1
2020 高考数学选填题专项测试 01（平面向量）
第 I 卷（选择题)
一、单选题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．（2020·广东高三期末（理、文））已知向量 .若 // ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】B
【解析】
【分析】由向量平行的坐标公式，代值计算即可.
【详解】因为 // ，故可得 .故选：B.
【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，属基础题.
2.（2020·山西高三期末（文））已知向量 ， ，则向量 与 的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】先写出向量 与 ，再计算其夹角即可.
【详解】因为 ， ，所以 ，所以
所以向量 与 的夹角为 ，故选 C.
( ) 4,3 , , 13a m b m m = = − −
a b m =
1
3
a b 243 ( 1) 4 4 0 23m m m m m m × − = × − ⇒ − + = ⇒ =
( 3,3)a = 3 1( , )6 2b = − a 2b
6
π
4
π
3
π
2
π
a 2b
( )3,3a = 3 1,6 2b
= −
32 ,13b
== −
2 1 3 1,2 22 32 2 3 3
a bcosa b
a b
− += = =
×
a 2b
3
π2
【点睛】本题考查了平面向量坐标运算，夹角公式，属于基础题.
3．（2020·安徽高三期末（文、理））若两个非零向量 ， 满足， ， ， ，则向量
与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】先求出 ，再利用向量的夹角公式求解.
【详解】由 ， 平方相减可得 ，所以 ，
因为 ，所以 .故选：B
【点睛】本题主要考查向量的数量积计算和向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．（2020·陕西高三月考（理、文））已知平面向量 ， ，若 与 共线，则 （ ）
A．3 B．4 C． D．5
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标表示，可求得 ，进一步可得 ，最后利用向量模的坐标表示，可得结果.
【详解】∵ 与 共线，∴ ，∴ ， ，故应选：C
【点睛】本题主要考查向量共线以及向量模的坐标表示，属基础题.
5．（2020·湖南高三期末（理、文））如图，在 中， ， ， ，则
的值为（ ）
a b 2a b+ = 2a b− = 1b =
a b+ b
6
π
3
π 2
3
π 5
6
π
0a b⋅ =
2a b+ = 2a b− = 0a b⋅ = ( ) 2
+ 1cos =2 2
a b b a b b
a b b
θ
+ ⋅ ⋅= =
+ ⋅
[0, ]θ π∈
3
πθ =
(1,2)a = ( 2, )b k= − a b | 3 |a b+ =
5
k 3a b+
a b 1 2 ( 2) 0 4k k× − × − = ⇒ = − 3 (1,2)a b+ = | 3 | 5a b+ =
ABC∆ AD AB⊥ 3DC BD= 2AD = AC AD⋅ 3
A．3 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意,建立平面直角坐标系.表示出各个点的坐标,利用向量数量积的坐标运算即可求得
.
【详解】根据题意,由 可建立如下图所示的平面直角坐标系:
过 作 交 轴于 .设 ，因为 , ，则由 ,所以
，所以 ，所以 ，则
故选:D
【点睛】本题考查建立平面直角坐标系,利用坐标法求向量的数量积,属于基础题.
6．（2020·广东高三月考（文））设平面向量 ， ，若 ，则 等
于（ ）
A． B． C． D．
AC AD⋅
AD AB⊥
C CE AD⊥ x E AB a= 3D C BD= 2AD = BAD CED∆ ∆
3 , 6CE a DE= = ( )8, 3C a− ( ) ( )8, 3 , 2, 0AC a AD= − = ( ) ( )8, 3 2, 0 16AC AD a⋅ = − ⋅ =
( )1,2m = − ( )2,n b= //m n m n−
5 10 13 3 54
【答案】D
【解析】
试题分析： ， ，得 ， ，
．故应选 D．
考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质.
7．（2020·内蒙古高三期末）已知两个非零向量 ， 满足 ， ，则 的值
为（ ）
A．1 B．－1 C．0 D．－2
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知向量的坐标求出向量 的坐标，再根据向量的数量积的坐标表示计算可得.
【详解】因为 ，
所以 ，所以 .故选：B
【点睛】本题考查了向量的线性运算的坐标表示，考查了向量的数量积的坐标表示，属于基础题.
8．（2020·高三月考）若 为 所在平面内任一点，且满足 ，
则 的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】由 ，推出 ，可知三角形 ABC 的中线和底
边垂直，则三角形 ABC 为等腰三角形.
//m n ∴ 1 2 2 0b− × − × = 4b = − ( ) ( ) ( )1,2 2, 4 3,6m n− = − − − = − ∴
( )2 23 6 3 5m n− = − + =
a b ( )2 4,5a b+ = ( )2 3,5a b− = − a b⋅
,a b
1 1 1 1[2(2 ) ( 2 )] [2(4,5) ( 3,5)] [(8,10) ( 3,5)] (5,15) (1,3)5 5 5 5a a b a b= + + − = + − = + − = =
(2 ) 2 (4,5) (2,6) (2, 1)b a b a= + − = − = − (1,3) (2, 1) 1 2 3 1a b⋅ = ⋅ − = × − = −
O ABC∆ ( ) ( )2 0OB OC OB OC OA− ⋅ + − =
ABC∆
( ) ( )2 0OB OC OB OC OA− ⋅ + − = ( ) 0CB AB AC⋅ + = 5
【详解】因为 ,即 ；∴ ,则三角形
ABC 的中线和底边垂直.所以 是等腰三角形．故选：A.
【点睛】考查向量的运算和利用向量的方法判断空间线线垂直关系.知识点较为基础.
9．（2020·山东高三期末）在 中, , ,若 ,则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】依题可得，点 为边 的中点， ，从而可得出 ，
， ，从而可得出 ，即可得到 ．
【详解】如图所示：∵ ，∴点 为边 的中点，∵ ，∴ ，∴
，又 ，
∴ ．
又 ，∴ ，即 ．故选：D．
【点睛】本题主要考查向量加法的平行四边形法则，向量减法的三角形法则，向量的线性运算，平面向量
基本定理等知识的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
10. （2020·湖南高三月考（文））如图所示，已知 是圆 的直径， ， 是半圆弧的两个三
等分点，设 ， ，则 ( )
( ) ( )2 0OB OC OB OC OA− ⋅ + − = ( ) 0CB AB AC⋅ + = ( )CB AB AC⊥ +
ABC∆
ABC∆ 2AB AC AD+ = 2 0AE DE+ = EB xAB yAC= +
2y x= 2y x= − 2x y= 2x y= −
D BC 2AE DE= − 1 ( )6DE AB AC= − +
1 ( )2DB AB AC= − 2 1
3 3EB AB AC= − 2 1,3 3x y= = − 2x y= −
2AB AC AD+ = D BC 2 0AE DE+ = 2AE DE= −
1 1 ( )3 6DE AD AB AC= − = − + 1 1 ( )2 2DB CB AB AC= = −
1 1 2 1( ) ( )2 6 3 3EB DB DE AB AC AB AC AB AC= − = − + + = −
EB xAB yAC= + 2 1,3 3x y= = − 2x y= −
AB O C D
AB a= AD b= AC =6
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】连接 , , ,由圆的性质可得 和 均为边长等于圆 的半径的等边三角形,则四
边形 为菱形,所以 ,进而求解即可
【详解】连接 , , ,由点 , 是半圆弧的三等分点,得
,所以 和 均为边长等于圆 的半径
的等边三角形,所以四边形 为菱形,所以
.故选:D
【点睛】本题考查圆的性质的应用,考查平面向量基本定理的应用
11.（2020·山西高三期末（理））在 中， ， 是线段 上一点，且
则 是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】由正切值求得余弦值，再结合向量基本定理，用基向量对问题进行处理.
【详解】因为 ，由同角三角函数关系解得 ，在 中，由题可知：
1
2a b− 1
2 a b− 1
2a b+
rr 1
2 a b− +
OC OD CD OAC OCD O
OACD AC OD=
OC OD CD C D
60AOC COD BOD∠ = ∠ = ∠ = ° OAC OCD O
OACD
1 1
2 2AC OD OA AD AB AD a b= = + = − + = − +
ABC∆ 7tan 3A = 2, 4,AB AC= = D BC
4 ,DB DC= AD BC⋅
-8 8 42
5
− 42
5
7tan 3A = 3cosA 4
= ∆ABC7
， ，故：
=- ，故选：D.
【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，重点是基向量的选择.
12. （2020·四川高三期末（文、理））已知点 ， ， 不共线，则“ 与 的夹角为 ”是
“ ”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量数量积的性质,可判断 与 与 的夹角为 的推出关系，即可求解.
【详解】当 与 的夹角为 时
，
，
，当 时，
，
化简得： ， ， ， 不共线， 与 的夹角为锐角，
所以“ 与 的夹角为 ”是“ ”的充分不必要条件，故选：A
【点睛】本题主要考查了数量积的运算性质，充分不必要条件，属于中档题.
第 II 卷（非选择题)
1 4
5 5AD AB AC= + BC AC AB = − ( )1 4
5 5AD BC AB AC AC AB ⋅ = + −
2 21 4 3
5 5 5AB AC AB AC= − + − ⋅ 4 64 18
5 5 5
+ − 42
5
=
A B C AB AC
3
π
AB AC BC+ >uuur uuur uuur
AB AC BC+ >uuur uuur uuur
AB AC
3
π
AB AC
3
π
2 2 2=| | +2 +| | 2 =2| | | | cos 03AB AC AB AB AC AC AB AC AB AC
π+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ >，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Q
2 2 2 2 2 2=| | +2 +| | | | 2 +| | | |AB AC AB AB AC AC AB AB AC AC AC AB∴ + ⋅ > − ⋅ = −uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
| |AB AC AC AB BC∴ + > − =uuur uuur uuur uuur uuur
AB AC BC+ >uuur uuur uuur
2 22 2 2 2 2=| | +2 +| | | | 2 +| | | | |AB AC AB AB AC AC AB AB AC AC AC AB BC+ ⋅ > − ⋅ = − =uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
0AB AC⋅ > A B C ∴ AB AC
AB AC
3
π AB AC BC+ >uuur uuur uuur8
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在题中的横线上。
13. （2020·安徽高三月考（文））已知非零向量 ， ，向量 在向量 上的投影为 ，
，则 ______________.
【答案】2
【解析】
【分析】利用向量垂直的性质整理得出 ，结合向量 在向量 上的投影为 ，得出 .
【详解】 ，由向量 在向量 上的投
影为 知， 故答案为：
【点睛】本题主要考查了求向量的模长，涉及向量垂直的性质以及向量 在向量 上的投影的应用，属于
中档题.
14. （2020·高三月考）已知向量 ， ，若 ，则向量 与向量 的
夹角为_____．
【答案】
【解析】
【分析】由 ，利用数量积为零可求得 ，从而得 ，求得 ，利用
，从而可得结果.
【详解】 ，则
，即 ，解得 ， ，
,a b 2=a a b 1−
( )2a a b⊥ + b =
2b a⋅ = − a b 1− | | 2b a b= − ⋅ =
2 21( 2 ), ( 2 ) | | 2 0, | | 22a a b a a b a b a b a a⊥ + ∴ ⋅ + = + ⋅ = ∴ ⋅ = − = − a b
1− 1, | | 2
| |
a b b a b
b
⋅ = − ∴ = − ⋅ =
2
a b
( )1,3a = − ( )1,b t= ( )2a b a− ⊥ a b
4
π
( )2a b a − ⊥ 2t = ( )1,2b = 1 6 5a b⋅ = − + =
2cos , 2
a ba b
a b
⋅= =
( ) ( )1,3 , 1,a b t= − =
( ) ( ) ( )2 1,3 2 1, 3,3 2a b t t − = − − = − −
( ) ( )2 , 2 0a b a a b a − ⊥ ∴ − ⋅ = ( )3 3 3 2 0t+ × − = 2t = ( )1,2b∴ =9
则 ，则 ，又 ，故答案为 .
【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，
一是 ，二是 ，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，
（此时 往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是 ；（3） 向量垂直则
;(4)求向量 的模（平方后需求 ）.
15. （2020·江苏南京师大附中高三月考）如图，在直角梯形 中， ，
， 为 的中点，若 ，则 ____________，
【答案】2
【解析】
【分析】以 为坐标原点， 所在的直线为 轴建立坐标系，得出 坐标，设 点坐标，根据
已知求出 坐标，即可求解.
【详解】以 为坐标原点， 所在的直线为 轴建立坐标系，
1 6 5a b⋅ = − + = 5 2cos , 210 5
a ba b
a b
⋅= = =
× [ ], 0, , , 4a b a b
ππ∈ ∴ = 4
π
cosa b a b θ⋅ =
1 2 1 2a b x x y y⋅ = + cos a b
a b
θ =
a b
a b a b
b
⋅
,a b
0a b⋅ = ma nb+ a b⋅
ABCD / / , 90 , 2AB DC ADC AB∠ = =°
1AD = E BC 1AE BC⋅ = − AB AC⋅ =
A ,AB AD ,x y ,B D C
C
A ,AB AD ,x y10
则 ，设 ，
，解得 ，舍去负值，
.故答案为:2.
【点睛】本题考查向量的坐标表示，以及向量数量积的运算，属于基础题.
16. （2020·江苏高三月考）在平面直角坐标系 中，已知 为圆 上两点，点 ，且
， ，则 面积的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由 ， 可得 ，在圆 中可得 ，从而有
，即可求出点 的轨迹，然后就可得出 面积的最大值.
【详解】因为 ， ，所以 ，且 是 的中点，所以
因为 ，所以 ，即 ，设点 ，则有
，化简得： ，即点 的轨迹是圆心为 ，半径
(2,0), (0,1)B D 1 1( ,1), 0, ( 1, ), ( 1, )2 2 2 2
x xC x x E AE> + = +
21 1 3( 2,1) ( 1, ) 12 2 2 2
xAE BC x x⋅ = − ⋅ + = − = − 1x =
(1,1), (2,0) (1,1) 2C AB AC∴ ⋅ = ⋅ =
xOy ,B C 2 2 4x y+ = ( )1,1A
0AB AC⋅ = ( )1
2AM AB AC= + OAM∆
3
2
0AB AC⋅ = ( )1
2AM AB AC= + 1
2AM BC= O 22 4BC OM= −
2 2 4AM OM+ = M OAM∆
0AB AC⋅ = ( )1
2AM AB AC= + AB AC⊥ M BC 1
2AM BC=
22 4BC OM= − 24AM OM= − 2 2 4AM OM+ = ( , )M x y
2 2 2 2( 1) ( 1) =4x y x y− + − + + 2 21 1 3( ) ( ) =2 2 2x y− + − M 1 1
2 2
，11
为 的圆，因为 ，且直线 经过点 ，所以点 到直线 的距离的最大值就为半径
所以 面积的最大值为 故答案为：
【点睛】1.向量中的中点模型： 是 的中点
2.直线与圆相交时，若半径为 ，弦长为 ，圆心到直线的距离为 ，则有
6
2 2OA = OA 1 1
2 2
， M OA 6
2
OAM∆ 1 6 32 =2 2 2
× × 3
2
( )1
2AM AB AC M= + ⇔ BC
r l d
2
2 2
2
lr d = +
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