⇒ =
1x > ( )4 4 4( ) 1 1 2 1 1 51 1 1g x x x xx x x
= + = − + + ≥ − ⋅ + =− − −
41 31x xx
− = ⇒ =−
1 1 1 1ABCD A B C D− 1AA ⊥ ABCD AD
1 2 2 2.AB AD AA BD DC= = = = =，(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)证明 ，根据 得到 ，得到证明.
(Ⅱ) 如图所示，分别以 为 轴建立空间直角坐标系，平面 的法向量
， ，计算向量夹角得到答案.
【详解】(Ⅰ) 平面 ， 平面 ，故 .
， ，故 ，故 .
，故 平面 .
(Ⅱ)如图所示：分别以 为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， .
设平面 的法向量 ，则 ，即 ，
取 得到 ， ，设直线 与平面 所成角为
故 .
AB ⊥ 1 1ADD A
AB 1 1B CD
6
6
1AA AB⊥ 2 2 2AB AD BD+ = AB AD⊥
1, ,AB AD AA , ,x y z 1 1B CD
( )1,1,2n = ( )2,0,0AB =
1AA ⊥ ABCD AB Ì ABCD 1AA AB⊥
2AB AD= = 2 2BD = 2 2 2AB AD BD+ = AB AD⊥
1AD AA A∩ = AB ⊥ 1 1ADD A
1, ,AB AD AA , ,x y z
( )0,0,0A ( )2,0,0B ( )1 2,0,2B ( )2,4,0C ( )1 0,2,2D
1 1B CD ( ), ,n x y z= 1
1 1
0
0
n B C
n B D
⋅ = ⋅ =
4 2 0
2 2 0
y z
x y
− =
− + =
1x = ( )1,1,2n = ( )2,0,0AB = AB 1 1B CD θ
2 6sin cos , 62 6
n AB
n AB
n AB
θ
⋅
= = = =
⋅
【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
18.在 中，角 A，B，C 对边分别 若 .
（1）求角 A；
（2）若 ，且 外接圆半径为 1，求 的面积.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
(1)根据正弦定理边化角以及正弦的和角公式化简 求解即可.
(2)根据正弦定理与 的外接圆半径为 1,结合(1)中 可得 ,再根据余弦定理
结合 可得 ,再根据面积公式求解即可.
【详解】解： 因为 .
由正弦定理得 ,从而可得 ,
又 C 为三角形的内角,所以 ,于是 ,
又 A 为三角形内角,因此 .
（2）设的外接圆半径为 R,则 , ,
为
的
ABC , ,a b c 2 cos cos cosc A a B b A= +
2a b c= + ABC ABC
3A
π= 3 3
4
2 cos cos cosc A a B b A= +
ABC 3A
π= 3a =
2a b c= + 3bc =
( )1 2 cos cos cosc A a B b A= +
2sin cos sin cos sin cosC A A B B A= + 2sin cos sinC A C=
sin 0C ≠ 1cos 2A =
3A
π=
1R = 2 sin 3a R A= =由余弦定理得 ,即 ,
所以 .所以 的面积为： .
【点睛】本题主要考查了正余弦定理以及面积公式在解三角形中的运用,属于中档题.
19.2019 年底，北京 2022 年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破 60
万，其中青年学生约有 50 万人.现从这 50 万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取 20
人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:
(Ⅰ)试估计在这 50 万青年学生志愿者中，英语测试成绩在 80 分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的 8 名男生中随机抽取 2 人，记其中测试成绩在 70 分以上的人数为 X，求 的分
布列和数学期望;
(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于 5000)，并在每
组中随机选取 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有 1 人的英语测试成绩在 70 分以
上的概率大于 90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出 的最小值.(结论不要求证明)
【答案】(Ⅰ) 万；(Ⅱ)分布列见解析， ；(Ⅲ)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.
(Ⅱ) 的可能取值为 ，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
(Ⅲ) 英语测试成绩在 70 分以上的概率为 ，故 ，解得答案.
【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在 分以上的有 人，故人数为： 万人.
(Ⅱ) 8 名男生中，测试成绩在 70 分以上的有 人， 的可能取值为： .
2 2 2 22 cos ( ) 33a b c b b c bc
π= + − = + − 3 12 3bc= −
3bc = ABC
1 3 3sin2 4S bc A= =
X
m
m
5 ( ) 3
4E X = 4
X 0,1,2
10 1
20 2p = = 1 1 90%2
m < −
80 2 2 50 520
× =
3 X 0,1,2， ， .
故分布列为：
.
(Ⅲ) 英语测试成绩在 70 分以上的概率为 ，故 ，故 .
故 的最小值为 .
【点睛】本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应
用能力.
20.已知 ， 分别是椭圆 ： 的左，右焦点，点 在椭圆
上，且抛物线 的焦点是椭圆 的一个焦点．
（1）求 , 的值：
（2）过点 作不与 轴重合的直线 ，设 与圆 相交于 A，B 两点，且与椭圆
相交于 C，D 两点，当 时，求△ 的面积．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由已知根据抛物线和椭圆的定义和性质，可求出 ， ；
（2）设直线 方程为 ，联立直线与圆的方程可以求出 ，再联立直线和椭圆的方程
化简，由根与系数的关系得到结论，继而求出面积．
【详解】（1） 焦点为 F（1，0），则 F1（1，0），F2（1，0），
( ) 2
5
2
8
50 14
Cp X C
= = = ( ) 1 1
5 3
2
8
151 28
C Cp X C
= = = ( ) 2
3
2
8
33 28
Cp X C
= = =
X 0 1 2
p 5
14
15
28
3
28
( ) 5 15 3 30 1 214 28 28 4E X = × + × + × =
10 1
20 2p = = 1 1 90%2
m < − 4m≥
m 4
1F 2F E
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = ＞ ＞ 2( 1, )2P − E
2 4y x= E
a b
2F x l l 2 2 2 2x y a b+ = +
E 1 1 1F A F B⋅ =
1FCD
2, 1a b= = 4 6
7
a b
l 1x ty= + 2t
2 4y x＝，解得 ， ＝1， ＝1，
（Ⅱ）由已知，可设直线 方程为 ， ，
联立 得 ，易知△＞0，则
＝ ＝
＝
因为 ，所以 ＝1，解得
联立 ，得 ，△＝8 ＞0
设 ，则
【点睛】本题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用，同时考查利用根与系数的关系，解
决直线与圆，直线与椭圆的位置关系问题． 意在考查学生的数学运算能力．
21.已知 ．
（1）设 是 的极值点，求实数 的值，并求 的单调区间：
（2） 时，求证： ．
【答案】（1） 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； （2）见解析.
【解析】
1 22 PF + PF 2 2a＝ ＝ 2a = c b
l 1x ty= + 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
2 2
1
3
x ty
x y
= +
+ =
2 2( 1) 2 2 0t y ty+ + − =
1 2 2
1 2 2
2t
t +1
2
t +1
y y
y y
+ = −
= −
1 1F A F B⋅
11 2 2( 1)( 1)x x y y+ + + 1 2 1 2(ty +2)(ty +2)+y y
2
2
1 2 1 2 2
2- 2tt +1 y y + 2t y + y + 4 t +1
（ ） （ ） ＝
1 1 1F A F B =⋅ 2
2
2-2t
t +1
2 1t 3
＝
2
2
1
12
x ty
x y
+ +
＝
＝
2 2t +2 y +2ty-1 0（ ） ＝ 2t +1（ ）
3 3 4 4C , ), ( , )x y B x y（
3 4 2
3 4 2
2ty +y t +2
1y y 2t
−
− +
＝
＝
1
2
FCD 1 2 3 4 2
481 8 1+t 4 63S F F y -y 72 t +2 7
3
∆
×
⋅ （ ）＝ ＝ ＝ ＝
21( ) ln2
xf x x ae x= + −
1
2x = ( )f x a ( )f x
0a > ( ) 1
2f x >
3
2
ea e
= 1 ,2
+∞
10, 2
【分析】
（1）由题意，求得函数的导数 ，由 是函数 的极值点，解得
，又由 ，进而得到函数的单调区间；
（2）由（1），进而得到函数 的单调性和最小值 ，
令 ，利用导数求得 在 上的单调性，即可作出
证明.
【详解】（1）由题意，函数 的定义域为 ，
又由 ，且 是函数 的极值点，
所以 ，解得 ，
又 时，在 上， 是增函数，且 ，
所以 ，得 ， ，得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）由（1）知因为 ，在 上， 是增函数，
又 （且当自变量 逐渐趋向于 时， 趋向于 ），
所以， ，使得 ，
所以 ，即 ，
在 上， ，函数 是减函数，
在 上， ，函数 是增函数，
所以，当 时， 取得极小值，也是最小值，
( ) 1xf x x ae x
′ = + − 1
2x = ( )f x
3
2
ea e
= 1 02f =
′
( )f x ( ) ( ) 2
0 0 0 0min
0
1 1 ln2f x f x x x xx
= = + − −
( ) 21 1 ln ,(0 1)2g x x x x xx
= + − − < < ( )g x ( )0,1
( )f x ( )0,+∞
( ) 1xf x x ae x
′ = + − 1
2x = ( )f x
1
21 1 2 02 2f ae = +′ − =
3
2
ea e
=
0a > ( )0,+∞ ( )f x′ 1 02f =
′
( ) 0f x′ > 1
2x > ( ) 0f x′ < 10 2x< <
( )f x 1 ,2
+∞
10, 2
0a > ( )0,+∞ ( ) 1xf x x ae x
′ = + −
( )1 1 1 0f ae′ = + − > x 0 ( )f x′ −∞
( )0 0,1x∃ ∈ ( )0 0f x′ =
0
0
0
1 0xx ae x
+ − = 0
0
0
1xae xx
= −
( )00,x x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x
( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
0x x= ( )f x所以 ，
令 ，
则 ，
当 时， ，函数 单调递减，所以 ，
即 成立，
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化
归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用
导数研究函数的单调性，利用函数的最值，从而得到证明；有时也可分离变量，构造新函数，
直接把问题转化为函数的最值问题．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所
做的第一题计分.
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数且 ， ， ，
曲线 的参数方程为 为参数），以 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标
系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求 的普通方程及 的直角坐标方程；
（2）若曲线 与曲线 分别交于点 ， ，求 的最大值．
【答案】（1） ： ， ： ；（2）
【解析】
【分析】
（1）在曲线 的参数方程中消去参数可得出曲线 的普通方程，在曲线 的极坐标方程两
边同时乘以 ，并代入 可得出曲线 的直角坐标方程；
（2）由曲线 的参数方程得出其极坐标方程为 ，并设点 、 的极坐标分别为 、
( ) ( ) 02 2
0 0 0 0 0 0 0min
0
1 1 1ln ln ,(0 1)2 2
xf x f x x ae x x x x xx
= = + − = + − − < <
( ) 21 1 ln ,(0 1)2g x x x x xx
= + − − < <
( ) ( )2 2
1 1 11 1 xg x x xx x x
+= − − − = − −′
( )0,1x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x ( ) ( ) 11 2g x g> =
( ) ( )min
1
2f x f x≥ >
0x y 1C cos (sin
x t ty t
α
α
=
= 0t ≠ [0a∈ ))π
2C cos (1 sin
x
y
θ θθ
=
= + O x
3C 4cosρ θ=
2C 3C
1C 2 3C C A B | |AB
2C 22 ( 1) 1yx + − = 3C 2 2( 2) 4x y− + = 2 5
2C 2C 3C
ρ
2 2 2
cos
x y
x
ρ
ρ θ
= +
= 3C
1C θ α= A B ( )1,ρ α，将曲线 的极坐标方程分别代入曲线 、 的表达式，求出 、
关于 的表达式，然后利用三角恒等变换公式与三角函数基本性质求出 的最
大值．
【详解】（1）由 消去参数 得 的普通方程为： ；
由 得 ，得 的直角坐标方程为： ，
即 ．
（2） 的极坐标方程为： ， 的极坐标方程为：
将 分别代入 ， 的极坐标方程得： ， ，
．
【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，考查极坐标方程的应用，
弄清楚极坐标方程解实际问题的基本情形，另外，利用极坐标方程本质上是化为三角函数来
求解，所以要充分利用三角恒等变换思想以及三角函数的基本性质来求解．
23.已知函数 .
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）已知 ，若 对于任意 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1） 或 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1） 时，分类讨论，去掉绝对值，分类讨论解不等式.
（2） 时，分类讨论去绝对值，得到 解析式，由函数的单调性可得 的最小值，
通过恒成立问题，得到关于 的不等式，得到 的取值范围.
( )2 ,ρ α 1C 2C 3C 1
ρ 2
ρ
α 1 2AB ρ ρ= −
cos
1 sin
x
y
θ
θ
=
= +
θ 2C 22 ( 1) 1yx + − =
4cosρ θ= 2 4 cosρ ρ θ= 3C 2 2 4x y x+ =
2 2( 2) 4x y− + =
1C θ α= 2C 2sinρ θ=
θ α= 2C 3C 2sinA
ρ α= 4cosB
ρ α=
| | | | | 2sin 4cos | | 2 5sin( ) | 2 5A BAB ρ ρ α α α ϕ∴ = − = − = +
( ) | 2 | | 3| ( )f x x a x a R= + − − ∈
1a = − ( ) 1 0f x + >
0a > ( ) 3 2f x a+ > x∈R a
{ | 1x x < − }1x > (2, )+∞
1a = −
0a > ( )f x ( )f x
a a【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以不等式 等价于 或 或 ，
解得 或 .
所以不等式 的解集为 或 .
（2）因为 ，所以 ，
根据函数的单调性可知函数 的最小值为 ，
因为 恒成立，所以 ，解得 .
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查分类讨论去绝对值，分段函数求最值，不等式恒成立问题，属于中档题.
1a = − ( )
12, 2
13 4, 32
2, 3
x x
f x x x
x x
− −
( ) 1 0f x + >
1
2
2 1 0
x
x
1 32
3 4 1 0
x
x
≤ ≤
− + >
3
2 1 0
x
x
>
+ + >
1x < − 1x >
( ) 1 0f x + > { | 1x x < − }1x >
0a > ( )
3, 2
3 3, 32
3, 3
ax a x
af x x a x
x a x
− − − < −
= + − − ≤ ≤
+ + >
( )f x 32 2
a af − = − −
( ) 3 2f x a+ > 3 3 22
a a− − + > 2a >
a ( )2,+∞
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