2019-2020 学年度上期
高 2018 级第二次月考数学试卷（理）
第Ⅰ卷
一、选择题
1.设 ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
，即 .
【详解】 ，即 . .故 B 正确.
考点：集合间的关系.
2.直线 的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．
【详解】因为直线 x+y﹣1＝0 的斜率为： ，
直线的倾斜角为：α．
所以 tanα ，
α＝120°
故选：C．
【点睛】本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用．
3. 为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事
{ | 4}P x x= < 2{ | 4}Q x x= <
P Q⊆ Q P⊆ RP C Q⊆
RQ C P⊆
2 4 2 2 2x x x< ⇒ < ⇒ − < < { | 2 2}Q x x= − < < Q P∴ ⊆
2 4 2 2 2x x x< ⇒ < ⇒ − < < { | 2 2}Q x x= − < < Q P∴ ⊆
3 1 0x y+ − =
30 60 120 150
3 3−
3= −先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情
况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A. 简单随机抽样 B. 按性别分层抽样
C. 按学段分层抽样 D. 系统抽样
【答案】C
【解析】
试题分析：符合分层抽样法的定义，故选 C.
考点：分层抽样．
4. 若 a∈R，则“a=1”是“|a|=1”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：先判断“a=1”⇒“|a|=1”的真假，再判断“|a|=1”时，“a=1”的真假，进而结
合充要条件的定义即可得到答案．
解：当“a=1”时，“|a|=1”成立
即“a=1”⇒“|a|=1”为真命题
但“|a|=1”时，“a=1”不一定成立
即“|a|=1”时，“a=1”为假命题
故“a=1”是“|a|=1”的充分不必要条件
故选 A
点评：本题考查的知识点是充要条件，其中根据绝对值的定义，判断“a=1”⇒“|a|=1”与“|a|=1”
时，“a=1”的真假，是解答本题的关键．
5.按照程序框图（如图）执行，第 4 个输出的数是（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
按步骤写出对应程序，从而得到答案.
【详解】解：第一次输出的 ，则 ，满足条件 ，然后
第二次输出的 ，则 ，满足条件 ，然后
第三次输出的 ，则 ，满足条件 ，然后
第四次输出的 ，则 ，满足条件 ，然后
第五次输出的 ，则 ，不满足条件 ，然后退出循环
故第 4 个输出的数是 7 故选 C．
【点睛】本题主要考查算法框图，重在考查学生的计算能力和分析能力.
6.函数 的图象大致是
A. B.
1A = 1 1 2S = + = 5S ≤ 1 2 3A = + =
3A = 2 1 3S = + = 5S ≤ 3 2 5A = + =
5A = 3 1 4S = + = 5S ≤ 5 2 7A = + =
7A = 4 1 5S = + = 5S ≤ 7 2 9A = + =
9A = 5 1 6S = + = 5S ≤
( ) sinf x x x= ( )C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性排除选项 B、C 项，然后利用特殊值判断，即可得到答案．
【详解】由题意，函数 满足 ，
所以函数 为偶函数，排除 B、C，
又因为 时， ，此时 ，所以排除 D，
故选 A．
【点睛】本题主要考查了函数的图象的识别问题，其中解答中熟练应用函数的奇偶性进行排
除，以及利用特殊值进行合理判断是解答的关键，着重考查了分析问题解决问题的能力，属
于基础题.
7.已知 是两个不同的平面，下列四个条件中能推出 的是（ ）
①存在一条直线 ；
②存在一个平面 ；
③存在两条平行直线 ；
④存在两条异面直线 ．
A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③
【答案】C
【解析】
试题分析：对①，由线面垂直的性质知①能推出 ，对②，如教室的墙角的两墙面都与
底面垂直，则这两个墙面不平行；对③由图 3 知， ，但
相交，故③推不出，结合选项，排除 A，B，D,故选 C.
考点：空间线面、面面平行垂直的判定与性质
( )f x xsinx= ( ) ( ) ( )f x xsin x xsinx f x− = − − = =
( )f x
( )x π,2π∈ sinx 0< ( )f x 0<
,α β / /α β
, ,m m mα β⊥ ⊥
, ,γ γ α γ β⊥ ⊥
, , , , / / , / /m n m n m nα β β α⊂ ⊂
, , , , / / , / /m n m n m nα β β α⊂ ⊂
/ /α β
, , , , / / , / /a b a b a bα β β α⊂ ⊂ ,α β8.已知平面向量 ＝(1，－3)， ＝(4，－2)，λ ＋ 与 垂直，则 λ＝( )
A. －1 B. 1
C. －2 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
求出 λ ＋ 的坐标，利用 列方程求解即可
【详解】 ＝(1，－3)， ＝(4，－2)，
∴λ ＋ ＝λ(1，－3)＋(4，－2)＝(λ＋4，－3λ－2)，
∵λ ＋ 与 垂直，
∴λ＋4＋(－3)(－3λ－2)＝0，
∴λ＝－1，故选 A.
9.如图，在直二面角的棱上有 、 两点，直线 、 分别在这个二面角的两个半平面
内，且都垂直于 ，已知 ， ， ，则直线 与 所成角的余弦值
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
建立空间坐标系，求出两条异面直线的方向向量，代入夹角公式，可得答案．
【详解】以 A 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则 A（0，0，0），B（4，0，0），C（0，0，6），D（4，﹣8，0），
故 （4，0，0）， （4，﹣8，﹣6），
a b a b a
a b ( ) 0a b aλ ⋅ = ＋
a b
a b
a b a
A B AC BD
AB 4AB = 6AC = 8BD = AB CD
2 29
29
29
29
5 29
29
2 203
29
AB = CD =故直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，异面直线及其所成的角，难度
不大，属于基础题．
10.椭圆 的焦点在 轴上，则它的离心率的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆 1 的焦点在 x 轴上，确定 a 的范围，表示出椭圆的离心率，利用基本
不等式，可得结论．
【详解】∵椭圆 1 的焦点在 x 轴上，
∴5a＞4a2+1
∴
∵椭圆的离心率为 （当且仅当
，即 a 时取等号）
∴椭圆的离心率的取值范围为（0， ]
2 29
29
AB CD
AB CD
⋅
=
⋅
2 2
2 15 4 1
x y
a a
+ =+ x
10, 5
1 ,15
50, 5
5 ,15
2 2
25 4 1
x y
a a
+ =+
2 2
25 4 1
x y
a a
+ =+
1 14 a＜ ＜
25 4 1 1 1 1 1 51 4 1 2 45 5 5 5
a a a aa a a
− − = − + ≤ − × × =
14a a
= 1
2
=
5
5故选：C．
【点睛】本题考查椭圆 标准方程与离心率，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，
属于基础题．
11.已知函数 （ ），若不等式 对任意实数
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，分析可得函数 f（x）为奇函数且为增函数，进而可以将原问题转化为 m
对任意实数 t≥1 恒成立，由基本不等式的性质分析可得 有最小值 ，进而分析可
得 m 的取值范围．
【详解】根据题意，函数 f（x）＝x3+3x，其定义域为 R，关于原点对称，
有 f（﹣x）＝﹣（x3+3x）＝﹣f（x），则 f（x）为奇函数，
又由 f′（x）＝3x2+3＞0，则 f（x）为增函数，
若不等式 f（2m+mt2）+f（4t）＜0 对任意实数 t≥1 恒成立，
则 f（2m+mt2）＜﹣f（4t），即 2m+mt2＜﹣4t 对任意实数 t≥1 恒成立，
2m+mt2＜﹣4t⇔m ，即 m ，
又由 t≥1，则 t 2 ，则 有最小值 ，当且仅当 时等号成立
若 m 对任意实数 t≥1 恒成立，必有 m ；
即 m 的取值范围为（﹣∞， ）；
故选：D．
的
( ) 3 3f x x x= + x∈R ( ) ( )22 4 0f m mt f t+ + <
1t ≥ m
( ) ( ), 2 2,−∞ − ∪ +∞ ( ), 2−∞ −
( )2, 2− − ( ), 2−∞ −
4
2t t
−
+
＜
4
2t t
−
+ 2−
2
4
2
t
t
− +＜
4
2t t
−
+
＜
2
t
+ ≥ 2
4
2t t
−
+ 2− 2t =
4
2t t
−
+
＜
2＜−
2−【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析判断函数 f（x）＝x3+3x 的奇
偶性与单调性．
12.已知等比数列 满足 ，且 ， ， 成等差数列，则 的最大
值为（ ）
A. 1022 B. 1023 C. 1024 D. 1025
【答案】C
【解析】
【分析】
利 用 等 比 数 列 通 项 公 式 和 等 差 数 列 定 义 列 出 方 程 组 ， 求 出 首 项 和 公 比 ， 从 而 得 到
，进而 a1a2a3…an＝24+3+2+1+…+（5﹣n） ，由此能求出结果．
【详解】∵等比数列{an}满足 a2a5＝2a3，且 a4， ，2a7 成等差数列，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴a1a2a3…an＝24+3+2+1+…+（5﹣n） ，
∴当 n＝4 或 n＝5 时，
a1a2a3…an 取最大值，且最大值为 210＝1024．
故选:C．
【点睛】本题考查等比数列、等差数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考
查函数与方程思想、化归与转化思想，是中等题．
第Ⅱ卷
二、填空题
13.已知等差数列 的通项公式 ，则它的公差为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
{ }na 2 5 32a a a= 4a 5
4 72a 1 2 na a a⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅
1 5116 ( ) 22
n n
na − −= × = 2 9
22
n n− +
=
5
4
4 2
1 1 1
3 6
1 1
2
52 2 4
a qa q a q
a q a q
= + = ×
1
116 2a q= =，
1 5116 ( ) 22
n n
na − −= × =
2 9
22
n n− +
=
{ }na 3 2na n= −
2−利用等差数列的定义可得出该数列的公差.
【详解】因为数列 为等差数列，且 .
，因此，等差数列 的公差为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用等差数列的通项公式求公差，考查计算能力，属于基础题.
14.在 中，角 , , 的对边分别为 ，若 ，则 等于____
【答案】
【解析】
由已知．在 中， ， ．
15.已知 ，任取 、 ，则使得 的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】
先把（x2+y2﹣4） 0 转化为 ；画出图形求出图中阴影部分占正方形
的面积比即可．
【详解】（x2+y2﹣4） 0 等价于
不等式 ；
画出图形，如图所示；
则不等式组表示的是图中的阴影部分，
所求的概率为 P ．
故答案为： ．
{ }na 3 2na n= −
( ) ( )1 3 2 1 3 2 2n na a n n+ − = − + − − = − { }na 2−
2−
ABC∆ A B C , ,a b c 2 2 2 3b c a bc+ − = A
6
π
ABC∆ 2 2 2 3cos 2 2
b c aA bc
+ −= =
6A
π=
[ ], 2,2x y∈ − x y ( )2 2 4 0x y x y+ − − ≤
8
π
x y− ≤ 2 2
0
4 0
x y
x y
− ≥
+ − ≤
x y− ≤
2 2
0
4 0
x y
x y
− ≥
+ − ≤
21 22
4 4 8
π π× ×
= =×
8
π【点睛】本题考查了几何概型的应用问题，解题时应根据题意画出图形，计算对应图形的面
积，是基础题目．
16.若对圆 上任意一点 ， 的取值与 ，
无关，则实数 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得故|3x﹣4y+a|+|3x﹣4y﹣9|可以看作点 P 到直线 m：3x﹣4y+a＝0 与直线 l：
3x﹣4y﹣9＝0 距离之和的 5 倍，进一步分析说明圆位于两直线内部，再由点到直线的距离公
式求解直线 3x﹣4y+a＝0 与圆相切时的 a 值，则答案可求．
【详解】设 z＝|3x﹣4y+a|+|3x﹣4y﹣9|＝5（ ），
故|3x﹣4y+a|+|3x﹣4y﹣9|可以看作点 P（x，y）到直线 m：3x﹣4y+a＝0 与直线 l：3x﹣4y﹣9
＝0 距离之和的 5 倍，
∵|3x﹣4y+a|+|3x﹣4y﹣9|的取值与 x，y 无关，
∴这个距离之和与点 P 在圆上的位置无关，
如图所示：可知直线 m 平移时，P 点与直线 m，l 的距离之和均为 m，l 的距离，
即此时圆在两直线内部，
当直线 m 与圆相切时， ，
化简得|a﹣1|＝5，
解得 a＝6 或 a＝﹣4（舍去），
∴a≥6．
( ) ( )2 21 + 1 =1x y− − ( )P ,x y 3 4 3 4 9x y a x y− + + − − x
y a
6a ≥
2 2 2 2
3 4 3 4 9
3 4 3 4
x y a x y− + − −+
+ +
2 2
3 4 1
3 4
a− + =
+故答案为：a≥6．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查数学转化思想方
法，属于难题．
三、解答题
17.已知命题 ：方程 无解，命题 ： ， 恒成立，
若 是真命题，且 也是真命题，求 的取值范围．
【答案】 .
【解析】
【分析】
先求出当 ， 为真时命题的等价条件，再利用复合命题及其真假求解即可．
【详解】当 为真时，有： ，解得： ；
当命题 为真时，有： ，对 恒成立，即 ，
由 是真命题，且 也是真命题得： 与 都是真命题；即
综上，所求 的取值范围是
【点睛】本题考查了复合命题及其真假，考查二次方程及恒成立问题，正确求解命题为真的
条件是关键，是中档题
18.已知三角形 的顶点坐标为 ， , , 是 边上的中点．
（Ⅰ）求 边所在直线的方程；
p 2 2 7 10 0x mx m− + − = q [ )4,x∈ +∞ 0x m− ≥
p q∨ p q∧ m
( ]2,4
p q
p ( ) ( )22 4 7 10 0m m∆ = − − − < 2 5m< <
q m x≤ [ )4,x∈ +∞ 4m ≤
p q∨ p q∧ p q 2 4m< ≤
m ( ]2,4
ABC ( 1,5)A − ( 2, 1)B − − (4,3)C M BC
AB（Ⅱ）求中线 的长；
（Ⅲ）求 边的高所在直线的方程．
【答案】(1) 6x-y+11=0 (2) （3）
【解析】
【分析】
（1）由两点式直接写方程，（2）求出中点，用两点距离公式求解，（3）求出 AB 的斜率，得
到 边上高的斜率，进而可得 边的高所在直线的方程
【详解】解：（1）由两点式写方程得 ，
即 6x-y+11=0
或 直线 AB 的斜率为
直线 AB 的方程为
即 6x-y+11=0
（2）设 M 的坐标为（ ），则由中点坐标公式得
故 M（1，1）
（3） ，
则 边的高所在直线的方程为 即
19.某公司在若干地区各投入 4 万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图
（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从 0 开始计数的.
（1）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；
（2）根据频率分布直方图，估计投入 4 万元广告费用之后，销售收益的平均值（以各组的区
AM
AB
2 5AM = 1 11
6 3y x= − +
AB AB
6 61ABk = =
AB 1 ( 4) 36y x= − − + 1 11
6 3y x= − +间中点值代表该组的取值）；
（3）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
广告投入 （单位：万元） 1 2 3 4 5
销售收益 （单位：百万元） 2 3 2 7
表中的数据显示， 与 之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算 关
于 的回归方程.
附公式： ， .
【答案】（1）2;（2） ;（3） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据频率分布直方图，由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1，可计算图中各小长
方形 宽度；
（Ⅱ）以各组的区间中点值代表该组的取值，即可计算销售收益的平均值；
（Ⅲ）求出回归系数，即可得出结论．
【详解】（Ⅰ）设各小长方形 宽度为 ，由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1，可知
，故 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知各小组依次是 ，
其中点分别为 ，对应的频率分别为 ，
故可估计平均值为 ；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知空白栏中填 5．
由题意可知， ， ，
，
的
的
x
y
x y y
x
1
22
1
n
i i
i
n
i
i
x y nxy
b
x nx
=
=
−
=
−
∑
∑
a y bx= −
5 1.2 0.2y x= +
m
( )0.08 0.1 0.14 0.12 0.04 0.02 0.5 1m m+ + + + + ⋅ = = 2m =
[ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ]0,2 , 2,4 , 4,6 , 6,8 , 8,10 , 10,12
1,3,5,7,9,11 0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04
1 0.16 3 0.2 5 0.28 7 0.24 9 0.08 11 0.04 5× + × + × + × + × + × =
1 2 3 4 5 35x
+ + + += = 2 3 2 5 7 3.85y
+ + + += =
5
1
1 2 2 3 3 2 4 5 5 7 69i i
i
x y
=
= × + × + × + × + × =∑，
根据公式，可求得 ， ，
即回归直线 方程为 ．
【点睛】本题考查回归方程，考查频率分布直方图，考查学生的读图、计算能力，属于中档
题．
20.在如图所示的几何体中，四边形 是等腰梯形， ， ，
．在梯形 中， ，且 ， ， 平面
．
（1）求证： ．
（2）求二面角 的正切值．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）证明 BC⊥AC．EC⊥BC，推出 BC⊥平面 ACEF，然后证明 BC⊥AF．
（2）建立空间直角坐标系，求出平面 DEF 法向量，平面 EFA 法向量，利用空间向量的数量积
求解二面角 D﹣EF﹣A 的正切值即可．
【详解】（1）在 中， ，所以
，由勾股定理知： ，故 ．
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，而 ，
的
5
2 2 2 2 2 2
1
1 2 3 4 5 55i
i
x
=
= + + + + =∑
2
69 5 3 3.8 12 1.255 5 3 10
ˆb
− × ×= = =− × 3.8 1.2 3 0ˆ .2a = − × =
1.2 .2ˆ 0y x= +
ABCD AB CD∥ 60ABC∠ = °
2 2AB CB= = ACEF EF AC 2AC EF= 6
4CE = EC ⊥
ABCD
BC AF⊥
D EF A− −
6
3
ABC∆ 2 2 2 2 cos60 3AC AB BC AB BC= + − ⋅ ° =
2 2 2AC AB BC= + 90ACB∠ = ° BC AC⊥
EC ⊥ ABCD BC ⊆ ABCD
EC BC⊥ EC AC C∩ =所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ．
（2）由题易知可建如图所示空间直角坐标系，则 ， ， ，
，
， ，
设平面 法向量为 ，
则由 知： ， ，故取 ．
而由（1）知：平面 法向量为 ，
．
故 ，
，
二面角 的正切值为 ．
【点睛】本题考查直线与平面垂直 判断定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，
考查空间想象能力以及逻辑推理能力，是中档题．
21.已知圆 C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4（a＞0）及直线 l：x﹣y+3＝0．当直线 l 被圆 C 截
得的弦长为 时，求
的
BC ⊥ ACEF AF ⊆ ACEF
BC AF⊥
( )0,0,0C ( )3,0,0A ( )0,1,0B
60,0, 4E
3 1, ,02 2D
−
3 6,0,2 4F
DEF ( ), ,n a b c=
0
0
n DE
n DF
⋅ =
⋅ =
0a = 6
2b c= − ( )0, 6, 2n = −
EFA ( )0,1,0CB =
15cos , 5
n CBn CB
n CB
⋅∴ = =
⋅
10sin , 5n CB∴ =
6tan , 3n CB∴ =
∴ D EF A− − 6
3
2 2（Ⅰ）a 的值；
（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆 C 相切的切线方程．
【答案】（Ⅰ）a＝1；（Ⅱ）5x﹣12y+45＝0 或 x＝3．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到
直线 l 的距离 d，然后根据垂径定理得到弦心距，弦的一半及圆的半径成直角三角形，利用勾
股对了列出关于 a 的方程，求出方程的解即可得到 a 的值，然后由 a 大于 0，得到满足题意 a
的值；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出 a 的值代入圆的方程中确定出圆的方程，即可得到圆心的坐标，并判断
得到已知点在圆外，分两种情况：当切线的斜率不存在时，得到 x＝3 为圆的切线；当切线的
斜率存在时，设切线的斜率为 k，由（3，5）和设出的 k 写出切线的方程，根据直线与圆相切
时圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离 d，
让 d 等于圆的半径即可列出关于 k 的方程，求出方程的解即可得到 k 的值，把 k 的值代入所
设的切线方程即可确定出切线的方程．综上，得到所有满足题意的切线的方程．
【详解】解：（Ⅰ）依题意可得圆心 C（a，2），半径 r＝2，
则圆心到直线 l：x﹣y+3＝0 的距离 ，
由勾股定理可知 ，代入化简得|a+1|＝2，
解得 a＝1 或 a＝﹣3，
又 a＞0，所以 a＝1；
（Ⅱ）由（1）知圆 C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，圆心坐标为（1，2），圆的半径 r＝2
由（3，5）到圆心的距离为 r＝2，得到（3，5）在圆外，
∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为 y﹣5＝k（x﹣3）
由圆心到切线的距离 d r＝2，
化简得：12k＝5，可解得 ，
∴切线方程为 5x﹣12y+45＝0；
( )22
2 3 1
21 1
a ad
− + += =
+ −
2 2 22 2( )2d r+ =
4 9 13+ = ＞
2
2 3
1
k
k
− += =
+
5
12k =②当过（3，5）斜率不存在直线方程为 x＝3 与圆相切．
由①②可知切线方程为 5x﹣12y+45＝0 或 x＝3．
【点睛】此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用垂径定理及勾股定理
化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题
22.已知椭圆 经过点 ，且右焦点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过 的直线 交椭圆 与 ， 两点，记 ，若 的最大值和最小值
分别为 ， ，求 的值.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1) 列方程组求解出 ， 即可；
(2) 对 k 讨论，分别建立方程组，找到根与系数关系，建立 t 的恒成立方程进行求解．
【详解】解：（1）有椭圆 的右焦点为 ，知 ，即 ，
则：
又椭圆过点 ，则 ，又 ，求得
椭圆方程： .
（2）当直线 斜率存在时，设 的方程为 ，
由 得 ，即 ，
在椭圆内部， ，
2 2
2 2: 1( 0)x y a ba b
Γ + = > > ( 2,1)M − ( 3,0)F
Γ
(1,0)N AB Γ A B •t MA MB= t
1t 2t 1 2t t+
2 2
16 3
x y+ = 1 2
13
2t t+ =
2a 2b
2 2
2 2 1x y
a b
+ = ( )3,0 2 2 3a b− = 2 2 3b a= −
2 2
2
2 2 1, 33
x y aa a
+ = >−
( )2,1M −
2 2
4 1 13a a
+ =−
2 3a > 2 6a =
∴ 2 2
16 3
x y+ =
AB AB ( ) ( ) ( )1 1 2 21 , , , ,y k x A x y B x y= −
( )
2 2
16 3
1
x y
y k x
+ =
= −
( )22 22 1 6x k x+ − = ( )2 2 2 21 2 4 2 6 0k x k x k+ − + − =
( )1,0 0∆ >，
则
，
③
将①②代入③得
，
，
，
则
，即 ，
又 是 两个根， ，
当直线 斜率不存在时，联立 得 ，
不妨设
， ，
.
可知 .
综上
【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质、标准方程以及直线与椭圆的位置关系，考查转化能
2
1 2 2
2
1 1 2
4 ...........1 2
2 6..............2 1
kx x k
kx x k
+ = +∴ − = +
①
②
( )( ) ( )( )1 2 1 2• 2 2 1 1t MA MB x x y y= = + + + − −
( ) ( )( )1 2 1 2 1 22 4 1 1x x x x kx k kx k= + + + + − − − −
( ) ( )( )2 2 2
1 2 1 21 2 2 5k x x k k x x k k= + + − − + + + +
( ) ( )2 2
2 2 2
2 2
2 6 41 • 2 • 2 52 1 2 1
k kt k k k k kk k
−= + + − − + + ++ +
2
2
15 2 1
2 1
k kt k
+ −∴ = +
( ) 215 2 2 1 0,t k k t k R∴ − + − − = ∈
( )( )22 4 15 2 1 0t t∆ = + − + ≥
( )( )2 15 1 1 0t t∴ − + − ≤ 22 13 16 0t t− − ≤
1 2,t t 22 13 16 0t t− − = 1 2
13
2t t∴ + =
AB
2 2
16 3
1
x y
x
+ =
=
10
2y = ±
10 101, , 1,2 2A B
−
103, 12MA
= −
103, 12MB
= − −
10 15• 9 14 2MA MB = − + =
1 2
15
2t t< <
1 2
13
2t t+ =力与计算能力，属于中档题目．
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