数学（文科）
考试时间：120 分钟
注意事项：
1.本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答
题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答
题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿
纸上作答无效.
3.做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的
题号涂黑.
第Ⅰ卷共 60 分
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 ( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用指数函数的单调性求出集合 B，再利用集合的交运算即可求解.
【详解】由 ，
则 .
故选：B
【点睛】本题考查了集合的角运算，同时考查了利用指数函数的单调性解不等式，属于基础
题.
2.已知复数 是纯虚数，则实数 值为（ ）的
{ } { }1 , 2 4xA x x B x= ≥ − = ≤ A B =
[ ]0,2 [ ]1,2−
[ )1,− +∞ ( ],2−∞
{ } { } { }1 , 2 4 2xA x x B x x x= ≥ − = ≤ = ≤
A B = [ ]1,2−
3
5 4
m i
i
+
+ mA. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
化简得到 ，得到答案.
【详解】 ，故 ，即 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.
3.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则数列 的公差为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等差数列公式直接计算得到答案.
【 详 解 】 依 题 意 ， ， 故 ， 故 ， 故
，故选：D．
【点睛】本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.
4.已知命题 ；命题 ， ．则下列命
题中是真命题的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
12
5
− 12
5
15
4
15
4
−
3 5 12 (15 4 )
5 4 41
m i m m i
i
+ + + −=+
3 ( 3 )(5 4 ) 5 12 (15 4 )
5 4 (5 4 )(5 4 ) 41
m i m i i m m i
i i i
+ + − + + −= =+ + −
5 12 0
15 4 0
m
m
+ =
− ≠
12
5m =-
{ }na n nS 8 16S = 6 1a = { }na
3
2
3
2
− 2
3
2
3
−
( ) ( )1 8 3 6
8
8 8 162 2
a a a aS
+ += = = 3 6 4a a+ = 3 3a =
6 3 2
3 3
a ad
−= = −
0: (0, )p x∃ ∈ +∞ 2
0 0x x> 1: ,2q x ∀ ∈ +∞
12 2 2 2x x−+ >
q¬ ( )p q∧ ¬ p q∧
( ) ( )p q¬ ∨ ¬【分析】
分别判断命题 为真，命题 为真，得到答案.
【详解】取 ，可知 ，故命题 为真；
因为 ，当且仅当 时等号成立，故命题 为真；
故 为真，
故选：C．
【点睛】本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.
5.如图所示，线段 是正方形 的一条对角线，现以 为一条边，作正方形 ，
记正方形 与 的公共部分为 （如图中阴影部分所示），则往五边形 中
投掷一点，该点落在 内的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
五边形 的面积 ，阴影 的面积为 ，得到概率.
【详解】不妨设 ，故五边形 的面积 ，阴影 的面积为 ，
故所求概率为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了几何概型，意在考查学生的计算能力和应用能力.
6.已知向量 与 的夹角的余弦值为 ，且 ，则 ( )
p q
0
1
2x =
21 1
2 2
>
p
1 12 2 2 2 2 2 2x x x x− −+ ≥ ⋅ = 1
2x = q
p q∧
BD ABCD BD BEFD
ABCD BEFD Ω ABEFD
Ω
1
6
1
5
1
4
1
3
ABEFD 5
2S = Ω 1
2
1AB = ABEFD 1 522 2S = + = Ω 1
2
1
12
1 522
P = =
+
a b 1
3
2, 1a b= = 3a b− = A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量的数量积即可求解.
【详解】由向量 与 的夹角的余弦值为 ，且 ，
则 .
故选：B
【点睛】本题考查了向量数量积的定义，需熟记定义，属于基础题.
7.设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则 的一个充分不必要条件( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用空间线面位置关系的判定与性质定理即可得出.
【详解】对于 A， ，则 ，故排除 A；
对于 B， ，则 与 相交或 ，故排除 B；
对于 C， ，则 ，故排除 C；
对于 D， ，则 ；
反之，若 ， 与 的位置关系不确定，
当 时， 或 ，
故 的一个充分不必要条件 ，故 D 正确；
故选：D
【点睛】本题主要考查直线、平面的平行与垂直的判断、充分条件与必要条件的判断等基础
a b 1
3
2, 1a b= =
2 2 13 6 9 4 6 2 1 9 33a b a a b b− = − ⋅ + = − × × × + =
,m n ,α β α β⊥
,m mα β⊥ ⊥ , ,m n m nα β⊂ ⊂ ⊥
/ / , ,m n m nα β⊥ ⊥ / / ,m mα β⊥
,m mα β⊥ ⊥ / /α β
, ,m n m nα β⊂ ⊂ ⊥ α β / /α β
/ / , ,m n m nα β⊥ ⊥ / /α β
/ / ,m mα β⊥ α β⊥
α β⊥ m ,α β
m β⊥ / /m α m α⊂
α β⊥ / / ,m mα β⊥知识，意在考查学生的空间想象能力、转化与化归能力，属于基础题.
8.已知 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平行四边形法则求解即可.
【详解】依题意， ，故
故选 A．
【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.
9.《九章算术》是中国古代的数学瑰宝，其第五卷商功中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，
上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”翻译成现代汉语就是：今有三
面皆为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体的隧道，前端下宽 尺，上宽一丈，深
尺，末端宽 尺，无深，长 尺（注：一丈 十尺）．则该五面体的体积为（ ）
A. 立方尺 B. 立方尺 C. 立方尺 D. 立方尺
【答案】C
【解析】
【分析】
ABC∆ D E F AB AC BC
3
2AF AB BE= + 3
2AF AB BE= − +
3
2AF AB BE= − 3
2AF AB BE= − −
1 1( )2 2BE BA BC AB BF= + = − + 3
2AF AB BF AB BE= + = +
6 3
8 7 =
66 78 84 92如图，在 ， 上取 ， ，使得 ，连接 ， ， ， ，
，计算得到答案.
【详解】如图，在 ， 上取 ， ，使得 ，连接 ， ， ，
，
故多面体的体积
，
故选：C．
【点睛】本题考查了几何体体积的计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
10.已知函数 在 上仅有 个最值，且为最大值，则实
数 的值不可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
化简 ，根据 在 上仅有 个最值，且为最大值，得到
，解得 或 ，
对比选项得到答案.
【详解】 ，因 在 上仅有 个最值，且为最大值，
故 ，
为
DC EF G H DG EH AB= = BG BH GH CH
ADE BGH B CGHFV V V− −= +
DC EF G H DG EH AB= = BG BH GH
CH
1 1 ( ) 7 33 2ADE BGH B CGHFV V V S AB CG HF− −= + = ⋅ + × + × ×直截面
1 1 17 3 6 (4 2) 7 3 842 3 2
= × × × + × × × × =
( ) sin cosf x x xω ω= + ( 0)>ω 5,6 12
π π
1
ω
4
5
7
6
3
2
5
4
( ) 2 sin 4f x x
πω = +
( )f x 5,6 12
π π
1
5 32 2 22 6 4 2 12 4 2k k k
π πω π π πω π ππ π π− + ≤ + < + < + ≤ + 3 3
5 2
ω< < 15 39
2 5
ω≤ ≤
( ) 2 sin 4f x x
πω = +
( )f x 5,6 12
π π
1
5 32 2 22 6 4 2 12 4 2k k k
π πω π π πω π ππ π π− + ≤ + < + < + ≤ + ( )k ∈Z解得 ，故 ，或
故选：C．
【点睛】本题考查了根据三角函数最值求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.
11.已知抛物线 的焦点为 ，准线 ，点 在抛物线 上，点
在左准线 上，若 ，且直线 的斜率 ，则 的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
设准线 与 轴交于 N，所以 ,直线 的斜率 ，所以 ,在直
角 三 角 形 中 ， ， ， 根 据 抛 物 线 定 义 知 ， , 又
, ,所以 ,因此 是等边三角形，故 ，所以
的面积为 ，故选 C.
12.若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析： 对 恒成立，
故 ，即 恒成立，
即 对 恒成立，构造 ，开口向下的二次函数
的最小值的可能值为端点值，故只需保证 ，解得 ．故选
C．
【考点】三角变换及导数的应用
3 24 3 9 2412 12 35 5 2 2 5
kk k kω ω+ < < + − ≤ ≤ +， ( )k ∈Z 3 3
5 2
ω< < 15 39
2 5
ω≤ ≤
2: 2 ( 0)C y px p= > F 3: 2l x = − M C A
l MA l⊥ AF 3AFk = − AFM∆
3 3 6 3 9 3 12 3
l x 3FN = AF 3AFk = − 60AFN∠ = °
ANF∆ 3 3AN = | | 6AF = MF MA=
30NAF∠ = ° MA l⊥ 60MAF∠ = ° AMF∆ 6MA =
AFM∆ 1 1 6 3 3 9 32 2S MA AN= = × × =
( ) 1 sin 2 sin3f x x x a x= − + R a
[ ]1,1− 11, 3
−
1 1,3 3
−
11, 3
− −
( ) 21 cos2 cos 03f x x a x= − +′ x R∈
( )221 2cos 1 cos 03 x a x− − +
24 5cos cos 03 3a x x− +
24 5 03 3t at− + + [ ]1,1t ∈ − ( ) 24 5
3 3f t t at= − + +
( )f t
( )
( )
11 03{ 11 03
f a
f a
− = −
= +
1 1
3 3a− 【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调
性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值
域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性.
第Ⅱ卷共 90 分
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填在题中的横线上.
13.已知双曲线 与双曲线 的渐近线相同，且双曲线 的焦距为 ，则双曲
线 的方程为_______________．
【答案】 或
【解析】
【分析】
设双曲线 的方程为 ，根据焦距计算得到答案.
【详解】设双曲线 的方程为 ，故 ，
则 或 ，解得 或 ，
故双曲线 的方程为 或 ．
故答案 ： 或 .
【点睛】本题考查了双曲线方程，设方程为 是解题的关键.
14.已知实数 满足 ，则 的取值范围为___________________.
【答案】
【解析】
为
1C
2 2
2 : 12 6
x yC − = 1C 8
1C
2 2
14 12
x y− =
2 2
112 4
y x− =
1C
2 2
2 6
x y λ− =
1C
2 2
2 6
x y λ− = ( 0)λ ≠ 2 2
12 6
x y
λ λ− = ( 0)λ ≠
2 6 16λ λ+ = 2 6 16λ λ− − = 2λ = 2λ = −
1C
2 2
14 12
x y− =
2 2
112 4
y x− =
2 2
14 12
x y− =
2 2
112 4
y x− =
2 2
2 6
x y λ− =
,x y
2 3 0
4
3 0
x y
x y
x y
− ≥
+ > 3
2
C 31, 2
: 2l y kx= − C A B Ω AB
C（2）记 为坐标原点，若点 不在圆 内，求实数 的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）根据离心率公式以及将点 代入椭圆方程，联立方程组，即可得出椭圆方程；
（2）联立椭圆以及直线 方程，由判别式大于 0，得出 的范围，结合韦达定理得出 ，
的值，将点 与圆的位置，转化为 ，解不等式 ，即可得出
答案.
【详解】（1）依题意， ， ， ，解得 ， ，
故椭圆 的方程为 ；
（2）联立 消去 并整理得：
因直线 与椭圆 有两个交点，即方程 有不等的两实根，
故 ，解得
设 ， ，由根与系数的关系得
点 不在圆 内 ，即
又由
解得 ，故 ，则 或 ．
O O Ω k
2
2 14
x y+ = 3 32, ,22 2
− −
31, 2
l 2k 1 2x x+
1 2x x⋅ O 0OA OB⋅ ≥
1 2 1 2 0x x y y+ ≥
3
2
c
a
= 2 2
1 3 14a b
+ = 2 2 2a b c= + 2a = 1b = 3c =
C
2
2 14
x y+ =
2
2
2
14
y kx
x y
= − + =
y ( )2 21 4 16 12 0k x kx+ − + = (*)
l C ( )*
( )2 2( 16 ) 4 1 4 12 0k k∆ = − − + ⋅ > 2 3
4k >
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
1 2 2
1 2 2
16
1 4
12
1 4
kx x k
x x k
+ = +
⋅ = +
O Ω 0OA OB⇔ ⋅ ≥
1 2 1 2 0x x y y+ ≥
( )( ) ( )2
1 2 1 2 1 2 1 2 2 2
12 162 2 1 2 4 01 4 1 4
kx x y y x x kx kx k kk k
+ = + − − = + ⋅ − ⋅ + ≥+ +
2 4k ≤ 23 44 k< ≤ 3 22 k< ≤ 32 2k− ≤ < −则满实数 的取值范围为 ．
【点睛】本题主要考查了求椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题.
21.已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，记函数 在区间 的最大值为 .最小值为 ，求 的取值
范围.
【答案】（1）当 时，函数 的增区间为 ，无单调减区间；当 时，函数
的增区间为 ，减区间为 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）求出函数 的定义域， .分 和 两种情况讨论，即求
的单调区间；
（2）当 时，由（1）可得函数 在区间 单调递减，在区间 单调递增，
则 .比较 和 大小，分 和 两种情况讨论，构造函数，
求 的取值范围.
【详解】（1）函数 的定义域为 .
.
当 时， 恒成立， 函数 的增区间为 ，无单调减区间；
当 时，令 可得 ；令 可得 ，
函数 的增区间为 ，减区间为 .
综上，当 时，函数 的增区间为 ，无单调减区间；
当 时， 函数 的增区间为 ，减区间为 .
（2）当 时，由（1）可得函数 在区间 单调递减，在区间 单调递增.
的
k 3 32, ,22 2
− −
( ) ln 1( )f x x a x a R= − + ∈
( )f x
1 a e< < ( )f x [ ]1,e M m M m−
0a ≤ ( )f x ( )0, ∞+ 0a >
( )f x ( ),a +∞ ( )0,a [ )( 1)ln( 1) 2,1e e e− − − +
( )f x ( ) 1 a x af x x x
′ −= − = 0a ≤ 0a >
( )f x
1 a e< < ( )f x [ )1,a ( ],a e
( )m f a= ( )f e (1)f ( )M f e= (1)M f=
M m−
( )f x ( )0, ∞+
( ) 1 a x af x x x
′ −= − =
0a ≤ ( ) 0f x′ > ∴ ( )f x ( )0, ∞+
0a > ( ) 0f x′ > x a> ( ) 0f x′ < 0 x a< <
∴ ( )f x ( ),a +∞ ( )0,a
0a ≤ ( )f x ( )0, ∞+
0a > ( )f x ( ),a +∞ ( )0,a
1 a e< < ( )f x [ )1,a ( ],a e， ， .
由 .
①当 时， ，有
.
记 ，则 ，
函数 在 单调递减， ，
即 .
此时 的取值范围为 .
②当 时， ，有 .
记 ，则 ，
函数 在 单调递增， ，
即 .
此时 的取值范围为 .
综上， 的取值范围为 .
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查分类讨论的数学思想，属于难题.
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按
所做的第一题计分.作答时请写清题号.
22.在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点
为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为
（1）若 ，求直线 的极坐标方程以及曲线 的直角坐标方程：
（2）若直线 与曲线 交于 、 两点，且 ，求直线 的斜率．
( ) ln 1m f a a a a∴ = = − + (1) 2f = ( ) 1f e e a= − +
( ) (1) 1f e f e a− = − −
1 1a e< < − ( ) 1M f e e a= = − +
( 1) ( ln 1) ln 2M m e a a a a a a a e− = − + − − + = − +
( ) ln 2 (1 1)g x x x x e x e= − + < < − ( ) ln 1 0g x x′ = − <
∴ ( )g x ( )1, 1e − ( ) ( ) ( )1 1g e g x g∴ − < <
( 1)ln( 1) 2 ( ) 2e e e g x e− − − + < < −
M m− ( )( 1)ln( 1) 2, 2e e e e− − − + −
1e a e− ≤ < (1) 2M f= = 2 ( ln 1) ln 1M m a a a a a a− = − − + = − +
( ) ln 1( 1 )h x x x x e x e= − + − ≤ < ( ) ln 0h x x′ = >
∴ ( )h x ( )1,e e− ( ) ( ) ( )1h e h x h e∴ − < <
( 1)ln( 1) 2 ( ) 1 1e e e h x e e− − − + ≤ < − + =
M m− [ )( 1)ln( 1) 2,1e e e− − − +
M m− [ )( 1)ln( 1) 2,1e e e− − − +
xOy l
cos
sin
x t
y t
α
α
=
= t O
x C 2 2cos 4 sin 4ρ θ ρ θ− =
4
πα = l C
l C M N 12MN = l【答案】（1）直线 的极坐标方程为 ，曲线 C 的直角坐标方程为
（2）
【解析】
【分析】
（1）根据 ， ， ，求出直线 和曲线 的直角坐标方程；
（2）求出 ， ，根据 ，求出直线 的斜率即
可．
【详解】（1）由题意，直线 ，
可得直线 是过原点的直线，
故其极坐标方程为 ，
又 ，
故 ；
（2）由题意，直线 l 的极坐标为 ，
设 、 对应的极径分别为 ， ，
将 代入曲线 的极坐标可得：
，
故 ， ，
，
故 ，则 ，即 ， ，所以
l ( )
4 R
πθ ρ= ∈ 2 4 4x y= +
2±
2 2 2x y ρ+ = cosx ρ θ= siny ρ θ= l C
1 2 2
4sin
cos
αρ ρ α+ = 1 2 2
4
cos
ρ ρ α= − 12MN = l
2
2:
2
2
x t
l
y t
=
=
l
( )
4 R
πθ ρ= ∈
2 2cos 4 sin 4ρ θ ρ θ− =
2 4 4x y= +
( )Rθ α ρ= ∈
M N 1
ρ 2
ρ
( )Rθ α ρ= ∈ C
2 2cos 4 sin 4ρ ρα α− =
1 2 2
4sin
cos
αρ ρ α+ = 1 2 2
4
cos
ρ ρ α= −
∴ 1 2MN ρ ρ= − = ( )2
1 2 1 2 2
44 cos
ρ ρ ρ ρ α+ − =
2
4 12cos α = 2 1cos 3
α = 2 2 2sin 1 cos 3
α α= − = 2
2
2
sintan 2cos
αα α= =
故直线 的斜率是 ．
【点睛】本题考查了极坐标和直角坐标方程的转化，考查直线的斜率，是一道中档题．
23.已知函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）记 的最小值为 ，若正实数 ， 满足 ，求 的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1） ，讨论 ， ， 三种情况，分
别计算得到答案.
（2）计算 ， ，展开利用均值不等式计算得到
答案
【详解】（1） ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，故 ；
当 时， ，故 ；
综上：所求不等式的解集为 ．
tan 2k α= = ±
l 2±
( ) 3f x =| x|+| x |−
(2 4) 10f x + ≤
( )f x m p q 1 1
3 2 mp q
+ = 9 4p q+
15 5| 4 4x x− ≤ ≤
( )1 5 2 63
+
(2 4) | 2 4 | | 2 1|f x x x+ = + + + 2x < − 12 2x− ≤ ≤ − 1
2x > −
1 1 33 2p q
+ = 1 1 19 4 (9 4 )3 3 2p q p q p q
+ = + +
(2 4) | 2 4 | | 2 1|f x x x+ = + + +
2x < − (2 4) (2 1) 10x x− + − + ≤ 15 24 x− ≤ < −
12 2x− ≤ ≤ − (2 4) (2 1) 10x x+ − + ≤ 12 2x− ≤ ≤ −
1
2x > − 15 5
4 4x− ≤ ≤ 1 5
2 4x− < ≤
15 5| 4 4x x− ≤ ≤ （2） ，故 ，
故
当且仅当 时等号成立，故 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了解绝对值不等式，绝对值三角不等式，均值不等式求最值，意在考查学
生的计算能力和应用能力.
( ) | | | 3| | 3| 3f x x x x x= + − ≥ − + = 1 1 33 2p q
+ =
1 1 1 1 4 99 4 (9 4 ) 3 23 3 2 3 3 2
q pp q p q p q p q
+ = + + = + + +
1 4 9 15 2 (5 2 6)3 3 2 3
q p
p q
≥ + ⋅ = +
2 2 3 3q p= 9 4p q+ ( )1 5 2 63
+
微信/支付宝扫码支付