陕西省宝鸡市2019届高三数学（理）2月模拟试题（Word解析版）

陕西省宝鸡市 2019 届高三 2 月模拟卷理科数学（三） 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集 ，集合 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求 ，再根据并集定义求结果. 【详解】因为 ，所以 ，选 C. 【点睛】本题考查集合的补集与并集，考查基本分析求解能力，属基本题. 2.在区间 上任意取一个数 ，使不等式 成立的概率为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先解不等式，再根据几何概型概率公式计算结果. 【详解】由 得 ，所以所求概率为 ，选 D. 【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求 解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有 时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域． （3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些 点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概 { }0,1,2,3,4U = { }0,1,2A = { }2,3B = ( )C A B∪ ∪ = ∅ { }1,2,3,4 { }2,3,4 { }0,1,2,3,4 C A∪ { }3,4C A∪ = ( ) { }2,3,4C A B∪ ∪ = [ 2,2]− x 2 0x x− < 1 6 1 2 1 3 1 4 2 0x x− < 0 1x< < 1 0 1 2 ( 2) 4 − =− −率． 3.已知各项为正数的等比数列 满足 ， ，则 （ ） A. 64 B. 32 C. 16 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据条件求公比，再根据等比数列通项公式求 【详解】由 得 选 B. 【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基本题. 4.欧拉公式 （ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函 数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知， 表示 的复数在复平面中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】 根据欧拉公式计算 ，再根据复数几何意义确定象限. 【详解】因为 ，所以对应点 ， 在第二象限，选 B. 【点睛】本题考查复数除法以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基本题. 5.已知 、 是不等式组 所表示的平面区域内的两个不同的点，则 的 最大值是（ ） { }na 1 1a = 2 4 16a a = 6a = 6.a 2 4 16a a = 2 4 4 5 5 1 6 116, 16 0 2 2 32.a q q q q a a q= = > ∴ = ∴ = = = cos sinixe x i x= + i 4 i i e e π π 4 i i e e π π 4 1 2 2 2 22 2 4 4 2 2 i i e cos isin i cos isine i π π π π π π + −= = = − + + + 2 2 2 2 −（ ， ） M N 1, 1, 1 0, 6 x y x y x y ≥  ≥ − + ≥  + ≤ | |MNA. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先作可行域，再根据图象确定 的最大值取法，并求结果. 【详解】作可行域，为图中四边形 ABCD 及其内部，由图象得 A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5) 四点共圆，BD 为直径，所以 的最大值为 BD= ,选 A. 【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确 无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进 行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上 取得. 6.若均不为 1 的实数 、 满足 ，且 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 举反例说明 A,C,D 不成立，根据基本不等式证明 B 成立. 【 详 解 】 当 时 ; 当 时 ; 当 时 17 34 2 3 2 17 2 MN MN 21 4 17+ = a b 0a b> > 1ab > log 3 log 3a b > 3 3 6a b+ > 13 3ab a b+ +> b aa b> 9, 3a b= = log 3 log 3a b < 2, 1a b= = 13 3ab a b+ += 4, 2a b= =; 因为 ， ，所以 ， 综上选 B. 【点睛】本题考查比较大小，考查基本分析论证能力，属基本题. 7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. B. C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】 根据三视图可知该几何体为一组合体，是一个棱长为 2 的正方体与三棱锥的组合体，根据体 积公式分别计算即可. 【详解】几何体为正方体与三棱锥的组合体，由正视图、俯视图可得该几何体的体积为 , 故选 A. 【点睛】本题主要考查了三视图，正方体与三棱锥的体积公式，属于中档题. 8.如图，边长为 1 正方形 ，射线 从 出发，绕着点 顺时针方向旋转至 ，在 旋转的过程中，记 ， 所经过的在正方形 内的区域（阴影部 分）的面积为 ，则函数 的图像是（ ） b aa b= 0a b> > 1ab > 23 3 2 3 3 2 3 2 3 6a b a b a b ab++ > = > > 2 38 3 + 8 2 3+ 28 3 3 1 1 2 32 + 2 3 2 83 2 3V = × × × × = + ABCD BP BA B BC ( [0, ])2ABP x x π∠ = ∈ BP ABCD ( )y f x= ( )f xA. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据条件列 ，再根据函数图象作判断. 【详解】当 时， ; 当 时， ; 根据正切函数图象可知选 D. 【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题. 9.下边程序框图 算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行 该程序框图，若输入 、 、 的值分别为 6、8、0，则输出 和 的值分别为（ ） 的 ( )y f x= 0, 4x π ∈   ( ) 1 12y f x tanx= = × × ,4 2x π π ∈   ( ) 1 11 12y f x tanx = = − × × a b i a iA. 0，3 B. 0，4 C. 2，3 D. 2，4 【答案】C 【解析】 【分析】 执行循环，直至 终止循环输出结果. 【详解】执行循环，得 ，结束循环，输出 ，此 时 ,选 C. 【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关 概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止 条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 10.已知函数 的图像关于 轴对称，则 的图像向左平移（ ） 个单位，可以得到 的图像（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据条件确定 关系，再化简 ，最后根据诱导公式确定选项. 【 详 解 】 因 为 函 数 的 图 像 关 于 轴 对 称 ， 所 以 a b= 1, 2; 2, 4; 3, 2i b i a i a= = = = = = 2, 2a b= = 3i = sin( ), 0( ) cos( ), 0 x a xf x x b x + ≤=  + > y siny x= cos( )y x a b= + + 4 π 3 π 2 π π ,a b ( )cosy x a b= + + ( ) ( ) ( ) , 0 , 0 sin x a xf x cos x b x  + ≤=  + > y， ，即 ， 因此 ， 从而 ,选 D. 【点睛】本题考查偶函数性质、诱导公式、三角函数图象变换，考查基本分析识别能力，属 中档题. 11.已知一条抛物线恰好经过等腰梯形 的四个顶点，其中 ， ，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 不妨设抛物线标准方程 ，将条件转化为坐标，代入解出 ，即得结果. 【详解】不妨设抛物线标准方程 ，可设 ， 则 ，即抛物线的焦点到其准线的距离是 ，选 B. 【点睛】本题考查抛物线方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基本题. 12.已知正方体 的棱长为 2， 为 的中点.若 平面 ，且 平面 ，则平面 截正方体所得截面的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据线面垂直确定平面 ，再根据截面形状求周长. 【详解】显然在正方体中 平面 ,所以 , 取 AC 中点 E, 取 AE 中点 O,则 , sin cos2 2a b π π   − + = +       ( ) ( )sin cosa bπ π− + = + sin cos sin cosb a a b，= = π 2 π( )2a b k k Z+ = + ∈ ( ) ( )cos siny x a b sinx x π= + + = − = + ABCD 4AB = 2BC CD AD= = = 3 4 3 2 3 2 3 2 2 ( 0)x py p= > p 2 2 ( 0)x py p= > (1, ), (2, 3)C m B m + 1 2 33 2 3 24 2 ( 3) pm p p p m = ∴ = ∴ = = + 3 2 1 1 1 1ABCD A B C D− M 1CC AM ⊥ α B∈ α α 3 2 2 5+ 4 4 2+ 2 2 2 5+ 6 2 α BD ⊥ 1 1ACC A BD ⊥ AM 1 1tan tanAOA ACM AO AM∠ = ∠ ∴ ⊥取 A1C1 中点 E1, 取 A1E1 中点 O1,过 O1 作 PQ//B1D1,分别交 A1B1,A1D1 于 P,Q 从而 平面 ,四边形 为等腰梯形， 周长为 ，选 A. 【点睛】本题考查线面垂直判断以及截面性质，考查综合分析与求解能力，属难题. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知双曲线 C： ，点 P (2，1) 在 C 的渐近线上，则 C 的率心率 为 ． 【答案】 【解析】 试题分析：根据双曲线的方程，可知焦点在 x 轴上，结合 P (2，1)在渐近线上，所以 即 所以 ，从而有其离心率 ． 考点：双曲线的离心率． 14. 的展开式中的常数项的值是__________．（用数学作答） 【答案】60 【解析】 【分析】 根据二项式定理确定常数项的取法，计算得结果. 【详解】因为 ， 所以令 得 ，即常数项为 【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 项，由 特定项得出 值，最后求出其参数. AM ⊥ BDQP BDQP 22 2 2 2 1 2 3 2 2 5+ + × + = + 2 2 2 2 1x y a b − = 1 52 1 ,2 b a = 2 ,a b= 5c b= ce a = = 1 52 61(2 )−x x 366 6 2 1 6 6 1(2 ) ( ) (2) ( 1) r r r r r r r rT C x C x x −− − + = − = − 36 02 r− = 4r = 4 6 4 4 6 (2) ( 1) 60.C − − = 1r + r 1r + r15.设 的外心 满足 ，则 __________． 【答案】 【解析】 分析】 根据向量表示确定外心为重心，即得三角形为正三角形，即得结果. 【详解】设 BC 中点为 M,所以 ,因此 P 为重心，而 为 的 外心，所以 为正三角形， . 【点睛】本题考查向量表示以及重心性质，考查综合分析与求解能力，属中档题. 16.数列 的首项为 ，其余各项为 或 ，且在第 个 和第 个 之间有 个 ， 即数列 为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…，记数列 的前 项和为 ，则 __________.（用数字作答） 【答案】3993 【解析】 【分析】 先由题意，得到第 个 1 为数列 第 项，根据题意，分组求和，即可求出结 果. 【详解】由题意，第 个 1 为数列 第 项， 当 时， ； 当 ，时 ； 所以前 2019 项有 45 个 1 和 个 2， 因此 . 【点睛】本题主要考查数列的求和，熟记分组求和的方法即可，属于常考题型. 三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 17.在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，已知 ， ， 【 ABC∆ P 1 ( )3AP AB AC= +   cos BAC∠ = 1 2 ( )1 2 3 3AP AB AC AM= + =    P ABC∆ ABC∆ 1cos 2BAC∠ = { }na 1 1 2 k 1 1k + 1 2 1k − 2 { }na 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 { }na n nS 2019S = 1k + { }na 2 1k k+ + 1k + { }na ( ) 21 1 3 5 2 1 1k k k k+ + + + + + − = + + 44k = 2 1 1981k k+ + = 45k = 2 1 2071k k+ + = ( )244 2019 1981+ − ( )2 2019 45 2 44 2019 1981 3993S  = + × + − =  ABC A B C a b c 1cos2 3A = − 3c =． （1）求 的值； （2）若角 为锐角，求 的值及 的面积． 【答案】（1） （2） ， 【解析】 【分析】 （1）结合题设条件和正弦定理 ，即可求解； （2）由余弦的倍角公式，求得 ， ，再结合余弦定理和三角形的面积 公式，即可求解. 【详解】（1）在 中，因为 ， ， 由正弦定理 ，解得 （2）因为 ，又 ， 所以 ， ． 由余弦定理 ，得 ， 解得 或 （舍），所以 . 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三 角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 18.如图（1），等腰梯形 ， ， ， ， 、 分别是 的两 个三等分点.若把等腰梯形沿虚线 、 折起，使得点 和点 重合，记为点 ，如图 （2）. sin 6sinA C= a A b ABC 3 2a = 5b = 5 2 2ABCS∆ = sin sin a c A C = 3cos 3A = 6sin 3A = ABC 3c = sin 6sinA C= sin sin a c A C = 3 2a = 2 1cos2 2cos 1 3A A= − = − 0 2A π< < 3cos 3A = 6sin 3A = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 15 0b b− − = 5b = 3b = − 1 5 2sin2 2ABCS bc A∆ = = ABCD 2AB = 16CD = 2 2AD = E F CD AF BE C D P（1）求证：平面 平面 ； （2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）根据线面垂直的判定定理，先证明 面 ，再由面面垂直的判定定理，即可得 出结论成立； （2）过 作 于 ，过 作 BE 的平行线交 AB 于 ，得到 面 ，又 ，EF， 所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系，用空间向量的方法， 分别求出平面 和平面 的法向量，计算向量夹角余弦值，即可求出结果. 【详解】（1）因为 ， 是 的两个三等分点，易知， 是正方形，故 ， 又 ，且 ，所以 面 ， 又 面 ，所以面 . （2）过 作 于 ，过 作 BE 的平行线交 AB 于 ，则 面 ， 又 ，EF， 所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系， PEF ⊥ ABEF PAF PAB 7 7 BE⊥ PEF P PO EF⊥ O O G PO ⊥ ABEF PO OG PAF PAB E F CD ABEF BE EF⊥ BE PE⊥ PE EF E∩ = BE⊥ PEF BE ⊂ ABEF PEF ABEF⊥ P PO EF⊥ O O G PO ⊥ ABEF PO OG则 ， ， ， ， 所以 ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，∴ ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，∴ ， ， 因此 ， 所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值 . 【点睛】本题主要考查证明面面垂直，以及求二面角的余弦值，熟记线面垂直，面面垂直的 判定定理，以及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型. 19.已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上， 且 轴， 的周长为 6. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，设 为坐标原点，是否存在常数 ，使 得 恒成立？请说明理由. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）当 时， 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由三角形周长可得 ，求出 ，再根据 即可写出椭圆标准方 程（Ⅱ）假设存在常数 满足条件，分两类讨论（1）当过点 的直线 的斜率不存在时， 写出 A,B 坐标，代入 可得 （2）当过点 的直线 的斜率存 ( )2, 1,0A − ( )2,1,0B ( )0, 1,0F − ( )0,0, 3P ( )2,0,0AF = − ( )0,1, 3FP = ( )0,2,0AB = ( )2, 1, 3PA = − − PAF ( )1 1 1 1, ,n x y z= 1 1 0 0 n AF n FP  ⋅ = ⋅ =     1 1 1 2 0 3 0 x y z − = + = ( )1 0, 3,1n = − PAB ( )2 2 2 2, ,n x y z= 2 2 0 0 n AB n PA  ⋅ = ⋅ =     2 2 2 2 2 0 2 3 0 y x y x = − − = ( )2 3,0,2n = 1 2 1 2 2 7cos 72 7 n n n n θ ⋅ = = = ⋅⋅     PAF PAB 7 7 1F 2F 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 0(1, )P y 2PF x⊥ 1 2PF F∆ (0,1)T C A B O λ 7OA OB TA TBλ⋅ + ⋅ = −    2 2 14 3 x y+ = 2λ = 7OA OB TA TBλ⋅ + ⋅ = −    1 2 4PF PF+ = a 2 2 2b a c= − λ T AB 7OA OB TA TB   λ⋅ + ⋅ = − 2λ = T AB在时，设直线 的方程为 ，设 ， ，联立方程组，利用根与系 数的关系代入 中化简即可求出 . 【详解】（Ⅰ）由题意， ， ， ∵ 的周长为 6，∴ ∴ ， ∴椭圆的标准方程为 . （Ⅱ）假设存在常数 满足条件. （1）当过点 的直线 的斜率不存在时， ， ， ∴ ， ∴当 时， ； （2）当过点 的直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，设 ， ， 联立 ，化简得 ， ∴ ， . ∴ ∴ ，解得： 即 时， ； 综上所述，当 时， . 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，向量的坐标运算，分类 讨论的思想，属于难题. AB 1y kx= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y OA OB TA TBλ⋅ + ⋅ =    ( )( )1 2 1 2 1 2 1 21 1x x y y x x y yλ  + + + − −  2λ = ( )1 1,0F − ( )2 1,0F 1c = 1 2PF F∆ 1 2 2 2 2 6PF PF c a c+ + = + = 2a = 3b = 2 2 14 3 x y+ = λ T AB ( )0, 3A ( )0, 3B − OA OB TA TBλ⋅ + ⋅ =    ( )( )3 3 1 3 1λ  − + − − − =  3 2 7λ− − = − 2λ = 7OA OB TA TB   λ⋅ + ⋅ = − T AB AB 1y kx= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 2 14 3 1 x y y kx  + =  = + ( )2 23 4 8 8 0k x kx+ + − = 1 2 2 8 4 3 kx x k + = − + 1 2 2 8 4 3x x k = − + OA OB TA TBλ⋅ + ⋅ =    ( )( )1 2 1 2 1 2 1 21 1x x y y x x y yλ  + + + − −  ( )( ) ( )2 1 2 1 21 1 1k x x k x xλ= + + + + + ( )( )2 2 2 2 8 1 1 8 14 3 4 3 k k k k λ+ + = − − ++ + ( ) ( ) 2 2 8 2 1 1 74 3 k k λ λ − + + + = + = −+ 2 1 14 3 λ λ+ += = 2λ = 2λ = 7OA OB TA TB   λ⋅ + ⋅ = − 2λ = 7OA OB TA TB   λ⋅ + ⋅ = −20.某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有 人，若逐个检验就需要检 验 次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有 个人，把这个 个人 的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这 个人的血液全为阴性，因而这 个人只要检 验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个 个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这 个人 再逐个进行检验，这时 个人的检验次数为 次.假设在接受检验的人群中，每个人的检验 结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为 . （Ⅰ）为熟悉检验流程，先对 3 个人进行逐个检验，若 ，求 3 人中恰好有 1 人检测结 果为阳性的概率； （Ⅱ）设 为 个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数. ①当 ， 时，求 的分布列； ②是运用统计概率的相关知识，求当 和 满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）①见解析，②当 时，用分组的办法能减少检验次数. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据独立重复试验概率公式得结果;（Ⅱ）①先确定随机变量，再分别计算对应概率， 列表可得分布列，②先求数学期望，再根据条件列不等式，解得结果. 【详解】（Ⅰ）对 3 人进行检验，且检验结果是独立的， 设事件 ：3 人中恰有 1 人检测结果为阳性，则其概率 （Ⅱ）①当 ， 时，则 5 人一组混合检验结果为阴性的概率为 ，每人所检验 的次数为 次，若混合检验结果为阳性，则其概率为 ，则每人所检验的次数为 次， 故 的分布列为 ②分组时，每人检验次数的期望如下 N N k k k k k k k 1k + p 0.1p = ξ k 5k = 0.1p = ξ k p 0.243 11 kP k − > A ( ) 1 2 3 0.1 0.9 0.243P A C= ⋅ ⋅ = 5K = 0.1P = 50.9 1 5 51 0.9− 6 5 ξ ξ 1 5 6 5 P 50.9 51 0.9−∴ 不分组时，每人检验次数为 1 次，要使分组办法能减少检验次数，需 即 所以当 时，用分组的办法能减少检验次数. 【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，第二步是“探 求概率”，第三步是“写分布列”，第四步是“求期望值”. 21.已知函数 ，其中 为大于零的常数 （Ⅰ）讨论 的单调区间； （Ⅱ）若 存在两个极值点 ， ，且不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ） . 【解析】 【分析】 （Ⅰ）先求导数，再根据导函数零点情况分类讨论导函数符号，最后根据导函数符号确定函 数单调区间;（Ⅱ）先根据参变分离法转化为求对应函数最值问题，再根据极值点条件化函数 为一元函数，最后利用导数求对应函数单调性以及最值，即得结果. 【详解】（Ⅰ） ， （1）当 时， ， 在 在上单调递增 （2）当 时，设方程 的两根为 ， ( )1 1 kP Pk ξ = = −   ( )1 1 1 1 kP Pk ξ = + = − −   ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 1 1 1k k kE P P Pk k k ξ   = ⋅ − + + − − = − − +    ( ) 11 1 1kP k − − + < 11 kP k − > 11 kP k − > 2( ) 4 4 ln(2 )f x x x m x= − + m ( )y f x= ( )y f x= 1x 2 1 2( )x x x< 1 2( )f x ax≥ a ( ], 3 2ln2a∈ −∞ − − ( ) 28 4 ( 0)x x mf x xx − += >′ 1 2m ≥ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x ( )0,+∞ 10 2m< < 28 4 0x x m− + = 1x 2x则 ， ∴ ， ， ∴ 在 ， 上单调递增， 上单调递减 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 且 ， 由 ∴ 因为 所以 设 ， 令 当 时， 故 在 上单调递减，所以 综上所述， 时， 恒成立. 【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的 单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量， 构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 选修 4-4：坐标系与参数方程 22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），在以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线 与曲线 的极坐标方程分别为 ， 1 1 1 2 4 mx − −= 2 1 1 2 4 mx + −= 1 10 4x< < 2 1 1 4 2x< < ( )f x ( )10, x ( )2 ,x +∞ ( )1 2,x x 10 2m< < 1 2 1 2x x+ = 1 2 8 mx x⋅ = ( )1 2f x ax≥ ( )1 2 f xa x ≤ ( ) ( ) ( )22 1 1 1 1 1 1 1 14 4 ln2 2 1 1 4 1 2 ln2f x x x m x x x x x= − + = − − + − ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 2 1 1 22 1 2 8 ln21 1 2 2 f x f x x x xx xx = = − − +−− 12t x= 10 2t< < ( ) ( ) 2 12 1 2 ln (0 )1 2h t t t t tt = − − + < = − −   ( ], 3 2ln2a∈ −∞ − − ( )1 2f x ax≥ xOy l 1x t y t = −  = t O x 1C 2C 3 cosρ θ=. （Ⅰ）求直线 极坐标方程； （Ⅱ）设曲线 与曲线 的一个交点为点 （ 不为极点），直线 与 的交点为 ，求 . 【答案】（Ⅰ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）消参得直线的普通方程，再利用公式转化为极坐标方程即可（Ⅱ）利用极坐标的极径 的几何意义分别求 ，根据 求解. 【详解】（Ⅰ）直线 的参数方程为 （ 为参数） 消参得： ， 由 代入直角坐标方程可得 （Ⅱ）法 1：由 得 ，所以 点 的极坐标 ，又点 在直线 上，所以设 的极坐标为 由 得 ，所以 ， 所以 . 法 2：曲线 与曲线 的直角坐标为 ， 由 得点 的坐标 所以直线 的方程为 由 得点 的坐标为 的 3sinρ θ= l 1C 2C A A l OA B | |AB sin cos 1ρ θ ρ θ+ = 5 32AB（Ⅱ） = − ,A ρ B ρ A BAB ρ ρ= − l 1x t y t = −  = t 1 0y x+ − = cos , sinx yρ θ ρ θ= = sin cos 1ρ θ ρ θ+ = 3 cos 3sin ρ θ ρ θ  = = 3tan 3 θ = 6 πθ = A 3( , )2 6A π B OA B ( , )6B πρ sin cos 1ρ θ ρ θ+ = 3 1B ρ = − ( 3 1, )6B π− 5 32A BAB ρ ρ= − = − 1C 2C 2 2 3 0x y x+ − = 2 2 3 0x y x+ − = 2 2 2 2 3 0 3 0 x y x x y x  + − = + − = A 3 3 3,4 4A       OA 3 3y x= 1 3 3 x y y x + = = B 3 3 3 1,2 2B  − −   所以 ， 或者： 【点睛】本题主要考查了直线的参数方程，极坐标方程，利用极坐标中极径求弦长，属于中 档题. 选修 4-5：不等式选讲 23.已知函数 （ 为实数） （Ⅰ）当 时，求函数 的最小值； （Ⅱ）若 ，解不等式 【答案】（1）1（2） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据绝对值不等式的性质即可求出 的最小值（Ⅱ）分区间讨论去掉绝对值号，解 含参不等式即可. 【详解】（Ⅰ） 时， 所以 的最小值为 1 （Ⅱ）① 时， ， ， 因为 所以此时解得： ② 时， ， ， 此时： ③ 时， ， ，此时无解； 3 2OA = 3 1OB = − 5 32AB = − 2 2 3 3 3 3 3 1 37 5 34 2 4 2 4AB    − −= − + − = −          5 32AB = − ( ) 1 2f x x a x= − + − a 1a = ( )f x 1a > ( )f x a≤ 3 1{x |1 }1 ax a +≤ ≤ + ( )f x 1a = ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1f x x x x x= − + − ≥ − − − = ( )f x 2x > ( ) 1 2f x x ax a a= − + − ≤ 3 1 1 ax a +≤ + 3 1 12 01 1 a a a a + −− = >+ + 3 12 1 ax a +< ≤ + 1 2x≤ ≤ ( ) 1 2f x x ax a a= − − + ≤ 1x ≥ 1 2x≤ ≤ 1x < ( ) 1 2f x x ax a a= − − + ≤ 1x ≥综上：不等式的解集为 【点睛】本题主要考查了含绝对值函数的最小值，含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想 方法，属于中档题. 3 1{x |1 }1 ax a +≤ ≤ +