理科2010-2018高考数学真题分类训练专题六数列第十六讲等比数列答案

关注微信公众号：数学研讨 获取更多数学资源 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ 群：807237820 专题六 数列 第十六讲 等比数列 答案部分 2019 年 1.解析：在等比数列中，由 2 46aa= ，得 265 110a q a q = ＞ .又 1 1 3a = ，所以解得 3q = . 则 () () 55 1 5 1 131 1213 1133S q aq − =−= − =− . 2.解析 设等比数列 {}na 的公比为 ( 0 )qq ，则由前 4 项和为 15，且 531 34a a a=+，有 ( )4 1 42 1 1 1 1 151 34 aq q a q a q a  −  = −  =+ ，解得 1 1 2 a q =  = . 所以 2 3 24a ==．故选 C． 3.解析：（1）由题设得 114()2()nn nnabab+++=+ ，即 11 1 ()2nn nnabab+++=+ ． 又因为a1+b1=l，所以   nnab+ 是首项为1，公比为 1 2 的等比数列． 由题设得 114()4()8nn nnabab++−=−+ ， 即 11 2nnnnabab++−=−+ ． 又因为a1–b1=l，所以 nnab− 是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知， 1 1 2nn nab −+= ， 21nnabn−=− ． 所以 1 1 1[( ) ( )]2 2 2n n n n n na a b a b n= + + − = + − ， 1 1 1[( ) ( )]2 2 2n n n n n nb a b a b n= + − − = − + ． 关注微信公众号：数学研讨 获取更多数学资源 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ 群：807237820 2010-2018 年 1．D【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 12 2 ， 第一个单音的频率为 f ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项 为 f ，公比为12 2 的等比数列，记为 {}na ， 则第八个单音频率为 1281712 8 (2)2aff −== ，故选 D． 2．B【解析】解法一 因为 l n 1xx−≤ ( 0x  )，所以 1234123 ln()aaaaaaa+++=++ 123 1a a a+ + −≤ ，所以 4 1a −≤ ，又 1 1a  ，所以等比数列的公比 0q  ． 若 1q −≤ ，则 2 12341 (1)(10aaaaaqq+++=++ ）≤ ， 而 1231 1aaaa++ ≥ ，所以 123ln()0aaa++ ， 与 1231234ln()0aaaaaaa++=+++ ≤ 矛盾， 所以 10q− ，所以 2 131 (1)0aaaq−=− ， 2 241 (1)0aaa qq−=− ， 所以 13aa ， 24aa ，故选 B． 解法二 因为 1xex+≥ ， ， 所以 1234 1231234 1a a a aeaaaaaaa+ + + =++++++ ≥ ，则 4 1a −≤ ， 又 ，所以等比数列的公比 ． 若 ，则 ， 而 ，所以 1 2 3ln( ) 0a a a+ +  与 矛盾， 所以 ，所以 ， ， 所以 13aa ， ，故选 B． 3．B【解析】设塔顶共有灯 1a 盏，根据题意各层等数构成以 为首项，2 为公比的等比数 关注微信公众号：数学研讨 获取更多数学资源 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ 群：807237820 列，∴ 7 71 71 (12) (21)38112 aSa−==−=− ，解得 1 3a = ．选 B． 4．B【解析】由于 24 1 (1)21aqq ， 1 3a ，所以 4260qq ，所以 2 2q ( 2 3q 舍去)，所以 3 6a ， 5 12a ， 7 24a ，所以 357 42a a a ． 5．D【解析】由等比数列的性质得， 2 396 0a a a =  ，因此 2 6 9,,a a a 一定成等比数列． 6．C【解析】设等比数列  na 的公比为 q ，∵ 321 10S a a=+ ，∴ 12321 10aaaaa++=+ ， 即 319aa= ，∴ 2 9q = ，由 5 9a = ，即 4 1 9aq = ，∴ 1 1 9a = ． 7．B【解析】取特殊值可排除 A、C、D，由均值不等式可得 222 13132 22aaaaa+= ． 8．B【解析】由 1 16 n nnaa+ = ，得 1 1216 n nnaa + ++= ，两式相除得 1 12 1 16 1616 n nn n nn aa aa + ++ + ==， ∴ 2 16q = ，∵ ，可知公比 q 为正数，∴ 4q = ． 9．C【解析】设{ na }的公比为 q ，则由等比数列的性质知， 23141 2aaaaa== ， 即 4 2a = ．由 4a 与 2 7a 的等差中项为 5 4 知， 47 5224aa+= ， 74 15(2)24aa=− 1 4= ．∴ 3 7 4 1 8 aq a==，即 1 2q = ． 3 411 1 28aa qa=== ， 1 16a= ， 5 5 116(1) 2 3111 2 S − == − ． 10．A【解析】通过 2580aa+=，设公比为 q ，将该式转化为 08 3 22 =+ qaa ， 解得 =－2，所以 5 5 2 2 1 1 32 111 1 4 S q Sq −+= = = −−− ． 11．D【解析】取等比数列1,2,4 ,令 1n = 得 1, 3, 7X Y Z= = = 代入验算，只有选项 D 满足． 12．C【解析】 2 3 4 10 10 1 2 3 4 5 1ma a a a a a q q q q q a q= =    = = ，因此有 11m = ． 13．B【解析】两式相减得， 3433aaa=−， 4 43 3 4 , 4aa a q a=  = = ． 关注微信公众号：数学研讨 获取更多数学资源 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ 群：807237820 14．C【解析】显然 q  1，所以 36 39(1 ) 1= 1 211 qq qqqq −− +  =−− ，所以 1{} na 是首项为 1，公比为 1 2 的等比数列， 前 5 项和 5 5 11() 312 1 161 2 T − == − ． 15． 8− 【解析】设 {}na 的首项为 1a ，公比为 q ，所以 11 2 11 1 3 a a q a a q + = −  − = − ， 解得 1 1 2 a q =  =− ，则 3 41 8a a q= = − ． 16．32【解析】设{}na 的公比为 q ，由题意 1q  ，由 6 36 3 3 1 191 S q qSq −==+=− ，所以 2q = ， 由 3 1 3 (1) 7 14 aqS q −==− ，得 1 1 4a = ，所以 775 81 1 22324aaq==== ． 17．1【解析】设  na 的公差为 d ，  nb 的公比为 q ，由题意 31 3 8dq− + = − = ， 所以 3d = ， 2q =− ，所以 2 2 13 1( 2) a b −+==−− ． 18．64 【解析】设 {}na 的公比为 q ，由 1310aa+=， 245aa+=得 1 18, 2aq==， 则 2 4a = ， 3 2a = ， 4 1a = ， 5 1 2a = ，所以 121234 64na aaa a a a= ． 19．1 121 【解析】由于 12 21 4 21 aa aa +=  =+ ，解得 1 1a = ，由 11 21nnnnaSSS++=−=+ ， 所以 1 113()22nnSS+ +=+ ，所以 1{}2nS + 是以 3 2 为首项，3 为公比的等比数列， 所以 113322 n nS −+ =  ，所以 5 121S = ． 20． 21n 【解析】由题意， 14 2 3 1 4 9 8 aa a a a a +=   =  = ，解得 141, 8aa==或 148, 1aa==，而 数列{}na 是递增的等比数列，所以 ，即 3 4 1 8aq a==，所以 2q = ，因而 数列 的前 n 项和 1(1 ) 12 211 1 2 n n n n aqS q − −= = = −−− ． 关注微信公众号：数学研讨 获取更多数学资源 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ 群：807237820 21．5【解析】由等比数列的性质可知 2 15243a a a a a==，于是，由 15 4aa = 得 3 2a = ， 故 12345 32a a a a a = ，则 2122232425log+log+log+log+log=aaaaa 2123452log()log325aaaaa ==． 22．50【解析】因  na 是等比数列，∴ 1201011912aaaaaa==，由 5 1291110 2eaaaa =+ 得 ∴ 5 1 2 0a a e = ，∴ 1220lnlnlnaaa+++= 10 1220120ln()ln()aaaaa= =50． 23．4【解析】 设等比数列 }{ na 的公比为 q ， 0q  ．则 864 2a a a=+ ， 即为 42 444 2a q a q a=+，解得 2 2q = （负值舍去），又 2 1a = ，所以 4 624a a q= ． 24．15【解析】 1234 1,2,4,8aaaa==−==− ，∴ 1234||||aaaa+++= 15． 25． 12 ,2 2n + − 【解析】由 35aa+ = ( )24q a a + 得 2q = ；( ) ( )3 2 4 1a a a q q+ = + =20， 得 1 2a = ；∴ ( ) 1212 2212 n n nS +− ==− − ． 26．12【解析】设正项等比数列 }{ na 首项为 1a ，公比为 q，则：    =+ = 3)1( 2 1 51 41 qqa qa ， 得： 1a ＝ 1 32 ，q＝2， 62 n na −= ．记 521 2 12 −=+++= n nn aaaT  ， 2 )1( 21 2 nn nn aaa − ==  ． nnT  ，则 2 )1( 5 22 12 nnn − − ， 化简得： 5 2 11 2 1 2 212 +− − nnn ，当 52 11 2 1 2 +− nnn 时， 122 12113 +=n ． 当 n＝12 时， 1212 T ，当 n＝13 时， 1313 T ，故 max 12n = ． 27．11【解析】由 2120n n na a a+++ − = ，可得 2 20n n na q a q a+ − = ， 由 1 1a = 可知 0,1naq，求得公比 2q =− ，可得 5S =11． 28．2【解析】 22 21 12( ) 5 , 2 (1 ) 5 , 2(1 ) 5 , 2 2n n n n na a a a q a q q q q q+++ =  + =  + = = =解得 或 因为数列为递增数列，且 1 0, 1, 2a q q   =所以 ． 关注微信公众号：数学研讨 获取更多数学资源 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ 群：807237820 29． 3 2 【解析】依题意可得， 2 1 1 2 1 1 1 4 4 3 31 1 1 1 1 (1 ) 32 2 3 2 2 01 (1 ) 2 3 2 2 0321 aq aq a q a q a qq a q a q a q a qaqq  − =+  − + + − =−− − + + − = =+ − 两式相减可得 423 111122330a qa qa qa q−−+= ，即 42322330qqqq−−+= ， 解得 1q = （舍）或 0q = 或 3 2q = 。因为 0q  ，所以 ． 30．2 1 12 2 n − − 【解析】 3 41a a q= 得 314 2 q= ，解得 2q = ， 1 12 1 (1 2 ) 12 21 2 2 n n na a a − − + ++ = = −− ． 31．【解析】(1)设 {}na 的公比为 q ，由题设得 1n naq−= ． 由已知得 424qq= ，解得 0q = （舍去）， 2q =− 或 2q = ． 故 1( 2 ) n na −=− 或 12 n na −= ． (2)若 ，则 1(2) 3 n nS −−= ．由 63mS = 得(2)188m−=− ，此方程没有正整 数解． 若 ，则 21n nS =−．由 得 2 64m = ，解得 6m = ． 综上， ． 32．【解析】(Ⅰ)设数列 {}nx 的公比为 q ，由已知 0q  ． 由题意得 11 2 11 3 2 x x q x q x q +=  −= ，所以 23520qq−−= ， 因为 0q  ,所以 12,1qx==， 因此数列 的通项公式为 12.n nx −= （Ⅱ）过 1 2 3, , ,P P P …， 1nP + 向 x 轴作垂线，垂足分别为 123,,,QQQ …， 1nQ + , 由(Ⅰ)得 11 1 2 2 2 .n n n nnxx −− + − = − = 记梯形 11n n n nP P Q Q++ 的面积为 nb ． 关注微信公众号：数学研讨 获取更多数学资源 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ 群：807237820 由题意 12(1) 2(21)22 nn n nnbn−−++==+ ， 所以 123nT b b b= + + + …+ nb = 101325272−+++ …+ 32(21)2(21)2nnnn−−−++ ① 又 0122325272nT =+++ …+ 21(21)2(21)2nnnn−−−++ ② ① − ②得 121132(22......2)(21)2 nn nTn−−−−=++++−+ = 1 132(12) (21)2.212 n nn − −−+−+ − 所以 (21)21 .2 n n nT −+= 33．【解析】（Ⅰ）由题意得 111 1 aSa +== ，故 1 ， −= 1 1 1a ， 01 a . 由 nn aS +=1 ， 11 1 ++ += nn aS  得 nnn aaa  −= ++ 11 ，即 nn aa  =−+ )1(1 ． 由 ， 0 且 1  得 0na ，所以 1 1 −=+   n n a a . 因此 }{ na 是首项为 −1 1 ，公比为 1−  的等比数列，于是 1)1(1 1 − −−= n na    ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 n nS )1(1 −−=   ，由 32 31 5 =S 得 32 31)1(1 5 =−−   ， 即 =− 5)1(  32 1 ，解得 1 =− ． 34．【解析】（I）由 1 31nnaa+ =+得 1 113()22nnaa+ +=+ ． 又 1 13 22a +=，所以 1 2na+ 是首项为 3 2 ，公比为 3 的等比数列． 13 22 n na += ，因此 na 的通项公式为 31 2 n na −= ． （Ⅱ）由（I）知 12 31n na = − 因为当 1n  时， 13 1 2 3nn−−   ，所以 1 11 3 1 2 3nn−− ． 关注微信公众号：数学研讨 获取更多数学资源 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ 群：807237820 于是 1 12 1 1 1 1 1 3 1 3... 1 ... (1 )3 3 2 3 2nn na a a −+ + +  + + + = −  ． 所以 12 1113 ... 2naaa+++ ． 35．【解析】(Ⅰ)设 {}na 的公比为 q ，依题意得 1 4 1 3 81 aq aq =  = ，解得 1 1 3 a q =  = ， 因此， 13n na −= . （Ⅱ）因为 3log 1nnb a n= = − ，∴数列{}nb 的前 n 项和 2 1() 22 n n n b b nnS + −==. 36．【解析】（Ⅰ）因为 23 2n nnS −= ， 所以 1a 1 1S==，当 2n  时 1 32,nnnaSSn −=−=− 又 1n = 时，所以数列 na 的通项公式为 3 2 ,nan=− （Ⅱ）要使得 mn aaa ，，1 成等比数列，只需要 2 1nma a a= ， 即 22(32)1(32),342nmmnn−=−=−+ 即 .而此时  Nm ，且 ,mn 所以对任意 1n ，都有 ，使得 成等比数列. 37．【解析】由题意可知， 21 213 2 43 aa aaa −=  =+ ，即 11 2 111 2 43+ a qa a qaa q −=  = ， 解得 1=1 3 a q   = , 所以 1331 132 nn nS −−==− ． 故 1 =1a ， 3q = ， 31 2 n nS −= ． 38．【 解析】(Ⅰ)设等比数列 na 的公比为 q ，因为 22 S− ， 3S ， 44 S 成等差数列， 所以 3 2 4 324S S S S+ = − ，即 4 3 2 4S S S S− = − ，可得 432aa=− ， 于是 4 3 1 2 aq a= = − ．又 1 3 2a = ，所以等比数列 的通项公式为 1 13 1 3( 1)2 2 2 n n n na − −=  − = −  ． 关注微信公众号：数学研讨 获取更多数学资源 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ 群：807237820 (Ⅱ) 11 2 n nS = − −  ， 12,2 (21)111 1 12 11 2 (21)2 n nn n n n nn n S S  + ++=−−+=  −− − 为奇数 2+,n 为偶数 当 n 为奇数时， 1 n n S S+ 随 n 的增大而减小，所以 1 1 1113 6n n SSSS++= ． 当 为偶数时， 随 的增大而减小，所以 2 2 1125 12n n SSSS++= ． 故对于 *nN ，有 1 13 6n n S S+． 39．【 解析】（Ⅰ）设数列  na 的公比为 q，由 2 326 9a a a= 得 32 349aa= 所以 2 1 9q = ． 由条件可知 0c  ，故 1 3q = ． 由 12231aa+=得 12231aaq+=，所以 1 1 3a = ． 故数列 的通项式为 na = 1 3n ． （Ⅱ ） 31323nloglog...lognbaaa=+++ (12...) (1) 2 n nn = −+++ +=− 故 1 2 1 12( )( 1) 1nb n n n n= − = − −++ 12 1 111 1 11 12...2((1 ) () ... ())2 2 311n n b bbn nn+ + + = − − + − + + −= −++ 所以数列 1{} nb 的前 n 项和为 2 1 n n− + ． 40．【解析】（Ⅰ）设{}na 的公比为 q ， 则 22 1 2 31 2, 2 2 , 3 3b a b aq q b aq q= + = = + = + = + = + 关注微信公众号：数学研讨 获取更多数学资源 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 QQ 群：807237820 由 1 2 3,,b b b 成等比数列得 22(2)2(3)qq+=+ 即 2 12420,22,22qqqq−+==+=− 解得 所以 {}na 的通项公式为 11(22)(22).nn nnaa−−=+=− 或 （Ⅱ ）设 {}na 的公比为 q ，则由 22(2)(1)(3),aqaaq+=++ 得 2 4310(*)aqaqa−+−= 由 20440aaa=+得 ，故方程（*）有两个不同的实根 由 {}na 唯一，知方程（*）必有一根为 0，代入（*）得 1 .3a = 41．【 解析】（Ⅰ）设 221 ,,, +nlll  构成等比数列，其中 ,10 0,1 21 == +ntt 则 ,2121 ++ = nnn ttttT  ① ,1221 ttttT nnn = ++  ② ①×②并利用 得),21(102 2131 +== +−+ nitttt nin .1,2lg,10)()()()( )2(2 12211221 2 +==== + ++++ nnTattttttttT nn n nnnnn  （Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知 .1),3tan()2tan( ++= nnnbn 另一方面，利用 ,tan)1tan(1 tan)1tan())1tan((1tan kk kkkk ++ −+=−+= 得 .11tan tan)1tan(tan)1tan( −−+=+ kkkk 所以  + == +== 2 31 tan)1tan( n k n k kn kkbS .1tan 3tan)3tan( )11tan tan)1tan(( 2 3 nn kkn k −−+= −−+=  + =