理科2010-2018高考数学真题分类训练专题五平面向量第十三讲平面向量的概念与运算答案

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 专题五 平面向量 第十三讲 平面向量的概念与运算 答案部分 2019 年 1．解析： ，则 ，得 ，即 ，所以 .故选 C. 2.解析 ， 因为 ， 所以 ，所以 . 2010-2018 年 1．A【解析】通解 如图所示， ．故选 A． 优解 ．故选 A． 2．C【解析】∵ ，∴ ，∴ ，又 ，∴ ，∴ ；反之也成立，故选 C． (1, 3)BC AC AB t= − = −   21 ( 3) 1t+ − = 3t = (1,0)BC = (2,3) (1,0) 2AB BC⋅ = ⋅ =  2(2 5 ) 2 5 2⋅ = ⋅ − = − ⋅ =a c a a b a a b 2 2 2 2(2 5 ) 4 4 5 5 9= − = − ⋅ + =c a b a a b b | | 3=c 2cos , | || | 3 ⋅= =a ca c a c E D CB A 1 1 1 1 1( ) ( )2 2 2 2 2 = + = + = × + + −        EB ED DB AD CB AB AC AB AC 3 1 4 4 = − AB AC 1 1 1 ( )2 2 2 = − = − = − × +       EB AB AE AB AD AB AB AC 3 1 4 4 = − AB AC 3 3− = +a b a b 2 2( 3 ) (3 )− = +a b a b 2 26 9− ⋅ + =a a b b 2 29 6+ ⋅ +a a b b | | | | 1= =a b 0⋅ =a b ⊥a b 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 3．B【解析】 ，故选 B． 4．A【解析】因为 为非零向量，所以 的充要条件是 ．因为 ，则由 可知 的方向相反， ， 所以 ，所以“存在负数 ，使得 ”可推出“ ”；而 可推出 ，但不一定推出 的方向相反，从而不一定推得“存 在负数 ，使得 ”，所以“存在负数 ，使得 ”是“ ”的充 分而不必要条件． 5．B【解析】由 可得 ，即 ， 所以 ．故选 B． 6．B【解析】设 ， ，∴ ， ， ， ∴ ，故选 B. 7．D【解析】由向量的坐标运算得 ， ∵ ，∴ ， 解得 ，故选 D． 8．A【解析】由题意得 ， 所以 ，故选 A． 9．A 【解析】由题意 ， 即 ，所以 ， 2 2 ( ) (3 2 ) 3 2 0a b a b a a b b− ⋅ + = − ⋅ − =        2 2 3 cos 2 0a a b bθ− − =    22 2 2 23 ( ) cos 2 03 3 θ× − − = 2(2 ) 2 2 ( 1) 3⋅ − = − ⋅ = − − =a a b a a b ,m n | || | cos , 0⋅ = < > 21 1| || | 1 cos , | || | sin ,2 2a b a b a b a b− < > = < > a b = =0mq np−a b pn qm= −b a =mq np−a b ≠ a b b a 1 2 2 (4,2)+a b = (1, )λ=c (2 )+∥c a b 1 2 4λ× = 1 2 λ = 2 3 2 2 2| 2 | | | 4 | | 4 4 4 1 4 2 1 cos60 12+ = + + = + × + × × × =a b a b ab | 2 | 2 3+ =a b 2 5 ,a b  θ 2 21 2 2 1 2 cos 5 4cosa b θ θ− = + − × × × = −  天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ， 则： ， 令 ，则 ， 据此可得： ， 即 的最小值是 4，最大值是 . 35． 【解析】 ， ， ， ，解得： ． 36．3【解析】由 可得 ， ，由 = + 得 ，即 两式相加得， 所以 所以 ． 37．－3【解析】由题意得： 38．9【解析】因为 ， ， 所以 ． 39．1【解析】由题意 ， tan 7α = 2cos 10 α = 3m n+ = OA AB⊥  | | 3OA = OA OB• =  93||||)( 222 ===•+=+• OAOBOAOAABOAOA ( )2 21 2 2 1 2 cos 5 4cosa b π θ θ+ = + − × × × − = +  5 4cos 5 4cosa b a b θ θ+ + − = + + −    5 4cos 5 4cosy x x= + + − [ ]2 210 2 25 16cos 16,20y θ= + − ∈ ( ) ( ) max min 20 2 5, 16 4a b a b a b a b+ + − = = + + − = =        a b a b+ + −    2 5 3 3 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2( 3 ) ( ) 3 3 3λ λ λ λ− ⋅ + = + ⋅ − ⋅ − = −e e e e e e e e e e 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2| 3 | ( 3 ) 3 2 3 2− = − = − ⋅ + =e e e e e e e e 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2| | ( ) 2 1λ λ λ λ λ+ = + = + ⋅ + = +e e e e e e e e ∴ 2 23 2 1 cos60 1λ λ λ− = × + × = + 3 3 λ = 7 2sin 10 α = OC m OA n OB 2 2 OC OA mOA nOB OA OC OB mOB OA nOB  ⋅ = + ⋅  ⋅ = ⋅ +           2 cos cos( 45 ) 2 cos45 cos( 45 ) m n m n α α α  = + + = + +    2(cos cos45 ) ( )(1 cos( 45 ))m nα α+ = + + +  2 22 22 cos 2 cos45 10 2 31 cos( 45 ) 2 2 7 2 21 10 2 10 2 m n α α × + ×++ = = =+ + + × − ×   2 9, 2 8 2, 5, 3.m n m n m n m n+ = − = − ⇒ = = − = − 2 2( ) ln( ) ( ) ln( )= + + = − = − + −f x x x a x f x x a x x 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以 ，解得 ． 40．1 2 【解析】 由题意可令 ，其中 ， 由 得 ，由 ，得 ，解得 ， ∴ ． 41． 【解析】由 得 ，则 ，所以 ． 42． 【解析】由 ，得 为 的中点，故 为圆 的直径， 所以 与 的夹角为 ． 43． 【解析】∵ ，∴由 ， 得 ，故 的面积为 ． 44．②④【解析】S 有下列三种情况： ， ， ∵ ， ∴ ， 若 ，则 ，与 无关，②正确； 若 ，则 ，与 有关，③错误； 若 ，则 ， ④正确； 若 ,则 ∴ ， ∴ ，⑤错误． 45． 【解析】∵ ，∴可令 ，∵ ， 2 2 1+ + = + −a x x a x x 1a = 2 2 0 1 0 2 3x y= + +b e e e 3 , 1,2i i⊥ =e e 1 2⋅ =b e 0 0 22 yx + = 2 5 2 ⋅ =b e 0 0 5 2 2 x y+ = 0 1x = 0 2y = 2 1 2 3| | ( 2 ) 2 2e= + + =b e e 2− 2 2 2| | | | | |+ = +a b a b ⊥a b 2 0m + = 2m = − 90 1 ( )2AO AB AC= +   O BC BC O AB AC 90 1 6 cosAB AC AB AC A⋅ = ⋅    cos tanAB AC A A⋅ =  2 3AB AC⋅ =  ABC 1 1| || | sin2 6 6AB AC π =  2 2 2 2 2 1S a a b b b= + + + +     2 2 2 2S a a b a b b b= + ⋅ + ⋅ + +       2 3S a b a b a b a b b= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +         2 2 2 2 1 2 2 3 2 ( ) | | 0S S S S a b a b a b a b− = − = + − ⋅ = − = − ≥        min 3S S= a b⊥  2 min 3S S b= =  | |a a b   2 min 3 4S S a b b= = ⋅ +   | |b | | 4 | |b a>  2 2 2 2 min 3 4| | | | cos | | 4| | | | | | | | | | 0S S a b b a b b b bθ= = ⋅ + ≥ − ⋅ + > − + =        2 min| | 2 | |, 8| |b a S a= =   2 2 2 2 min 3 4 8| | cos 4 | | 8| |S S a b b a a aθ= = ⋅ + = + =      1cos 2 θ = 3 πθ = 5 | | 1=a (cos ,sin )θ θ=a 0λ + =a b 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴ ，即 ，解得 得 ． 46． 【解析】∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ． 47．2【解析 1】 因为 ， ，所以 ， 又 ，所以 即 【解析 2】由几何意义知 为以 ， 为邻边的菱形的对角线向量， 又 ，故 48．2【解析】 = = = = =0,解得 = . 49．2【解析】在正方形中， , , 所以 ． 50． 【解析】向量 与 的夹角为 ，且 所以 ．由 得， ，即 ， 所以 ,即 ,解得 ． 51．2【解析】 ，所以 的最大值为 2． b c [ (1 ) ]t t• + −b a b 2(1 )t t• + −a b b 1 12 t t+ − 11 2 t− t 2 1 2AE AD DC= +   BD BA AD AD DC= + = −     2 2 2 21 1 1( ) ( ) 2 2 22 2 2AE BD AD DC AD DC AD DC⋅ = + ⋅ − = − = − × =        AB AC 120 | | 3,| | 2,AB AC= =  1cos120 3 2 32AB AC AB AC⋅ = ⋅ = − × × = −    AP BC⊥  0AP BC⋅ =  ( ) ( ) 0AP BC AB AC AC ABλ⋅ = + ⋅ − =      2 2 ( 1) 0AC AB AB ACλ λ− + − ⋅ =    4 9 3( 1) 0λ λ− − − = 7 12 λ = cos 2 0 sin 1 0 λ θ λ θ + =  + = 2cos 1sin θ λ θ λ  = −  = − 2 5λ = | | 5λ = 1 2 ∥a b 2sin 2 cosθ θ= 22sin cos cosθ θ θ= (0, )2 πθ ∈ 1tan 2 θ = ( 4,2 2)c m m= + + cos , | | | | c ac a c a ⋅= ⋅      cos , | | | | c bc b c b ⋅= ⋅      | | | | | | | | c a c b c a c b ⋅ ⋅= ⋅ ⋅         | | 2 | |b a=  2c a c b⋅ = ⋅    2[( 4) 2(2 2)] 4( 4) 2(2 2)m m m m+ + + = + + + 2m⇒ = c ma b | | 2 | |b a=  2m = 7 12 2 2 2 2 2 1 2 2 | | | | | | 1 | | ( ) 3 3 x x x x y x y xy x y xy x = = = + + + + +b e e 2 2 1 1 3 3 1( ) 1 ( )2 4 y y y x x x = = + + − + | | | | x b 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 52． 【解析】因为 E 为 CD 的中点，所以 ． ，因为 ， 所以 ， 即 ，所以 ，解得 ． 53．4【解析】 如图建立坐标系， 则 ， ， 由 ，可得 ，∴ 54． 【解析】 55．（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）由 ，得 .设与 同向的单位向量为 ，则 且 ，解得 故 ．即 与 同向的单位向量的坐标为 ． （Ⅱ）由 ，得 .设向量 与向量 的夹角为 ， 则 ． 1 2 1 1 2 2BE BC CE AD DC AD AB= + = − = −       ADAC AB= +   · 1AC BE =  2 21 1 1· ( ) ( ) 12 2 2AC BE AD AB AD AB AD AB AB AD= − ⋅ + = − + ⋅ =          21 11 cos60 12 2AB AB− + =  21 1 02 4AB AB− + =  1 2AB = x y ( )1,1a = − ( )6,2b = ( )1,3c = − c a bλ µ= +   12, 2 λ µ= − = − 4 λ µ = b = 3 2 222 10 (2 ) 10 4 4 cos45 10a b a b b b °− = ⇔ − = ⇔ + − =      3 2b⇔ = 3 10 10,10 10       2 5 5 − ( ) ( )1,0 , 1,1a = b = ( )2 3,1+a b = 2 +a b ( ),x yc = 2 2 1, 3 0, x y y x  + =  − = , 0x y > 3 10 ,10 10 .10 x y  =  = 3 10 10,10 10       c = 2 +a b 3 10 10,10 10       ( ) ( )1,0 , 1,1a = b = ( )3 2,1− −b a = 3−b a a θ ( ) ( ) ( )3 2,1 1,0 2 5cos 3 55 1 θ − −= = = −− ×  b a a b a a 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 56． 【解析】 57． 【解析】如图，向量 与 在单位圆 内，因| |=1，| |≤1， 且以向量 ， 为邻边的平行四边形的面积为 ，故以向量 ， 为边的 三角形的面积为 ，故 的终点在如图的线段 上（ ∥ ， 且圆心 到 的距离为 ），因此夹角 的取值范围为 ． 58． 【解析】由题意知 ,即 ， 即 ，化简可求得 ． 59．1【解析】向量 + 与向量 - 垂直，∴ ， 化简得 ，易知 ，故 ． 60． 【解析】设 与 的夹角为 ，由题意有 ，所以 ，因此 ，所以 ． 61．－1【解析】 ， 所以 =－1． 62．【解析】（1）因为 ， ， ， 所以 ． 若 ，则 ，与 矛盾，故 ． β αO BA 9 8 − 2 2 2 3 4 9 4a b a b a b− ≤ ⇔ + ≤ +       2 2 94 4 4 9 4 4 8a b a b a b a b a b a b+ ≥ ≥ − ⇒ + ≥ − ⇔ ≥ −                5[ , ]6 6 π π α β O α β α β 1 2 α β 1 4 β AB α AB O AB 1 2 θ 5[ , ]6 6 π π 5 4 1 2 1 2( 2 )( ) 0k⋅ = − + =a b e e e e 2 2 1 1 2 1 2 22 2 0k k+ − − =e e e e e e 2 2cos 2 cos 2 03 3k k π π+ − − = 5 4k = a b k a b ( ) ( ) 0k+ ⋅ =a b a - b ( 1) ( 1) 0k − ⋅ ⋅ + =a b 0⋅ ≠a b 1k = 3 π a b θ ( ) ( ) 2 2+ 2 ⋅ − = + ⋅ − 2a b a b a a b b cosθ= −7 + 2 = −6 1cos 2 θ = 0 θ π≤ ≤ 3 πθ = (1, 1), ( ) / / 1 2 ( 1) ( 1) 0m m+ = − + × − − × − =由 得a b a a c m (cos ,sin )x x=a (3, 3)= −b ∥a b 3 cos 3sinx x− = cos 0x = sin 0x = 2 2sin cos 1x x+ = cos 0x ≠ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 于是 ． 又 ，所以 ． （2） . 因为 ，所以 ， 从而 . 于是，当 ，即 时， 取到最大值 3； 当 ，即 时， 取到最小值 ． 3tan 3x = − [0, ]x π∈ 5 6x π= π(cos ,sin ) (3, 3) 3cos 3sin 2 3 cos(( ) )6f x x x x x x= ⋅ = ⋅ − = − = +a b [0, ]x π∈ π π 7π[ , ]6 6 6x + ∈ π 31 cos( )6 2x− ≤ + ≤ π π 6 6x + = 0x = ( )f x π 6x + = π 5π 6x = ( )f x 2 3−