2020 年高考数学一诊测试试卷
一、选择题（共 9 小题）
1.若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简集合 ，再利用并集的定义求解即可.
【详解】 集合 , ,
属于集合 或属于集合 的元素组成的集合 ，故选 D.
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键
是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 或属于集合 的元素的
集合.
2.设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
， ，故为充分不必要条件.
3.设函数 ，则下列结论中错误的是（ ）
A. 的一个周期为 B. 的最大值为 2
C. 在区间 上单调递减 D. 的一个零点为
【答案】D
【解析】
{ }2 1A x x= < { }0 2B x x= < < A B =
{ }0 1x x< < { }1 0x x− < < { }1 2x x< <
{ }1 2x x− < <
A
{ } { }2 1 1 1A x x x x= < = − < < { }0 2B x x= < <
∴ A B { }1 2A B x x∪ = − < <
A B
x∈R | 1| 1x − < 2 2 0x x− − <
1 1 1 1 1 0 2x x x− < ⇔ − < − < ⇔ < < 2 2 0 1 2x x x− − < ⇒ − < <
( ) ( )sin 3 cosf x x x x R= + ∈
( )f x 2π ( )f x
( )f x 2,6 3
π π
3f x
π + 6x
π=【分析】
先利用两角和 正弦公式化简函数 ，再由奇偶性的定义判断 ；由三角函数的有界性
判断 ；利用正弦函数的单调性判断 ；将 代入 判断 .
【详解】 ，
周期 正确；
的最大值为 2， 正确，
，
在 上递减， 正确；
时， ，
不是 的零点， 不正确.
故选 D.
【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调
性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属
于中档题.
4.函数 的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：因为 ，所以 或 ，由于函数 在 上递减，
函数 在定义域内递减，根据复合函数单调性得性质可知函数
的单调递增区间为 ，故选 D.
的 ( )f x A
B C 6x
π=
3f x
π + D
( ) sin 3cosf x x x= +
32sin x
π = +
( )f x 2 2 ,1T A
π π= =
( )f x B
2 5, , ,6 3 3 2 6x x
π π π π π ∈ ∴ + ∈
( )f x∴ 2,6 3
π π
C
6x
π= 1 03 2f x f
π π + = = ≠
6x
π=
3f x
π + D
2
1
2
( ) log ( 9)f x x= −
(0, )+∞ ( ,0)−∞ (3, )+∞ ( , 3)−∞ −
2 9 0x − > 3x > 3x < − 2 9y x= − ( ), 3−∞ −
1
2
logy x= 2
1
2
( ) log ( 9)f x x= −
( , 3)−∞ −考点：1、函数的定义域；2、函数的单调性.
5.已知 是公差 不为零的等差数列，其前 项和为 ，若 成等比数列，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
∵等差数列 ， ， ， 成等比数列，∴ ，
∴ ，∴ ， ，故选 B.
考点：1.等差数列的通项公式及其前 项和；2.等比数列的概念
6.已知离心率为 的双曲线 的左、右焦点分别是 ，若点
是抛物线 的准线与 的渐近线的一个交点，且满足 ，则双曲线的方程是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求出四个选项中双曲线的离心率，判断是否为 ，利用排除法可得结果.
【详解】对于 ， 的离心率为 ，不合题意；
对于 ， 的离心率为 ，不合题意；
对于 ， 的离心率为 ，不合题意；
{ }na d n nS 3 4 8, ,a a a
1 40, 0a d dS> > 1 40, 0a d dS< <
1 40, 0a d dS> < 1 40, 0a d dS< >
5
3
( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > > 1 2,F F P
2 12y x= C 1 2PF PF⊥
2 2
116 9
x y− =
2 2
13 4
x y− =
2 2
19 16
x y− =
2 2
14 3
x y− =
5
3
A
2 2
116 9
x y− = 5
4e =
B
2 2
13 4
x y− = 21
3e =
D
2 2
14 3
x y− = 7
2e =对于 ， 的离心率为 ，符合题意.
故选 C.
【点睛】本题主要考查双曲线的方程与性质，考查了抛物线的方程与性质，考查了选择题的
特殊解法，属于中档题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项
进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法.特殊法
是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这
种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.
7.已知函数 是定义在 上的偶函数,当 时, ,则不等式
的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求出当 时不等式的解集，在根据偶函数的对称性求出当 时不等式的解集，从
而求出 的解集，则 ，即可得解.
【详解】当 时, 的解为 ；
当 时，根据偶函数图像的对称性知不等式 的解为 ，
所以不等式 的解集为 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：C
【点睛】本题考查偶函数的性质，涉及一元二次不等式，属于基础题.
8.函数 ，若方程 有且只有两个不等的实根，则实数 的
取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
C
2 2
19 16
x y− = 5
3e =
( )f x R 0x ≥ 2( ) 4f x x x= − ( 2) 5f x + <
( 3,7)− ( )4,5− ( 7,3)− ( )2,6−
0x ≥ 0x <
( ) 5f x < 5 2 5x− < + <
0x ≥ 2( ) 4 5f x x x= − < 0 5x≤ <
0x < ( ) 5f x < 5 x 0− < <
( ) 5f x < { }5 5x x− < <
( 2) 5f x + < { } { }5 2 5 7 3x x x x− < + < = − < <
2 1( 0)( )
( 1)( 0)
x xf x
f x x
− − ≤= − >
( )f x x a= + a
( ,1)−∞ [0,1) ( ,0)−∞ [0, )+∞【解析】
【分析】
在同一坐标系中画出 的图像与 的图像，利用数形结合，易求出满足条件的实数
的取值范围.
【详解】画出函数图像如下：
当 时，函数 的图像与 的图像有两个交点，
即方程 有且只有两个不等的实根.
故选：A
【点睛】本题考查分段函数的图像，根的存在性及根的个数的判断，将方程根的个数转化为
求函数零点的个数，并用图像法进行解答是本题的关键，属于基础题.
9.已知函数 的定义域为 ，且函数 的图象关于直线 对称，
当 时， （其中 是 的导函数），若
, , ，则 的大小关系是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
( )f x y x a= +
a
1a < ( )y f x= y x a= +
( )f x x a= +
( )y f x= ( ),π π− ( )2y f x= + 2x = −
( )0,x π∈ ( ) ln ' sin2f x x f x
ππ = −
( )'f x ( )f x
( )log 3a f π= 1
3
log 9b f
=
1
3c f π =
, ,a b c
b a c> > a b c> > c b a> > b c a> >求出 ,可得 的值，能确定 的解析式，分类讨论可确定 的符号，可
得 在 上递增，再利用指数函数、对数函数的单调性比较 的大小关系，
结合函数 的奇偶性与单调性可得结果.
【详解】 ， ，
， ，
当 时， ；
当 时， ，
即 在 上递增，
的图象关于 对称，
向右平移 2 个单位得到 的图象关于 轴对称，
即 为偶函数， ，
，
，
即 ，
，
即 .
故选 D.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，
属于难题. 在比较 ， ， ， 的大小时，首先应该根据函数 的奇偶
性与周期性将 ， ， ， 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然
后根据单调性比较大小．
( )'f x ' 2f
π
( )'f x ( )'f x
( )f x ( )0,π 1
3 log 3 2ππ 、 、
( )f x
( ) ln ' sin2f x x f x
ππ = − ( )' ' cos2f x f xx
π π ∴ = −
' 2 ' cos 22 2 2f f
π π π = − =
( )' 2cosf x xx
π= −
2 x
π ≤ < π ( )2cos 0, ' 0x f x≤ >
0 2x
π< < ( )2,2cos 2, ' 0x f xx
π > < ∴ >
( )f x ( )0,π
( )2y f x= + 2x = −
( )2y f x∴ = + ( )y f x= y
( )y f x= ( ) ( )1
3
log 9 2 2b f f f
= = − =
0 log 1 log 3 log 1π π π π= < < =
1 1
0 3 21 2π π π= < < <
1
30 log 3 2π π π< < < <
( ) ( )1
32 log 3f f f ππ ∴ > >
b c a> >
( )1f x ( )2f x ( )nf x ( )f x
( )1f x ( )2f x ( )nf x.
二、填空题（共 6 小题）
10. 是虚数单位,若 是纯虚数,则实数 的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
对复数 进行化简计算，再根据纯虚数的定义，得到 的值.
【详解】
因为复数为纯虚数，
所以 ，得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查复数的计算，根据复数类型求参数的值，属于简单题.
11.我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1536 石，
验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 256 粒内夹谷 18 粒，则这批米内夹谷约为_______
【答案】 （石）.
【解析】
【分析】
根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而求得结果.
【详解】因为 256 粒内夹谷 18 粒，
故可得米中含谷的频率为 ，
则 1536 石中米夹谷约为 1536 （石）.
故答案为： （石）.
i 2
1
ai
i
+
+ a
2−
2
1
ai
i
+
+ a
( )( )
( )( )
2 12
1 1 1
ai iai
i i i
+ −+ =+ + −
( ) ( )
2
2 2
1
a a i
i
+ + −= −
2 2
2 2
a a i
+ −= +
2 02
a+ = 2a = −
2−
108
18 9
256 128
=
9 108128
× =
108【点睛】本题考查由样本估计总体的应用，以及频率估计概率的应用，属基础题.
12.在 的展开式中，含 项的系数为_________.（用数字填写答案）
【答案】
【解析】
试 题 分 析 ： 由 题 意 可 得 ， 令
，综上所述， 的系数为 ，故答案为 .
考点：1、二项展开式的通项公式；2、二项展开式的系数.
13.已知等边三角形的边长为 2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所
围成的几何体的体积为________.
【答案】
【解析】
【分析】
将边长为 2 的正三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是由两
个底面半径为 ，高为 1 的圆锥组成的组合体，利用圆锥的体积公式可得结果.
【详解】
将边长为 2 的正三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个
组合体，该组合体由两个同底的圆锥组成，两个圆锥的底面半径为 ，高为 1，
体积为 .
故答案为 .
【点睛】本题主要考查圆锥的性质、圆锥的体积公式的应用，考查空间想象能力以及灵活应
用所学知识解答问题的能力，属于基础题.
14.己知 x>0，y>0，且 ，若 x＋2y≥m2＋2m 恒成立，则实数 m 的取值范围________.
【答案】
【解析】
2 61( )x x
+ 3x
20
( )62 12 3
1 6 6
1 r
rr r r
rT C x C xx
− −
+
= =
3 3 3
4 612 3 3, 3, 20r r T C x x− = ∴ = ∴ = = 3x 20 20
2π
3
3
( )212 3 1 23
π π× × × =
2π
2 1 1x y
+ =
[ 4,2]−【分析】
由 ，可得 展开，利用基本不等式可求 得最小值，
不等式等价于 ，据此求出 的取值范围即可.
【详解】由 ，可得 ，
而 恒成立 ，
所以 恒成立，即 恒成立，
解得 ，
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质，以及一元二次不等式的解法的运用，属于中档
题.
15.已知菱形 的边长为 2， ，点 分别在边 上，
， ，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
连接 交于 ，以 为原点，以 为 轴， 轴的正半轴建立直角坐标系，求
得 的坐标，从而可得结果.
【详解】
连接 交于 ，以 为原点，
以 为 轴， 轴的正半轴建立直角坐标系，
菱形边长为 2， ，
2 1 1x y
+ = ( ) 2 12 2x y x y x y
+ = + + 2x y+
( )2
min2 2m m x y+ ≤ + m
2 1 1x y
+ = ( ) 1 4 42 2 4 4 2 82 x y x yx y x y y y x y xx
+ = + + = + + ≥ + ⋅ =
22 2x y m m+ ≥ + ( )2
min2 2m m x y⇔ + ≤ +
2 2 8m m+ ≤ 2 2 8 0m m+ − ≤
4 2m− ≤ ≤
[ 4,2]−
ABCD 60ABC∠ = ° ,E F ,AD DC
( )1
2BE BA BD= + 1
3DF DC= BE BF⋅ =
22
3
,AC BD O O ,OC OD x y
,BE BF
,AC BD O O
,OC OD x y
60ABC∠ = ，
为 的中点， ，
，
，
.
故答案为 .
【点睛】本题主要考查平面向量 线性运算以及平面向量数量积的坐标表示，属于中档题. 平
面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的
坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙
用．
三、解答题（共 5 小题）
16.在 中，内角 所对的边分别为 ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）2；（2） .
【解析】
【分析】
（1）在 中，由 ，利用余弦定理可得 ，从而
可得结果；（2）先求得 ，由正弦定理可得 ，利用二倍角的正弦公式
可得 ，由同角三角函数的关系可得 ，进而由两角和的正弦公式可
的
( ) ( ) ( ) ( )1,0 , 0, 3 , 1,0 , 0, 3A B C D∴ − −
( )1
2BE BA BD= +
E∴ AD 1 3,2 2E
−
1 1 2 3, ,3 3 3BF DC F
= ∴
1 3 3 1 5 3, , ,2 2 3 3BE BF
∴ = − =
1 15 22
6 2 3BE BF∴ ⋅ = − + =
22
3
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 14, 3,cos 4a c A= = = −
b
sin 2 6B
π +
21 5 17
64
+
ABC∆ 14, 3,cos 4a c A= = = − 22 3 14 0b b+ − =
15sin 4A = 15sin 8B =
7 15sin2 32B = 17cos2 32B =得结果.
【详解】（1）在 中，根据余弦定理， ，
于是 ，
解得 或 （舍去），故 .
（2）在 中， ，于是 .
根据正弦定理，得 ， .
又 为钝角， 为锐角，即 .
从而 ， ，
.
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及二倍角的正弦公式，属于中档题.对余弦定理一
定要熟记两种形式：（1） ；（2） ，同时还要
熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
17.在如图所示的几何体中，四边形 是正方形，四边形 是梯形，
∥ ， ，平面 平面 ，且 .
（Ⅰ）求证： ∥平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的大小；
ABC∆ 2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
22 3 14 0b b+ − =
2b = 7
2b = − 2b =
ABC∆ 1cos 4A = − 2 15sin 1 cos 4A A= − =
sin sin
a b
A B
= ∴ 15sin 8B =
A ∴ B 2 7cos 1 sin 8B B= − =
7 15sin2 2sin cos 32B B B= = 2 2 17cos2 cos sin 32B B B= − =
∴ 21 5 17sin 2 sin2 cos cos2 sin6 6 6 64B B B
π π π + + = + =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
2 2 2
cos 2
b c aA bc
+ −=
30 ,45 ,60o o o
ABCD ADPQ PD
QA
2PDA
π∠ = ADPQ ⊥ ABCD 2 2AD PD QA= = =
QB PDC
C PB Q− −（Ⅲ）已知点 在棱 上，且异面直线 与 所成角的余弦值为 ，求线段
的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） .
【解析】
分析】
先利用线面垂直的性质证明直线 平面 ，以点 为原点，分别以 的
方向为 轴， 轴， 轴的正向建立空间直角坐标系，（1）可得 是平面
的一个法向量，求得 ，利用 ，且直线 平面 可得结果；
（2）利用向量垂直数量积为 0，列方程组分别求出平面 与平面 的法向量，由空间
向 量 夹 角 余 弦 公 式 可 得 结 果 ； （ 3 ） 设 ， 则 ，
，
由 ，可得 ， 解方程可得结果.
【详解】（1） 平面 平面 ，
平面 平面 ，
， ，
直线 平面 .
由题意，以点 为原点，分别以 的方向为 轴， 轴， 轴的正向建立如图空
间直角坐标系，
则可得： ，
.
依题意，易证： 是平面 的一个法向量，
又 ， ，
【
H PD AH PB 7 3
15
DH
5
6
π 3
2
PD ⊥ ABCD D , ,DA DC DP
x y z ( )2,0,0AD = − PDC
( )0,2, 1QB = − 0QB AD⋅ = QB ⊄ PDC
PBC PBQ
( )( )0,0, 0 2H h h≤ ≤ ( )2,0,AH h= −
( )2,2, 2PB = −
7 3cos< , 15PB AH > =
2
4 2 7 3
152 3 4
h
h
− − =
⋅ +
ADPQ ⊥ ABCD
ADPQ ∩ ABCD AD=
PD ADPQ⊂ 平面 PD AD⊥
∴ PD ⊥ ABCD
D , ,DA DC DP x y z
( ) ( ) ( )0,0,0 , 2,2,0 , 0,2,0D B C
( ) ( ) ( )2,0,0 , 2,0,1 , 0,0,2A Q P
( )2,0,0AD = − PDC
( )0,2, 1QB = − ∴ 0QB AD⋅ = 又 直线 平面 ， .
（2）
设 为平面 的法向量，
则 ，即 .
不妨设 ，可得 .
设 为平面 的法向量，
又 ，
则 ，即 .
不妨设 ，可得 ，
，
又二面角 为钝二面角，
二面角 的大小为 .
（3）设 ，则 ，又 ，
又 ，即 ，
，解得 或 （舍去）.
故所求线段 的长为 .
QB ⊄ PDC ∴ / /QB PDC平面
( ) ( )2,2, 2 , = 0,2 2PB PC= − − ，
( )1 1 1 1, ,n x y z= PBC
1
1
0
0
n PB
n PC
⋅ = ⋅ =
1 1 1
1 1
2 2 2 0
2 2 0
x y z
y z
+ − =
− =
1 1z = ( )1 0,1,1n =
( )2 2 2 2, ,n x y z= PBQ
( ) ( )2,2, 2 , 2,0, 1PB PQ= − = −
2
2
0
0
n PB
n PQ
⋅ = ⋅ =
2 2
2 2 2
2 0
2 2 2 0
x z
x y z
− =
+ − =
2 2z = ( )2 1,1,2n =
∴ 1 2
1 2
1 2
3cos< , 2
n nn n
n n
⋅>= =
⋅
C PB Q− −
∴ C PB Q− − 5
6
π
( )( )0,0, 0 2H h h≤ ≤ ( )2,0,AH h= − ( )2,2, 2PB = −
7 3cos< , 15PB AH > =
2
4 2 7 3
152 3 4
h
h
− − =
⋅ +
∴ 26 25 24 0h h− + = 3
2h = 8
3h =
DH 3
2【点睛】本题主要考查利用空间向量证明线面平行、求二面角，属于中档题.空间向量解答立
体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点
的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为
零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出
相应的角和距离.
18.已知椭圆 的离心率为 ， 分别为椭圆的左右焦点， 为椭
圆短轴的一个端点， 的面积为 .
（1）求椭圆的方程;
（2）若 是椭圆上异于顶点的四个点 与 相交于点 ，且 ,求
的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
(1)根据题意列出方程组，求解 即可求得椭圆的标准方程；(2) 设 ，
直线 方程为 ，与椭圆方程联立求出 ，利用弦长公式求出 ，
同理求出 ，从而表示出 ，根据题意求出 k 的取值范围从而求出 的范围.
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1
2 1 2,F F 1B
1 2BF F∆ 3
, , ,A B C D AC BD 1F 0AC BD⋅ =
| |
| |
AC
BD
2 2
14 3
x y+ = | | 3 13 13 15 15 4, , ,| | 4 15 15 13 13 3
AC
BD
∈ ∪ ∪
, ,a b c 1 1 2 2( , ), ( , )A x y C x y
AC ( 1)y k x= + 1 2 1 2,x x x x+ | |AC
| |BD | |
| |
AC
BD
| |
| |
AC
BD【 详 解 】 解 ： （ 1 ） ， 代 入 可 得
，
解得 ，则 ， ，
椭圆方程：
（2） ，设 ，直线 方程为 ，
联立直线 AC 方程与椭圆方程可得 ，
，
因为 ，所以直线 BD 的方程为 ，
把 代入 可得 ，
因为 是椭圆上异于顶点的四个点 与 ，所以两条直线均不过点
，所以 ，
因为 ，所以 ，
∴
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合应用，韦达定理，弦长公式，属于较
难题.
1 1 2
1
2
1 2 32B F F
c
a
S c b∆
=
= ⋅ ⋅ =
2
3
a c
b c
= =
2 2 2a b c= +
2 2
2
34c cc
= +
1c = 2a = 3b =
2 2
14 3
x y+ =
1( 1,0)F − 1 1 2 2( , ), ( , )A x y C x y AC ( 1)y k x= +
( )2 2 2 24 3 8 4 12 0k x k x k+ + + − =
2 2
1 2 1 22 2
8 4 12,3 4 3 4
k kx x x xk k
−+ = − =+ +
( )2
2 2
1 2 1 2 2
12 1
| | (1 )[( ) 4 4 3
k
AC k x x x x k
+
= + + − = +
0AC BD⋅ = 1 ( 1)y xk
= − +
1
k
− ( )2
2
12 1
4 3
k
k
+
+
( )2
2
12 1
| | 3 4
k
BD k
+
= +
, , ,A B C D AC BD
(0, 3),( 2,0)± ± 30, 3, 3k ≠ ± ±
2
2 2
| | 3 4 3 7 1 (| | 4 3
30, 3,4 4 4 3 )3
AC k
BD k k k
+= = + ≠ ± ±⋅+ +
24 3 3k + > 2
1 10 4 3 3k
< x
( )f x ( )' 0f x < x ( )f x 1a =
( )f x ( )0,1 ( )1,+∞ ( )2
1 1 0f fe
⋅
( ) ( )4 1 ln 1 0k x x f x− − + − <
( ) 1 3 ln4 1 ln 2 ln 1 0 ln4
xk x x x x k x x x
− − + − − − < ⇔ < + +
1 3 lnln4
xx x x
+ +
( ) ( )2 ln 0f x ax x x= − − >
∴ ( ) 1 1' axf x a x x
−= − =
0a ≤ ( )' 0f x < ( )0, ∞+
( )f x∴ ( )0, ∞+
0a > ( )' 0f x = 1x a
=
x ( )'f x ( )f x x
x 10, a
1
a
1 ,a
+∞
( )'f x 单调递减 单调递增
由上表中可知， 在 是单减函数，在 是单增函数.
综上，当 时， 的单减区间为 ；
当 时， 的单减区间为 ，单增区间为 .
（2）当 时，由（1）可知， 在 是单减函数，在 是单增函数；
又 ， ， .
， ；
故 在 有两个零点.
（3）当 ， 为整数，且当 时， 恒成立
.
令 ，只需 ；
又 ，
由（2）知， 在 有且仅有一个实数根 ，
在 上单减，在 上单增；
又 ， ，
( )f x
( )f x 10, a
1 ,a
+∞
0a ≤ ( )f x ( )0, ∞+
0a > ( )f x 10, a
1 ,a
+∞
1a = ( )f x ( )0,1 ( )1,+∞
2 2
1 1 0f e e
= >
( )1 1 0f = − < ( )2 2 4 0f e e= − >
∴ ( )2
1 1 0f fe
⋅ ( ) ( )4 1 ln 1 0k x x f x− − + − <
( ) 1 3 ln4 1 ln 2 ln 1 0 ln4
xk x x x x k x x x
⇔ − − + − − − < ⇔ < + +
( ) ( )3 lnln 1xF x x xx x
= + + > ( ) ( )min
1
4k F x k Z< ∈
( ) ( )
2 2 2 2
1 3 1 ln 2 ln' 0f xx x xF x x x x x x
− − −= − + = = =
( )' 0F x = ( )1,+∞ 0x
( )F x ( )01, x ( )0 ,x +∞
∴ ( ) ( ) ( )0
0 0min
0 0
ln3ln *xF x F x x x x
= = + +
( ) 1 ln3' 3 09F
−= < ( ) ( )2 1 ln22 ln4' 4 016 16F
−−= = >， 且 ，
即 代入 式，得
.
而 在 为增函数， ，
即 .
而 ， ，
即所求 的最大值为 0.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点以及不等式恒成立，属于难
题.近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与
广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则
与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；
第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及
函数单调性有机结合，设计综合题.
∴ ( ) ( )' 3 ' 4 0F F⋅ < ∴ ( )0 3,4x ∈ 0 02 ln 0x x− − =
0 0ln 2x x= − ( )*
( ) ( ) ( )0
0 0 0 0min
0 0 0
23 12 1, 3,4xF x F x x x xx x x
−= = − + + = + − ∈
0
0
1 1t x x
= + − ( )3,4 ∴ 7 13,3 4t ∈
( )min
1 7 13,4 12 16F x ∈
( )7 13, 0,112 16
⊂
∴ ( ) ( )min
1 0,14 F x ∈
0,k∴ ≤ k
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