辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2019-2020高二数学（文）上学期期中试卷（附解析Word版）

2019-2020 学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高二（上） 期中数学试卷（文科） 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题中，只有一项是符合题目 要求的.） 1.若复数 ，则 在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】复数在复平面内对应的点是 ，在第四象限，故选 D. 2.计算 的结果是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ,故选 B. 3.已知点 ，则它的极坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由 计算即可． 【详解】在相应的极坐标系下 ，由于点 位于第四象限，且极角满足 ，所以 . 故选 C. 3z i= − z ( )3, 1− 1 i 1 i − + i i− 2 2− ( ) ( )( ) 211 2 1 1 1 2 ii i ii i i −− −= = = −+ + − (1, 3)P − 2, 3 π    42, 3 π     2, 3 π −   42, 3 π −   2 2 ,tan yx y x ρ θ= + = 8 21 ( 3) 2ρ = + − = P tan 3y x θ = = − 3 πθ = −【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题． 4.极坐标方程 和参数方程 （ 为参数）所表示的图形分别是（ ） A. 圆、直线 B. 直线、圆 C. 圆、圆 D. 直线、直 线 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． 【详解】解：极坐标方程 ，转换为直角坐标方程为 . 参数方程 （ 为参数）转换为直角坐标方程为 . 所以表示的为圆和直线. 故选：A. 【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，主要考查学生的运算能 力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 5.下列直线中，平行于极轴且与圆 相切的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先利用 ，进行代换即得圆的直角坐标方程，然后根 据直线与圆相切求出所求． 【详解】解： ，圆 的普通方程为： ， 即 ， 又直线平行于极轴且与圆 相切，所以 ， 1ρ = 1 2 3 x t y t = − −  = + t 1ρ = 2 2 1x y+ = 1 2 3 x t y t = − −  = + t 3 1y x= − − 2cosρ θ= cos 1ρ θ = sin 1ρ θ = cos 2ρ θ = sin 2ρ θ = 2 2 2cos , sin ,x y x yρ θ ρ θ ρ= = = + 2 2 cosρ ρ θ= 2cosρ θ= 2 2 2x y x+ = ( )2 21 1x y− + = 2cosρ θ= 1y = ±即 或 . 故选：B. 【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，同时考查了直线与圆的位置， 属于基础题． 6.设有一个回归方程为 ，变量 增加一个单位时（ ） A. 平均增加 2 个单位 B. 平均减少 3 个单位 C. 平均减少 2 个单位 D. 平均增加 3 个单位 【答案】C 【解析】 试题分析：在线性回归方程中，斜率是 y 随 x 变化 变化率．由回归方程为 ，得 增加一个单位时 平均减少 2 个单位． 考点：对回归方程的理解． 点评：学生应正确理解回归方程中各量的实际含义并能加以应用． 7.否定“自然数 中恰有一个偶数”的正确的反设为（ ） A. 都是奇数 B. 都是偶数 C. 至少有两个偶数 D. 中或都是奇数或至少有两个偶 数 【答案】D 【解析】 【详解】因为反证法中的反设就是原命题的否定， 而“自然数 中恰有一个偶数”的否定是“ 中或都是奇数或至少有两个偶数”， 所以否定“自然数 中恰有一个偶数”的正确的反设为“ 中或都是奇数或至少有两 个偶数”， 故选 D. 8. 下面几种推理过程是演绎推理的是(　　) 的 sin 1ρ θ = sin 1ρ θ = − ˆ 3 2y x= − x y y y y ˆ 3 2y x= − x y , ,a b c , ,a b c , ,a b c , ,a b c , ,a b c , ,a b c , ,a b c , ,a b c , ,a b cA. 某校高三有 8 个班,1 班有 51 人,2 班有 53 人,3 班有 52 人,由此推测各班人数都超过 50 人 B. 由三角形的性质,推测空间四面体的性质 C. 平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分 D. 在数列{an}中,a1=1,an= ,由此归纳出{an}的通项公式 【答案】C 【解析】 【分析】 推理分为合情推理（特殊→特殊或特殊→一般）与演绎推理（一般→特殊），合情推理包括类 比推理与归纳推理．根据合情推理与演绎推理的概念即可作出判断． 【详解】解：∵A 中是从特殊→一般的推理，均属于归纳推理，是合情推理； B 中，由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质，是由特殊→特殊的推理，为类比推理， 属于合情推理； C 为三段论，是从一般→特殊的推理，是演绎推理； D 为不完全归纳推理，属于合情推理． 故选 C． 【点睛】本题考查演绎推理，掌握几种推理的定义和特点是解决问题的关键，属基础题． 9.对相关系数 ，下列说法正确的是（ ） A. 越大，线性相关程度越大 B. 越小，线性相关程度越大 C. 越大，线性相关程度越小， 越接近 0，线性相关程度越大 D. 且 越接近 1，线性相关程度越大， 越接近 0，线性相关程度越小 【答案】D 【解析】 【分析】 两个变量之间的相关性和相关系数的大小有关， 的绝对值越接近于 1，表明两个变量的线性 相关性越强， 的绝对值越接近于 0，两个变量之间几乎不存在线性相关． 【详解】解：两个变量之间的相关系数， 的绝对值越接近于 1， 表面两个变量的线性相关性越强， 1 2 1 1 1 n n a a− −  +    r r r r r 1r ≤ r r r r r的绝对值越接近于 0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关， 故选：D. 【点睛】本题考查相关系数，要想知道两个变量之间的有关或无关的精确的可信程度，只有 利用独立性检验的有关计算，才能做出判断．相关系数大于 0.75 时，表示两个变量有很强的 线性相关关系． 10.按流程图的程序计算，若开始输入的值为 ，则输出的 的值是（ ） A. 231 B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 分析】 根据程序框图，依次执行即可得出结果. 详解】输入 第一步： ，进入循环； 第二步： ，进入循环； 第三步： ，结束循环，输出 . 故选 A 【点睛】本题主要考查程序框图，分析框图的作用即可求解，属于基础题型. 11.在极坐标系中，直线 与曲线 相交于 两点， 为极点，则 的大小为 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 化极坐标方程为直角坐标方程: 直线 与圆 相交于 两 【 【 r 3x = x 21 156 3x = ( )1 6 1002 x xx += = < ( )1 21 1002 x xx += = < ( )1 231 1002 x xx += = > 231x = 1cos 2 =ρ θ 2cosρ θ= ,A B O AOB∠ 3 π 2 π 2 3 π 5 6 π 1 2x = ( )22 2 22 , 1 1x y x x y+ = − + = ,A B点，所以 即 ，选 C. 12.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示： 按照上面的规律，第 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出 6 根火柴棒，则火柴棒的个数组成 了一个首项是 8，公差是 6 的等差数列，写出通项，求出第 n 项的火柴根数即可． 【详解】由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出 6 根火柴棒，第一个图中 有 8 根火柴棒组成，第二个图中有 8+6 个火柴棒组成，第三个图中有 8+2×6 个火柴组成，以 此类推：组成 n 个系列正方形形的火柴棒的根数是 8+6（n﹣1）∴第 n 个图中的火柴棒有 6n+2． 故选 D． 【点睛】本题考查归纳推理，考查等差数列的通项，解题的关键是看清随着小金鱼的增加， 火柴的根数的变化趋势，属于基础题． 二、填空题（共 4 道题，每题 5 分共 20 分，把正确答案填在答题纸的横线上） 13.若 是纯虚数，则实数 的值是_____． 【答案】1 【解析】 【分析】 复数为纯虚数时，实部为 0，虚部不为 0，求解相应的方程与不等式，即可确定 x 的值． 【详解】因为 i 是纯虚数， ，所以 ，解得： . 故答案为 1 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念及其应用，其中解答中熟记复数概念与分类，准确 1 3 1 3, , ,2 2 2 2A B    −          o o2 60 120AOB∠ = × = n 8 2n − 6 2n − 8 2n + 6 2n + 2 2( 1) ( 3 2)x x x− + + + x 2 2( 1) ( 3 2)x x x− + + + x∈R 2 2 1 0 3 2 0 x x x  − =  + + ≠ 1x =列出方程组是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 14.复数 的模为______. 【答案】13 【解析】 【分析】 直接根据复数模的计算公式求解. 【详解】解：∵ ，∴ . 故答案为:13. 【点睛】本题考查复数模的求法，是基础题. 15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ× × × L 2 2 22 2 x t y t  =  = + t X C 2cosρ θ= − C L L C C ( )2 21 1x y+ + = L 2 0x y− + = 2 L 2 2 22 2 x t y t  =  = + t 2 0x y− + = C 2cosρ θ= − ( )2 21 1x y+ + = ( )1,0− L 2 2 1 2 2 21 1 d − += = + 2 2 22 1 22l  = − =   20.设直线 过点 ，倾斜角为 . （1）求 的参数方程；并指出参数的几何意义； （2）设直线 ： ， 与 的交点为 ，求点 与点 的距离. 【答案】（1） （ 为参数）， 表示直线上任意点到定点 的距离； （2） 【解析】 【分析】 （1）首先求出直线的方程，进一步直接利用转换关系式求出结果． （2）利用参数方程的几何意义的应用求出结果． 【详解】解：（1）直线 过点 ，倾斜角为 ； 转换为参数方程为 （ 为参数）， 整理得 （ 为参数）. 表示直线上任意点到定点 的距离； （2）将 的参数方程代入 的方程中， 得 ， 解得 . 【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，参数的几何意义的应用， 主要考查学生的运算能力，是基础题． 21.某种产品的广告费用支出 (百万)与销售额 (百万)之间有如下的对应数据: 1L ( )2, 4A − 2 3 π 1L 2L 1 0x y− + = 2L 1L B B A 12 2 34 2 x t y t  = −  = − + t t ( )2, 4A − 7 3 7- 1L ( )2, 4A − 2 3 π 22 cos 3 24 sin 3 x t y t π π  = +  = − + t 12 2 34 2 x t y t  = −  = − + t t A 1L 2L 1 32 4 1 02 2t t   − − − + + =        7 3 7AB t= = − x y2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 (1)画出散点图; (2)求回归直线方程; (3)据此估计广告费用为 10(百万)时,销售收入 的值. 【答案】（1）散点图如图所示： （2） ＝6.5x＋17.5（3）广告费用支出为 10 百万元时，销售额大约为 82.5 百万元 【解析】 【分析】 试题分析：(1)散点图如图所示： （2） 计算得 ＝ ＝5， ＝ ＝50， x y y ˆy ˆx 25 5 ˆy 250 5＝145， ＝1 380. 6 分 于是可得 ＝ ＝ ＝6.5， ＝ － ＝50－6.5×5＝17.5. 所以所求的线性回归方程为 ＝6.5x＋17.5. (3)根据上面求得的线性回归方程，当广告费用支出为 10 百万元时， ＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)， 即广告费用支出为 10 百万元时，销售额大约为 82.5 百万元． 考点：本小题主要考查散点图的画法和回归直线的求解及应用. 点评：求回归直线时要先根据散点图判断是否线性相关，如果不线性相关，求出的回归方程 没有意义. 【详解】 请在此输入详解！ 22.已知曲线 ： （ 为参数）， ： （ 为参数）. （1）化 ， 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？ （2）若 上的点 对应的参数为 ， 为 上的动点，求 的中点 到直线 的距离的最小值. 【答案】（1） ： ，曲线 是圆； ： ，曲线 是椭 圆；（2） 【解析】 【分析】 （1）利用同角三角函数基本关系式消去参数，得到曲线的普通方程； （2）根据椭圆 参数方程设出椭圆上一点，求出点到直线距离后，研究其最小值，得到本题 结论． 的 5 2 1 i i x = ∑ 5 1 i i i x y = ∑ b 5 1 5 2 2 1 5 5 i ii ii x y xy x x = = − − ∑ ∑ 2 1380 5 5 50 145 5 5 − × × − × a ˆy ˆbx y y 1C 4 cos 3 sin x t y t = − +  = + t 2C 8cos 3sin x y θ θ =  = θ 1C 2C 1C P 2t π= Q 2C PQ M 2 7 0x y− − = 1C ( ) ( )2 24 3 1x y+ + − = 1C 2C 2 2 164 9 x y+ = 2C 8 55【详解】解：（1）∵曲线 ： （ 为参数）， ∴ ： . ∴曲线 是圆. ∵曲线 ： （ 为参数）， ∴ ： . ∴曲线 是椭圆. （2）∵ 上的点 对应的参数为 ， ∴ . ∵ 为 上的动点， ∴设 ， 则 的中点 ， 点 到直线 的距离 ， 当 时， ∴ 的中点 到直线 的距离的最小值为 . 【点睛】本题考查的是曲线的参数方程和普通方程的互化，以及曲线参数方程的应用．本题 难度不大，属于中档题． . 1C 4 cos 3 sin x t y t = − +  = + t 1C ( ) ( )2 24 3 1x y+ + − = 1C 2C 8cos 3sin x y θ θ =  = θ 2C 2 2 164 9 x y+ = 2C 1C P 2t π= ( )4,4P − Q 2C ( )8cos ,3sinQ θ θ PQ 8cos 4 3sin 4,2 2M θ θ− +     M 2 7 0x y− − = ( )5cos 134cos 2 3si 1 4 54 n 7d θ φθ θ − −− − − − == + ( )cos 1θ φ− = min 8 8 5 55 d = = PQ M 2 7 0x y− − = 8 55