数学试题（理科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.已知椭圆的方程为 ，则此椭圆的焦距为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据椭圆方程得到 ， ， 的值，然后求解焦距即可．
【详解】因为椭圆的方程为 ，
所以 ， ，
由 得： ，
所以椭圆的焦距为 2．
故选：B.
【点睛】本题考查椭圆的方程及简单性质的应用，属于基础题．
2.双曲线 的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
令双曲线 的 为 ，从而得到方程 ，化简后即得渐近线方程．
【详解】令 ，整理得 ，
所以双曲线的渐近线方程为 .
故选：D
【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查基本运算求解能力．
2 2
14 3
x y+ =
7
a b c
2 2
14 3
x y+ =
2a = 3b =
2 2 2c a b= − 1c =
2 2 2x y− =
2y x= ± 2
2y x= ± 2y x= ± y x= ±
2 2 2x y− = 2 0 2 2 0x y− =
2 2 0x y− = y x= ±
y x= ±3.已知直线 平面 ，直线 平面 ，若 ，则下列结论正确 是
A. 或 B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
选项 A 中 与 位置是平行或在平面内，选项 B 中 与 可能共面或异面，选项 C 中 与
的位置不确定，选项 D 中 与 的位置关系不确定．
【详解】对于 A，直线 平面 ， ，则 或 ，A 正确；
对于 B，直线 平面 ，直线 平面 ，且 ，则 或 与 相交或 与 异面，
∴B 错误；
对于 C，直线 平面 ，直线 平面 ，且 ，则 或 与 相交或
或 ，∴C 错误；
对于 D，直线 平面 ，直线 平面 ，且 ，则 或 与 相交或 与 异面，
∴D 错误．
故选 A．
【点睛】本题考查了空间平面与平面关系的判定及直线与直线关系的确定问题，也考查了几
何符号语言的应用问题，是基础题．
4.双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）
A. 4 B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求得双曲线的 ， ， ，可设一个焦点和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得所
求值．
的l ⊥ α m∥ β α β⊥
l β∥ l β⊂ //l m
m α⊥ l m⊥
l β l m m α
l m
l ⊥ α α β⊥ l β/ / l β⊂
l ⊥ α / /m β α β⊥ //l m l m l m
l ⊥ α / /m β α β⊥ m α⊥ m α m α⊂
/ /m α
l ⊥ α / /m β α β⊥ //l m l m l m
2 2
18 4
x y− =
4 5
5
2 15
5
a b c【详解】双曲线 的 ， ， ，
一个焦点设为 ， ，一条渐近线设为 ，
可得一个焦点到一条渐近线 距离为 .
故选：C.
【点睛】本题考查双曲线的方程和性质、渐近线方程、点到直线的距离公式，考查化简运算
能力，属于基础题．
5.以椭圆 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求得椭圆的焦点和左右顶点，可设双曲线的方程为 ，求得 ， ，可得
，进而求得双曲线的方程．
【详解】椭圆 的焦点为 ，左右顶点为 ， ，
可设双曲线 方程为 ，
由题意可得 ， ，可得 ，
则双曲线的方程为 ．
故选：B.
【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程及性质，考查待定系数法和方程思想，运算能力，属
于基础题．
6.已知点 是椭圆 上的一点， ， 是椭圆的两个焦点，且 ，则
的
的
2 2
18 4
x y− = 2 2a = 2b = 2 3c =
(2 3 0) 2 0x y− =
2 3 2
1 2
d = =
+
2
2 12
x y+ =
2
2 12
x y− = 2 2 1x y− = 2 2 1y x− =
2
2 12
yx − =
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > a c
b
2
2 12
x y+ = ( 1,0)± ( 2± 0)
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
1a = 2c = 2 2 1b c a= − =
2 2 1x y− =
P
2 2
15 4
x y+ = 1F 2F 1 2 60F PF∠ = °的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，由椭圆的标准方程可得 、 的值，计算可得 的值，由椭圆的定义分析可得
，变形可得 ，利用余弦定理
可得 ，两式相减可得 的值，
进而由三角形面积公式计算可得答案．
【详解】根据题意，椭圆的方程为 ，其中 ， ，则 ，
因为 是椭圆上的一点，则有 ，
变形可得 ，①
又由 ，则 ，②
① ②可得： ，即 ，
则△ 的面积 .
故选：C.
【点睛】本题考查椭圆的定义、三角形面积公式、余弦定理、焦点三角形的性质，考查方程
思想的运用，求解关键是分析 的值．
7.若直线 与双曲线 只有一个公共点，则满足条件的直线有（ ）
A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条
【答案】B
【解析】
1 2F PF△
4 3 4
3
4 3
3
( )8 2 3−
a b c
1 2| | | | 2 2 5PF PF a+ = = 2 2
1 2 1 2| | | | 2 | || | 20PF PF PF PF+ + =
2 2 2
1 2 1 2| | | | | || | cos60 (2 ) 42PF PF PF PF c+ =− ⋅ = 1 2| || |PF PF
2 2
15 4
x y+ = 5a = 2b = 5 4 1c = − =
P 1 2| | | | 2 2 5PF PF a+ = =
2 2
1 2 1 2| | | | 2 | || | 20PF PF PF PF+ + =
1 2 60F PF∠ = ° 2 2 2
1 2 1 2| | | | | || | cos60 (2 ) 42PF PF PF PF c+ =− ⋅ =
− 1 23| || | 16PF PF = 1 2
16| || | 3PF PF =
1 2F PF 1 2
1 1 16 3 4 3| || | sin 602 2 3 2 3S PF PF= = ⋅ ⋅ =
1 2| || |PF PF
( 3)y k x= − 2 2
19 4
x y− =【分析】
由题意可得直线经过点 ，即为双曲线 右顶点，求得渐近线方程，考虑与渐近线平行的
直线，即可得到所求条数．
【详解】直线 经过点 ，即为双曲线的右顶点，
由于直线的斜率为 ，故直线 不成立，
而双曲线 的渐近线方程为 ，
可得经过点 与渐近线平行的直线，与双曲线只有一个公共点，
故满足条件的直线有两条．
故选：B.
【点睛】本题考查直线和双曲线的位置关系、双曲线的性质、渐近线方程，考查分类讨论思
想，属于基础题．
8.已知圆 ，由直线 上的一点向圆引切线，则切线长的最小
值为（ ）
A. 2 B. C. D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】
如图利用几何性质求出最小的 ，再求出 的最小值．
【详解】如图，切线长 ，当 最小时， 最小，
最小值为 到直线 的距离 ，
故 的最小值为 ，
故选：B.
的(3,0)
( 3)y k x= − (3,0)
k 3x =
2 2
19 4
x y− = 2
3y x= ±
(3,0)
2 2( 2) ( 1) 1x y− + − = : 1 0l x y+ + =
7 2 2
BC BA
2 2 2BA BC AC= − BC BA
BC C 1 0x y+ + = 4 2 2
1 1
d = =
+
BA 2(2 2) 1 7− =【点睛】本题考查直线与圆的相切问题，考查数形结合思想的运用，求解时要会借助图形进
行分析与求解，考查基本运算求解能力．
9.过点 作直线与椭圆 交于 两点，若线段 的中点恰好为 点，则
所在直线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用“设而不求点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．
【详解】设 ， ， ， ，则 ，
．
恰为线段 的中点，
，
直线 的斜率为：2，
直线 的方程为 ，即 ．
故选：D.
【点睛】本题考查“设而不求点差法”的运用、线段中点坐标公式、斜率计算公式，考查基
本运算求解能力，求解时要注意体会点差法是联系弦的斜率与弦的中点的桥梁作用，属于中
档题．
10.已知 F 是椭圆 的左焦点，P 为椭圆 C 上任意一点，点 ，则
( )1,1P − 2 2
12 4
x y+ = ,A B AB P
AB
2 1 0x y+ − = 2 3 0x y− + = 2 1 0x y− + =
2 3 0x y− + =
1(A x 1)y 2(B x 2 )y 2 2
1 12 4x y+ = 2 2
2 22 4x y+ =
1 2 1 2 1 2 1 22( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y∴ + − + + − =
( 1,1)P − AB
1 2 1 22( ) ( ) 0x x y y∴− − + − =
∴ AB
∴ AB 1 2( 1)y x− = + 2 3 0x y− + =
2
2xC y 12
+ =： ( )Q 4,3 PQ PF+的最大值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意，设椭圆 C 的右焦点为 ，由已知条件推导出 ，
利用 Q， ，P 共线，可得 取最大值．
【详解】由题意，点 F 为椭圆 的左焦点， ，
点 P 为椭圆 C 上任意一点，点 Q 的坐标为 ，
设椭圆 C 的右焦点为 ，
，
，
，即最大值为 5 ，此时 Q， ，P 共线，故选 A．
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、定义及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟
记椭圆的标准方程、定义和简单的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了转化思想
以及推理与运算能力．
11.已知 ， 是双曲线 的两个焦点，以线段 为边作正 ，
若边 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
( )
5 2 3 2 34 4 2
( )F' 1,0 PQ PF PQ 2 2 PF'+ = + −
F' PQ PF+
2
2xC y 12
+ =： ( )F 1,0∴ −
( )4,3
( )F' 1,0
PQ PF PQ 2 2 PF' 2∴ + = + − = 2 PQ PF'+ −
PQ PF' QF' 3 2− ≤ =
PQ PF 5 2∴ + ≤ 2 F'
1F 2F
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1 2F F 1 2MF F△
1MFA. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据双曲线方程求得焦点坐标的表达式，进而可求得三角形的高，则点 的坐标可得，进
而求得边 的中点 的坐标，代入双曲线方程求得 ， 和 的关系式化简整理求得关于
的方程求得 ．
【详解】依题意可知双曲线的焦点为 ， ， ，
三角形高是 ， ，
边 的中点 ， ，代入双曲线方程得： ，
整理得： ，
， ，
整理得 ，求得 ，
， .
故选：C.
【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、离心率，考查方程思想和基本运算求解能力．
12.如图，已知正方体 的棱长为 1， 分别是棱 ， 上的动点，
若 ，则线段 的中点 的轨迹是（ ）
A. 一条线段 B. 一段圆弧 C. 一个球面区域 D. 两条平行
线段
3 1− 4 2 3+ 3 1+ 4 2 3−
M
1MF N a b c
e e
1( ,0)F c− 2 ( ,0)F c 1 2 2F F c∴ =
∴ 3c (0, 3 )M c
∴ 1MF ( 2
cN − 3 )2 c
2 2
2 2
3 14 4
c c
a b
− =
2 2 2 2 2 23 4b c a c a b− =
2 2 2b c a= − ∴ 4 2 2 2 2 2 2 43 4 4c a c a c a c a− − = −
4 28 4 0e e− + = 2 4 2 3e = ±
1e > 3 1e∴ = +
1 1 1 1ABCD A B C D− ,M N 1AA BC
2MN = MN P【答案】B
【解析】
【分析】
连 接 ， ， ， ， 由 已 知 可 得 ， 都 是 直 角 三 角 形 ， 且 满 足
．设 为 的中点，连接 ，则 ，且有 为定
值，从而得到线段 中点 的轨迹为以 为圆心，以 为半径的圆的一部分．
【详解】如图，
连接 ， ， ， ，
是正方体， ， 都是直角三角形，
， 为棱 ， 上的动点，且 ，
的中点 满足 ．
设 为 的中点，连接 ，则 ，且 ．
线段 中点 的轨迹为以 为圆心，以 为半径的圆的一部分．
故选：B.
【点睛】本题考查立体几何中的轨迹问题，考查空间想象能力与逻辑思维能力，是中档题．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.椭圆 的焦点坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用椭圆方程求出 ， ，然后求解 ，即可得到焦点坐标．
MB NA PA PB NBM∆ MAN∆ P
1 2| | | | | |2 2PB PA MN= = = O AB PO OP AB⊥ OP
MN P O OP
MB NA PA PB
1 1 1 1ABCD A B C D− NBM∴∆ MAN∆
M N 1A A CB | | 2MN =
MN∴ P 1 2| | | | | |2 2PB PA MN= = =
O AB PO OP AB⊥ 2 22 1 1( ) ( )2 2 2OP = − =
∴ MN P O 1
2
2 2
12 4
x y+ =
(0, 2)±
a b c【 详 解 】 椭 圆 ， 可 得 ， ， ， 椭 圆 的 焦 点 坐 标 为 ：
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查对椭圆方程的认识及简单性质的应用，求解时注意椭圆的焦点是在 轴上，
属于基础题．
14.直线 y＝kx－k＋1 与椭圆 ＝1 的位置关系是________．
【答案】相交
【解析】
由于直线 y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1 过定点(1，1)，而(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相
交．
15.已知不等式 恒成立，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意直线 恒在半圆 上方（可相切），当 时，直线
与半圆 相切，所以 的取值范围是
【详解】由题意直线 恒在半圆 上方（可相切），当
时，直线 与半圆 相切，所以 的取值范围是
考点：直线与圆位置关系
16.已知椭圆 与双曲线 有相同的
焦点 ， ，若点 是 与 在第一象限内的交点，且 ，设 与 的离心
2 2
12 4
x y+ = 2a = 2b = 2c =
(0, 2)±
(0, 2)±
y
2 2
9 4
x y+
2 2x x ax a− + ≤ + a
3 ,3
+∞
( 1)y a x= + 2 2( 1) 1( 0)x y y− + = ≥ 3
3a =
( 1)y a x= + 2 2( 1) 1( 0)x y y− + = ≥ a 3[ , )3
+∞
( 1)y a x= + 2 2( 1) 1( 0)x y y− + = ≥ 3
3a =
( 1)y a x= + 2 2( 1) 1( 0)x y y− + = ≥ a 3[ , )3
+∞
( )2 2
1 1 12 2
1 1
: 1 0x yC a ba b
+ = > > ( )2 2
2 2 22 2
2 2
: 1 0, 0x yC a ba b
− = > >
1F 2F P 1C 2C 1 2 22F F PF= 1C 2C率分别为 ， ，则 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
设椭圆与双曲线的半焦距为 ， ，由题意可得 ，用 表示出 ，
结合二次函数的性质即可得答案.
【详解】设椭圆与双曲线的半焦距为 ， ，由题意可得： ，
，
， ， ，
， ， ，
.
， ，设 ， ，
，
.
故答案为： .
【点睛】本题考查双曲线和椭圆的定义及简单性质、离心率的问题，考查转化与化归思想、
函数与方程思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
三、解答题：本大题共 70 分
1e 2e 2 1e e−
1( + )2
∞，
1 2| | 2F F c= 1| |PF t= 1 2a a c− = 2e 1e
1 2| | 2F F c= 1| |PF t= 12t c a+ =
22t c a− =
12t a c∴ = − 22t a c= + 1 22 2a c a c∴ − = +
1 2a a c∴ − = ∴
1 2
1 1 1e e
− = 2
1
2 1
ee e
= +
2
2 2
2 1 2
22 2
2 2
1
1 11 1 ( )
e ee e e e e
e e
∴ − = − = =+ + +
2 1e >
2
10 1e
∴ < <
2
1 xe
= 0 1x< <
2 2
2 2
1 10 ( ) 2x xe e
∴ < + = + <
2 1
1
2e e∴ − >
1( + )2
∞，17.已知直线 及圆 ．
(1)判断直线 与圆 的位置关系；
(2)求过点 的圆 的切线方程．
【答案】(1) 直线与圆相交；(2) 和 .
【解析】
【分析】
（1）利用代数法，联立直线方程与圆的方程，化为关于 的一元二次方程，再由判别式大于 0
判断直线与圆相交；
（2）当切线斜率存在时，设切线斜率为 ，写出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径
求得 ，则直线方程可求；当切线斜率不存在时，直接写出切线方程，则答案可求．
【详解】（1）因为 ，
消去 ，整理得 ，其中 ，
直线 与圆 相交.
（2）当切线斜率存在时，设切线斜率为 ，则可设切线的方程为
，即
由 得
此时，切线方程为
当切线斜率存在时，结合点与圆的图像知，此时切线方程为
综上，圆的切线方程为 和 .
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系判定，考查圆的切线方程的求法，考查分类讨论思想
的应用，即对直线的斜率需分存在和不存在两种情况．
18.已知两圆 和 ．
(1)判断两圆的位置关系；
(2)求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长．
【答案】(1) 两圆相交；(2) ， .
: 2 0+ − =l x y 2 2:( 1) ( 2) 4C x y− + − =
l C
( )3,1 C
3x = 3 4 5 0x y− − =
x
k
k
2 2
2 0
( 1) ( 2) 4
x y
x y
+ − =
− + − =
y 22 2 3 0x x− − = 2( 2) 4 2 ( 3) 32 0∆ = − − × × − = >
l C
k
( )1 3y k x− = − 1 3 0kx y k− + − =
2 2
| 2 1 3 | 2
1
k kd
k
− + −= =
+
3
4k =
3 4 5 0x y− − =
3x =
3x = 3 4 5 0x y− − =
2 2
1 : 2 3 0C x y y+ + − = 2 2
2 : 4 2 1 0C x y x y+ − − + =
1 0x y+ − = 2 2【解析】
【分析】
（1）联立两圆的方程，消去 ，根据方程根的个数，即可判断两圆的位置关系；
（2）两圆作差，求出公共弦的方程，再联立第一问的方程①，求出两个交点坐标，算出弦
长．
【详解】（1）联立方程 ，
消去 ，整理得 ①，其中，
所以，两圆相交.
（2）两圆作差得
由①得 ， 代入上式得 ， ，
所以交点坐标为： ，
由两点间距离公式得：
所以所求弦长为 .
【点睛】本题考查两圆位置关系、公共弦方程、弦长计算，考查运算求解能力．
19.已知双曲线 的虚轴长为 ，且离心率为 ．
(1)求双曲线的方程；
(2)经过双曲线右焦点 作倾斜角为 的直线，直线与双曲线交于不同的两点 ，求
．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
【分析】
（1）由题意可得 ， ，解方程可得 ， ， ，可得所求双曲
线的方程；
y
2 2
2 2
2 3 0
4 2 1 0
x y y
x y x y
+ + − =
+ − − + =
y 22 4 0x x− = 2( 4) 4 2 1 8 0∆ = − − × × = >
1 0x y+ − =
1 0x = 2 2x = 1 1y = 2 1y = −
(0,1),(2, 1)−
2 2(0 2) (1 1) 2 2− + + =
2 22 2 4 2 2 2r d− = − =
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 2 6 3
2F 30° ,A B
| |AB
2 2
13 6
x y− = 16 3
5
3= =ce a
2 2 6b c a= − = a b c（2）设经过双曲线右焦点 且倾斜角为 的直线的方程为 ，联立双曲线方
程，可得 的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值．
【详解】（1）双曲线 的虚轴长为 ，离心率为 ，
∴ 解得 ， ， ，
∴双曲线的方程为 .
（2）由（1）知双曲线 的右焦点为 ，设经过双曲线右焦点 且倾斜角为
的直线的方程为 ， ， ，
由 ，得 ，其中， ， ，
.
【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运
算能力，属于基础题．
20.如图四棱锥 中，底面 是正方形， ， ，且 ，
为 中点．
(1)求证： 平面 ；
2F 30° 3 ( 3)3y x= −
x
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > 2 6 3
3
6
c
a
b
=
=
3a = 6b = 3c =
2 2
13 6
x y− =
2 2
13 6
x y− = 2 (3,0)F 2F
30° 3 ( 3)3y x= − 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
2 2
13 6
3 ( 3)3
x y
y x
− =
= −
25 6 27 0x x+ − = 1 2
6
5x x+ = − 1 2
27
5x x = −
∴ 2 2
1 2
1 6 27 16 3| | 1 | | 1+ ( ) 4 ( )3 5 5 5AB k x x= + − = × − − × − =
P ABCD− ABCD PB BC⊥ PD CD⊥ PA AB=
E PD
PA ⊥ ABCD(2)求二面角 的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【解析】
【分析】
（ 1 ） 推 导 出 ， ， 从 而 平 面 ， 进 而 ． 求 出
，由此能证明 平面 ．
（2）以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量
法能求出二面角 的正弦值．
【详解】（1）∵底面 为正方形，
∴ ，
又 ， ，
∴ 平面 ，
∴ .
同理 ， ，
∴ 平面 .
（2）建立如图的空间直角坐标系 ，不妨设正方形的边长为 2.则
， ， ，
设 为平面 的一个法向量，又 ， ，
，令 ， ，得
同理 是平面 的一个法向量，
则 .
∴二面角 的余弦值为 .
A BE C− −
10
5
−
BC AB⊥ BC PB⊥ BC ⊥ PAB BC PA⊥
CD PA⊥ PA ⊥ ABCD
A AB x AD y AP z
A BE C− −
ABCD
BC AB⊥
BC PB⊥ AB PB B∩ =
BC ⊥ PAB
BC PA⊥
CD PA⊥ BC CD C∩ =
PA ⊥ ABCD
A xyz−
(0,0,0)A (2,2,0)C (0,1,1)E (2,0,0)B
( ; , )m x y z= ABE (0,1,1)AE = (2,0,0)AB =
0
2 0
m AE y z
m AB x
⋅ = + =
⋅ = =
1y = − 1z = (0, 1,1)m = −
(1,0,2)n = BCE
2 10cos , | || | 52 5
m nm n m n
⋅< >= = =
×
A BE C− − 10
5
−【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、
面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、
数形结合思想，是中档题．
21.已知点 的坐标为 ， ，直线 ， 相交于点 ，且它们的斜率之
积是 ．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)设 为坐标原点，过点 的直线 与点 的轨迹交于 两点，求 的面
积的最大值．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
【分析】
（1）设 ，根据斜率关系列方程化简即可；
（2）设直线方程，并与曲线方程联立，求出两根之和两根之积，把面积用其表示出来，再借
助于二次函数在区间上的最值求解方法即可得到结论．
【详解】（1）设 ，因为 ，所以直线 的斜率 ，
同理直线 的斜率 ，
由已知有 ，
,A B ( 2,0)− ( 2,0) AE BE E
1
2
−
E
O ( )1,0F − l E ,M N MON△
2
2 12
x y+ = 2
2
( , )E x y
( , )E x y ( 2,0)A − AE ( 2)
2AE
yk x
x
= ≠ −
+
BE ( 2)
2BE
yk x
x
= ≠
−
1= ( 2)22 2
y y x
x x
× − ≠ ±
+ −化简得 的轨迹方程为 .
（2）设过 的直线方程为 ，设 ，
联立直线与椭圆 方程，化简得 ，显然 ．
， ，
从而， .
所以 ，
令 ，
则 ，当 ，即 时取等号.
所以 面积的最大值为 .
【点睛】本题考查直接法求轨迹方程、三角形面积最值、直线与椭圆的位置关系，考查数形
结合思想、函数与方程思想，考查运算求解能力．
22.在平面直角坐标系 中，已知椭圆 C： ,且椭圆
C 上一点 N 到点 Q（0，3）的距离最大值为 4，过点 M（3,0）的直线交椭圆 C 于点 A、B．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设 P 为椭圆上一点，且满足 （O 为坐标原点），当 时，求实数
t 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） 或 .
【解析】
【详解】试题分析：（1）由题意， ，
当 时， 有最大值为 ，又 ，得椭圆方程是 ；
的
E
2
2 12
x y+ = ( 2)x ≠ ±
( )1,0F − 1x my= − 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y
( )2 22 2 1 0m y my+ − − = > 0∆
1 2 2
2
2
my y m
+ = + 1 2 2
1
2y y m
−= +
( )
( )
22
1 2 22 2 2
2 12 4 22 2 2
mmy y m m m
+ − = + = + + +
2
1 2 2 2
1 ( 2) 1| | | | 22 ( 2)MON
mS OF y y m
+ −= ⋅ − = +△
2 2 2t m= + ≥
2
2
1 1 1 1 1 22 2 2 4 2S t t t
= ⋅ − + = ⋅ − − + ≤ 2t = 0m =
MON△ 2
2
xOy
2 2
2 2
31( 1) 2
x y a b ea b
+ = ≥ =＞ 的离心率
OA OB tOP+ = 3AB ＜
2
2 14
x y+ = 2 3t− −＜ ＜ 3 2t＜ ＜
( ) ( ) ( )2 2 2 20 3 3 1 4 12NQ x y y b= − + − = − + + +
1y = − NQ 24 12 4b + = 3
2e =
2
2 14
x y+ =（ 2 ） 设 方 程 为 ， 点 P 在 椭 圆 上 ， 得
，又由 ，所以 或
．
试题解析：
（Ⅰ）∵ ∴
则椭圆方程为 即
设 则
当 时， 有最大值为 解得 满足题意
当 时， 有最大值为 解得 舍去
∴ ，椭圆方程是
（Ⅱ）设 方程为
由
整理得 ．
由 ，得 ．
∴
AB ( )3y k x= − ( ) ( )
2
2 2
24 6,
1 4 1 4
k k
t k t k
−
+ +
( )
( ) ( )
22 2
2 22 2 2 2
24 144 4
1 4 1 4
k k
t k t k
+ =
+ +
2
1 21 3AB k x x= + − ＜ 2 3t− −＜ ＜
3 2t＜ ＜
2 2 2
2
2 2
3 ,4
c a be a a
−= = = 2 24 ,a b=
2 2
2 2 1,4
x y
b b
+ = 2 2 24 4 .x y b+ =
( )( ),N x y b y b− ≤ ≤
( ) ( ) ( )2 2 22 20 3 4 4 3NQ x y b y y= − + − = − + −
( )22 2 23 6 4 9 3 1 4 12y y b y b= − − + + = − + + +
1b b− ≤ − ≤ NQ 24 12 4,b + = 2 1,b =
1 b− < − NQ 2 6 9 4,b b+ + = 1b = −
2 4a =
2
2 14
x y+ =
( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , , , ,A x y B x y P x y AB ( )3 ,y k x= −
( )
2
2
3 ,
1,4
y k x
x y
= − + =
( )2 2 2 21 4 24 36 4 0k x k x k+ − + − =
( )( )2 4 2 224 16 9 1 1 4 0k k k∆ = − − + ＞ 2 1
5k ＜
2 2
1 2 1 22 2
24 36 4, .1 4 1 4
k kx x x xk k
−+ = ⋅ =+ +
( ) ( )1 2 1 2, , ,OA OB x x y y t x y+ = + + = 则 ,
由点 P 在椭圆上，得
化简得 ①
又由
即 将 ， 代入得
化简，得
则 ,
∴ ②
由①，得
联立②，解得 ∴ 或
点睛：本题考查直线和椭圆的位置关系．解析几何问题的关键就是正确分析题目的解题思路，
有正确的解题逻辑．本题中，可以有 A，B 表示出 P 的坐标，满足椭圆方程，然后求出 t 的取
值范围，所以只需设直线 AB 即可．
( ) ( )
2
1 2 2
1 24
1 4
kx x xt t k
= + =
+
( ) ( ) ( )1 2 1 2 2
1 1 66 .
1 4
ky y y k x x kt t t k
− = + = + − = +
( )
( ) ( )
22 2
2 22 2 2 2
24 144 4,
1 4 1 4
k k
t k t k
+ =
+ +
( )2 2 236 1 4k t k= +
2
1 21 3,AB k x x= + − ＜
( ) ( )22
1 2 1 21 4 3,k x x x x + + − ＜ 1 2x x+ 1 2x x
( ) ( )
( )22 4
2
2 22
4 36 4241 3,1 41 4
kkk kk
＜
− + − ++
( )( )2 28 1 16 13 0,k k− + ＞
2 2 18 1 0, 8k k− ＞ ＞
21 1
8 5k＜ ＜
2
2
2 2
36 99 ,1 4 1 4
kt k k
= = −+ +
23 4,t＜ ＜ 2 3t− −＜ ＜ 3 2.t＜ ＜
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