江西省重点中学盟校2020届高三数学（文）下学期第一次联考试题（附答案Word版）

江西省重点中学盟校 2020 届高三第一次联考数学文科试卷 考试时间：120 分钟； 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。共 150 分。 考生注意： 1.答题前，考生将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的 条形码的“准考证号、姓名、考试科目“与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照。第 II 卷用黑 色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试卷上作答，答案无效。 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并回收。 第 I 卷(选择题) 一.选择题：共 12 小题，满分 60 分，每小题 5 分。 1.设 ＝i，则 z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.命题“在△ABC 中，若 sinA＝ ，则 A＝30°”的否命题是 A.在△ABC 中，若 sinA＝ ，则 A≠30° B.在△ABC 中，若 sinA≠ ，则 A＝30° C.在△ABC 中，若 sinA≠ ，则 A≠30° D.在△ABC 中，若 A≠30°，则 sinA≠ 3.设 a＝logπ3，b＝20.3，c＝log2 ，则 A.a>c>b B.c>a>b C.a>b>c D.b>a>c 4.为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为 200 的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各 100 人：男性 120 人，女性 80 人，绘制不同群体 中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，如图所示，其中阴影部分表示倾 向选择生有二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是 A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关. B.是否倾向选择生育二胎与性别有关 z i z + 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3C.倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同 D.倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 5.在梯形 ABCD 中，已知 AB//CD，AB＝2DC，点 P 在线段 BC 上，且 BP＝2PC，则 A. B. C. D. 6.明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”。在创造律制的过程中，他不仅给出了 求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法。比如， 若已知黄钟、大吕、太族、夹钟四个音律值成等比数列，则有 ， ， 。据此，可得正项等比数列{an}中，ak ＝ A. B. C. D. 7.已知 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则下列结论正确的是 A.若 m⊥n，n//α，则 m⊥α B.若 m⊥α，n⊥β，α⊥β，则 m⊥n C.若 m//n，n//β，则 m//β D.若 m α，n α，m//β，n//β，则 α//β 8.已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中 A>0，ω>0，0 3 π16.正三棱锥 P－ABC，Q 为 BC 中点，PA＝ ，AB＝2。过 Q 的平面截三棱锥 P－ABC 的外接球所得截面的面积范围为 。 三。解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22～23 题为选考题，考生根据要求作答。 17.(12 分)已知等差数列{an}满足 a7＝8＋a3，且 a3－1 是 a1＋1，a5－2 的等比中项。 (I)求数列{an}的通项公式； (II)设 bn＝ (n∈N*)，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，求使 Tn< 成立的最大正整数 n 的 值。 18.随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式某机构对“使用微信支付” 的态度进行调查，随机抽取了 50 人。他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数 如下表。 (I)若以“年龄 45 岁为分界点”，由以上统计数据完成下面 2×2 列联表，井判断是否有 99% 的把握认为使用“微信支付”的态度与人的年龄有关； 年龄不低于 45 岁的人数 年龄低于 45 岁的人数 合计 赞成 不赞成 合计 (II)若从年龄在[55，65)的被调查人中随机选取 2 人进行追踪调查，求 2 人中至少有 1 人不赞 成使用微信交流的概率。 参考数据： 2 1 1 n na a + 2 15，其中 n＝a＋b＋c＋d。 19.图 1 是由矩形 ABCD 和等腰直角三角形 EAD 组成的一个平面图形，其中 EA＝ED＝AB ＝2，∠AED＝90°。将三角形 EAD 沿 AD 折起，使得 CD⊥AE，H 为 BC 的中点，连接 EB，EC，EH，DH，如图 2。 (I)求证：平面 EHD⊥平面 EAB； (II)求三棱锥 E－ACD 与三棱锥 E－AHD 公共部分的体积。 20.(12 分)已知椭圆 C： 的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 ， A 为椭圆上一动点(异于左右顶点)，△AF1F2 面积的最大值为 。 (I)求椭圆 C 的方程； (II)若直线 l：y＝x＋m 与椭圆 C 相交于点 A，B 两点，问 y 轴上是否存在点 M，使得△ABM 是以 M 为直角顶点的等腰直角三角形?若存在，求点 M 的坐标；若不存在，请说明理由。 21.(12 分)设 h(x)＝lnx。 (I)若 g(x)＝x(x－a)h(x)＋x，且 x＝1 为函数 g(x)的一个极值点，求函数 g(x)的单调递增区间； (II)若 f(x)＝mh(x)－x－ － ，且函数 f(x)的图象恒在 x 轴下力，其中 e 是自然对数的底数， 求实数 m 的取值范围。 选考题共 10 分。请考生在 22、23 题中任选一题作合。如果多做，则按所做的第一题计 分。 22.(10 分)选修 44：坐标系与参数方程 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 3 2 3 1 x 2 e在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的 极坐标方程为 ρ＝2sinθ，点 A(ρ0， )在 C 上，直线 l 经过点 B(2ρ0， )且与直线 OA 垂直。 (I)求直线 l 的极坐标方程：。 (II)已知点 P 在曲线 C 上运动(异于 O 点)，射线 OP 交直线 l 于点 Q，求线段 PQ 的中点轨迹 的极坐标方程。 23.(10 分)选修 4－5：不等式选讲 已知函数 f(x)＝|x－2a|＋|x|，a∈R。 (I)若不等式 f(x)≥a2 对 x∈R 恒成立，求实数 a 的取值范围； (II)设实数 m 为(I)中 a 的最大值，若实数 x，y，z 满足 4x＋2y＋z＝2m，求(x＋y) 2＋y2＋z2 的最小值。 4 π 4 π ∀江西省重点中学盟校 2020 届高三第一次联考数学文科试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C D C C C B C D B A D 二、填空题 题号 13 14 15 16 答案 三、解答题 17、【解析】（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ， ，即 ，…………………………………………………………… 2 分 ， ，…………………………………………………………………… 3 分 是 ， 的等比中项， ，即 ， 解得 .…………………………………………………………………………………5 分 数列 的通项公式为 .……………………………………………………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 .……………………………… 7 分 ，…………………………………………………………10 分 1 y x= ±     ππ 2 3， { }na d 7 3 4 8a a d− = = 2d = 3 11 3a a∴ − = + 15 62a a= +− 3 1a − 1 1a + 5 2a − ( ) ( ) ( )2 3 1 51 1 2a a a∴ − = + ⋅ − ( ) ( )( )2 1 1 1+3 = 1 6a a a+ + 1 3a = ∴ { }na 2 1na n= + ( )( )1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 2 2 1 2 3n n n b a a n n n n+  = = = − + + + +  1 2 1 2n nT b b b∴ = + +⋅⋅⋅+ = 1 1 1 1 1 1 3 5 5 7 2 1 2 3n n  − + − +⋅⋅⋅+ − + +  ( ) 1 1 1 2 3 2 3 3 2 3 n n n  = − = + +  ( ,5]−∞由 ，得 .…………………………………………………………… 11 分 使得 成立的最大正整数 的值为 .………………………………………… 12 分 18、【解析】(I) 2×2 列联表如下： 年龄不低于 45 岁的人 数 年龄低于 45 岁的人 数 合计 赞成 10 27 37 不赞成 10 3 13 合计 20 30 50 K2＝ ≈9.98＞6.635.……………………………………………5 分 所以有 99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关．…………………6 分 （列联表填对得两分） (II) 设年龄在[55,65)中不赞成“使用微信交流”的人为 A，B，C，赞成“使用微信交流”的 人为 a，b， 则从 5 人中随机选取 2 人有 AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共 10 种 结果，其中 2 人中至少有 1 人不赞成“使用微信交流”的有 AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb、 Ca、Cb，共 9 种结果，………………………………………………………………………10 分 所以 2 人中至少有 1 人不赞成“使用微信交流”的概率为 P＝ ． ………………12 分 （未列举只得 2 分） 19、【解析】（Ⅰ）在图 2 中， 四边形 是矩形， , 又 , ………………………………………………………………1 分 又 , 平面 .…………………………………………………………………………2 分 平面 , ( ) 2 3 2 3 15 n n 2 5m < 1 2 8 5 mx x∴ + = − 2 1 2 4 4 5 mx x −= 1 2 0 4 2 5 x x mx +∴ = = − 0 0 5 my x m= + = 4 ,5 5 m mN  ∴ −   AM BM⊥ MN l⊥ MN l⊥ 5 1 140 15 mt m − × = − − − ×   3 5 mt = − AM BM⊥ 1 2 1 2 1y t y t x x − −⋅ = − 1 1y x m= + 2 2y x m= + ( )( ) ( )2 1 2 1 22 0x x m t x x m t+ − + + − = ( )2 2 22 4 4 8 8 05 5 5 m m m−    − + =       1m = ± 1m = 30, 5M  −   1m = − 30, 5M      y 30, 5M  ±   ABM∆ M ( ) ( )2 lnx a xg x xx −= + ( ) ( )ln' 12 x xg x x a a+ −− += ( )' 1 2 0g a= − = 2a = ( ) ( )( )' 1 2ln 1g x x x= − + ( )' 0g x = 1x = e e当 时， ，当 时， ，当 时， ， 所以函数 的单调递增区间是 和 ；……………………………………5 分 （II）依题意， ， 即 在 上恒成立， 令 ， 则 .……………………………………………………6 分 对于 ， ，故其必有两个零点，且两个零点的积为 ， 则两个零点一正一负，设其中一个零点为 ， 则 ，即 ， 且 在 上单调递减，在 上单调递增， 故 ，即 ，……………………………………8 分 令 ， 则 ， 当 时， ，当 时， ， 则 在 上单调递增，在 上单调递减， 又 ，故 ，……………………………………………………10 分 0, ex e  ∈    ( )' 0g x > ,1ex e  ∈    ( )' 0g x < ( )1,x∈ +∞ ( )' 0g x > ( )g x 0, e e       ( )1,+∞ 1 2ln 0m x x x e − − + < 1 2ln 0x m xx e + − − > ( )0, ∞+ ( ) 1 2lnx m xxp x e = + − − ( ) 2 2 2 11' 1m x mx x x xp x − −= − − = 2 1y x mx= − − 2m 4 0∆ = + > 1− ( )0 0x ∈ + ∞, 2 0 0 1 0x mx− − = 0 0 1m x x = − ( )p x ( )00, x ( )0 ,x +∞ ( )0 0p x > 0 0 0 0 0 1 1 2ln 0x x xx x e  + − − − >    ( ) 1 1 2lnq x x x xx x e  = + − − −   ( ) 2 2 2 1 1 1' 1 1 ln 1q x xx x x    = − − + − −       2 11 ln xx  = − +   ( )0,1x∈ ( )' 0q x > ( )1,x∈ +∞ ( )' 0q x < ( )q x ( )0,1 ( )1,+∞ ( )1 0q q ee   = =   0 1 ,x ee  ∈  显然函数 在 上是关于 的单调递增函数，则 ， 故实数 的取值范围为 .……………………………………………………12 分 选做题 22、【解析】（I）由题知 ， ， 故点 的直角坐标为 ，由 知直线 的倾斜角为 ， 故直线 的直角坐标方程为 ，………………………………………………………3 分 所以其极坐标方程为 即 ；……………………5 分 （II）由题知可设 ， ，其中 ， 则 中点的极坐标为 ，由 在曲线 上得 ，由 在直线 上得 ，故 中点的极坐标为 ， 所以 中点轨迹的极坐标方程为 .……………10 分 23、【解析】（I）因为 对 恒成立，则 ， 由绝对值三角不等式可得 ， 即 ，解得 . 故实数 的取值范围是 ；……………………………………………………………5 分 0 0 1m x x = − 1 ee     , 0x 1 1,m e ee e  ∈ − −   m 1 1,e ee e  − −   2, 4A π     2 2, 4B π     B ( )2,2 l OA⊥ l 3 4 π l 4x y+ = cos sin 4ρ θ ρ θ+ = sin 2 24 πρ θ + =   ( )1,P ρ θ ( )2 ,Q ρ θ 30, 4 πθ  ∈   PQ 1 2 ,2 ρ ρ θ+     P C 1 2sinρ θ= Q l 2 2 2 sin 4 ρ πθ =  +   PQ 2sin , sin 4 θ θπθ      +   +     PQ 2 3sin 0 4sin 4 πρ θ θπθ  = + <