理科2010-2018高考数学真题分类训练专题六数列第十七讲递推数列与数列求和答案

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 专题六数列 第十七讲 递推数列与数列求和 答案部分 2019 年 1.解析 （Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ， 依题意得 解得 故 . 所以， 的通项公式为 的通项公式为 . （Ⅱ）（i） . 所以，数列 的通项公式为 . （ii） . 2010-2018 年 1．【解析】∵ ，∴ 是等比数列 又 ，∴ ，∴ ，故选 C． 2．D 【解析】由数列通项可知，当 ， 时， ，当 ， 时， ，因为 ， ∴ 都是 { }na { }na d { }nb q 2 6 6 2 ,6 12 4 q d q d = +  = + 3.2 d q =  = 14 ( 1) 3 3 1, 6 2 3 2n n n na n n b −= + − × = + = × = × { }na ( ) { }3 1 ,n na n n b∗= + ∈N ( )3 2n nb n ∗= × ∈N ( ) ( ) ( )( )2 2 21 1 3 2 1 3 2 1 9 4 1nn n n n n na c a b− = − = × + × − = × − ( ){ }2 2 1n na c − ( ) ( )2 2 1 9 4 1n n na c n ∗− = × − ∈N ( ) ( )2 2 2 2 1 1 1 1 22 11 n n n n iii i i i i i i i i i ca c a a c a a = = = = − = + − = + ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) 1 2 2 1 2 4 3 9 4 12 n n n n i i=  − = × + × + × −   ∑ ( ) ( )2 1 1 4 1 4 3 2 5 2 9 1 4 n n n n− − − = × + × + × −− ( )2 1 1 *27 2 5 2 12n n n n− −= × + × − − ∈N 1 1 3n na a+ = − 2 4 3a = − 1 4a = ( ) 10 10 10 14 1 3 3 1 311 3 S −   − −     = = − + 1 25n  n N+∈ 0na  26 50n  n N+∈ 0na  1 26 0a a+ > 2 27 0a a+ > ⋅⋅⋅ 1 2 50, , ,S S S⋅⋅⋅ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 正数；当 ， 同理 也都是正数，所以正数的个 数是 100. 3． 【解析】通解 因为 ，所以当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 ． 所以 ． 优解 因为 ，所以当 时， ，解得 ， 当 时， ，所以 ， 所以数列 是以 为首项，2 为公比的等比数列，所以 ， 所以 ． 4． 【解析】设等差数列的首项为 ，公差为 ，则 ， 解得 ， ， ∴ ，所以 ， 所以 ． 5． 【解析】当 时， ，所以 ， 因为 ，所以 ，即 ， 51 100n  n N+∈ 51 52 100, , ,S S S⋅⋅⋅ 63− 2 1n nS a= + 1=n 1 12 1= +a a 1 1= −a 2=n 1 2 22 1+ = +a a a 2 2= −a 3=n 1 2 3 32 1+ + = +a a a a 3 4= −a 4=n 1 2 3 4 42 1+ + + = +a a a a a 4 8= −a 5=n 1 2 3 4 5 52 1+ + + + = +a a a a a a 5 16= −a 6=n 1 2 3 4 5 6 62 1+ + + + + = +a a a a a a a 6 32= −a 6 1 2 4 8 16 32 63= − − − − − − = −S 2 1n nS a= + 1=n 1 12 1= +a a 1 1= −a 2≥n 1 12 1 2 1− −= − = + − −n n n n na S S a a 12 −=n na a { }na 1− 12 −= − n na 6 6 1 (1 2 ) 631 2 − × −= = −−S 2 1 n n + 1a d 1 1 2 3 4 34 102 a d a d + = ×+ = 1 1a = 1d = 1 ( 1) ( 1) 2 2n n n n nS na d − += + × = 1 2 1 12( )( 1) 1nS k k k k = = −+ + 1 1 1 1 1 1 1 1 22[(1 ) ( ) ( )] 2(1 )2 2 3 1 1 1 n k k n S n n n n= = − + − +⋅⋅⋅+ − = − =+ + +∑ 1 n − 1n = 1 1 1S a= = − 1 1 1S = − 1 1 1n n n n na S S S S+ + += − = 1 1 1 1 n nS S + − = 1 1 1 1 n nS S+ − = − 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以 是以 为首项， 为公差的等差数列， 所以 ，所以 ． 6． 【解析】由题意得： 所以 ． 7．【解析】当 =1 时， = = ，解得 =1， 当 ≥2 时， = = －( )= ，即 = ， ∴{ }是首项为 1，公比为－2 的等比数列，∴ = . 8．（1） ，（2） 【解析】(1)∵ ． 时，a1＋a2＋a3＝－a3－1 8 ① 时，a1＋a2＋a3＋a4＝a4－ 1 16，∴a1＋a2＋a3＝－ 1 16. ② 由①②知 a3＝－ 1 16． (2) 时， ，∴ 当 n 为奇数时， ； 当 n 为偶数时， ． 故 ， ∴ n 1a 1S 1 2 1 3 3a + 1a n na 1n nS S −− 2 1 3 3na + 1 2 1 3 3na − + 1 2 2 3 3n na a −− na 12 na −− na na 1( 2)n−− 1{ } nS 1− 1− 1 ( 1) ( 1)( 1) n n nS = − + − − = − 1 nS n = − 20 11 1 1 2 2 1 1( ) ( ) ( )n n n n na a a a a a a a− − −= − + − + + − + ( 1)1 2 1 2 n nn n  += + − + + + = 10 1 1 1 1 2 202( ), 2(1 ) ,1 1 1 11n n nS Sa n n n n = − = − = =+ + + 1 16 − 100 1 1( 1)3 2 − 1( 1) 2 n n n nS a= − − 3n = 4n = 1n > 1 1 1 1 1( 1) ( )2 n n n nS a− − − −= − − 1 1( 1) ( 1) ( )2 n n n n n na a a −= − + − + 1 1 1 1( )2 2 n n na a+ −= − 1 1( )2 n na − = − 11( ) ,2 1( ) ,2 n n n n a n +−=    为奇数 为偶数 1 1 ,2 0, n n nS n + −=   为奇数 为偶数 1 2 100 2 4 6 100 1 1 1 1( )2 2 2 2S S S+ +⋅⋅⋅+ = − + + +⋅⋅⋅+ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ． 9． 【解析】可证明： ． 10．3018【解析】因为 的周期为 4；由 ∴ ， ，… ∴ ． 11．【解析】(1)由 是 ， 的等差中项得 ， 所以 ， 解得 ． 由 得 ， 因为 ，所以 ． (2)设 ，数列 前 项和为 ． 由 ，解得 ． 由(1)可知 ， 所以 ， 故 ， ， ． 设 ， ， 100 100 100 1 1(1 ) 1 1 1 14 2 (1 ) ( 1)1 3 2 3 21 4 − = − = − − = − − 1830 1 4 1 4 2 4 3 4 4 4 3 4 2 4 2 4 16 16n n n n n n n n n nb a a a a a a a a b+ + + + + − − −= + + + = + + + + = + 1 1 2 3 4 10b a a a a= + + + = ⇒ 15 15 1410 15 16 18302S ×= × + × = cos 2 nπ cos 12n na n π= + n N ∗∈ 1 2 3 4 6a a a a+ + + = 5 6 7 8 6a a a a+ + + = 2012 503 6 3018S = × = 4 2a + 3a 5a 3 5 42 4a a a+ = + 3 4 5 43 4 28a a a a+ + = + = 4 8a = 3 5 20a a+ = 18( ) 20q q + = 1q > 2q = 1( )n n n nc b b a+= − { }nc n nS 1 1 , 1 , 2n n n S nc S S n− ==  − ≥ 4 1nc n= − 12n na −= 1 1 1(4 1) ( )2 n n nb b n − + − = − ⋅ 2 1 1(4 5) ( )2 n n nb b n − −− = − ⋅ 2n≥ 1 1 1 2 3 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n nb b b b b b b b b b− − −− = − + − +⋅⋅⋅+ − + − 2 31 1 1(4 5) ( ) (4 9) ( ) 7 32 2 2 n nn n− −= − ⋅ + − ⋅ +⋅⋅⋅+ ⋅ + 2 21 1 13 7 11 ( ) (4 5) ( )2 2 2 n nT n −= + ⋅ + ⋅ +⋅⋅⋅+ − ⋅ 2n≥ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以 ， 因此 ， ， 又 ，所以 ． 12．【解析】(1)设等比数列 的公比为 q．由 可得 ． 因为 ，可得 ，故 ． 设等差数列 的公差为 d，由 ，可得 由 ， 可得 从而 故 所以数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 (2)(i)由(1)，有 ， 故 ． (ii)证明：因为 ， 所以， ． 13．【解析】证明:（1）因为 是等差数列，设其公差为 ，则 ， 从而，当 时， ， 所以 ， 因此等差数列 是“ 数列”. （2）数列 既是“ 数列”，又是“ 数列”，因此， 2 3 11 1 1 1 13 7 ( ) 11 ( ) (4 5) ( )2 2 2 2 2 n nT n −= ⋅ + ⋅ + ⋅ +⋅⋅⋅+ − ⋅ 2 2 11 1 1 1 13 4 4 ( ) 4 ( ) (4 5) ( )2 2 2 2 2 n n nT n− −= + ⋅ + ⋅ +⋅⋅⋅+ ⋅ − − ⋅ 2114 (4 3) ( )2 n nT n −= − − ⋅ 2n≥ 1 1b = 2115 (4 3) ( )2 n nb n −= − − ⋅ { }na 1 3 21, 2,a a a= = + 2 2 0q q− − = 0q > 2q = 12n na −= { }nb 4 3 5a b b= + 1 3 4.b d+ = 5 4 62a b b= + 13 13 16,b d+ = 1 1, 1,b d= = .nb n= { }na 12n na −= { }nb .nb n= 1 2 2 11 2 n n nS −= = −− 1 1 1 2 (1 2 )(2 1) 2 2 21 2 nn n k k n n k k T n n n+ = = × −= − = − = − = − −−∑ ∑ 1 1 2 1 2( ) (2 2 2) 2 2 2 ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2) 2 1 k k k k k k+ kT +b b k k k k k k k k k k k k + + + +− − + + ⋅= = = −+ + + + + + + + 3 2 4 3 2 1 2 2 1 ( ) 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 2( 1)( 2) 3 2 4 3 2 1 2 n n nn k k k k T b b k k n n n + + + + = + = − + − + + − = −+ + + + +∑  { }na d 1 ( 1)na a n d= + − n 4≥ n k n ka a a− ++ = +1 1( 1) ( 1)n k d a n k d− − + + + − 12 2( 1) 2 na n d a= + − = 1,2,3,k = n n n n n n na a a a a a a− − − + + ++ + =3 2 1 1 2 3+ + + 6 { }na (3)P { }na (2)P (3)P 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 当 时， ，① 当 时， .② 由①知， ，③ ，④ 将③④代入②，得 ，其中 ， 所以 是等差数列，设其公差为 . 在①中，取 ，则 ，所以 ， 在①中，取 ，则 ，所以 ， 所以数列 是等差数列. 14．【解析】（Ⅰ）设 的公差为 ， ， ∴ ，∴ ，∴ ． ∴ ， ， ． （Ⅱ）记 的前 项和为 ，则 ． 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ． ∴ ． 15．【解析】（Ⅰ）当 时， ，因为 ，所以 =3， 当 时， ，即 ，因为 ，所以 =2， 所以数列{ }是首项为 3，公差为 2 的等差数列， 3n ≥ n n n n na a a a a− − + ++ + + =2 1 1 2 4 4n ≥ n n n n n n na a a a a a a− − − + + ++ + + + + =3 2 1 1 2 3 6 n n na a a− − −+ = −3 2 14 1( )n na a ++ n n na a a+ + ++ = −2 3 14 1( )n na a− + n n na a a− ++ =1 1 2 4n ≥ 3 4 5, , ,a a a  d' 4n = 2 3 5 6 44a a a a a+ + + = 2 3a a d'= − 3n = 1 2 4 5 34a a a a a+ + + = 1 2 2a a d'= − { }na { }na d 7 47 28S a= = 4 4a = 4 1 13 a ad −= = 1 ( 1)na a n d n= + − = [ ] [ ]1 1lg lg1 0b a= = = [ ] [ ]11 11lg lg11 1b a= = = [ ] [ ]101 101 101lg lg 2b a= = = { }nb n nT 1000 1 2 1000T b b b= + + ⋅⋅⋅ + [ ] [ ] [ ]1 2 1000lg lg lga a a= + + ⋅⋅⋅ + 0 lg 1na + 2 ( ) 0, ( ) ( )1 xf x f xx 在 0, + 单调递增′∴ = > ∞+ ( ) ln(1 ) (0) 01 xf x x fx ∴ = + − > =+ ln(1 ) ( )1 xx x 在 0, + 上恒成立∴ + > ∞+ ln(1 )1 x xx < ++ 1= ,1x n 令 − 2n≥ 1 1ln(1 )1n n < + − 1 1ln(1 )2 2 1 < + − 1 1ln(1 )3 3 1 < + − ⋅⋅⋅ 1 1ln(1 )1n n < + − 1n − { }1 1 1 1 1 1ln(1 ) ln(1 ) ln(1 )2 3 2 1 3 1 1n n + +⋅⋅⋅+ < + + + +⋅⋅⋅+ + =− − − 2 3ln( ) ln1 2 1 n nn × ×⋅⋅⋅× =− 1 1 12 2( ) 2 2ln2 3nS nn < + + +⋅⋅⋅+ < + 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 综上可知， ． 17．【解析】（Ⅰ） 所以 ， （Ⅱ） （Ⅲ） ． 18．【解析】(Ⅰ) - （Ⅱ） 2 2lnnS n< + 2 2 1 1 1 11 : ( 1) 3 2 0, 6 0,n S S S S= − − − × = + − =令 得 即 1 1( 3)( 2) 0S S+ − = 1 1 10, 2, 2.S S a> ∴ = = 即 2 2 2 2( 3) 3( ) 0, :( 3) ( ) 0,n n n nS n n S n n S S n n − + − − + = + − + = 由 得 20( ), 0, 3 0, ,n n n na n N S S S n n∗> ∈ ∴ > + > ∴ = + 从而 2 2 12 , ( 1) ( 1) 2 ,n n nn a S S n n n n n−  ∴ ≥ = − = + − − + − = 当 时 1 2 2 1, 2 ( ).na a n n N ∗= = × ∴ = ∈又 2 2 3 1 3, ( )( ),2 2 16 4 4 k kk N k k k k∗∈ + > + − = − +当 时 1 1 1 1 1 1 1 1 3( 1) 2 (2 1) 4 4( ) ( )( )2 4 4 k ka a k k k k k k ∴ = = ⋅ < ⋅+ + + − + 1 1 1 1 1 1 11 14 4 ( 1)( ) ( 1) 4 44 4 k kk k    = ⋅ = ⋅ −    − + −− ⋅ + −     1 1 2 2 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1)n na a a a a a ∴ + + ++ + + 1 1 1 1 1 1 1( ) ( )1 1 1 1 1 14 1 2 2 3 ( 1)4 4 4 4 4 4n n    < − + − + + −   − − − − − + −   111111 21. SSaanaS ⋅=−=∴= 时，当 .1,0 11 =≠⇒ aa 11 1 11 1 1 1 222221 −− − − =⇒−=−−−=−=> nnnn nn nnn aaaaS aa S aassan 时，当 .*,221}{ 1 1 Nnaqaa n nn ∈===⇒ −的等比数列，公比为时首项为 nnnn qanqaqaqaqTanaaaT ⋅++⋅+⋅+⋅=⇒⋅++⋅+⋅+⋅=  321321 321321设 1432 321 +⋅++⋅+⋅+⋅=⇒ nn anaaaqT  天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 上式错位相减： ． 19．【解析】（1）由 令 ， 当 ①当 时， ②当 （2）当 时，（欲证 ） ， nn n n nnn nnaq qanaaaaaTq 2121 1)1( 111321 ⋅−−=−− −=−++++=− ++ *,12)1( NnnT n n ∈+⋅−=⇒ 1 1 1 1 1 2 10, 0, .2 2 n n n n n nba n na b a a n a b b a − − − −= > = > = ++ −知 1 1,n n nA Aa b = = 1 1 22 , n nn A Ab b −≥ = +时 2 1 12 1 1 1 2 2 2n n n n Ab b b b − − − −= + + + + 2 1 2 1 1 2 2 2 . n n n nb b b b − − −= + + + + 2b ≠ 1 2(1 ) 2 ,2 ( 2)1 n n n n n bb bA b b b  −   − = = −− 2 , .2n nb A= =时 ( 2) , 22 2, 2 n n n n nb b ba b b  − ≠= −  = 2b ≠ 1 1 1 1 ( 2) 21, ( 1) 22 2 2 n n n n n n n n n n n nb b b b ba nb bb + + + + − −= ≤ + ≤ + −− 只需证 1 1 1 1 1 2 12(2 ) (2 )( 2 2 )2 n n n n n n n n nbb b b bb + + + + − − −−+ = + + + +−  1 1 2 2 2 2 2 1 1 12 2 2 2 2n n n n n n n n nb b b b b+ − + − − − += + + + + + + +  2 1 2 1 2 2 22 ( )22 2 n n n n n n n n b b bb b b b − −= + + + + + + +  12 (2 2 2) 2 2 2n n n n n nb n b n b+> + + + = ⋅ = ⋅ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 当 综上所述 1 1 ( 2) 1.2 2 n n n n n n nb b ba b + + −∴ = < +− 1 12 , 2 1.2 n n n bb a + += = = +时 1 1 1.2 n n n ba + +≤ +