理科2010-2018高考数学真题分类训练专题六数列第十八讲数列的综合应用答案

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用 答案部分 2019 年 1.解析：对于B，令 ，得 ， 取 ，所以 ， 所以当 时， ，故B错误； 对于C，令 ，得 或 ， 取 ，所以 ， 所以当 时， ，故C错误； 对于D，令 ，得 ， 取 ，所以 ，…， ， 所以当 时， ，故D错误； 对于A， ， ， ， ， 递增， 当 时， ， 2 1 04x λ− + = 1 2 λ = 1 1 2a = 2 1 1, , 102 2na a= = { }na 4n 1 1 1 32 1 2 2 n n n n a aa a + = + > + = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以 ，所以 ，所以 故 A 正确．故选 A． 2.解析：（1）设数列 的公差为d，由题意得 ， 解得 ． 从而 ． 由 成等比数列得 ． 解得 ． 所以 ． （2） ． 我们用数学归纳法证明． ①当n=1时，c1=0   >    >  6 10 4 3 2 a a  >    10 729 1064a > > { }na 1 1 12 4, 3 3 3a d a d a d+ = + = + 1 0, 2a d= = *2 2,na n n= − ∈N 1 2, ,n n n n n nS b S b S b+ ++ + + ( ) ( )( )2 1 2n n n n n nS b S b S b+ ++ = + + ( )2 1 2 1 n n n nb S S Sd + += − 2 *,nb n n n= + ∈N *2 2 1 ,2 2 ( 1) ( 1) n n n a n nc nb n n n n − −= = = ∈+ + N ( )*n k k= ∈N 1 2 2hc c c k+ + + 2 1 ln( ) xf ' x x −= ( ) 0f ' x = (1,e) ( )f ' x 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 因为 ，所以 ． 取 ，当k=1，2，3，4，5时， ，即 ， 经检验知 也成立． 因此所求m的最大值不小于5． 若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216， 所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5． 3.解析：（I）1，3，5，6.（答案不唯一）. （II）设长度为 q 末项为 的一个递增子列为 . 由 ， . 因为 的长度为 p 的递增子列末项的最小值为 . 又 是 的长度为 p 的递增子列，所以 所以 . （III）由题设知，所有正奇数都是 中的项. 先证明：若 2m 是 中的项，则 2m 必排在 2m-1 之前（m 为正整数）. 假设 2m 排在 2m-1 之后，设 是数列 的长度为 m 末项为 2m-1 的 递增子列，则 是数列 的长度为 m+1 末项为 2m 的递增子列， 与已知矛盾. 再证明：所有正偶数都是 中的项. 假设存在正偶数不是 中的项，设不在 中的最小正偶数为 2m. 因为 2k 排在 2k-1 之前 ,所以 2k 和 2k-1 不可能在 的同一个子列中. 又 中不超过 的数为 1，2，…..， ， ， 所以 的长度为 末项为 的递增子列个数至多为 ，与已知矛盾. ln 2 ln8 ln9 ln3 2 6 6 3 = < = max ln3( ) (3) 3f k f= = 3 3q = ln lnk qk  kk q≤ 1kq k− ≤ 0na 1 1 0 ,..., ,qr r na a a− p q< 1 0p qr r na a a− ≤ < { }na 0ma 1 2 , ,..., pr r ra a a { }na 0 ,pm ra a≤ 0 0m na a< { }na { }na 1 2 1 , ,..., ,2 1mp p pa a a m− − { }na 1 2 1 , ,..., ,2 1.2mp p pa a a m m− − { }na { }na { }na { }na ( )1,2, 1k m= … − { }na { }na 2 1m + 2 1m − 2 1m + { }na 1m + 2 1m + 12 2 2 2 1 1 2 2m m−× × ×⋅⋅⋅× × × = ( 1) 1002 k k + > 14k ≥ n∈ *N N k 1 2 2 11 2 k k− = −− k 1 (1 2) (1 2 2 )k+ + +⋅⋅⋅+ + +⋅⋅⋅+ 1 2(2 1) (2 1) (2 1)k= − + − +⋅⋅⋅+ − 1 2(2 2 2 )k k= + +⋅⋅⋅+ − 12 2k k+= − − N 1k + k ∈ *N 13k ≥ N 1k + m 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 个数，第 组的前 项和为 ， 要使该数列的前 项和为 2 的整数幂， 即 与 互为相反数， 即 ， 所以 ， 由 ，所以 ，则 ，此时 对应满足的最小条件为 ，故选 A． 2．C【解析】由题意可得 ， ， ， ，…， 中有 3 个 0、3 个 1，且满足对 任意 ≤8，都有 ， ，…， 中 0 的个数不少于 1 的个数，利用列举法可得不同 的 “ 规 范 01 数 列 ” 有 00001111,00010111, 00011011, 00011101,00100111, 00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,0101010 1，共 14 个． 3．A【解析】对命题 p： 成等比数列，则公比 且 ； 对命题 ， ①当 时， 成立； ②当 时，根据柯西不等式， 等式 成立， 则 ，所以 成等比数列， 所以 是 的充分条件，但不是 的必要条件. 4．A【解析】 ， ， 成等比数列，∴ ，即 ， 解得 ，所以 ． 5．B【解析】∵ 在 上单调递增，可得 ， 1 2, , , na a a )3( 1 ≥= − na aq n n 0≠na q 0=na 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 1 2 2 3 1( )( ) ( )n n n na a a a a a a a a a a a− −+ + + + + + = + + +   0≠na 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 1 2 2 3 1( )( ) ( )n n n na a a a a a a a a a a a− −+ + + + + + = + + +   n n a a a a a a 1 3 2 2 1 −=⋅⋅⋅== 1 2, , , na a a p q q 2 1 )( xxf = ( )m∈ *N 1k + m 2 11 2 2 2m−+ + +⋅⋅⋅+ 2 1m= − N 2 1m − 2k− − 2 1 2m k− = + 2 3mk = − 14k ≥ 2 3 14m − ≥ 5m≥ 52 3 29k = − = 29(29 1) 5 4402N += + = 1 0a = 8 1a = 2a 3a 7a k 1a 2a ka 2a 4a 8a 2 4 2 8a a a= ⋅ 2 1 1 1( 6) ( 2)( 14)a a a+ = + + 1 2a = ( 1)nS n n= + [0,1] 1 1 1 0( ) ( ) 0f a f a− > 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ，…， ， ∴ = ∵ 在 上单调递增，在 单调递减 ∴ ，…， ， ， ，…， ∴ = = = ∵ 在 ， 上单调递增，在 ， 上单调 递减，可得 因此 ． 6．27【解析】所有的正奇数和 ( )按照从小到大的顺序排列构成 ，在数列 中， 前面有 16 个正奇数，即 ， ．当 时， ， 不 符 合 题 意 ； 当 时 ， ， 不 符 合 题 意 ； 当 时 ， ， 不 符 合 题 意 ； 当 时 ， ， 不 符 合 题 意；……；当 时， = 441 +62= 503< ， 不符合题意；当 时， =484 +62=546> =540， 符合题意．故使得 成立的 的最小值为 27． 7．5【解析】设数列的首项为 ，则 ，所以 ，故该数列 ),(2)( 2 2 xxxf −= |2sin|3 1)(3 xxf π= 312 III 1 99 1 98( ) ( ) 0f a f a− > 1 1 1 1 0 1 2 1 1 1 99 1 98| ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) |I f a f a f a f a f a f a= − + − +⋅⋅⋅+ − 1 1 1 0 1 2 1 1 1 99 1 98 1 99 1 0( ) ( )+ ( ) ( ) ( ) ( )= ( ) ( )f a f a f a f a f a f a f a f a− − +⋅⋅⋅+ − − 299 -0=199 （ ） 490 ]99[ ， 50[ ,1]99 2 1 2 0( ) ( ) 0f a f a− > 2 49 2 48( ) ( ) 0f a f a− > 2 50 2 49( ) ( ) 0f a f a− = 2 51 2 50( ) ( ) 0f a f a− < 2 99 2 98( ) ( ) 0f a f a− < 2 2 1 2 0 2 2 2 1 2 99 2 98| ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) |I f a f a f a f a f a f a= − + − +⋅⋅⋅+ − 2 49 2 0 2 99 2 50( ) ( ) [ ( ) ( )]f a f a f a f a− − − 2 50 2 0 2 992 ( ) ( ) ( )f a f a f a− − 50 50 98004 (1 ) 199 99 9801 × × − = < 24[0, ]99 50 74[ , ]99 99 25 49[ , ]99 99 75[ ,1]99 3 3 25 3 49 3 74 2 492 ( ) 2 ( ) 2 ( = (2sin sin )3 99 99I f a f a f a π π= − + −） 2 5 2 2 6 2 2 6 2 6 3 2(2sin sin ) ( ) 13 12 12 3 4 4 4 π π + − +> − = − = > 2n *n∈N { }na { }na 52 5 21 2a = 6 38 2a = 1n = 1 21 12 24S a= < = 2n = 2 33 12 36S a= < = 3n = 3 46 12 48S a= < = 4n = 4 510 12 60S a= < = 26n = 5 26 21 (1 41) 2 (1 2 ) 2 1 2S × + × −= + − 2712 516a = 27n = 5 27 22 (1 43) 2 (1 2 ) 2 1 2S × + × −= + − 2812a 112n nS a +> n 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 的首项为 ． 8 ． 【 解 析 】 将 代 入 ， 可 求 得 ； 再 将 代 入 ，可求得 ；再将 代入 得 ；由此可知数 列 是一个周期数列，且周期为 3，所以 ． 9．64【解析】由 且 成等比数列，得 ，解得 ， 故 ． 10． 【解析】设 ，则 ，由于 ， 所以 ，故 的最小值是 ． 11．4【解析】由题意得 ，得 ， 因此 ，所以 ． 12．【解析】(1)由条件知： , ． 因为 对 =1，2，3，4 均成立， 即 对 =1，2，3，4 均成立， 即 1 1，1 3，3 5，7 9，得 ． 因此， 的取值范围为 ． (2)由条件知： , ． 若存在 ，使得 ( =2，3，···， +1)成立， 即 ( =2，3，···， +1)， 即当 时， 满足 ． 因为 ，则 ， 5 1 1a = 1 2 5, ,a a a 2,3, , 1n m= + 1 1 1 1 2 1 1 n nq qb d bn n − −− ≤ ≤− − (1, 2]mq∈ 11 2n mq q−< ≤ ≤ 1 2 8 2a = 1 1 1n n a a+ = − 7 1 2a = 7 1 2a = 1 1 1n n a a+ = − 6 1a = − 6 1a = − 1 1 1n n a a+ = − 5 2a = { }na 1 7 1 2a a= = 2 1 1 1( 4 ) ( )a a d a d+ = + 2d = 8 1 8 78 642S a d ×= + = 3 3 2a t= 2 31 1 2t q t q t q+ +≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 1t ≥ 3max{ , 1, 2}q t t t+ +≥ q 3 3 1 1 2 2( 4)( ) ( 1)( 1 4)( )3 3 2 2( 4)( ) ( 1)( 1 4)( )3 3 k k k k k k k k k k k k − +  + > − − +  + > + + + 2 2 ( 1) 10 10 k k  − <  > *k N∈ 4k = ( 1)na n d= − 12n nb −= 1| |n na b b− ≤ n 1| ( 1) 2 | 1nn d −− − ≤ n ≤ ≤ d ≤ ≤ 2d ≤ ≤ 3d ≤ 7 5 3 2d≤ ≤ d 7 5[ , ]3 2 1 ( 1)na b n d= + − 1 1 n nb b q −= d 1| |n na b b− ≤ n m 1 1 1 1| ( 1) |nb n d b q b−+ − − ≤ n m d 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 从而 ， ，对 均成立． 因此，取 =0 时， 对 均成立． 下面讨论数列 的最大值和数列 的最小值（ ）． ①当 时， ， 当 时，有 ，从而 ． 因此，当 时，数列 单调递增， 故数列 的最大值为 ． ②设 ，当 时， ， 所以 单调递减，从而 ． 当 时， ， 因此，当 时，数列 单调递减， 故数列 的最小值为 ． 因此， 的取值范围为 ． 13．【解析】（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 . 由已知 ，得 ，而 ，所以 . 又因为 ，解得 .所以， . 由 ，可得 ①. 由 ，可得 ②， 联立①②，解得 ， ，由此可得 . 所以，数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 . （Ⅱ）设数列 的前 项和为 ， 1 1 2 01 nq bn − − ≤− 1 1 01 nq bn − >− 2,3, , 1n m= + 2,3, , 1n m= + 1 2{ }1 nq n − − − 1 { }1 nq n − − 2,3, , 1n m= + 2 n m≤ ≤ 1 1 12 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n nq q nq q nq n q q q n n n n n n − − −− − − − + − − +− = =− − − 1 1 2mq< ≤ 2n mq q≤ ≤ 1( ) 2 0n n nn q q q−− − + > 2 1n m≤ ≤ + 1 2{ }1 nq n − − − 1 2{ }1 nq n − − − 2mq m − ( ) ( )2 1xf x x= − ln 2 1( 0( n) l 2 2) xf x x′ = − − < ( )f x 2 n m≤ ≤ 1 1 1 1 12 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n n n q q nn fq n n n n − −= ≤ − = < − 2 1n m≤ ≤ + 1 { }1 nq n − − 1 { }1 nq n − − mq m 1 1( 2)[ , ] m mb q b q m m − d 1| |n na b b− ≤ 0x > ( ) (0) 1f x f< = d { }na d { }nb q 2 3 12b b+ = 2 1( ) 12b q q+ = 1 2b = 2 6 0q q+ − = 0q > 2q = 2n nb = 3 4 12b a a= − 13 8d a− = 11 4=11S b 1 5 16a d+ = 1 1a = 3d = 3 2na n= − { }na 3 2na n= − { }nb 2n nb = 2 2 1{ }n na b − n nT 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 由 ， ，有 ， 故 ， ， 上述两式相减，得 得 . 所以，数列 的前 项和为 . 14．【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明： 当 时， 假设 时， ， 那 么 时 ， 若 ， 则 ， 矛 盾 ， 故 ． 因此 所以 因此 （Ⅱ）由 得 记函数 函数 在 上单调递增，所以 =0， 因此 故 2 6 2na n= − 1 2 1 2 4n nb − − = × 2 2 1 (3 1) 4n n na b n− = − × 2 32 4 5 4 8 4 (3 1) 4n nT n= × + × + × + + − × 2 3 4 14 2 4 5 4 8 4 (3 4) 4 (3 1) 4n n nT n n += × + × + × + + − × + − × 2 3 13 2 4 3 4 3 4 3 4 (3 1) 4n n nT n +− = × + × + × + + × − − × 1 1 12 (1 4 ) 4 (3 1) 41 4 (3 2) 4 8. n n n n n + + × −= − − − ×− = − − × − 13 2 843 3 n n nT +−= × + 2 2 1{ }n na b − n 13 2 843 3 nn +− × + 0nx > 1n = 1 1 0x = > n k= 0kx > 1n k= + 1 0kx + ≤ 1 10 ln(1 ) 0k k kx x x+ +< = + + ≤ 1 0kx + > 0nx > ( )n∈ *N 1 1 1ln(1 )n n n nx x x x+ + += + + > 10 n nx x+< < ( )n∈ *N 1 1 1ln(1 )n n n nx x x x+ + += + + > 2 1 1 1 1 1 14 2 2 ( 2)ln(1 )n n n n n n n nx x x x x x x x+ + + + + +− + = − + + + 2( ) 2 ( 2)ln(1 )( 0)f x x x x x x= − + + + ≥ ( )f x [0, )+∞ ( ) (0)f x f≥ 2 1 1 1 1 12 ( 2)ln(1 ) ( ) 0n n n n nx x x x f x+ + + + +− + + + = ≥ 1 12 ( N )2 n n n n x xx x n ∗+ + − ∈≤ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （Ⅲ）因为 所以 得 由 得 所以 故 综上， ． 15．【解析】（Ⅰ）由已知， 两式相减得到 . 又由 得到 ，故 对所有 都成立. 所以，数列 是首项为 1，公比为 q 的等比数列. 从而 . 由 成等比数列，可得 ，即 ， 则 ， 由已知, ，故 . 所以 . （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， . 所以双曲线 的离心率 . 由 解得 . 因为 ，所以 . 1 1 1 1 1ln(1 ) 2n n n n n nx x x x x x+ + + + += + + + =≤ 1 1 2n nx −≥ 1 122 n n n n x x x x+ + −≥ 1 1 1 1 12( ) 02 2n nx x+ − − >≥ 1 2 1 1 1 1 1 1 1 12( ) 2 ( ) 22 2 2 n n n nx x x − − − − − ⋅⋅⋅ − =≥ ≥ ≥ 2 1 2n nx −≤ 1 2 1 1 ( N )2 2nn nx n ∗ − − ∈≤ ≤ 1 2 11, 1,n n n nS qS S qS+ + += + = + 2 1, 1n na qa n+ += ³ 2 1 1S qS= + 2 1a qa= 1n na qa+ = 1n ³ { }na 1= n na q - 2 3 22 +2a a a， ， 3 22 =3 2a a + 22 =3 2,q q + (2 1)( 2) 0q+ q - = 0q > =2q 1 *2 ( )n na n-= Î N 1n na q -= 2 2 2 1 n yx a- = 2 2( 1)1 1 n n ne a q -= + = + 2 51 3q q= + = 4 3q = 2( 1) 2( 1)1+ k kq q- -> 2( 1) 1 *1+ k kq q k- -> Î N（ ） 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 于是 ， 故 . 16．【解析】（Ⅰ）由题意有， ，即 ． 解得 或 ，故 或 ． （Ⅱ）由 ，知 ， ，故 ，于是 ， ① . ② ①-②可得 ，故 ． 17．【解析】（Ⅰ） 则 所以 在 内至少存在一个零点 ． 又 ，故在 内单调递增， 所以 在 内有且仅有一个零点 ． 因为 是 的零点，所以 ，即 ，故 . （Ⅱ）解法一：由题设， 2( ) ( ) 2 1 2,n n nF x f x x x x= - = + + + - (1) 1 0,nF n= - > 1 2 111 1 1 1 12( ) 1 2 2 0,12 2 2 2 21 2 n n n nF + −      = + + + − = − = −  1 ,12      ( )nF x nx nx ( )nF x ( )=0n nF x 11 2 01 n n n x x +- - =- 11 1= +2 2 n n nx x + ( )( )1 1 ( ) .2 n n n x g x + + = 1 1 2 11+ 1 n n n qe e e q q q - -+ +×××+ > +×××+ = - 1 2 3 1 4 3 3 n n ne e e - -+ +×××+ > 1 1 10 45 100 2 a d a d + =  = 1 1 2 9 20 2 a d a d + =  = 1 1 2 a d =  = 1 9 2 9 a d = = 1 2 1 2 n n n a n b − = − = 1 1 (2 79)9 29 ( )9 n n n a n b −  = +  = ⋅ 1d > 2 1na n= − 12n nb −= 1 2 1 2n n nc − −= 2 3 4 1 3 5 7 9 2 11 2 2 2 2 2n n nT − −= + + + + + + 2 3 4 5 1 1 3 5 7 9 2 1 2 2 2 2 2 2 2n n nT −= + + + + + + 2 2 1 1 1 1 2 1 2 32 32 2 2 2 2 2n n n n n nT − − += + + + + − = − nT 1 2 36 2n n − += − 1( ,1)2 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 设 当 时, 当 时, 若 , 若 , 所以 在 上递增，在 上递减， 所以 ，即 ． 综上所述，当 时, ；当 时 ． 解法二 由题设， 当 时, ； 当 时, 用数学归纳法可以证明 ． 当 时, 所以 成立． 假设 时，不等式成立，即 ． 那么，当 时， . ( )( )2 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 , 0.2 n n n n n x h x f x g x x x x x + + = - = + + + - > ( ) ( )n nf x g x= 1x ≠ ( ) 1 1 1( ) 1 2 .2 n n n n xh x x nx − − +′ = + + − 0 1x< < ( )1 1 1 11( ) 2 2 n n n nn nh x x x nx x− − − −+′ > + + − ( ) ( )1 11 1 0.2 2 n nn n n nx x- -+ += - = 1x > ( )1 1 1 11( ) 2 2 n n n nn nh x x x nx x− − − −+′ < + + − ( ) ( )1 11 1 0.2 2 n nn n n nx x- -+ += - = ( )h x (0,1) (1, )+∞ ( ) (1) 0h x h< = ( ) ( )n nf x g x< 1x = ( ) ( )n nf x g x= 1x ≠ ( ) ( )n nf x g x< ( )( )2 1 1 ( ) 1 , ( ) , 0.2 n n n n n x f x x x x g x x + + = + + + = > 1x = ( ) ( )n nf x g x= 1x ≠ ( ) ( )n nf x g x< 2n = 2 2 2 1( ) ( ) (1 ) 0,2f x g x x- = - - < 2 2( ) ( )f x g x< ( 2)n k k= ≥ ( ) ( )k kf x g x< +1n k= ( )( )1 1 1 k+1 k 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 k k k k k k x f x f x x g x x x+ + ++ + = + < + = + ( )12 1 1 2 k kx k x k+ + + + += 1x = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 又 令 ， 则 ． 所以当 , , 在 上递减； 当 , , 在 上递增． 所以 ，从而 ． 故 .即 ，不等式也成立． 所以，对于一切 的整数，都有 ． 解法三:由已知，记等差数列为 ，等比数列为 ， ． 则 ， ， 所以 , 令 当 时, ,所以 ． 当 时, ， 而 ，所以 ， ． 若 , , ， 当 , , ， 从而 在 上递减, 在 上递增.所以 ， 所以当 又 , ，故 综上所述，当 时, ；当 时 ( ) ( )1 1 k+1 2 1 1 1 1( ) 2 2 k k k kx k x k kx k xg x + ++ + + + - + +- = ( )1( ) 1 1(x 0)k k kh x kx k x+= - + + > ( ) ( )1 1( ) (k 1) 1 1 (x 1)k k k kh x k x k k x k k x− −′ = + − + = + − 0 1x< < ( ) 0kh x′ < ( )kh x (0,1) 1x > ( ) 0kh x′ > ( )kh x (1, )+∞ ( ) (1) 0k kh x h> = ( )1 k+1 2 1 1( ) 2 k kx k x kg x + + + + +> 1 1( ) ( )k kf x g x+ +< +1n k= 2n ≥ ( ) ( )n nf x g x< 1 1 1a b= = 1 1 n n na b x+ += = ( ) 11+ 1 (2 n) n k xa k kn −= − ⋅ ≤ ≤ 1(2 ),k kb x k n−= ≤ ≤ ( )( ) 11 1 (x) 1 , 0(2 ). n k k k k k x m a b x x k nn − − − = − = + − > ≤ ≤ 1x = =k ka b ( ) ( )n nf x g x= 1x ≠ ( ) ( )1 2 2 11( ) (k 1) 1 1n k k n k k km x nx x k x xn − − − − +−′ = − − = − − 2 k n≤ ≤ 1 0k - > 1 1n k− + ≥ 0 1x< < 1 1n kx - + < ( ) 0km x′ < 1x > 1 1n kx - + > ( ) 0km x′ > ( )km x (0,1) ( )km x (1, )+∞ ( ) (1) 0k km x m> = 0 1 (2 ),k kx x a b k n> ≠ > ≤ ≤且 时, 1 1a b= 1 1n na b+ += ( ) ( )n nf x g x< 1x = ( ) ( )n nf x g x= 1x ≠ ( ) ( )n nf x g x< { }ka { }kb 1,2,..., 1k n= + 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 18．【解析】（Ⅰ）由 ． 若存在某个 使得 则由上述递推公式易得 重复上述过程可得 ，此与 矛盾，所以对任意 ． 从而 即 是一个公比 的等比数列． 故 ． （Ⅱ）由 ，数列 的递推关系式变为 ， 变形为 由上式及 ， 归纳可得 ． 因为 ， 所以对 求和得 ． 另一方面，由上已证的不等式知 ，得 ． 2 1=0 = 2 2 ( )n n na a a n Nλ µ + +− = ∈， ，有 0 ,n N+∈ 0,noa = 1 0,noa − = 1 0a = 1 3a = , 0nn N a+∈ ≠ 1 2 ( ),n na a n N+ += ∈ { }na 2q = 1 1 1 3 2n n na a q − −= = ⋅ 0 1 , 1k λ µ= = − { }na 2 1 1 0 1 0n n n na a a ak+ ++ − = 2 1 0 1( ) ( ).n n na a a n Nk+ ++ = ∈ 1 3 0a = > 1 2 13 0n na a a a += > > ⋅⋅⋅ > > > ⋅⋅⋅ > 2 2 2 2 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n aa k ka a k k aa ak k + - + = = = - × ++ + 01,2, ,n k= ⋅⋅⋅ 0 1 0 1 01 2 1( ) ( )k k ka a a a a a+ + = + − +⋅⋅⋅+ − 0 1 0 0 0 0 1 0 2 0 1 1 1 1 1 = ( )1 1 1k a k k k k a k a k a − ⋅ + ⋅ + +⋅⋅⋅++ + + 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1>2+ ( ) 23 1 3 1 3 1 3 1 k k k k k k ⋅ + +⋅⋅⋅+ = ++ + + +  0 01 2 1 2k ka a a a +> > ⋅⋅⋅ > > > 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 2 0 1 1 1 1 1( )1 1 1k k a a k k k k a k a k a+ = − ⋅ + ⋅ + +⋅⋅⋅++ + + 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 > > 5n ≥ ( ) ( )11 11 2n n n nc n n + = − +   ( ) ( )( ) ( )( ) 1 1 1 1 2 1 2 02 2 2n n n n n n n n n + + + + + + −− = > ( ) ( ) 5 1 5 5 1 12 2n n n + +≤ < 5n ≥ 0nc < n N ∗∈ 4 nS S≥ 4k = { }na 1 1 n n n n na a a a p+ +− = − = 1 1a = 1 2 3,2 ,3a a a 2 1 34 3a a a= + 23 0p p− = 1 , 03p p= = 0p = 1n na a+ = { }na 1 3p = { }2 1na − 2 1 2 1 0n na a+ −− > 2 1 2 2 2 1( ) ( ) 0n n n na a a a+ −− + − > 2 2 1 1 1 2 2n n−< 2 1 2 2 2 1a a a an n n n − < −+ − 2 2 1 0n na a −− > 2 2 2 1 2 1 2 1 1 ( 1)( )2 2n n n n na a − − − −− = = { }2na 2 1 2 0n na a+ − < 2 2 1 2 1 2 2 1 ( 1) 2 2 n n n n na a + +      −− = − = 1 1 ( 1) 2 n n n na a + + −− = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 于是 . 故数列 的通项公式为 ． 22．【解析】（Ⅰ）点 在函数 的图象上，所以 ，又等差数列 的公差为 ，所以 ． 因为点 在函数 的图象上，所以 ， 所以 ． 又 ，所以 ． （Ⅱ）由 ，函数 的图象在点 处的切线方程为 所以切线在 轴上的截距为 ，从而 ，故 从而 ， ， 所以 故 ． 23．【解析】（Ⅰ）当 时， 1 2 1 3 2 1( ) ( ) ... ( )n n na a a a a a a a −= + − + − + + − 2 1 1 1 ( 1)1 ...2 2 2 n n− −= + − + + 111 ( )1 21 12 1 2 n−− − = + ⋅ + 1 4 1 ( 1) 3 3 2 n n− −= + ⋅ { }na 1 4 1 ( 1) 3 3 2 n n na − −= + ⋅ ( , )n na b ( ) 2xf x = 2 na nb = { }na d 1 11 2 2 22 n n n n a a a dn a n b b + + −+ = = = 8 7( ,4 )a b ( )f x 8 7 84 2ab b= = 8 7 2 4d b b = = 2d⇒ = 1 2a = − 2 2 1 ( 1) 2 32n n nS na d n n n n n −= + = − + − = − ( ) 2 ( ) 2 ln 2x xf x f x′= ⇒ = ( )f x 2 2( , )a b 2 2 2(2 ln 2)( )ay b x a− = − x 2 1 ln 2a − 2 1 12ln 2 ln 2a − = − 2 2a = na n= 2n nb = 2 n n n a n b = 2 3 1 2 3 2 2 2 2n n nT = + + + + 2 3 4 1 1 1 2 3 2 2 2 2 2n n nT += + + + + 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2n n n nT += + + + + + − 1 1 1 21 12 2 2n n n n n + + += − − = − 22 2n n nT += − 2n≥ 1 1 1 2 2 2n n n n n na S S − − −= − = − = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 当 时， ∴ 时， ，当 时， ，∴ 是“H 数列”． （Ⅱ） 对 ， 使 ，即 取 得 ， ∵ ，∴ ，又 ，∴ ，∴ ． （Ⅲ）设 的公差为 d 令 ，对 ， ，对 ， 则 ，且 为等差数列 的前 n 项和 ，令 ，则 当 时 ； 当 时 ； 当 时，由于 n 与 奇偶性不同，即 非负偶数， 因此对 ，都可找到 ，使 成立，即 为“H 数列”． 的前ｎ项和 ，令 ，则 ∵对 ， 是非负偶数，∴ 即对 ，都可找到 ，使得 成立，即 为“H 数列” 因此命题得证． 24．【解析】（Ⅰ）由 ，1 2a = 2 4 8a a+ = 1 2 1 2( ) ( ) cos - sinn n n n nf x a a a x a x a x+ + + += − + + ⋅ ⋅ 1n = 1 1 2a S= = 1n = 1 1S a= 2n≥ 1n nS a += { }na 1 ( 1) ( 1) 2 2n n n n nS na d n d − −= + = + n ∗∀ ∈N m ∗∃ ∈N n mS a= ( 1) 1 ( 1)2 n nn d m d −+ = + − 2n = 1 ( 1)d m d+ = − 12m d = + 0d < 2m < m ∗∈N 1m = 1d = − { }na 1 1 1( 1) (2 )nb a n a n a= − − = − n ∗∀ ∈N 1 1n nb b a+ − = − 1( 1)( )nc n a d= − + n ∗∀ ∈N 1 1n nc c a d+ − = + 1 ( 1)n n nb c a n d a+ = + − = { } { }n nb c， { }nb 1 1 ( 1) ( )2n n nT na a −= + − 1(2 )nT m a= − ( 3) 22 n nm −= + 1n = 1m = 2n = 1m = 3n≥ 3n − ( 3)n n − m ∗∈N n∀ m ∗∈N n mT b= { }nb { }nc 1 ( 1) ( )2n n nR a d −= + 1( 1)( )n mc m a d R= − + = ( 1) 12 n nm −= + n ∗∀ ∈N ( 1)n n − m ∗∈N n ∗∀ ∈N m ∗∈N n mR c= { }nc 1 2 1 2( ) sin cosn n n n nf x a a a a x a x+ + + +′ = − + − ⋅ − ⋅ 1 2 1( ) 02 n n n nf a a a a π + + +′ = − + − = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以， ∴ 是等差数列. 而 ， ， ， ， （Ⅱ） 25．【解析】（Ⅰ）当 时， ， （Ⅱ）当 时， ， , 当 时， 是公差 的等差数列. 构成等比数列， ， ，解得 , 由（Ⅰ）可知， 是首项 ,公差 的等差数列. 数列 的通项公式为 . （Ⅲ） 26．【解析】（Ⅰ）设数列 的公比为 ，则 ， . 由题意得 即 解得 故数列 的通项公式为 ． 1 22 n n na a a+ += + 1 2a = 3 4a = 1d = 2 -1 1 1na n n∴ = + ⋅ = +（ ） 1 1 1 12 2 1 2 12 2 2nn n a n nb a n n+= + = + + = + +（ ） （ ） （ ） 1 11-2 2 1 2 2 12 1- 2 n n n nS + += + （ ）（ ） 2 1= 3 1- 2 13 1- 2 n n n n n n + + = + + （ ） 1n = 2 2 1 2 2 14 5, 4 5a a a a= − = + 2 10 4 5na a a> ∴ = + 2n ≥ ( )2 14 4 1 1n nS a n− = − − − 2 2 1 14 4 4 4n n n n na S S a a− += − = − − ( )22 2 1 4 4 2n n n na a a a+ = + + = + 10 2n n na a a+> ∴ = + ∴ 2n ≥ { }na 2d = 2 5 14, ,a a a 2 5 2 14a a a∴ = ⋅ ( ) ( )2 2 2 28 24a a a+ = ⋅ + 2 3a = 2 1 2 14 5=4, 1a a a= − ∴ = 2 1 3 1 2a a− = − = ∴ { }na 1 1a = 2d = ∴ { }na 2 1na n= − ( )( )1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 5 5 7 2 1 2 1n na a a a a a n n+ + + + = + + + +⋅ ⋅ ⋅ − +  1 1 1 1 1 1 1 112 3 3 5 5 7 2 1 2 1 1 1 11 .2 2 1 2 n n n         = ⋅ − + − + − + −        − +          = ⋅ − n ( 2) 2 2012n n− = − ≤ − 2 2012n ≥ 11n ≥ n { 2 1, , 5}n n k k k= + ∈ ≥N 0=c n n Sb n = *Nn∈ ( 1) 2n n n dS na −= + 1 2 n n S nb a dn −∴ = = + 1 1 2n nb b d+∴ − = { }nb∴ a 2 d )0( ≠d 421 bbb ，， 2 2 1 4b b b∴ = 2 3( ) ( )2 2 d da a a∴ + = + 2 3( )4 2 d dad a∴ + = 0d ≠ 2d a∴ = 2 nS n a∴ = 2 2 2 2 2 2( ) ,nk kS nk a n k a n S n k a∴ = = = 2 nk kS n S∴ = *, Nnk ∈ cn nSb n n += 2 *Nn∈ 2 2 [2 ( 1) ] 2( )n n a n db n c + −= + }{ nb nb x yn= + ,x y 2 2 [2 ( 1) ] 2( ) n a n d x ynn c + − = ++ *Nn∈ 3 2( 2 ) (2 2 ) 2 2 0d y n a d x n cyn cx− + − − − − = *Nn∈ 2 0,2 2 0,2 0,2 0d y a d x cy cx∴ − = − − = = = 2 0,2 2 , 0, 0d y a x d cy cx∴ = ≠ − = = = 0c∴ = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∵ ， ∴ 是公比为 49 的等比数列， ∴ ． 29．【解析】（Ⅰ）由题意得 ， ， ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ． 整理得  ． 由题意， 解得 ． 故该企业每年上缴资金 的值为缴 时，经过 年企业的剩余资 金为 4000 元． 30．【解析】（Ⅰ）由 = ，得 当 =1 时， ； 2 1 1 2 1 7 497 m k m k b b + + −= = { }mb 7(1 49 ) 7 (49 1)1 49 48 m m mS −= = −− 1 2000(1 50%) 3000a d d= + − = − 2 1 1 3(1 50%) 2a a d a d= + − = − 1 3(1 50%) 2n n na a d a d+ = + − = − 1 3 2n na a d−= − 2 2 3 3( )2 2na d d−= − − 2 3 3( )2 2 na d d−= − − = 1 2 2 1 3 3 3 3( ) 1 ( ) ( )2 2 2 2 n na d− − = − + + + +   1 13 3( ) (3000 ) 2 ( ) 12 2 n n na d d− − = − − −   13( ) (3000 3 ) 22 n d d−= − + 134000, ( ) (3000 3 ) 2 4000,2 n na d d−= ∴ − + = 1 3( ) 2 1000 1000(3 2 )2 3 3 2( ) 12 n n n n n n d +  − ×  − = = −− d 11000(3 2 ) 3 2 n n n n +− − ( 3)m m ≥ 22n n+ 1 1 3a S= = nS n 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 当 2 时， ， . 由 ，得 ， . （Ⅱ）由（1）知 ， 所以 ， ， ， ． 31．【解析】：（Ⅰ）由 a3+a4+a5=84，a5=73 可得 而 a9=73，则 ， ， 于是 ，即 . （Ⅱ）对任意 m∈N﹡， ，则 ， 即 ，而 ，由题意可知 ， 于是 ， 即 . 32．【解析】（Ⅰ）由题意知 ， 所以 ，从而 ≥ 1n n na S S −= − = 2 22 2( 1) ( 1) 4 1n n n n n + − − + − = −  2 1nb n= − 1(4 1) 2n n na b n −= − ⋅ ( )2 13 7 2 11 2 ... 4 1 2n nT n −= + × + × + + − ⋅ ( )2 32 3 2 7 2 11 2 ... 4 1 2n nT n= × + × + × + + − ⋅ ( ) 2 12 4 1 2 [3 4(2 2 ... 2 )]n n n nT T n −− = − ⋅ − + + + + (4 5)2 5nn= − + (4 5)2 5n nT n= − + ,28,843 44 == aa 9,455 49 ==−= daad 12728341 =−=−= daa 899)1(1 −=×−+= nnan 89 −= nan mm n 29899 2 1 2 2aa aq = <  1 2logqn a > 1 1 2n na a q+ = > 0 1q< < 2 1 2 1aa aq = > > 1 1logqn a > 1 1 1n na a q+ = < 1q = 1na a= 11 2a<  1 1 22 n n n n bb ba a+ = ⋅ = ⋅ { }nb 1 2 a 1 2a ≠ 1 2 1a > 1 2 3b b b< < 1 1 2 2 1 n n a ba n a b ∗+= ∈ + N， 2 2 1 1 1 2 1 2 1n a a ab a ± −= − 1 2 3, ,b b b 1 2a = 2 2 1 1 1 2 1 2 21n a a ab a ± −= =− 1 1 2a b= = 1 *3 ( 1) ,2 n nb n N −+ −= ∈ 2, , 1,n nb n =   为奇数 为偶数, ( )1 1 2 1n n n n nb a b a+ ++ = − + 1 2 1 2 31 , 2 1, 2, ;2n a a a a= + = − = = −时 由 可得 2 3 32 ,2 5, 8.n a a a= + = =时 可得 *n N∈ 2 1 2 1 22 2 1n n na a − − + = − + 2 2 2 12 2 1n n na a ++ = + 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ②-①，得 所以 是等比数列。 （Ⅲ）证明： ，由（Ⅱ）知，当 时， 故对任意 由①得 因此， 于是， 故 34．【解析】（Ⅰ）由 可得 又 当 时， ，由 ， ，可得 ； 当 时， ，可得 ； 当 时， ，可得 ； （Ⅱ）证明：对任意 ① ② ③ ②—③，得 ④ 2 1 2 1 1 2 1 2 1 3 2 , 3 2 , 4n n n n n n n ca a c c − − + + −− = × = × =即 于是 { }nc 1 2a = * 2k N k∈ ≥且 2 1 1 3 1 5 3 7 5 2 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )k k ka a a a a a a a a a− − −= + − + − + − + + − 1 3 5 2 3 2 12(1 4 )2 3(2 2 2 2 ) 2 3 21 4 k k k − − −−= + + + + + = + × =− * 2 1 2 1, 2 .k kk N a − −∈ = 2 1 2 1 2 1 * 2 2 12 2 2 1, 2 ,2 k k k k ka a k N− − −+ = − + = − ∈所以 2 1 2 3 4 2 1 2( ) ( ) ( ) .2k k k kS a a a a a a−= + + + + + + = 2 1 2 2 2 11 2 .2 k k k k kS S a −−− = − = + 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 1 .12 2 2 1 4 4 (4 1)22 k k k k k k k k k k kk k k k S S k k k a a − − − −− − + − ++ = + = − = − −− −− *3 ( 1) , ,2 n nb n N + −= ∈ 1, n nb =   为奇数 2, n为偶数 1 1 2 0,n n n n nb a a b a+ + ++ + = 1n = 1 2 32 0a a a+ + = 1 2a = 2 4a = 3 3a = − 2n = 2 3 42 0a a a+ + = 4 5a = − 3n = 3 4 52 0a a a+ + = 5 4a = *,n N∈ 2 1 2 2 12 0,n n na a a− ++ + = 2 2 1 2 22 0,n n na a a+ ++ + = 2 1 2 2 2 32 0,n n na a a+ + ++ + = 2 2 3.n na a += 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 将④代入①，可得 即 又 因此 是等比数列. （Ⅲ）证明：由（II）可得 ， 于是，对任意 ，有 将以上各式相加，得 即 ， 此式当 k=1 时也成立.由④式得 从而 所以，对任意 ， 2 1 2 3 2 1 2 1( )n n n na a a a+ + − ++ = − + * 1 ( )n nc c n N+ = − ∈ 1 1 3 1, 0,nc a a= + = − ≠故c 1 1, { }n n n c cc + = − 所以 2 1 2 1 ( 1)k k ka a− ++ = − * 2k N k∈ ≥且 1 3 3 5 5 7 2 3 2 1 1, ( ) 1, 1, ( 1) ( ) 1.k k k a a a a a a a a− − + = − − + = − + = − − + = −  1 2 1( 1) ( 1),k ka a k−+ − = − − 1 2 1 ( 1) ( 1)k ka k+ − = − + 1 2 ( 1) ( 3).k ka k+= − + 2 2 4 6 8 4 2 4( ) ( ) ( ) ,k k kS a a a a a a k−= + + + + + + = − 2 1 2 4 3.k k kS S a k− = − = + *, 2n N n∈ ≥ 4 4 3 4 2 4 1 4 1 1 4 3 4 2 4 1 4 ( ) n n k m m m m k mk m m m m S S S S S a a a a a − − − = = − − − = + + +∑ ∑ 1 2 2 2 1 2 3 2( )2 2 2 2 1 2 3 n m m m m m m m m m= + − += − − ++ + +∑ 1 2 3( )2 (2 1) (2 2)(2 2) n m m m m m= = ++ + +∑ 2 2 5 3 2 3 2 (2 1) (2 2)(2 3) n m m m n n= = + +× + + +∑ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 对于 =1，不等式显然成立. 所以，对任意 35．【解析】（Ⅰ）由已知，当 n≥1 时， ．而 所以数列{ }的通项公式为 ． （Ⅱ）由 知 ① 从而 ② ①-②得 ． 即 ． 36．【解析】（Ⅰ）表 4 为 1 3 5 7 4 8 12 12 20 32 2 1 5 3 3 (2 1)(2 1) (2 2)(2 3) n m m m n n= < + +− + + +∑ 1 5 1 1 1 1 1 1 3[( ) ( ) ( )]3 2 3 5 5 7 2 1 2 1 (2 2)(2 3)n n n n = + ⋅ − + − + + − +− + + + 1 5 5 1 3 7 .3 6 2 2 1 (2 2)(2 3) 6n n n = + − ⋅ +