天津市十二区县重点学校2020届高三数学联考（一）试题（Word版含答案）

2020 年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一） 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共 150 分.考试时间 120 分 钟． 第Ⅰ卷 选择题 (共 45 分) 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置 上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑； 参考公式：·如果事件 、 互斥，那么 柱体的体积公式 . 其中 表示柱体的底面积, 表示柱体的高. 一、 选择题(在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共 9 小题，每小题 5 分，满分 45 分) 1．已知全集 ，集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知 ，则“ ”是“ 对 恒成立”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 4．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方等于 10.，三棱 柱 的侧棱垂直于底面，且 ，若该三棱柱 的所有顶点都在同一球面上，利用张衡的结论可得该球的表面积为（ ） A．8 B． C．12 D． A B ( ) ( ) ( )P A B P A P B= + • ShV = S h { }2, 1,0,1,2,3U = − − { }ZxxxA ∈≤≤= ,10 { }1,2B = ( )UC A B = { }1,2 { }0,1,2 { }2, 1,3− − { }2, 1,0,3− − a R∈ 01 ( )2 22 4x y− + = 5 3 ( 2)y f x= − 2x = (0, )x∈ +∞ ( )f x ( )ln34a f= )2( efb −= 1lnc f π  =    e π , ,a b c a c b> > a b c> > c a b> > c b a> > ( ) cos2 2 3sin cosf x x x x= − ( )f x ( )f x ( )f x 5 12 π 2sin 2y x= AB / /CD AB 2= AD 1= 3 π=∠DAB M BC 3CE=  AF λAB=  AE DF 1⋅ = − 最大值为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 非选择题 (共 105 分) 二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡中的相应横线上) 10.若复数 满足： ，则复数 z 的虚部是_________ . 11.二项式 中，则其展开式中 x 的系数是_________ . 12.抛物线 ： 的焦点 F，其准线过（-2,2），过焦点 F 倾斜角为 的直线 交抛物线于 A,B 两点,则 =_________ ; 弦 AB 的长为_________ . 13.为了贯彻落实党中央对新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求，坚决防范疫情向校园蔓延， 切实保障广大师生身体健康和生命的安全，教育主管部门决定通过电视频道、网络平台等 多种方式实施线上教育教学工作.为了了解学生和家长对网课授课方式的满意度，从经济不 发达的 A 城市和经济发达的 B 城市分别随机调查了 20 个用户，得到了一个用户满意度评分 的样本，并绘制出茎叶图如下： 若评分不低于 80 分，则认为该用户对此 授课方式“认可”，否则认为该用户对此授课 方式“不认可”.以该样本中 A，B 城市的用户 对此授课方式“认可”的频率分别作为 A，B 城市用户对此授课方式“认可”的概率. 现从 A 城市和 B 城市的所有用户中分别 随机抽取 2 个用户，用 表示这 4 个用户中对此授课方式“认可”的用户个数，则 __________；用 表示这从 A 城市随机抽取 2 个用户中对此授课方式“认可”的用户个数， 则 的数学期望为_________ . 14.若存在 ，使得不等式 成立， 则实数 m 的取值范围是_________ . 15.已知函数 ，若函数 有三个零点，则实数 1 4 ( )1 |1 3 |z i i+ = + 2 2 ( 0)y px p= > ( ) ( ) 2g x f x k x= − + 64 63− 1− 64 23− z 5)13 xx +（ C 3 π p X == ）（ 3XP Y Y ),0(,, +∞∈cba 2 222 2 32 1 mmbcab cba +−+− ≤= + 1,23 1,)( 2 1 xxx xexf x的取值范围是_________ . 三、解答题（本大题 5 小题，共 75 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （本题满分 14 分） 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ，已知 的面积为 ， ， . （Ⅰ）求 和 的值； （Ⅱ）求 的值. 17．（本小题满分 15 分） 如图，平面 平面 ， 为矩形， 为等腰梯形， ， 分别为 ， 中点， ， ， . （I）证明： 平面 ； （II）求二面角 的正弦值； （III）线段 上是否存在点 ，使得 面 ，若存在求出 的长， 若不存在，说明理由. 18.（本小题满分 15 分） 已知椭圆 的左、右焦点 ，离心率为 ，点 是椭圆上 的动点， 的最大面积是 . （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）圆 E 经过椭圆的左右焦点，且与椭圆 在第一象限的交点为 ，且 三点 共线，直线 交椭圆 于两点 ，且 . （i） 求直线 的斜率； k ABC∆ A B C cba ,, ABC∆ 15 2b c− = 1cos 4A = − a sinC )32cos( π+C EFBA ⊥ ABCD EFBA ABCD CDAB // NM , FC AC °=∠ 45ADC 33 == ABDC 2=AE //MN EFBA DAC −−F ED P ⊥PN MAC EP 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1 2,F F 2 1 M 1 2MF F∆ 3 C C A 1F E A， ， l C P，Q ( )0OAPQ λ λ= ≠  OA（ii）当 的面积取到最大值时，求直线 的方程. 19.（本小题满分 15 分） 等比数列 的各项均为正数， 成等差数列，且满足 ，数列 的前 项和 ，且 （I）求数列 和 的通项公式； （II）设 ，求证: ； （III）设 ， ， ， 求 . 20.（本小题满分 16 分） 已知函数 . （I）求函数 的单调区间和极值； （II）当 时，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围； （III）若存在 ，且当 时， ，证明： . APQ∆ l { }na 645 4,,2 aaa 2 4 34a a= { }nb n ( ) *1 2 n n n bS n N += ∈， 1 1b = { }na { }nb *2 5 2 1 2 3 n n n n n bc a n Nb b + + + = ∈， 1 1 3 n k k c = =< nm nmnm 21 1052 21 20,cos1,sin 2 ==>=< nmnm DACF −− 21 1052 ),,,(, zyxPP 设假设存在这样一点 ( ) ( )2,1,12,,, −−=−= λλ zyxEDEP 即设 ( )λλλλλλ 2-2-22,, ，，即Pzyx −=−==∴ ( )1,2,4,22,1,2 1 −−=     −+−= nMACPN 的法向量平面λλλ nPNMACPN //∴⊥ 平面 1- 22 2 1 4- 2 1 −=+= − ∴ λλλ λλλ 即不存在这样的，且 5 3 2 5- ==∴ P不存在这样的∴ ,3,22 1 cbcaa ce ==∴== 13322 1 21 =∴=⋅⋅∆ cccFMF 面积的最大值为： 134 22 =+∴ yx椭圆方程为 经过椭圆两焦点圆E ),0( 0yEyE 轴上一点，设点为圆心∴ AE 点与椭圆在第一象限交于圆 00 >∴ y )2,1( ,, 0 1 yA AEF ∴ 三点共线 ………7 分 ………8 分 （ii） ………9 分 ………10 分 ………11 分 ………12 分 ………13 分 ………14 分 ………15 分 19．（本小题满分 15 分） 解：（I）设等比数列 的公比为 ，依题意，有 ，所以 因为 ,所以 ，且 ，解得 或 (舍)， ………1 分 因为 ，所以 所以 ………2 分 所以数列 的通项公式为 ………3 分 )2 3,1(,4 3 0 AyA 即点带入椭圆方程得到将 = 2 3的斜率为直线OA∴ OAPQ λ= 2 3的斜率也为直线PQ∴      += =+ mxy yx PQ 2 3 134 22 得：联立椭圆与 0333 22 =−++ mmxx即 ( ) ( ) 12001233129 2222 0q > 22 1 0q q+ − = 1 2q = 1q = − 2 4 3 2 44 4a a a a= = 2 1 4a = 1 1 2a = { }na ( )*1 2 n na n N = ∈  当 时， 整理得 ,即 ………4 分 所以数列 是首项为 的常数列. 所以 ，即 ，所以数列 的通项公式 .………5 分 （II）由(1)，得 ………7 分 所以 ………9 分 （III）法 1： ………10 分 ………11 分 ………12 分 令 2n ≥ 1 1 ( 1) 2 2 n n n n n n b nbb S S − − += − = − ( ) 11 nnn nb b −− = ( )1 21 n nb b nn n −= ≥− nb n     1 11 b = 1nb n = *( )nb n n N= ∈ { }nb *( )nb n n N= ∈ ( )( )2 5 2 1 2 3 5 22 1 2 1 2 13 2 1 1 2 2 3 2n n n n n n n b nc ab b n n n n + + +  − ⋅ + += = ⋅ =+ + +  ( ) ( )1 1 1 2 1 2 2 3 2n nn n−= −+ ⋅ + ⋅ 0 1 1 2 1 1 1 1 1 3 2 5 2 5 2 7 2 n k k c =    = − + −   ⋅ ⋅ ⋅ ⋅   ∑ nn nn 2)32( 1 2)12( 1... 1 ⋅+−⋅+++ − ( ) 1 1 1 3 2 3 2 3nn = − >< ,-,,00 ' mxgmxxgm 的单调递增区间为解的时，令当 ( ) ( ) ( )mxgmxxg -0,,0' ，的单调递减区间为解的令 ∴−−==∴ ∞+∴ mx x ϕϕ ϕ 上单调递减，在 ( ) [ )上单调递减，在且）（其中 ∞+ ,,0 ,,1,0 0 0 xxx xxx ）（即 ）（即 ϕ ϕ ( ) ( )上单调递增在）（即 00 ' ,1)(,,1,0 xxhxxxh ∴∈∀> ( ) ( ) ( ) 不满足题意，舍掉 又 ,,1,0 01 0xxxh h ∈∀>∴ = ………10 分 （III） 令 在 上单增 ……11 分 … … … 12 分 ………13 分 下面证明 令 则 即证明 ，只要证明 ……14 分 设 所以 在 上恒成立 所以 在 单调递减，故 ……15 分 所以 ，即 ……16 分 不妨设 1 20 x x< < ，因为 ( ) ( )1 2f x f x= ，所以 1 1 1 2 2 2 1 1sin ln 1 sin ln 12 2x x m x x x m x− + + = − + + ， 所以 2 2 1 1sin sinx x x x− > − ，从而 2 1 2 1sin sinx x x x− > − ； 所以 ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 1 1ln ln sin sin2 2m x x x x x x x x− − = − − − > − ，所以 2 1 2 1 2 0ln ln x xm x x −− > >− ； 1≤m综上： )(,0cos1)(,sin)( xPxxPxxxP ∴≥−=′−= ( )∞+，0 21 12 12 lnln xxxx xx >− − tx x = 1 2 1>t tt t >− ln 1 01ln −−= t t ttth 0 2 )1()( 2 14 2 21 < m xx