2019-2020（上）高 2018 级 12 月月考
高二数学试卷（理）
第 I 卷（选择题)
一、单选题
1.若 ，且 是 的充分不必要条件，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简命题 ，再根据 是 的充分不必要条件得到 的取值范围.
【详解】由题得 ，
因为 是 的充分不必要条件，
所以 对应的集合是 对应的集合的真子集，
所以 .
故选 A
【点睛】本题主要考查根据充分不必要条件求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解
掌握水平.
2.曲线方程 的化简结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意得到给出的曲线方程的几何意义，是动点 到两定点的距离之和等于定值，符合
:| | 2, :p x q x a p q a
{ | 2}a a { | 2}a a
{ | 2}a a - { | 2}a a -
p p q a
: 2 2p x− ≤ ≤ :q x a£
p q
p q
2a ≥
2 2 2 2+ 4) + 4) 10x y x y+ + − =（ （
2 2
125 16
x y+ =
2 2
125 16
y x+ =
2 2
125 9
x y+ =
2 2
125 9
y x+ =
( ),x y
椭圆定义，然后计算出相应的 得到结果.
【详解】曲线方程 ，
所以其几何意义是动点 到点 和点 的距离之和等于 ，符合椭圆的定义.
点 和点 是椭圆的两个焦点.
因此可得椭圆标准方程 ，其中 ，所以
，所以
所以曲线方程的化简结果为 .
故选 D 项.
【点睛】本题考查曲线方程的几何意义，椭圆的定义，求椭圆标准方程，属于简单题.
3.如图是某工厂对一批新产品长度(单位: )检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的
平均数与中位数分别为( )
A. 22.5 20 B. 22.5 22.75 C. 22.75 22.5 D. 22.75
25
【答案】C
【解析】
由 题 意 ， 这 批 产 品 的 平 均 数 为
，
其中位数为 .故选 C.
4.甲、乙两位同学在高三的 5 次月考中数学成绩用茎叶图表示如右图所示，若甲、乙两人的
, ,a b c
( ) ( )2 22 2+ 4 + 4 10x y x y+ + − =
( ),x y ( )0, 4− ( )0,4 10
( )0, 4− ( )0,4
( )2 2
2 2 1 0y x a ba b
+ = > > 2 10a = 5a =
4c = 2 2 3b a c= − =
2 2
125 9
y x+ =
mm
( )5 0.02 12.5 0.04 17.5 0.08 22.5 0.03 27.5 0.03 32.5 22.75x = × × + × + × + × + × =
( )
0
0.5 0.02 0.04 520 22.50.08x
− + ×= + =
平均成绩分别是 ， ,则下列叙述正确的是（ ）
A. ；乙比甲成绩稳定 B. ; 乙比甲成绩稳定
C. ；甲比乙成绩稳定 D. ; 甲比乙成绩稳定
【答案】B
【解析】
试 题 分 析 ： 根 据 题 意 ， 由 于 甲 乙 在 考 试 中 的 数 学 成 绩 分 布 情 况 分 别 是
72,77,78,86,92;78,88,88,91,90,因此可知其均值分别是 81,87．因此可知 ，同时看
茎叶图可知，乙的数据比较集中在均值附近故可知乙比甲稳定故选 B.
考点：茎叶图
点评：主要是考查了茎叶图的简单运用，求解均值和方差的运用，属于基础题．
5.某单位青年、中年、老年职员的人数之比为 10∶8∶7，从中抽取 200 名职员作为样本，若
每人被抽取的概率是 0.2，则该单位青年职员的人数为( )
A. 280 B. 320 C. 400 D. 1000
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为 ，从中抽取
名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概率为
，得到要求的结果
【详解】由题意知这是一个分层抽样问题，
青年、中年、老年职员的人数之比为 ，从中抽取 名职员作为样本，
要从该单位青年职员中抽取的人数为：
每人被抽取的概率为 ，
该单位青年职员共有
x甲 x乙
x x>甲 乙 x x甲 乙 x x
( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 4 2 4 2 4 1 2 0a a a a a a∆ = − + = − − = + − < 1 a 2− < < a ( )1,2−
多从根的判别式着手可以得到解决，属于中档题.
9.设 P 是椭圆 上一点，M，N 分别是两圆： 和
上的点，则 的最小值、最大值分别为（ ）
A. 18，24 B. 16，22 C. 24，28 D. 20，26
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆心恰好是椭圆的两个焦点，由圆心的距离及椭圆的定义即可求得最大值与最小值．
【详解】椭圆的两个焦点坐标为 ，且恰好为两个圆的圆心坐标为
所以 ，两个圆的半径相等且等于 1
所以
所以选 C
【点睛】本题考查了椭圆的定义及性质的简单应用，圆中最大值与最小值的求法，属于中档
题．
10. 为坐标原点， 为抛物线 的焦点， 为 上一点，若 ，则
的面积为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由抛物线的标准方程 可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出 ,由 PF=4 以及
抛物线的定义列式可得 ,即 ,再代入抛物线方程可得点 P 的纵坐标,再由三
角形的面积公式 可得.
【详解】由 可得抛物线的焦点 F(1,0),准线方程为 ,
2 2
1169 25
x y+ = ( )2 212 1x y+ + = ( )2 212 1x y− + =
PM PN+
( ) ( )1 212,0 , 12,0F F−
1 2 26PF PF+ =
( ) 1 2min
2 24PM PN PF PF r+ = + − =
( ) 1 2max
2 28PM PN PF PF r+ = + + =
O F 2: 4C y x= P C 4PF = POF
2 3 2 3
2 4y x= ( , )P x y
( 1) 4x − − = 3x =
1 | |2S y OF=
2 4y x= 1x = −
如图:过点 P 作准线 的垂线,垂足为 ,根据抛物线的定义可知 PM=PF=4,
设 ,则 ,解得 ,将 代入 可得 ,
所以△ 的面积为 = .
故选 B.
【点睛】本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是①利用抛物线的
定义求 P 点的坐标;②利用 OF 为三角形的底,点 P 的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.
属中档题.
11.已知椭圆 的短轴长为 2，上顶点为 ，左顶点为 ， 分别是
椭圆的左、右焦点，且 的面积为 ，点 为椭圆上的任意一点，则
的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析： 由得椭圆 的短轴长为 ， 可得，
1x = − M
( , )P x y ( 1) 4x − − = 3x = 3x = 2 4y x= 2 3y = ±
POF 1 | |2 y OF⋅ 1 2 3 1 32
× × =
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > A B 1 2,F F
1F AB∆ 2 3
2
−
P
1 2
1 1
PF PF
+
[1,2] [ 2, 3] [ 2,4] [1,4]
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2 ( )
1
1 2 3
2 2F ABS a c b∆
−= − =
， 可得 ，从而可得结果.
详解：由得椭圆 的短轴长为 ，
，
解得 ，
，设 ，
则 ， ，
即 ，
，故选 D.
点睛：本题考查题意的简单性质，题意的定义的有意义，属于中档题.求解与椭圆性质有关的
问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、
长轴、短轴、等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
12.已知点 是双曲线 的左焦点，过 且平行于双曲线渐近线的直
线与圆 交于点 和另一个点 ，且点 在抛物线 上，则该双曲线的离
心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设 ，利用抛物线的性质，双曲线的渐近线，直线平行的性质、圆的性质、联
2, 3a c= = 1PF x= ( )2
1 2
1 1 4
4 2PF PF x
+ =
− −
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2 2, 1b b= =
( )
1
1 2 3
2 2F ABS a c b∆
−= − =
2 3, 2, 3a c a c− = − ∴ = =
1 2 2 4PF PF a+ = = 1PF x=
2 4PF x= − [ ],x a c a c∈ − +
2 3,2 3x ∈ − +
( ) [ ]2
1 2
1 1 1 1 4 1,44 4 2PF PF x x x
∴ + = + = ∈− − −
( )( ),0 0F c c− > 2 2
2 2 1x y
a b
− = F
2 2 2x y c+ = F P P 2 4y cx=
5 3 5
2
+ 5 1
2
+ 5 1
2
−
( ) ( ), , 0P x y x >
立方程组 ，建立 的关系即可得到结论.
【详解】
如图，设抛物线 的准线为 ，作 于 ，
双曲线的右焦点为 ，由题意可知 为圆 的直径，
设 ，则 ，且 ，
满足 ，将①代入②得 ，
则 ，
即 或 （舍去），
将 代入③，得 ，
即 ，再将 代入①得，
，
2
2 2 2
4 ,
,
,
y cx
x y c
y b
x c a
=
+ =
=+
①
②
③
,a c
2 4y cx= l PQ l⊥ Q
'F FF' 2 2 2x y c+ =
∴ ( ) ( ), , 0P x y x > 'PF PF⊥ tan ' bPFF a
∠ =
∴
2
2 2 2
4 ,
,
,
y cx
x y c
y b
x c a
=
+ =
=+
①
②
③
2 24 0x cx c+ − =
4 2 5 2 52
c cx c c
− ±= = − ±
( )5 2x c= − ( )5 2x c= − −
( )5 2x c= − ( )5 2 5 1
y b y
ac c c c
= =
− + −
( )5 1bc
y a
−
= ,x y
( ) ( )
22 2
2
2
5 1
4 5 2
b c
ca
−
= −
即 ，
，
解得 ，所以该双曲线的离心率是 ，故选 C.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义、圆的性质、双曲线的方程与性质以及离心率的求解，
属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种
情况：①直接求出 ，从而求出 ;②构造 的齐次式，求出 ;③采用离心率的定义以及
圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．
第 II 卷（非选择题)
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分共 20 分
13.命题“若 且 ，则 ” 否命题是______.（选填“真”或“假”）
【答案】假
【解析】
【分析】
根据四种命题的定义，得到命题的逆命题，举例即可判定其逆命题真假，再根据四种的等价
关系，即可求解否命题的真假，得到答案.
【详解】由题意，命题“若 且 ，则 ”的逆命题是“若 ，则
且 ”，
例如： 时，此时 成立，但 且 不成立，则逆命题命题为假命题，
根据四种命题的等价关系，原命题的逆命题与否命题是等价的，所以其否命题也是假命题.
故答案 假.
【点睛】本题主要考查了四种命题的改写，以及四种命题的等价关系的应用，其中解答中熟
记四种命题的改写，求得命题的逆命题并判定其真假是解答的关键，着重考查了分析问题和
解答问题的能力，属于基础题.
14.某同学同时掷两颗均匀正方形骰子，得到的点数分别为 ， ，则椭圆 的离心
的
为
( ) ( )
22
2
5 1
4 5 2
b
a
−
= −
( )
( )
2 2 2
2
22 2
4 5 2
1
5 1
b c a ea a
− −∴ = = = −
−
2e 5 1
2
+= 5 1
2
+
,a c e ,a c e
1a > 1b > 2a b+ >
1a > 1b > 2a b+ > 2a b+ > 1a >
1b >
1, 3a b= = 2a b+ > 1a > 1b >
a b
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
率 的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由椭圆 的离心率 ，可得 或 ，掷两颗均匀正方形骰子得
到的点数分别为 ， ，共有 36 种情况，将满足不等式的情况一一列举出来，利用古典概型
求解即可.
【详解】由椭圆 的离心率 ，可得
当 时， ,即得 ;
当 时， 即得 .
同时掷两颗均匀正方形骰子得到 点数分别为 ， ，共有 种情况，
满足上述关系的有：(3,1),(1,3),(4,1),(1,4),(5,1),(1,5),(5,2),(2,5),（6,1），(1,6),
（6,2）,(2,6)共 12 种情况，
所以概率为： .
故答案为 .
【点睛】本题主要考查了古典概型的计算及椭圆离心率的计算，但要注意椭圆的焦点在哪个
轴上，需讨论 和 的大小，属于易错题.
15.已知圆 ，圆 ，若圆 上存在点 ，过点
作圆 的两条切线，切点为 ， ，使得 ，则 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意求出 OP 的距离，得到 P 的轨迹，再由圆与圆的位置关系求得答案．
,
的
3
2e >
1
3
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 3
2e > 2 24a b> 2 24b a>
a b
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 3
2e >
a b> 2 2 3
2
c a be a a
−= = > 2 24a b>
a b< 2 2 3 2 c b ae b b −= = > 2 24b a>
a b 6 6 36× =
12 1
36 3
=
1
3
a b
2 2: 1O x y+ = 2 2:( ) ( 3) 1M x a y a− + − + = M P P
O A B 60APB∠ = ° a
[0,3]
【详解】由题意易得 ， ，
点 在以 的圆心，2 为半径的圆上， 此圆与圆 有公共点， ，
即 .
， ，
即 ，解得 ， 的取值范围是
故答案为[0，3]．
【点睛】本题主要考查直线和圆、圆与圆的位置关系的应用，利用数形结合将条件进行等价
转化是解决本题的关键，是中档题
16.已知椭圆 C: ，若动点 为椭圆外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线
相互垂直，求点 P 的轨迹方程_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
当切线斜率存在且不为 0 时,设直线方程
【详解】设从点 所引的直线的方程为 ,即 ,
当从点 所引的椭圆 的两条切线的斜率都存在时,分别设为 、 ,则 ,
将直线 的方程代入椭圆 的方程 ，
化简得 ,
,
化简得 ,即 ,
则 、 是关于 的一元二次方程 的两根,
1 302APO APB °∠ = ∠ = | | 1| | 2sin sin30
OAOP APO °= = =∠
∴ P O ∴ M 2 1 | | 2 1OM− + ∴
21 | | 9OM
2 2 2 2| | ( 3) 2 6 9OM a a a a= + − = − + 21 2 6 9 9a a− + ∴
2
2
2 6 8 0
2 6 0
a a
a a
− +
−
0 3a a∴ [0,3]
2 2
19 4
x y+ = ( )0 0P x y，
2 2 13x y+ =
0 0( )y y k x x− = −
P 0 0( )y y k x x− = − ( )0 0y kx y kx= + −
P C 1k 2k 1 2 1k k = −
( )0 0y kx y kx= + − C
( )
2 2
0 0
19 4
x y
y kx y kx
+ =
= + −
( ) ( ) ( )22 2
0 0 0 09 4 18 9 36 0k x k y kx x y kx+ + − + − − =
( ) ( ) ( )2 22
0 0 0 018 4 9 4 9 36 0k y kx k y kx ∆ = − − + − − =
( )2 2
0 0 9 4 0y kx k− − − = ( )2 2 2
0 0 0 09 2 4 0x k kx y y− − + − =
1k 2k k ( )2 2 2
0 0 0 09 2 4 0x k kx y y− − + − =
则 ,化简得 ；
当两条切线分别平行与 轴时, 分别为 四点,满足 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查了利用直线与椭圆相切,联立直线与椭圆利用判别式为 0 再进行化简求
解方法,属于难题.
三、解答题
17.已知命题 ： 表示双曲线，命题 ： 表示椭圆．
（1）若命题 与命题 都为真命题，则 是 的什么条件？
（请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充
分也不必要条件”中的哪一个）
（2）若 为假命题，且 为真命题，求实数 的取值范围．
【答案】（1） 是 的必要不充分条件（2） 或 ．
【解析】
试题分析：(1) 根据双曲线的定义，若命题 为真命题则 ,若 都为真命题则
或 ，由 ，可得 是 的必要
不充分条件；（2）由 为假命题，且 为真命题，可得 一真一假，分两种情况
讨论，对于 真 假以及 假 真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实
数 的取值范围..
试题解析：（1）∵命题 ： 表示双曲线是真命题，
∴ ，
解得 ,
又∵命题 ： 表示椭圆是真命题，
2
0
1 2 2
0
4 19
yk k x
−= = −−
2 2
0 0 13x y+ =
,x y ( )0 0,P x y ( )3, 2P ± ± 2 2
0 0 13x y+ =
2 2 13x y+ =
P
2 2
11 4
x y
m m
+ =− −
q 2 2
12 4
x y
m m
+ =− −
P q P q
P q∧ P q∨ m
P q 1 2m< ≤ 3m = p 1 4m< < q 2 3m< < 3 4m< < { }|1 4 {2 3 3 4}m m m m< < ⊇ < < <
− >
− ≠ −
2 3m< < 3 4m< < { }|1 4 {2 3 3 4}m m m m< < ⊇ < < < 37
4m < C l 2 5 4d = l C 37 5 4 4m− < 8m > m 37(8, )4
m OP OQ⊥
l
2 2 6 0
2 3 0
x y x y m
x y
+ + − + =
+ − =
y 25 10 4 27 0x x m+ + − =
1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y 1 2 2x x+ = − 1 2
4 27
5
mx x
−=
1 2 1 2 1 2
1 2
4 27153 3 9 3( ) 5
2 2 4 4
m
x x x x x xy y
−+− − − + += ⋅ = =
∵ ，∴ ，解得 .
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的判定及应用，其中解答中熟记直线与圆的位
置关系的判定方法，以及熟练应用圆的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题
的能力，属于中档试题.
21.已知点 是抛物线 的焦点，若点 在抛物线 上，且
求抛物线 的方程；
动直线 与抛物线 相交于 两点，问：在 轴上是否存在定点
其中 ，使得 x 轴平分 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明
理由．
【答案】（1） ；（2）存在， .
【解析】
【分析】
(1)利用抛物线的定义 进行求解即可.
(2)由题意可得若 轴上存在定点 其中 ,使得 x 轴平分 ,则
,再联立直线与椭圆的方程,列出韦达定理,再列出斜率代入韦达定理进行化
简证明即可.
【详解】 抛物线 C： 的焦点为 ,准线方程为 ,
即有 ,即 ,则 ,解得 ,则 ；
在 x 轴上假设存在定点 其中 ,因为 x 轴平分 ,
设 , ,联立 和 ,得 ,
恒成立． ,
设直线 DA、DB 的斜率分别为 , ,则由 得,
1 2 1 2 0x x y y+ =
4 27154 27 5 05 4
m
m
−+− + = 3m =
F 2C: 2 ( 0)y px p= > ( )0 ,4P x C
5 .2PF p=
( )1 C
( )2 ( )l: 1x my m R= + ∈ C ,A B x
( ),0 (D t 0)t ≠ ADB∠ D
2 4y x= ( )1,0D −
0
5
2 2
p pPF x= + =
x ( ),0 (D t 0)t ≠ ADB∠
ODA ODB∠ = ∠
( )1 2 2 ( 0)y px p= > ,02
p
2
px = −
0
5
2 2
p pPF x= + = 0 2x p= 216 4p= 2p = 2 4y x=
( )2 ( ),0 (D t 0)t ≠ ADB∠
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1x my= + 2 4y x= 2 4 4 0y my− − =
( )216 1 0m= + > 1 2 4y y m+ = 1 2 4.y y = − ①
1k 2k ODA ODB∠ = ∠
,
, 联立 ,得 ,
故存在 满足题意,综上,在 x 轴上存在一点 ,使得 x 轴平分
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义以及圆锥曲线中的角度问题,重点是讲题中所给的信息
转换为斜率的关系进行列式化简求解.属于中等题型.
22.已知在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： （a＞b＞0）离心率为 ，其短轴
长为 2．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）如图，A 为椭圆 C 的左顶点，P，Q 为椭圆 C 上两动点，直线 PO 交 AQ 于 E，直线 QO 交 AP
于 D，直线 OP 与直线 OQ 的斜率分别为 k1，k2，且 k1k2＝ ， （λ，
μ 为非零实数），求λ2+μ2 的值．
【答案】（1） ；（2）1
【解析】
【分析】
（1）由题意可得 b＝1，运用离心率公式和 a，b，c 的关系，可得 a，b，进而得到椭圆方程；
（2）求得 A 的坐标，设 P（x1，y1），D（x0，y0），运用向量共线坐标表示，结合条件求得 P
的坐标，代入椭圆方程，可得 λ2＝ ，同理得 μ2＝ ，即可得 λ2+μ2 的值．
【详解】（1）因为短轴长 2b＝2，所以 b＝1，又离心率 e＝ ，且 a2﹣b2＝c2，
( ) ( )
( )( )1 2 2 11 2
1 2
1 2 1 2
y x t y x ty yk k x t x t x t x t
− + −+ = + =− − − −
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )1 2 2 1 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2 1y my t y my t my y t y y
x t x t x t x t
+ − + + − + − += =− − − −
( )( )1 2 1 22 1 0my y t y y∴ + − + = ② ①② ( )4 1 0m t− + =
1t = − ( )1,0D − ADB∠
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 2
2
1
2
− ,AD DP AEλ= = EQµ
2
2 12
x y+ =
2
2
1
1 2k+
2
1
2
1
2k
1 2k+
2
2
c
a
=
解得 a＝ ，c＝1，则椭圆 C 的方程为 +y2＝1；
（2）由（1）可得点 A（﹣ ，0），设 P（x1，y1），D（x0，y0），则 y1＝k1x1，y0＝k2x0，
由 可得 x0+ ＝λ（x ﹣x0），y0＝λ（y1﹣y0），
即有 x0＝ ，k1x1＝y1＝ y0＝ k2x0＝k2（x1﹣ ），
两边同乘以 k1，可得 k12x1＝k1k2（x1﹣ ）＝﹣ （x1﹣ ），
解得 x1＝ ，将 P（x1，y1）代入椭圆方程可得 λ2＝ ，
由 可得 μ2＝ ，可得 λ2+μ2＝1．
【点睛】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查直线方程和
向量共线的坐标表示，以及化简整理的运算能力，属于中档题．
2
2
2
x
2
AD DPλ= 2 1
1
1 0
2 1,1
x y y
λ λ
λ λ
− +=+
1 λ
λ
+ 1 λ
λ
+ 2
λ
2
λ
1
2
2
λ
( ) ( )1 12 2
1 1
2 2,
1 2 1 2
y k
k kλ λ
=
+ + 2
2
1
1 2k+
AE EQµ= 2
1
2 2
2 1
2k1
1 2 1 2kk
=+ +
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