数学（理科）试卷
注意事项：1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效.
2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求.）
1.已知向量 ， ,若向量 满足 且 ，则向量 可取为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设向量 ，根据 且 ，列出方程组，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，设向量 ，因为 且 ，
则 ，即 ，令 ，可得 ，
所以其中一个向量 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，
以及向量垂直的条件，列出方程组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2.椭圆 的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由椭圆方程得到椭圆的焦点在 轴上，且 ，即可求解椭圆的焦点坐标，得到答案.
( 2,2,0)a = − ( 2,0,2)b = − n n a⊥ n b⊥ n
(1,1,0) (0,1,1) (1,0,1) (1,1,1)
( , , )n x y z= n a⊥ n b⊥
( , , )n x y z= n a⊥ n b⊥
0
0
n a
n b
⋅ =
⋅ =
2 2 0
2 2 0
x y
x z
− + =
− + = 1z = 1, 1x y= =
(1,1,1)n =
2 2
14 9
x y+ =
(0, 5)± ( 5,0)± ( 13,0)±
(0, 13)±
y 5c =【 详 解 】 由 题 意 ， 椭 圆 ， 即 ， 可 得 椭 圆 的 焦 点 在 轴 上 ， 且
，
所以椭圆的焦点坐标为 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，以及椭圆的几何性质，其中解答中熟记椭圆的标
准方程，以及熟练应用椭圆的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基
础题.
3.方程 的曲线是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
把方程 ，化为 或 ，结合反比例函数的性质，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，方程 ，可化为 或 ，即 或 ，
根据反比例函数的性质，即可得选项 D 为函数 的图象.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了曲线与方程的应用，其中解答中合理化简曲线的方程，结合反比例
函数进行判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4.已知等比数列 中， ， ，则 的值是（ ）
A. B. C. 5 D.
2 2
14 9
x y+ =
2 2
19 4
y x+ = y
9 4 5c = − =
(0, 5)±
2 2 1x y =
2 2 1x y = 1y x
= 1y x
−=
2 2 1x y = 1xy = 1xy = − 1y x
= 1y x
−=
2 2 1x y =
{ }na 5 20a = 15 5a = 20a
5
2
5
2
± 5±【答案】B
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为 ，列出方程组，求得 ，利用等比数列的通项公式，即可求解
的值，得到答案.
【详解】由题意，设等比数列的公比为 ，因为 ， ，
可得 ，所以 ，所以 ，
当 时， ；
当 时， ，
所以 的值是 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查了等比数列 通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式，
列出方程组求得等比数列的公比，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属
于基础题.
5.双曲线 的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
把双曲线方程化为 ，得到 ，结合双曲线的几何性质，即可求解.
【详解】由题意，双曲线 可化为 ，所以 ，
的
q 5 1
2q = ± 20a
q 5 20a = 15 5a =
4
5 1
14
15 1
20
5
a a q
a a q
= =
= =
10 1
4q = 5 1
2q = ±
5 1
2q = 15 3
20 5
1 520 ( )2 2a a q= = × =
5 1
2q = − 15 3
20 5
1 520 ( )2 2a a q= = × − = −
20a 5
2
±
2 24 9 1x y− =
4 9 0x y± = 9 4 0x y± = 2 3 0x y± =
3 2 0x y± =
2 2
11 1
4 9
x y− = 1 1,2 3a b= =
2 24 9 1x y− =
2 2
11 1
4 9
x y− = 1 1,2 3a b= =所以双曲线的渐近线方程为 ，即 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟
记双曲线的渐近线方程的形式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于
基础题.
6.命题 p:“ ，有 成立.”则命题 p 的否定是（ ）
A. ，有 成立.
B. ，有 成立.
C. ，有 成立.
D. ，有 成立.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全称命题与存在性命题互为否定关系，准确改写，即可求解.
【详解】由题意，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题 p:“ ，有
成立.”则命题 p 的否定是“ ，有 成立”.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了全称命题与存在性命题的关系，其中解答中熟记全称命题与存在性
命题互为否定关系，准确改写是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
7.不等式 成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
2
3
by x xa
= ± = ± 2 3 0x y± =
[0, )x∀ ∈ +∞ 0x x+ ≥
: ( ,0)p x¬ ∀ ∈ −∞ 0x x+ <
: ( ,0)p x¬ ∀ ∈ −∞ 0x x+ ≥
: [0, )p x¬ ∃ ∈ +∞ 0x x+ <
: [0, )p x¬ ∃ ∈ +∞ 0x x+ ≥
[0, )x∀ ∈ +∞
0x x+ ≥ : [0, )p x¬ ∃ ∈ +∞ 0x x+ <
0a b> >
2 2 0a b> > 3 3 0a b> > 1 1 1b a
> >
1 1 1a b
> >根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解，得到
答案.
【详解】由题意，当 时，可得 成立，反之：当 时，
不一定成立，所以 是 成立的必要不充分条件；
当 时，可得 成立，反之：当 时， 一定成立，所以
是 成立的充要条件；
当 时，根据实数性质可得 ，但 不一定成立；反之：当
成立时，可得 且 ，所以 成立，
所以 是 成立的充分不必要条件；
当 时，根据实数性质可得 ，但 不一定成立；反之：当
成立时，可得 且 ，所以 成立，
所以 是 成立的既不充分也不必要条件；
故选：C.
【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及不等式的性质的应用，其中解答
中熟记不等式的基本性质，熟练应用充分条件、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考
查了推理与论证能力，属于基础题.
8.已知抛物线 的焦点为 F，它的准线与对称轴交点为 A,若 C 上一点 P 满
足横坐标与纵坐标之比为 ，且 的面积为 ，则点 P 的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
0a b> > 2 2 0a b> > 2 2 0a b> > 0a b> >
2 2 0a b> > 0a b> >
0a b> > 3 3 0a b> > 3 3 0a b> > 0a b> >
3 3 0a b> > 0a b> >
0a b> > 1 1 0b a
> > 1 1 1b a
> > 1 1 1b a
> >
0, 0a b> > 1 1 0a b
b a ab
−− = > 0a b> >
1 1 1b a
> > 0a b> >
0a b> > 1 1 0b a
> > 1 1 1a b
> > 1 1 1a b
> >
0, 0a b> > 1 1 0b a
a b ab
−− = > 0b a> >
1 1 1b a
> > 0a b> >
2: 2 ( 0)C y px p= >
3 PAF∆ 2 3
( 6, 2) (2 3,2) (6 2,2 6)
(12,4 3)【分析】
设为 ，代入抛物线的方程，求得 ，得到 ，根据 的
面积，解得 ，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，抛物线 的焦点 ，它的准线与对称轴交点
，因为抛物线 C 上一点 P 满足横坐标与纵坐标之比为 ，可设为 ，
代入抛物线的方程，可得 ，解得 ，即 ，
又由 的面积为 ，即 ，解得 ，
所以点 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记
抛物线的标准方程，合理应用抛物线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，
属于基础题.
9.已知函数 ,设 ， ,则数列 满足：① ；② ；
③数列 是递增数列；④数列 是递减数列.其中正确的是（ ）
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】
先求得数列的通项公式 ，化简为 ，即可得到 ，再由 ，
得到 ，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，函数 ,设 ， ，即 ，
因为 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以②正确；
又由 ，即 ，所以数列 是递
增数列，所以③正确.
( 3 , )P a a 2 3a p= (6 ,2 3 )P p p PAF∆
2p =
2: 2 ( 0)C y px p= > ( ,0)2
pF
( ,0)2
pA − 3 ( 3 , )P a a
2 2 3a p a= × 2 3a p= (6 ,2 3 )P p p
PAF∆ 2 3 1 2 3 2 32 p p× = 2p =
(6 2,2 6)P
1( ) xf x x
−= ( )na f n= ( )n N+∈ { }na 1na > 1na <
{ }na { }na
1
n
na n
−= 11na n
= − 1na < 1 0n na a+ − >
1n na a+ >
1( ) xf x x
−= ( )na f n= ( )n N+∈ 1
n
na n
−=
1 11n
na n n
−= = − n N +∈ 1 0n
> 1na <
1
1 1 1 1 11 1 01 1 ( 1)n na a n n n n n n+ − = − − + = − = >+ + + 1n na a+ > { }na故选：B.
【点睛】本题主要考查了数列的通项公式，以及数列的单调性的判定，其中解答中熟练应用
数列的通项公式，熟练数列的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，
属于基础题.
10.已知实数 x，y 满足： 且 ，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设 ，得出 ，结合不等式的性质，即可
求解，得到答案.
【详解】由题意，设 ，整理得 ，
可得 ，解得 ，即 ，
又由 且 ，则 ，
所以 ，即 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质的应用，其中解答中得出
，再结合不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算
能力，属于中档试题.
11.若 满足 ，则关于 的最小值说法正确的是（ ）
A. 当且仅当 时，取得最小值 25.
B. 当且仅当 ， 时，取得最小值 26.
C. 当且仅当 时，取得最小值 20.
5 5x y− < + < 3 3x y− < − < 3x y−
16 3 16x y− < − < 11 3 11x y− < − <
4 3 4x y− < − < 13 3 13x y− < − <
3 ( ) ( )x y m x y n x y− = + + − 3 ( ) 2( )x y x y x y− = + + −
3 ( ) ( )x y m x y n x y− = + + − 3 ( ) ( )x y m n x m n y− = + + −
3
1
m n
m n
+ =
− = − 1, 2m n= = 3 ( ) 2( )x y x y x y− = + + −
5 5x y− < + < 3 3x y− < − < 6 2( ) 6x y− < − <
11 ( ) 2( ) 11x y x y− < + + − < 11 3 11x y− < − <
3 ( ) 2( )x y x y x y− = + − −
,a b R+∈ 2 3 1a b+ = 2 3
a b
+
1
5a b= =
1
4a = 1
6b =
1
4a b= =D. 当且仅当 ， 时，取得最小值 19.
【答案】A
【解析】
【分析】
由 ，结合基本不等式，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，因为 满足 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，又由 ，解得 时等号成立，
即当且仅当 时，取得最小值 25.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最小值问题，其中解答中合理利用基本不等式
的“1”的代换求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12.如图，双曲线 C 的焦点是 ， ，顶点是 ， ，点 P 在曲线 C 上，圆 O 以线段
为直径.点 M 是直线 与圆 O 的切点，且点 M 是线段 的中点，则双曲线 C 的离心率是（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
1
5a = 1
3b =
2 3 2 3 6 6( )(2 3 ) 4 9 b aa ba b a b a b
+ = + + = + + +
,a b R+∈ 2 3 1a b+ =
2 3 2 3 6 6 6 6( )(2 3 ) 4 9 13 2 25b a b aa ba b a b a b a b
+ = + + = + + + ≥ + ⋅ =
6 6b a
a b
= a b= 2 3 1a b+ = 1
5a b= =
1
5a b= =
1F 2F 1A 2A 1 2A A
1FP 1FP
2 3 5连接 ，根据圆的性质，可得 ，又由 分别为 的中点，
得到 ，且 ，再由双曲线的定义，得到 ，利用勾股定
理得到 的方程，即可求解.
【详解】由题意，连接 ，
根据圆的性质，可得 ，又由 分别为 的中点，
所以 ，则 ，且 ，
又由双曲线的定义，可得 ，所以 ，
在直角 中， ，即 ，
整理得 ，所以 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查了双曲线的定义应用，离心率的求解，以及圆的性质的应用，其中解
答中合理利用圆的性质和双曲线的定义，利用勾股定理列出关于 的方程是解答的关键，着
重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在相应位置上.）
13.抛物线 的准线方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】
先将抛物线化为标准方程，进而可得出准线方程.
2,OM PF 1OM PF⊥ ,O M 1 2 1,F F PF
1 2PF PF⊥ 2 2 2PF OM a= = 1 4PF a=
,a c
2,OM PF
1OM PF⊥ ,O M 1 2 1,F F PF
2/ /OM PF 1 2PF PF⊥ 2 2 2PF OM a= =
1 2 2PF PF a− = 1 2 2 4PF PF a a= + =
1 2PF F∆ 2 2 2
1 2 1 2PF PF F F+ = 2 2 2(4 ) (2 ) (2 )a a c+ =
2 25a c= 5ce a
= =
,a c
22y x=
1
8y = −【详解】因为抛物线 的标准方程为： ，
因此其准线方程为： .
故答案为
【点睛】本题主要考查抛物线的准线，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型.
14.空间向量 ， ,若 ,则 x，y 的值分别为_______ .
【答案】
【解析】
【分析】
根据 ，得到 ，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，向量 ， ，
因为 ，则满足 ，解得 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及共线向量的条件，其中解答中熟记共线向量
的坐标表示是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
15.关于函数 ， .有下列命题：
①对 ,恒有 成立.
② ,使得 成立.
③“若 ,则有 且 .”的否命题.
④“若 且 ,则有 .”的逆否命题.
其中，真命题有_____________.（只需填序号）
【答案】①②③
【解析】
22y x= 2 1
2x y=
1
8y = −
1
8y = −
(1, 2, 3)a = − ( , ,3)b x y= / /a b
3, 2 3x y= = −
/ /a b 3
1 2 3
x y= =−
(1, 2, 3)a = − ( , ,3)b x y=
/ /a b 3
1 2 3
x y= =− 3, 2 3x y= = −
3, 2 3x y= = −
2( ) ( 1)f x x= − 2( ) 2g x x x= − −
x R∀ ∈ ( ) ( )f x g x>
1 2,x x R∃ ∈ ( ) ( )1 2f x g x<
( ) ( )f a g b> 0a < 0b >
0a < 0b > ( ) ( )g a f b 1 21, 1x x= = −
( ) ( )1 2f x g x<
( ) ( ) ( ) 2 2 2( 1) ( 2 ) 2 1 0h x f x g x x x x x= − = − − − − = + >
( ) ( )f x g x> x R∀ ∈ ( ) ( )f x g x>
1 21, 1x x= = − (1) 0, ( 1) 1f g= − = ( ) ( )1 2f x g x< 1 2,x x R∃ ∈
( ) ( )1 2f x g x<
0a < ( ) 2( 1)f a a= − ( ,0)a∈ −∞ ( ) ( )0 1f a f> =
0b > 2 2( ) 2 ( 1) 1g b b b b= − +− − += (0, )+∞ (( 0) 0)gg b < =
0a < 0b > ( ) ( )g a f b>
0a < 0b > ( ) ( )g a f b> ( ) ( )f a g b> 0a <
0b > ( ) ( )f a g b> 0a < 0b >
A B C D′ ′ ′ ′
S阴影 A B C D′′ ′′ ′′ ′′
S内 10a b+ = S S⋅阴影 内【答案】 或
【解析】
【分析】
设 ，其中 ，求得 ，根据图形求得 和 的表
达式，得到 ，利用基本不等式，即可求解.
【详解】由题意，设 ，其中 ，
又由 ，联立方程组可得 ，
又由阴影部分的三角形为直角边分别为 的直角三角形，
所以阴影部分的面积为 ，
最内正方形 的边长为 ，所以面积为 ，
则
，当且仅当 时，即 时等号成立，
当 时， ；
当 时， .
10 5 2
2
10 5 2
2
a
b
+=
− =
10 5 2
2
10 5 2
2
a
b
−=
+ =
a b t− = 10 10t− < < 10 10,2 2
t ta b
+ −= = S阴影 S内
2 2 212 ( ) (100 )2S S ab a b t t⋅ = − = − ⋅阴影 内
a b t− = 10 10t− < <
10a b+ = 10 10,2 2
t ta b
+ −= =
,a b
14 22S ab ab= × =阴影
A B C D′′ ′′ ′′ ′′ −a b 2( )S a b= −内
2 2 2 210 10 12 ( ) 2 (100 )2 2 2
t tS S ab a b t t t
+ −⋅ = − = × × × = − ⋅阴影 内
2 2
21 100( ) 12502 2
t t− +≤ ⋅ = 2 2100 t t− = 5 2t = ±
5 2t = 10 5 2 10 5 2,2 2a b
+ −= =
5 2t = − 10 5 2 10 5 2,2 2a b
− += =故答案为： 或 .
【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中认真审题，得到 的表达式，
合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档
试题.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、或演算步骤.）
17.如图，建立空间直角坐标系 .单位正方体 顶点 A 位于坐标原点，
其中点 ，点 ，点 .
(1)若点 E 是棱 的中点，点 F 是棱 的中点，点 G 是侧面 的中心，则分别求出
向量 , ， .的坐标；
(2)在(1) 条件下，分别求出 ； 的值.
【 答 案 】 （ 1 ） ； ； ； （ 2 ）
； .
【解析】
【分析】
(1)根据空间向量的坐标表示，求得 的坐标，即可求得向量 ， ， 的坐
标，得到答案；
(2)由（1）得到向量的坐标，利用向量的数量积的坐标运算公式和模的计算公式，即可求解，
的
10 5 2
2
10 5 2
2
a
b
+=
− =
10 5 2
2
10 5 2
2
a
b
−=
+ =
S S⋅阴影 内
Oxyz —ABCD A B C D′ ′ ′ ′
(1,0,0)B (0,1,0)D (0,0,1)A′
B C′ ′ B B′ CDD C′ ′
OE OG FG
( )OE OG FG+ ⋅ | |EG
11, ,12OE =
1 1,1,2 2OG =
1 ,1,02FG = −
3( ) 4OE OG FG+ ⋅ = 3| | 2EG =
, , ,O E F G OE OG FG得到答案.
【详解】(1)因为点 E 是棱 的中点，点 F 是棱 的中点，点 G 是侧面 的中心，
可得 ，
所以 ； ； ；
(2)由（1）可得 ；
又由 ，所以 .
【点睛】本题主要考查了空间的坐标表示，以及空间向量的数量积的运算，以及模的求解，
其中解答中正确求解向量的坐标，熟练应用向量的数量积的坐标运算公式和模的计算公式，
准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18.已知函数 .
(1)关于 x 的一元二次方程 的两个根是 ， ,当 时，求实
数 m 的取值范围；
(2)求关于 x 的不等式 的解集.
【答案】（1） ； （2）当 时，解集为 ；当 时，解集
；当 时，解集 .
【解析】
B C′ ′ B B′ CDD C′ ′
1 1 1 1(0,0,0), (1, ,1), (1,0, ), ( ,1, )2 2 2 2O E F G
11, ,12OE =
1 1,1,2 2OG =
1 ,1,02FG OG OF = − = −
3 3 3 1 3 1 3 3 3( ) , ,1,0 ( ) 1 02 2 2 2 2 2 2 2 4OE OG FG + ⋅ = ⋅ ⋅ − = × − + × + × =
1 1 1( , , )2 2 2EG = − − 2 2 21 1 1 3| | ( ) ( ) ( )2 2 2 2EG = − + + =
2( ) 2 4f x x x= − −
2( ) 2 3 0f x mx m+ + = 1x 2x 1 22x x< <
( ) 2 4 4 0f x mx m+ − + >
2( 2, )3
− 1m = − ( ,2) (2, )−∞ ∪ +∞ 1m > −
( , 2 ) (2, )m−∞ − ∪ +∞ 1m < − ( ,2) ( 2 , )m−∞ ∪ − +∞【分析】
(1)设 ，结合二次函数的图象与性质，得到 ，即可求
解，得到答案；
(2)关于 的不等式可化为 ，分类讨论，即可求解.
【详解】(1)由题意，设 ,
若方程 的两个根满足 ，
结合二次函数的图象与性质，可得只需 ，即 ，
解得 ，即实数 m 的取值范围是 .
(2)关于 的不等式 ，可得 ，
即 ，
①当 时，可得 ，解得 ，所以不等式的解集为 ；
②当 时，解得 或 ，所以不等式的解集 ；
③当 时，解得 或 ，所以不等式的解集 .
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，以及一元二次不等式的解法，其中
解答熟练应用一元二次函数的图象与性质，以及熟记应用一元二次不等式的解法是解答的关
键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
19.已知 满足 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ,则求出数列 的前 n 项和 .
【答案】（1） ； （2） .
【解析】
【分析】
2 2( ) 2( 1) 4 3g x x m x m= + − − + (2) 0g <
x ( 2)( 2 ) 0x x m− + >
2 2 2( ) ( ) 2 3 2( 1) 4 3g x f x mx m x m x m= + + = + − − +
2( ) 2 3 0f x mx m+ + = 1 22x x< <
(2) 0g < 23 4 4 0m m+ − <
22 3m− < < 2( 2, )3
−
x ( ) 2 4 4 0f x mx m+ − + > 2 2( 1) 4 0x m x m+ − − >
( 2)( 2 ) 0x x m− + >
1m = − 2( 2) 0x − > 2x ≠ ( ,2) (2, )−∞ ∪ +∞
1m > − 2x m< − 2x > ( , 2 ) (2, )m−∞ − ∪ +∞
1m < − 2x < 2x m> − ( ,2) ( 2 , )m−∞ ∪ − +∞
{ }na 1
1
n
n
a n
a n
+ = + 1 1a =
{ }na
2
n
n
ab n
= +
{ }nb nS
1
na n
= 3
4 2( 1)( 2
2 3
)nS n n
n= +
+− +(1)由 ，且 ，得到 ，即可求解；
(2)由 ，利用裂项法，即可求解.
【详解】(1)由题意，数列 满足 ，且 ，
可得 ，
即数列 通项公式为 .
(2)由 ，
所以
.
【点睛】本题主要考查了数列的通项公式的求解，以及数列的“裂项法”求和，其中解答中
数列利用数列的递推关系式，合理利用“累积法”和“裂项法”求解是解答的关键，着重考
查了推理与运算能力，属于基础题.
20.过抛物线 焦点 F 作倾斜角为 的直线，交抛物线于 A，B 两点，点 A 在 x
轴上方.
(1)当线段 AB 中点的纵坐标是 2 时，求抛物线的方程；
的
1
1
n
n
a n
a n
+ = + 1 1a = 32
1
1 2 1
n
n
n
a aaa a a a a −
= × × × ×
1 1 1 1
( 2) 2 2nb n n n n
= = − + +
{ }na 1
1
n
n
a n
a n
+ = + 1 1a =
32
1
1 2 1
1 21 2
1
3
1n
n
n
a naaa a na na a −
= × × × × = × × −× × =
1
na n
=
1 1 1 1
( 2) 2 2nb n n n n
= = − + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 3 2 4 3 5 1 1 2nS n n n n
= × − + − + − +…+ − + − − + +
1 1 1 1 1 1 3 2 3 3 2 3[ ]2 1 2 1 2 2 2 ( 1)( 2) 4 2( 1)( 2)
n n
n n n n n n
+ + = + + − − = ⋅ − = − + + + + + +
2 2 ( 0)y px p= >
4
π(2)求 的值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）求得抛物线的焦点坐标，设直线 ，联立方程组，运用韦达定理和中点公
式，求得 的值，即可得到抛物线的标准方程；
（2）设直线 ，联立方程组，解方程求得交点的纵坐标，再由抛物线的定义，
化简即可求解.
【详解】(1)由题意，设 ， ，直线 ，
则由 ，整理得 ，可得 ，
因为线段 中点的纵坐标是 2，可得 ，解得 ，
所以抛物线的方程为 .
（2）由 ，可得 ，解得 ， ，
由抛物线的方程，可得 ，
由抛物线定义 .
的
AF
BF
2 4y x= 3 2 2+
: 2
pAB x y= +
p
: 2
pAB x y= +
2
1
1,2
yA yp
2
2
2,2
yB yp
: 2
pAB x y= +
2
2
2
px y
y px
= +
=
2 22 0y py p− − = 1 2 2y y p+ =
AB 1 2 2 4y y p+ = = 2p =
2 4y x=
2
2
2
px y
y px
= +
=
2 22 0y py p− − = 1 ( 2 1)y p= + 2 ( 2 1)y p= −
2 2
1 2
1 2,2 2
y yx xp p
= =
2
1
2 2
1
2 2 2
2 2
2
2
2 22 2 3 2 2
2 2
2
y p
y pAF p
y pBF y p
y
+ + += = = = ++ −+【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、方程以及简单的几何性质的应用，其中解答中设出
直线的方程，联立方程组，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算
能力，属于基础题.
21.已知数列 的前 n 项和 .数列 是等比数列，且 ， .
(1)分别求出数列 ， 的通项公式；
(2)若 ,则求出数列 的前 n 项和 .
【答案】（1） ； （2）
【解析】
【分析】
（1）运用数列的递推式 ，化简可得 ，再由 是等比数列，
结合等比数列的通项公式，即可求解；
（2）求得 ，利用乘公比错位相减法，即可求得数列的前 项和，得到答案.
【详解】(1)由题意，数列 的前 n 项和 ，
当 时，可得 ，
当 时， ，
当 时， 适合上式，
所以数列的通项公式为 ，
又由 ， .
{ }na 2 2nS n n= + { }nb 1 1 2b a= − 2 2 3b a= −
{ }na { }nb
n
n
n
ac b
= { }nc nT
2 1na n= + 12n
nb −= 1
2 510 2n n
nT −
+= −
11 1 2), (n n na nS a S S −= ≥−= na { }nb
1
2 1
2
n
n n
n
a nc b −
+= = n
{ }na 2 2nS n n= +
1n = 11
21 2 3Sa == + =
2n ≥ 2 2
1 2 ( 1) 2( 1) 2 1n n na S S n n n n n−− = + − − − − = +=
1n = 1 3a =
2 1na n= +
1 1 2 1b a= − = 2 2 3 2b a= − =因为数列 是等比数列，即数列 构成首项为 ，公比为 等比数列，
所以 的通项公式为 .
(2)由 ，则数列 的前 n 项和 ，可得
；
则 ，
两式相减，可得
，
所以 .
【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及“错位相减法”求和的应用，此类题
目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是
在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计
算能力等.
22.已知椭圆 E 的中心在坐标原点，两个焦点分别为 , ,短半轴长为 2.
(1)求椭圆 E 的标准方程；
的{ }nb { }nb 1 2q =
{ }nb 12n
nb −=
1
2 1
2
n
n n
n
a nc b −
+= = { }nc nT
0 1 2 n 1
3 5 7 2n 1
2 2 2 2nT −
+= + + +…+
1 2 3 n
1 3 5 7 2n 1
2 2 2 2 2nT
+= + + +…+
1 2 1
1 3 1 1 1 2 122 1 2 2 2 2n n n
nT −
+ = + + +…+ −
n 1
n n 1 n n
1 1(1 ) 2n 1 2 2n 1 2n 52 23 2 5 51 2 2 2 21 2
−
−
− + + += + ⋅ − = − − = −
−
1
2 510 2n n
nT −
+= −
1( 1,0)F − 2 (1,0)F(2)过焦点 的直线 l 交椭圆 E 于 A，B 两点，满足 ,求直线 l 的方程.
【答案】（1） ；（2） 或 .
【解析】
【分析】
(1)由题意，求得 ， ，得到 ，即可求得椭圆的标准方程；
(2)设直线 ，设 ，联立方程组，求得 ，再根据
，代入直线的方程得到 ，代入求得 的值，即
可求解.
【详解】(1)由题意，椭圆 E 的两个焦点分别为 , ，短半轴长为 2，
可得 ， ，则 ，
所以椭圆 E 的标准方程 ；
(2)由题意知直线 与 轴不重合，设直线 ，设 ，
联立方程组 ，整理得 ,
可得 ， ，
又由 ，则 ，得 ，
代入直线可得 ，即 ，
代入可得 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，
即直线 的方程为： 或 .
2F 1 1F A F B⊥
2 2
15 4
x y+ = 2 2 0x y+ − = 2 2 0x y− − =
1c = 2b = 2 2 5a b c= + =
: 1l x ny= + 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 1 2,y y y y+
1 1F A F B⊥ ( ) ( )2
1 2 1 2n 1 y y 2n y y 4 0+ + + + = n
1( 1,0)F − 2 (1,0)F
1c = 2b = 2 2 5a b c= + =
2 2
15 4
x y+ =
l x : 1l x ny= + 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
2 24 5 20
1
x y
x ny
+ =
= +
( )2 24 5 8 16 0n y ny+ + − =
1 2 2
8n
4n 5y y+ = − + 1 2 2
16
4n 5y y = − +
1 1F A F B⊥
1 1 0F A F B⋅ = ( ) ( )1 1 2 21, 1, 0x y x y+ ⋅ + =
( ) ( )1 1 2 22, 2, 0ny y ny y+ ⋅ + = ( ) ( )2
1 2 1 2n 1 y y 2n y y 4 0+ + + + =
( )2
2 2
16 8nn 1 ( ) 2n ( ) 4 04n 5 4n 5
+ − + × − + =+ +
2 1
4n =
l 1 12x y= ± +
l 2 2 0x y+ − = 2 2 0x y− − =【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解
答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关
系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的
逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
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