2019 年宝鸡市高考模拟试题（二）
理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共计 150 分，考试时
间 120 分钟.
注意事项：
1. 答卷前，请将试题（卷）和答题纸上密封线内的项目填写清楚.
2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔填涂在答题卡上.
3. 非选择题用黑色签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，在试题（卷）上
作答无效.
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若集合 ，集合 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求得 ，然后求两个集合的交集.
【详解】由 解得 ，故 ，故选 C.
【点睛】本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础
题.
2.复数 满足 ，则 （ ）．
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
( )( ){ }1 3 0M x x x= + − < { }1N x x= < M N∩
( )1,3 ( ), 1−∞ − ( )1,1− ( )3,1−
M
( )( )1 3 0x x+ − < 1 3x- < < ( )1,1M N∩ = −
z ( )21 1z i i− = + z =
1
2
2
2 2利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，复数 ，得 ，
∴ ．
故选 B．
【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复
数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基
础题．
3.若直线 x＋（1＋m）y－2＝0 与直线 mx＋2y＋4＝0 平行，则 m 的值是（ ）
A. 1 B. －2 C. 1 或－2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分类讨论直线 的斜率情况，然后根据两直线平行的充要条件求解即可得
到所求．
【详解】①当 时，两直线分别为 和 ，此时两直线相交，不合
题意．
②当 时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得 ，解得 ．
综上可得 ．
故选 A．
【点睛】本题考查两直线平行的等价条件，解题的关键是将问题转化为对直线斜率存在性的
讨论．也可利用以下结论求解：若 ，则
且 或 且 ．
4.设向量 ， ，若 与 垂直，则实数 k 的值等于（ ）
( )21 1z i i− = + 2 2
1 1 (1 ) 1 1
(1 ) 2 2 2 2
i i i iz ii i i
+ + + ⋅= = = = − +− − −
2 21 1 2| | 2 2 2z = − + =
3
2
−
( )1 2 0x m y+ + − =
1m = − 2 0x − = 2 4 0x y− − =
1m ≠ −
1
1 2
2 21
m
m
m
− = − +
≠ − +
1m =
1m =
1 1 1 1 2 2 2 2: 0, : 0l A x B y C l A x B y C+ + = + + = 1 2l l ⇔
1 2 2 1A B A B= 1 2 2 1BC BC≠ 1 2 2 1A B A B= 1 2 2 1AC A C≠
(1,1)a = (2, 3)b = − 2ka b− aA. 1 B. －1 C. 2 D. －2
【答案】B
【解析】
分析：由两个向量垂直得向量的数量积为 0，利用向量的坐标表示计算即可.
详解：向量 ，
则
若 与 垂直，则
解得 .
故选 B.
点睛：本题主要考查了向量数量积的坐标运算，属于基础题.
5.已知 满足约束条件 则 的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
做出可行域，根据图像，即可求解.
【详解】做出可行域，如下图所示（阴影部分）：
由 ，解得 ，
由图像可得，当目标函数 过点 时，
取得最小值为 3.
故选:B.
( ) ( )1,1 , 2, 3a b= = −
( )2 k 4,k 6ka b− = − +
2ka b− a k 4 k 6 0− + + =
1k = −
,x y
2 0,
2 0,
1,
x y
x y
y
+ − ≥
− − ≤
≥
2z x y= +
2 3 4 5
1
2
y
x y
=
+ =
1
1
x
y
=
= (1,1)A
2z x y= + A【点睛】本题考查二元一次不等式表示平面区域，考查线性目标函数的最值，属于基础题.
6.设 D 为椭圆 上任意一点，A（0，－2），B（0，2），延长 AD 至点 P，使得|PD|＝
|BD|，则点 P 的轨迹方程为（ ）
A. x2＋（y－2）2＝20 B. x2＋（y－2）2＝5
C. x2＋（y＋2）2＝20 D. x2＋（y＋2）2＝5
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意得 ，从而得到点 的轨迹是以点 为圆心，半
径为 的圆，进而可得其轨迹方程．
【详解】由题意得 ，
又点 为椭圆 上任意一点，且 为椭圆的两个焦点，
∴ ，
∴ ，
∴点 的轨迹是以点 A 为圆心，半径为 的圆，
∴点 的轨迹方程为 ．
故选 C．
【点睛】本题考查圆的方程的求法和椭圆的定义，解题的关键是根据椭圆的定义得到
2
2 15
yx + =
2 5PA PD DA DB DA= + = + = P A
2 5
PA PD DA DB DA= + = +
D
2
2 15
yx + = ( ) ( )0, 2 , 0,2A B−
2 5DB DA+ =
2 5PA =
P 2 5
P ( )22 2 20x y+ + =，然后再根据圆的定义得到所求轨迹，进而求出其方程．考查对基础知识的理解
和运用，属于基础题．
7.执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：
①f（x）＝sinx ②f（x）＝cosx ③ ④f（x）＝x2
则输出的函数是（ ）
A. f（x）＝sinx B. f（x）＝cosx C. D. f（x）＝x2
【答案】A
【解析】
试题分析：对① ，显然满足 ，且存在零点.故选 A.
考点：程序框图及函数的性质.
8.如图，正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点 E、F，且 EF= ．则
下列结论中正确的个数为
2 5PA =
1( )f x x
=
1( )f x x
=
( ) sinf x x= ( ) ( ) 0f x f x+ − =
1
2①AC⊥BE；
②EF∥平面 ABCD；
③三棱锥 A﹣BEF 的体积为定值；
④ 的面积与 的面积相等，
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
试题分析：①中 AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面 DD1B1B，故可得出 AC⊥BE，此命题正
确；②EF∥平面 ABCD，由正方体 ABCD-A1B1C1D1 的两个底面平行，EF 在其一面上，故 EF
与平面 ABCD 无公共点，故有 EF∥平面 ABCD，此命题正确；③三棱锥 A-BEF 的体积为定值，
由几何体的性质及图形知，三角形 BEF 的面积是定值，A 点到面 DD1B1B 距离是定值，故可
得三棱锥 A-BEF 的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B 到线段 EF 的距离与 A
到 EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确
考点：1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质
9.函数 （ω＞0）的图像过点（1，2），若 f（x）相邻的
两个零点 x1，x2 满足|x1－x2|＝6，则 f（x）的单调增区间为（ ）
A. [－2＋12k，4＋12k]（k∈Z） B. [－5＋12k，1＋12k]（k∈Z）
C. [1＋12k，7＋12k]（k∈Z） D. [－2＋6k，1＋6k]（k∈Z）
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意得 ，根据相邻两个零点满足 得到周期为 ，
于是可得 ．再根据函数图象过点 求出 ，于是可得函数的解析式，
然后可求出单调增区间．
【详解】由题意得 ，
∵ 相邻的两个零点 ， 满足 ，
AEF∆ BEF∆
( ) sin( ) 3 cos( )f x x xω ϕ ω ϕ= + + +
( ) 2 3f x sin x
πω ϕ = + + 1 2 6x x− = 12T =
6
π=ω ( )1,2 2 ( )k k Zϕ π= ∈
( ) ( ) ( )3 2 3f x sin x cos x sin x
πω ϕ ω ϕ ω ϕ = + + + = + +
( )f x 1x 2x 1 2 6x x− =∴函数 的周期为 ，
∴ ，
∴ ．
又函数图象过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
由 ，
得 ，
∴ 的单调增区间为 ．
故选 B．
【点睛】解答本题的关键是从题中所给的信息中得到相关数据，进而得到函数的解析式，然
后再求出函数的单调递增区间，解体时注意整体代换思想的运用，考查三角函数的性质和应
用，属于基础题．
10.已知抛物线 x2＝16y 的焦点为 F，双曲线 的左、右焦点分别为 F1、F2，点 P 是
双曲线右支上一点，则|PF|＋|PF1|的最小值为（ ）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】
由 题 意 并 结 合 双 曲 线 的 定 义 可 得
，然后根据两点间的距离公式可
( )f x 12T =
6
π=ω
( ) 2 6 3f x sin x
π πϕ = + +
( )1,2
2 2 2 26 3 2sin sin cos
π π πϕ ϕ ϕ + + = + = =
cos 1ϕ =
2 ( )k k Zϕ π= ∈
( ) 2 6 3f x sin x
π π = +
2 2 ,2 6 3 2k x k k Z
π π π ππ π− + ≤ + ≤ + ∈
5 12 1 12 ,k x k k Z− + ≤ ≤ + ∈
( )f x [ ]( )5 12 ,1 12k k k Z− + + ∈
2 2
14 5
x y− =
1 2 2 2( 4) 4 4PF PF PF PF PF PF FF+ = + + = + + ≥ +得所求最小值．
【详解】由题意得抛物线 的焦点为 ，双曲线 的左、右焦点分别
为 ．
∵点 是双曲线右支上一点，
∴ ．
∴ ，当且仅当
三点共线时等号成立，
∴ 的最小值为 9．
故选 C．
【点睛】解答本题的关键是认真分析题意，然后结合图形借助数形结合的方法求解．另外在
解题中注意利用双曲线的定义将所求问题进行转化，考查分析理解能力和解决问题的能力，
属于基础题．
11.已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分
也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】考查函数 ,所以 ，
所以 在 上递增，
若 则 ，
若 ，则 ，故选 A.
12.定义在 上的函数 ，满足 为 的导函数，且
，若 ，且 ，则有（ ）
A. B.
2 16x y= ( )0,4F
2 2
14 5
x y− =
( ) ( )1 23,0 , 3,0F F−
P
1 2 4PF PF= +
1 2 2 2( 4) 4 4 5 4 9PF PF PF PF PF PF FF+ = + + = + + ≥ + = + =
2, ,F P F
1PF PF+
, Rα β ∈ α β> sin sinα β α β− > −
( )f x x sinx= − ( ) 1 0f x cosx−′ = >
( )f x ( ),−∞ +∞
α β> ， sin sinα β α β− > −
sin sinα β α β− > − α β>
R ( )y f x= (3 ) ( ), ( )f x f x f x′− = ( )f x
3 ( ) 02x f x ′−
1 2( ) ( )f x f x> 1 2( ) ( )f x f x 1 2x x< ， 2
3
2x >
1
3
2x > ( ) ( )1 2f x f x>
1
3
2x < 1
33 2x− > 2 13x x> − ( ) ( )1 23f x f x− > ( ) ( )1 2f x f x>
2 3( 2 3)x x− − 2x
( )32 2 3x x− − ( )2 2 3x x− − 2x
( )2 2 3x x− − 2x ( )2 2 3x x− − 3−
1 2 2 2
3 ( 3) 27C x x⋅ ⋅ − =
( )2 2 3x x− − 2x− ( )2 2 3x x− − 3−
2 2 2
3 ( 2 ) ( 3) 36C x x⋅ − ⋅ − = −
2x 2 2 236 27 9x x x− + = −
9−解，另一个是根据组合的方法求解，考查转化和计算能力，注意考虑问题时要全面，属于基
础题．
14.已知曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ，则 的值
为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义求出 ，然后将所给齐次式转化为只含有 的形式后求解即可．
【详解】由 得 ，
∴ ，故 ．
∴ ．
故答案为 ．
【点睛】本题以对数的几何意义为载体考查三角求值，对于含有 的齐次式的求值
问题，一般利用同角三角函数关系式转化为关于 的形式后再求解，这是解答此类问题时
的常用方法，属于基础题．
15.一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为__________．
【答案】
【解析】
如图所示，三视图还原为几何体是棱长为 2 的正方体中的组合体 ，将其分割为四
棱锥 和三棱锥 ，其中：
32( ) 3f x x= ( )1, (1)f α 2 2
2
sin cos
2sin cos cos
α α
α α α
−
+
3
5
tan 2α = tanα
( ) 32
3f x x= ( ) 22f x x′ =
( )1 2f ′ = tan 2α =
2 2 2 2
2
1 2 1 3
2 2 1 2 2 1 5
sin cos tan
sin cos cos tan
α α α
α α α α
− − −= = =+ + × +
3
5
sin ,cosα α
tanα
10
3
ABCDEF
B CDEF− F ABC− ， ，
该几何体的体积 .
16.已知三角形的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ， ，则角
最大时，三角形 的面积等于__．
【答案】
【解析】
【分析】
由 题 意 得 ， 根 据 余 弦 定 理 得 到
，然后利用换元法和二次函数的最值
的求法得到 ，并求出此时 ，进而可得三角形的面积．
【详解】∵ ，
( )1 2 21 2 23 2B CDEFV −
+ ×= × × = 1 1 42 2 23 2 3F ABCV −
= × × × × =
4 102 3 3V = + =
A B C a b c 2a = 2 2 6b c− =
A ABC
2
2 2 +6b c=
2 2 2 2 2 2 2
2 22
( 6) 2 ( 2)cos 2 ( 6)2 6
b c a c c cA bc c cc c
+ − + + − += = = ++ ⋅
2 2cos 3A ≥ 6, 2 3c b= =
2 2 6b c− =∴ ．
由余弦定理的推论得 ，
设 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
∴当角 最大时， ，
∴ ，
∴ ，
即角 最大时，三角形 的面积等于 ．
故答案为 ．
【点睛】解答本题的关键是由余弦定理得到 的表达式，然后根据二次函数求最值的方法
得到 ，由于题中涉及到运算量较大，所以在解题中注意换元法的运用，通过减
少参数的方法达到求解的目的．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤）
（一）必考题：共 60 分.
17.设数列 满足 ， ；数列 的前 项和为 ，且
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ， ；（2）
2 2 +6b c=
2 2 2 2 2 2 2 2
2 22 2 2
( 6) 2 2 ( 2)cos 2 ( 6)2 6 ( 6)
b c a c c c cA bc c cc c c c
+ − + + − + += = = = ++ ⋅ +
2 2( 2)t c t= + >
2 2
2
2
2
1 1 2 2cos 1 1 1 1 9( 2)( 4) 2 8 38 2 1 8( )8 8
t tA t t t t
t t t
= = = = ≥− + + − − ⋅ + ⋅ + − − +
8t = 6, 2 3c b= =
A 2 2cos 3A =
1sin 3A =
1 12 3 6 22 3ABCS∆ = × × × =
A ABC 2
2
cos A
2 2cos 3A ≥
{ }na 1 2a = 1 2n
n na a+ − = { }nb n nS
21 32nS n n= -（ ）
{ }na { }nb
n n nc a b= { }nc n nT
2n
na = 3 2nb n= − ( ) 110 3 5 2n
nT n += + − ⋅【解析】
【分析】
（1）分别利用累加法、数列的递推公式得到数列 和数列 的通项公式．
（2）利用数列求和的错位相减即可得到数列 的前 项和 ．
【详解】（1）
，……， ，
以上 个式子相加得：
当 时，
=
当 时， ，符合上式，
（2）
①
②
①-②得
【点睛】已知 求数列的通项公式时，可采用累加法得到通项公式，通项公式
{ }na { }nb
{ }nc n nT
1
2 1 2a a- = ， 2
3 2 2a a- = ，
3
4 3 2a a- = 1
1 2n
n na a −
−− =
1n −
( )1
1 2 3 1
1
2 1 2
2 2 2 2 2 21 2
n
n n
na a
-
- -
- = + + +¼ + = = --
2n
na∴ =
2n ≥ 1n n nb S S −= −
21 32 n n（ ）− 21 3[ 1 12 ]n n（ ） （ ）− − − −
3 2n= −
1n = 1 1 1b S= =
3 2nb n\ = - ；
3 2 2n
n n nc a b n= = - × （ ）
1 2 31 2 4 2 7 2 3 2 2n
nT n= × + × + × + + - × （ ）
2 3 4 12 1 2 4 2 7 2 3 2 2n
nT n += × + × + × + + - × （ ）
2 3 12 3 2 2 2 3 2 2n n
nT n +- = + + + + - - ×（ ）（ ）
( )14 1 2
2 3 1 2
n−−
= + × −
13 2 2nn +- - ×（ ）
110 5 3 2nn +=- + - ×（ ）
110 3 5 2n
nT n +\ = + - ×（ ）
1 ( )n na a f n+ = +为等差的一次函数乘以等比的数列形式（等差等比数列相乘）的前 项和采用错位相减法．
18.甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪 70 元，每单抽成 2 元；乙
公司无底薪，40 单以内（含 40 单）的部分每单抽成 4 元，超出 40 单的部分每单抽成 6 元.假
设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记
录其 100 天的送餐单数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 20 40 20 10 10
乙公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 10 20 20 40 10
（1）现从甲公司记录的这 100 天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于 40 的概率；
（2）若将频率视为概率，回答以下问题：
（i）记乙公司送餐员日工资为 （单位：元），求 的分布列和数学期望；
（ii）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用
所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.
【答案】(1) ；(2)(ⅰ)见解析；(ⅱ)小明去乙公司应聘
【解析】
【分析】
（1）根据古典概型概率公式及组合数进行计算即可．（2）(ⅰ)先求出乙公司送餐员每天的日
工资，再根据频数表得到相应的频率，即为概率，进而可得分布列和期望； (ⅱ)求出甲公司
送餐员日平均工资为 元，与(ⅰ)中得到的乙公司送餐员的日平均工资 元作比较后可得
结论．
【详解】（1）记“从甲公司记录的这 100 天中随机抽取两天，抽取的两天送餐单数都大于 40”
为事件 M，
n
X X
19
495
149 162则 ．
即抽取的两天送餐单数都大于 40 的概率为 ．
（2） (ⅰ)设乙公司送餐员日送餐单数为 ,
则当 时, ，
当 时, ，
当 时, ，
当 时, ，
当 时, ．
所以 X 的所有可能取值为 ．
由频数表可得
， ， ，
， ，
所以 X 的分布列为
152 156 160 166 172
所以 ．
(ⅱ)依题意,甲公司送餐员日平均送餐单数
所以甲公司送餐员日平均工资为 70+2 元.
由(ⅰ)得乙公司送餐员日平均工资为 162 元.
因为 149 = = =
×
AF BDF 5
5
1( ,0)4
1
4x = −的面积．
【答案】（1） ；（2） 或
【解析】
【分析】
（1）根据题意及抛物线的定义可得轨迹 的方程为 ；（2）设 边所在直线方程为
， 代 入 抛 物 线 方 程 后 得 到 关 于 的 二 次 方 程 ， 进 而 由 根 与 系 数 的 关 系 可 得
，又由两平行线间的距离公式可得 ，由 求出
或 ，于是可得正方形的边长，进而可得其面积．
【详解】（1）由题意得动圆 的圆心到点 的距离与它到直线 的距离相等，
所以圆心 的轨迹是以 为焦点，以 为准线的抛物线，且 ，
所以圆心 的轨迹方程为 ．
（2）由题意设 边所在直线方程为 ，
由 消去 整理得 ，
∵直线 和抛物线交于两点，
∴ ，解得 ．
设 ， ，
则 .
∴ ．
又直线 与直线 间的距离为 ，
∵ ，
∴ ，解得 或 ，
2y x= 18S = 50S =
M 2y x= CD
y x t= + x
( )2 1 4CD t= − 4
2
tAD
−= AD CD=
2t = − 6t = −
P
1 ,04
1
4x = −
P
1 ,04
1
4x = − 1
2p =
P 2y x=
CD y x t= +
2
y x t
y x
= +
=
y ( )2 22 1 0x t x t+ − + =
CD
( )2 21 2 4 1 4 0t t t= − − = − >
1
4t <
( )1 1,C x y ( )2 2,D x y
2
1 2 1 21 2 ,x x t x x t+ = − =
( ) ( ) ( )2 2 2
1 2 1 22 4 2 1 2 4 2 1 4CD x x x x t t t = + − = − − = −
AB CD 4
2
tAD
−=
AD CD=
( ) 42 1 4
2
tt
−− = 2t = − 6t = −经检验 和 都满足 ．
∴正方形边长 或 ，
∴正方形 的面积 或 ．
【点睛】（1）对抛物线定义的考查有两个层次，一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点 M
满足定义，它到准线的距离为 ，则 ，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；二
是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．
（2）计算弦长时要注意整体代换的应用，以减少运算量，提高解题的效率．
21.已知函数 .
（1）讨论函数 单调性；
（2）若函数 有两个极值点 ，证明： .
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）求出 ，对 （或 ）是否恒成立对 分类讨论，若恒成立，得出
的单调性，若不恒成立，求解 ，即可得出结论；
（2）由（1）得出知 ，且 ， ，将
表示为关于 的函数 ，求导得出 的单调性，即可证明结论.
详解】（1） ，
令 .
①当 ，即 时， 恒成立，
所以 在 上单调递增；
②当 时， ，故 恒成立，
所以 在 上单调递增；
的
【
2t = − 6t = − 0>
3 2AD = 5 2AD =
ABCD 18S = 50S =
d | |MF d=
( ) ( )ln 1
axf x x a Rx
= − ∈+
( )f x
( )f x 1 2x x< ( ) ( )1 21 2
2 2
f x f xx xf
++ <
4a > 1 2 2x x a+ = − 1 2 1=x x
( ) ( )1 21 2
2 2
f x f xx xf
++ −
a ( )h a ( )h a
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )2
2 2
1 2 11 0
1
'
1
a x ax xf x a x xx x x x
+ − + − += − = >
+ +
( ) ( ) ( )2 2 1 0p x x a x x= + − + >
( )22 4 0a∆ = − − ≤ 0 4a≤ ≤ ( )' 0f x ≥
( )f x ( )0, ∞+
0a < ( ) 1p x > ( )' 0f x >
( )f x ( )0, ∞+③当 时，由于 的两根为： ，
的解集是 ，
的解集是 .
所以 分别在区间 ， 上递增，
在 上递减，
综上， 时，函数 在 上递增；
时，函数 分别在区间 ，
上递增，在 上递减.
（2）由（1）知 ，且 ， ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 上为减函数，又 ，所以 ，
所以 .
【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值、证明不等式，考查分
4a > ( )' 0f x = 22 4 02
a a ax
− ± −= >
( ) 0f x′ >
2 22 4 2 40, ,2 2
a a a a a a − − − − + − +∞
( ) 0f x′ <
2 22 4 2 4,2 2
a a a a a a − − − − + −
( )f x
22 40, 2
a a a − − −
22 4 ,2
a a a − + − +∞
2 22 4 2 4,2 2
a a a a a a − − − − + −
4a ≤ ( )f x ( )0, ∞+
4a > ( )f x
22 40, 2
a a a − − −
22 4 ,2
a a a − + − +∞
2 22 4 2 4,2 2
a a a a a a − − − − + −
4a > 1 2 2x x a+ = − 1 2 1=x x
( ) ( ) 1 2
1 2 1 2
1 2
ln ln1 1
ax axf x f x x xx x
+ = − + −+ +
( ) ( )
( )( )1 2 2 1
1 2
1 2
1 1ln 1 1
ax x ax xx x ax x
+ + += − = −+ +
1 2
2
2 2 2ln 22 2 2 12
aax x a af f a
−⋅+ − − = = − − +
( )2ln 22
a a
−= − −
( ) ( )1 21 2 2ln 22 2 2 2
f x f xx x a af a
++ − − = − + +
2ln 22 2
a a−= − +
( ) ( )2ln 2 42 2
a ah a a
−= − + > ( ) ( )
2 1 1 4 02 2 2 2' 2
ah a a a
−= ⋅ − =
− −
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