云南省曲靖市二中2020届高三数学（文）第一次模拟试题（Word解析版）

2020 年高考数学一模测试试卷(文科) 一､选择题(共 12 小题). 1.若复数 z (i 是虚数单位)，则|z|=（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 分析】 利用复数的除法运算化简后利用模的公式计算. 【详解】z . 所以|z| . 故选：B. 【点睛】本题主要考查复数的运算及模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2.已知集合 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由分式不等式的解法可求得集合 ，根据交集定义可求得结果. 【详解】由 得： ，解得： ， ， . 故选： . 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到分式不等式的求解，属于基础题. 3.已知平面 α∩β=l，m 是 α 内不同于 l 的直线，那么下列命题中错误的是（ ） 【 1 i i = − 1 2 2 2 2 ( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 i ii i ii i i + − += = = = − +− − + 2 21 1 2( ) ( )2 2 2 = − + = { }0,1,2A = 1 02 xB x x − = ≤ −  A B = { }0,1 { }1,2 { }1 { }2 B 1 02 x x − ≤− ( )( )1 2 0 2 0 x x x  − − ≤  − ≠ 1 2x≤ < { }1 2B x x∴ = ≤ < { }1A B∴ ∩ = CA. 若 m∥β，则 m∥l B. 若 m∥l，则 m∥β C. 若 m⊥β，则 m⊥l D. 若 m⊥l，则 m⊥β 【答案】D 【解析】 分析】 A 由线面平行的性质定理判断.B 根据两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行 于另一个平面判断.C 根据线面垂直的定义判断.D 根据线面垂直的判定定理判断. 【详解】A 选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行； B 选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面； C 选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线； D 选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面； 故选：D. 【点睛】本题主要考查线线关系和面面关系，还考查了推理论证的能力，属于中档题. 4.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 an+1=an+a(n∈N*，a 为常数)，若平面内的三个不共线的非 零向量 满足 ，A，B，C 三点共线且该直线不过 O 点， 则 S2010 等于（ ） A. 1005 B. 1006 C. 2010 D. 2012 【答案】A 【解析】 【分析】 根据 an+1=an+a，可判断数列{an}为等差数列，而根据 ，及三点 A， B，C 共线即可得出 a1+a2010=1，从而根据等差数列的前 n 项和公式即可求出 S2010 的值. 【详解】由 an+1=an+a，得，an+1﹣an=a； ∴{an}为等差数列； 由 ， 所以 A，B，C 三点共线； ∴a1005+a1006=a1+a2010=1， ∴S2010 . 【 OAOB OC  ， ， 1005 1006OC a OA a OB= +   1005 1006OC a OA a OB= +   1005 1006OC a OA a OB= +   ( )1 20102010 2010 1 10052 2 a a+ ×= = =故选：A. 【点睛】本题主要考查等差数列的定义，其前 n 项和公式以及共线向量定理，还考查运算求 解的能力，属于中档题. 5.已知向量 (1,cosθ)， ，且 ⊥ ，则 sin2θ+6cos2θ 的值为（ ） A. B. 2 C. 2 D. ﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据 ⊥ 可得 tanθ，而 sin2θ+6cos2θ ，分子分母同除以 cos2θ，代入 tanθ 可得答案. 【详解】因为向量 (1，cosθ)， (sinθ，﹣2)， 所以 因为 ⊥ ， 所以 ，即 tanθ=2， 所以 sin2θ+6cos2θ 2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中 档题. 6.执行如图所示的程序框图，令 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ） m = (sin , 2)n θ= − m n 1 2 2 m n 2 2 2 2 6sin cos cos sin cos θ θ θ θ θ += + m = n = sin 2cosm n θ θ⋅ = −  m n sin 2cos 0θ θ− = 2 2 2 2 2 6 2 6 2 2 6 1 4 1 sin cos cos tan sin cos tan θ θ θ θ θ θ θ + + × += = = =+ + + ( )y f x= ( ) 1f a > aA. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析：先根据程序框图得 解析式，再根据分段函数解三个不等式组，求并集得结果. 详解：因为 ，所以由 得 所以 因此选 D. 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概 念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条 件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 7.已知 ，“函数 有零点”是“函数 在 上是减函数”的 （ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分 也不必要条件 【答案】B 【解析】 ( ,2) (2,5]−∞ ∪ ( , 1) (1, )−∞ − +∞ ( ,2) (2, )−∞ ∪ +∞ ( , 1) (1,5]−∞ − ∪ ( )f x 2 , 2 ( )= 2 3,2 5 1 , 5 x x f x x x xx   ≤  − < ≤   >  ( ) 1f a > 2 52 2 5 11 2 3 1 1 aa a a a a >≤ < ≤    > − > >   或 或 1 1 2 2 5 1 1 5a a a a a< − < ≤ < ≤ ∴ < − < ≤或 或 或 ， m∈R 2 1xy m= + − logmy x= (0, )+∞试题分析：由题意得，由函数 有零点可得， ，而由函数 在 上为减函数可得 ，因此是必要不充分条件，故选 B． 考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件. 8.已知某班学生的数学成绩 x(单位:分)与物理成绩 y(单位:分)具有线性相关关系，在一次考试 中，从该班随机抽取 5 名学生的成绩，经计算: ，设其线性回归方程 为: .若该班某学生的数学成绩为 105，据此估计其物理成绩为（ ） A. 66 B. 68 C. 70 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意求出 ､ ，代入线性回归方程求得 ，再计算 x=105 时 的值. 【详解】由题意知， xi 475=95， yi 320=64， 代入线性回归方程 0.4x 中，得 64=0.4×95 ，解 26； 所以线性回归方程为 0.4x+26， 当 x=105 时， 0.4×105+26=68， 即该班某学生的数学成绩为 105 时，估计它的物理成绩为 68. 故选：B. 【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解及应用，还考查运算求解的能力，属于基础题. 9.等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ） A. 18 B. 10 C. -14 D. -22 【答案】D 【解析】 【分析】 由求和公式可得关于 和 的值，再代入求和公式可得. 5 5 1 1 475 320i i i i x y = = = =∑ ∑， ˆ ˆ 0.4y x a= + x y a y 5 1 1 5 i x = = ∑ 1 5 = × 5 1 1 5 i y = = ∑ 1 5 = × y = a+  a+  a = y = y = { }na n nS 2 2S = 3 6S = − 5S = 1a q【详解】解：设等比数列 的公比为 ，显然 ， 由求和公式可得 ①， ② 可得 ，解得 ， 代回①可得 ， 故选 D． 【点睛】本题考查等比数列的求和公式，属基础题 ． 10.函数 ， 的图象大致是 　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ∵函数 f（x）=2x﹣4sinx，∴f（﹣x）=﹣2x﹣4sin（﹣x）=﹣（2x﹣4sinx）=﹣f（x），故 函数 f（x）为奇函数， 所以函数 f（x）=2x﹣4sinx 的图象关于原点对称，排除 AB， 函数 f′（x）=2﹣4cosx，由 f′（x）=0 得 cosx= ，故 x=2k （k∈Z）， 所以 x=± 时函数取极值，排除 C， 故选 D． 点睛：本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图 { }na q 1q ≠ ( )2 1 2 1 21 a q S q − = =− ( )3 1 3 1 61 a q S q − = = −− ② ① 3 2 2 1 1 6 31 1 2 q q q q q − + + −= = = −− + 2q = − 1 2a = − ( ) ( ) ( ) 55 1 5 2 1 21 221 1 2 a q S q  − − −−  ∴ = = = −− − − ( ) 2 4sinf x x x= − ,2 2x π π ∈ −   ( )象选择题常用的方法． 11.已知 是双曲线 的左、右焦点，设双曲线的离心率为 ．若在双曲线的右支上存在点 ，满足 ，且 ，则该双 曲线的离心率 等于 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 依题设， ， ∵ ， ∴ ， ∴等腰三角形 底边上的高为 ， ∴底边 的长为 ， 由双曲线的定义可得 ，∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ，解得 . 点晴:本题考查的是双曲线的定义和双曲线离心率的求法.解决本题的关键是利用题设条件 和双曲线的定义可得 ，即 在三角形中寻找等量关 系 ，运用双曲线的 a,b,c 的关系和离心率公式即可求出双曲线的离心率 . 12.定义在 上的可导函数 满足 ，且 ，当 时，不等 式 的解集为( ) A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 1 2,F F 2 2 2 2 1( )0 0ax y a b b>− = >， e M 2 1 2| | | |MF F F= 1 2sin 1e MF F∠ = e 5 4 5 3 5 5 2 2 1 2 2MF F F c= = 1 2sin 1e MF F∠ = 1 2 1 2sin 2 aMF F e c ∠ = = 1 2MF F∆ 2a 1MF 4b 4 2 2b c a− = 2b a c= + ( )224b a c= + 2 2 24 2b a ac c= + + 23 2 5 0e e− − = 5 3e = 2 1 2 2MF F F c= = 4 2 2b c a− = 2b a c= + ( )224b a c= + 5 3e = R ( )f x ( )1 1f = ( )2 ' 1f x > 3,2 2x π π ∈ −   2 3(2cos ) 2sin 2 2 xf x + > 4,3 3 π π     4,3 3 π π −   0, 3 π     ,3 3 π π −  构造函数 ，可得 在定义域内 上是增函数，且 ，进而 根据 转化成 ，进而可求得答案 【详解】令 ，则 ， 在定义域 上是增函数，且 ， ， 可转化成 ，得到 ，又 ，可以得到 故选 D 【点睛】本题考查利用函数的单调性求取值范围，解题的难点在于如何合理的构造函数，属 于中档题 二､填空题(共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.) 13.已知实数 x、y 满足 ，则目标函数 的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 满足条件的点 的可行域如下： ( ) ( ) 1 1 2 2g x f x x= − − ( )g x R ( )1 0g = 2 3(2cos ) 2sin 02 2 xf x + − > ( )(2cos ) 1g x g> 1 1( ) ( ) 2 2g x f x x= − − 1( ) '( ) 0' 2g x f x= − > ( )g x∴ R 1 1(1) (1) 02 2g f= − − = 1(2cos ) (2cos ) cos 2g x f x x∴ = − − 2 3= (2cos ) 2sin 2 2 xf x + − ∴ 2 3(2cos ) 2sin 02 2 xf x + − > ( )(2cos ) 1g x g> 2cos 1x >  3,2 2x π π ∈ −   ,3 3x π π ∴ ∈ −   5 0 { 3 0 x y x x y − + ≥ ≤ + ≥ 2z x y= + 3− ( , )x y由图可知，目标函数 在点 处取到最小值-3 14.已知 x>0，y>0，且 x+2y=xy，若 x+2y>m2+2m 恒成立，则 xy 的最小值为_____，实数 m 的 取值范围为_____. 【答案】 (1). 8 (2). 【解析】 【分析】 x+2y=xy 等价于 1，根据基本不等式得出 xy≥8，再次利用基本不等式求出 x+2y 的最小 值，进而得出 m 的范围. 【详解】∵x>0，y>0，x+2y=xy， ∴ 1， ∴1 ， ∴xy≥8，当且仅当 x=4，y=2 时取等号， ∴x+2y= 8(当 x=2y 时，等号成立)， ∴m2+2m ( )g x∴ 1 ,13     ( ]1,3 ( ) ( )min 1 1g x g∴ = = 1 13ln33 3g   = +   ( ) ln33 3 3g = − 1 ln33ln3 33 3 + > − ( )f x 1 ,33      a ln31,3 3  −  【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值以及利用导数研究函数的零点，属 于中档题. 导数问题有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义； 第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查， 包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合， 设计综合题. 22.在直角坐标系 中，已知圆 ： ( 为参数)，点 在直线 ： 上，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求圆 和直线 的极坐标方程； （2）射线 交圆 于 ，点 在射线 上，且满足 ，求 点轨迹的 极坐标方程． 【答案】（1） , ；（2） . 【解析】 试题分析：（1）圆 为参数），利用平方法消去参数可得直角坐标方程： ，利用互化公式可得圆 的极坐标方程以及直线 的极坐标方程；（2）)设 的 极 坐 标 分 别 为 ， 由 ， 又 ，即 得出. 试题解析：（1）圆 的极坐标方程 ，直线 的极坐标方程 ＝ . (2)设 的极坐标分别为 ，因为 又因为 ，即 ， . 23.已知函数 . （Ⅰ）若不等式 有解，求实数 最大值 ； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数 ， 满足 ，证明： . 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析. 的 xOy C 2cos 2sin x y θ θ =  = θ P l 4 0x y+ − = x C l OP C R Q OP 2OP OR OQ= ⋅ Q 2ρ = 4 sin cos ρ θ θ= + 8 1 2sin ρ θ= + 2cos: (2 xC y sin θ θθ =  = 2 2 4x y+ = C l , ,P Q R ( ) ( ) ( )1 2, , , , ,ρ θ ρ θ ρ θ 1 2 4 , 2sin cos ρ ρθ θ= =+ 2OP OR OQ= ⋅ 可 C 2ρ = l ρ , ,P Q R ( ) ( ) ( )1 2, , , , ,ρ θ ρ θ ρ θ 1 2 4 , 2sin cos ρ ρθ θ= =+ 2OP OR OQ= ⋅ 2 1 2 ρ ρ ρ= ⋅ ( ) 2 1 2 2 16 1 2sin cos ρρ ρ θ θ ∴ = = × + ( ) 1 2f x x x= − − + ( ) 1f x m≥ − m M a b 2 23a b M+ = 3 4a b+ ≤ 4M =【解析】 试题分析： (Ⅰ)原问题等价于 .由绝对值三角不等式可得 ，则 ，实数 的最大值 . (Ⅱ)根据(Ⅰ)知正实数 ， 满足 ，由柯西不等式可知 ，即 (当且仅当 时取“=”). 试题解析： (Ⅰ)若不等式 有解，只需 的最大值 即可. 因为 ，所以 ，解得 ， 所以实数 的最大值 . (Ⅱ)根据(Ⅰ)知正实数 ， 满足 ，由柯西不等式可知 ， 所以， ，因为 ， 均为正实数，所以 (当且仅当 时取 “=”). ( ) 1maxf x m≥ − 1 2 3x x− − + ≤= 1 3m − ≤ m 4M = a b 2 23 4a b+ = ( )( ) ( )22 23 3 1 3a b a b+ + ≥ + 3 4a b+ ≤ 1a b= = ( ) 1f x m≥ − ( )f x ( ) 1maxf x m≥ − ( ) ( )1 2 1 2 3x x x x− − + ≤ − − + = 1 3m − ≤ 2 4m− ≤ ≤ m 4M = a b 2 23 4a b+ = ( )( ) ( )22 23 3 1 3a b a b+ + ≥ + ( )23 16a b+ ≤ a b 3 4a b+ ≤ 1a b= =