2020 届六校联高三第一次联考试题
理科数学
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设 ，则 的一个必要而不充分的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由 可得 或 ，所以， 是 的充分不必要条件； 或
是 的充要条件；由 得 或 ，所以 是 的
一个必要而不充分的条件，由 得， 或 ， 所以 是 充
分不必要条件，故选 C.
【方法点睛】本题通过不等式的解集主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条
件应注意：首先弄清条件 和结论 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试
.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观
外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题.
2.设复数 z 满足 =i，则|z|=（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意得， ，所以 ，故选 A.
考点：复数的运算与复数的模.
3.某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，
其中正确的是（ ）
( ) ( )2 4f x x x x R= − ∈ ( ) 0f x >
0x < 0 4x x<
2 3x − >
( ) 0f x > 0x < 4x > 0x < ( ) 0f x > 0x <
4x > ( ) 0f x > 1 1x − > 0x < 2x > 1 1x − > ( ) 0f x >
2 3x − > 1x < − 5x > 2 3x − > ( ) 0f x >
p q
,p q q p⇒ ⇒
1+z
1 z−
2 3
1 ( 1)(1 )
1 (1 )(1 )
i i iz ii i i
− − −= = =+ + − 1z =A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越
集中在一条线附近，说明相关性越强，进而可得出结果.
【详解】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；
数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，
由题中数据可知：(1)(3)为正相关，(2)(4)为负相关；故 ； ；
又(1)与(2)中散点图更接近于一条直线，故 ， ，
因此， .
故选 C
【点睛】本题主要考查相关系数，根据散点图的特征进行判断即可，属于基础题型.
4.已知函数 ，若 是 的导函数，则函数 的图象大致是（ ）
4 2 1 30r r r r< < < <
2 4 1 30r r r r< < < <
2 4 3 10r r r r< < < <
4 2 3 10r r r r< < < <
1 30 0r r> >， 2 40 0r r< 2 4r r<
2 4 3 10r r r r< < < <
2( ) 2cosf x x x= + '( )f x ( )f x '( )f xA. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
试 题 分 析 ： 函 数 ， 则 其 导 函 数 为 . 因 为
， 即 导 函 数 为 奇 函 数 ，
，即在实数范围内恒有 ，所以 在实数范围内
恒为增函数，观察图像，只有选项 A 满足条件，故正确选项为 A.
考点：导函数以及函数的图象.
【方法点睛】本题主要考察函数的性质与图像的关系，首先要求得函数的解析式，再求函数
的基本性质，包括奇偶性，单调性，函数值的（正负），以及一些特殊的点，通过这些条件结
合选项，进行排除，对于较复杂的函数，经常利用导函数的性质来判断函数的单调性，本题
中整式利用导函数求得函数在原点附近的单调性.
5.已知函数 在 处取得极值，若 ，则 的最小值为
（ ）
A. B. C. 0 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
令导函数当 时为 ，列出方程求出 值，利用导数求出 的极值，判断极小值且为最
小值．
【详解】解： ，
函数 在 处取得极值，
2( ) 2cosf x x x= +
3 2( ) 4f x x ax= − + − 2x = [ 1,1]m∈ − ( )f m
4− 2−
2x = 0 a ( )f m
2( ) 3 2f x x ax′ =− +
3 2( ) 4f x x ax= − + − 2x =，解得 ，
，
∴当 时， ，
，
令 得 （舍去），
由于 递减， 递增．
所以 时， 取极小值，也为最小值，且为−4．
故答案为：−4．
故选：A.
【点睛】本题考查了利用导数求单调区间和极值，以及求闭区间上函数的最值，求函数在闭
区间 上的最大值与最小值是通过比较函数在 内所有极值与端点函数
比较而得到的，是中档题．
6.正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中 E 为棱 BB1 的中点（如图），用过点 A，E，C1 的平面截去该正方体
的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
12 4 0a∴− + = 3a =
2( ) 3 6f x x x′∴ =− +
[ 1,1]m∈ − 3 2( ) 3 4f m m m=− + −
2( ) 3 6f m m m′ =− +
( ) 0f m′ = 0, 2m m= =
1 0, ( ) 0, ( )m f m f m′− ≤ < < 0 1, ( ) 0, ( )m f m f m′< ≤ >
0m = ( )f m
[ , ]a b ( , )a b ( ), ( )f a f b【解析】
试题分析：如图补全过 的平面，将上半部分切去，所以左视图如 C 选项，故选 C.
考点：三视图
7.已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆 于 、
两点.若 的中点坐标为 ，则 的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
设 ，直线 的斜率 ， ，两式相减得
， 即
，即 ， ，
解得： ，方程是 ，故选 D.
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
+ = > > ( )3,0F F E A
B AB ( )1, 1− E
2 2
145 36
x y+ =
2 2
136 27
x y+ =
2 2
127 18
x y+ =
2 2
118 9
x y+ =
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y AB 1 0 1
1 3 2k
− −= =−
2 2
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
1
{
1
x y
a b
x y
a b
+ =
+ =
( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 0x x x x y y y y
a b
+ − + −+ =
( )( )
( )( )1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
1 1 1 1 20 02 2
y y y y
a b x x x x a b
+ −+ = ⇔ + × × =+ − −
2 22a b= 2 2 2 29,c a b c= = +
2 218, 9a b= =
2 2
118 9
x y+ =8.函数 在区间 上是减函数，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：∵ ，令 ，由 得
，依题意有 在 是减函数，∴ ，即 ，故选
B．
考点：同角三角函数的基本关系式及二次函数的单调性.
9.某校高三年级有男生 220 人，学籍编号为 1，2，…，220；女生 380 人，学籍编号为 221，
222，…，600.为了解学生学习的心理状态，按学籍编号采用系统抽样的方法从这 600 名学生
中抽取 10 人进行问卷调查(第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为 10)，再从这 10 名学生
中随机抽取 3 人进行座谈，则这 3 人中既有男生又有女生的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
解：由题意，得到抽到的 10 人中，有男生 4 人，女生 6 人，再从这 10 位学生中随机抽取 3
人座谈，可求出基本事件总数，然后求出 3 人中既有男生又有女生包含的基本事件个数，进
而可求出 3 人中既有男生又有女生的概率．
【详解】解：由题意，得到抽到的 10 人中，有男生 4 人，女生 6 人，
再从这 10 位学生中随机抽取 3 人座谈，
基本事件总数 ，
3 人中既有男生又有女生包含的基本事件个数 ，
3 人中既有男生又有女生的概率 ．
故选：D．
【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公
式的合理运用．
( ) cos2 sinf x x a x= + ( , )6 2
π π a
(2,4) ( ],2−∞ ( ],4−∞ [ )4,+∞
2( ) cos2 sin 1 2sin sinf x x a x x a x= + = − + sint x= ( , )6 2x
π π∈
1( ,1)2t ∈ 2( ) 2 1g t t at= − + + 1( ,1)2t ∈ 1
4 2
a ≤ 2a ≤
1
5
3
10
7
10
4
5
3
10 120n C= =
3 3 3
10 4 6 120 4 20 96C C C− − = − − =
96 4
120 5
mp n
= = =10.关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实
验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请 120 名同学每人随机写下
一个 、 都小于 1 的正实数对 ；再统计 、 两数能与 1 构成钝角三角形三边的数对
的个数 ；最后再根据统计数 估计 的值，假如统计结果是 ，那么可以估计
的值约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
依题意， 、 与 1 能构成钝角三角形，即 ，即点 落在图中在第一象限正方
形内的阴影区域，代入计算即可．
【详解】解：依题意，
、 与 1 能构成钝角三角形，即 ，即点 落在图中在第一象限正方形内的
阴影区域，
所以 ，
当 时，有 ，
得 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，是基础
题．
π
π
x y ( ),x y x y
( ),x y m m π 35m =
π
22
7
47
15
51
16
19
6
x y 2 2 1x y+ < ( ),x y
x y
2 2 1
1
x y
x y
+ <
+ >
( ),x y
1
120 4 2
m π= −
35m = 1
120
35
4 2
π= −
19
6
π =11.已知数列 满足 ， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由 得： ，两式相除，可得数列 奇数项和偶数项均为等比数列，
分奇数项和偶数项讨论，分别求出通项公式，进而可求 .
【详解】解： ，故 ,
两式相除得： ，
故数列 的奇数项和偶数项均为公比为 2 的等比数列，
故选：C.
【点睛】本题考查利用数列的递推式求解数列的性质，重点考查了等比数列前 公式的运用，
考查了分组求和，是中档题.
12.已知函数 在 上的最大值为 ，最小值为 ，则
（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
{ }na 1=1a *
1=2 ( )n
n na a n N+⋅ ∈ 2019S
20192 1− 10103 2 3× − 10112 3−
10103 2 2× −
1=2n
n na a +⋅ 1
1 =2n
n na a −
− ⋅ { }na
2019S
*
1=2 ( )n
n na a n N+⋅ ∈ 1 *
1 =2 ( 2, )n
n na a n n N−
− ⋅ ≥ ∈
1
1
1
2 22
n
n
n
n
a
a
+
−
−
= =
{ }na
( ) (2019 1 3 2019 2 4 2018 )S a a a a a a∴ = + +…+ + + + +
( ) ( )1010 1009
1 21 1
1 1
a q a q
q q
− −
= +− −
( )10091010 2 1 21 2
1 2 1 2
−−= +− −
1010 10102 1 2 2= − + −
10112 3= −
n
2( ) ( 2 )sin( 1) 1
xf x x x x x
= − − + − [ 1,3]− M m
M m+ =【分析】
把已知函数变形，可得
，令 ，结合 ，可得 关于
中心对称，则 在 上关于 中心对称，从而求得 的值．
【详解】解：∵
令 ，
而 ，
∴ ，
则 关于 中心对称，则 在 上关于 中心对称．
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查函数在闭区间上的最值，考查函数奇偶性性质的应用，考查数学转化思想
方法，属中档题．
二、填空题：
13. 值为______．
【答案】 .
【解析】
【分析】
由 是偶函数可得 ，再用微积分基本定理求定积分即可.
【详解】解：因为 是偶函数，
，
故答案为：
【点睛】本题考查定积分的计算，关键是利用被积函数是偶函数来解决问题，是基础题.
14.已知 、 都是等差数列，若 ， ，则 ______．
【答案】21.
2 1( ) ( 1) 1]sin( 1) 1 1f x x x x
= − − − + + −
2 1( ) ( 1) sin( 1) sin( 1) 1g x x x x x
= − − − − + − (2 ) ( ) 0g x g x− + = ( )g x
(1,0) ( )f x [ 1,3]− (1,1) M m+
2 2 1( ) ( 2 )sin( 1) ( 1) 1]sin( 1) 11 1
xf x x x x x xx x
= − − + = − − − + +− −
2 1( ) ( 1) sin( 1) sin( 1) 1g x x x x x
= − − − − + −
2 1(2 ) (1 ) sin(1 ) sin(1 ) 1g x x x x x
− = − − − − + −
(2 ) ( ) 0g x g x− + =
( )g x (1,0) ( )f x [ 1,3]− (1,1)
2M m+ =
1 | |
-1
xe dx∫
2 2e −
| |xy e= 1 1| |
-1 0
2x xe dx e dx=∫ ∫
| |xy e=
1 1| | 1 1 0
0-1 0
2 2 | 2( ) 2( 1)x x xe dx e dx e e e e∴ = = = − = −∫ ∫
2 2e −
{ }na { }nb 1 10+ =9a b 3 8+ =15a b 5 6+ =a b【解析】
【分析】
由等差数列的性质可知 ，代入即可求解
【详解】解：∵ 、 都是等差数列，
若 ， ，
又∵ ，
，
故答案为：21.
【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题
15.抛物线 的焦点为 F，其准线与双曲线 相交于 两点，若△
为等边三角形，则 ＝ .
【答案】
【解析】
试题分析:抛物线的准线方程为 ,设 两点的纵坐标为 ,由双曲线方程可知
, 焦 点 到 准 线 的 距 离 为 . 由 等 边 三 角 形 的 特 征 可 知 , 即
,可得 .故答案应填 .
考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.双曲线的标准方程与几何性质.
【思路点晴】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质,双曲性的标准方程与几何性质.本
题的关键是找出关于 的方程.将抛物线的准线与双曲线结合,又转化为直线与双曲线的位置
关系的问题. (对于直线与双曲线(圆锥曲线)的位置关系.常用到设而不求的数学思想方法,即
假设直线与双曲线(圆锥曲线)的交点坐标,利用韦达定理,弦长公式来构造等式).再运用数形
结合,利用等边三角形的牲征得出关于 的方程.
16.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261 年）一书中，用如图 所示的三角
形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到 1623 年以后，法国数学家布莱士•帕斯卡的著作（1655
年)介绍了这个三角形，近年来，国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中
( )1 5 6 10 3 82a a b b a b+ + + = +
{ }na { }nb
1 10+ =9a b 3 8+ =15a b
( )1 5 6 10 3 82 30a a b b a b+ = + =+ +
( )5 6 1 1030 30 9 21a b a b∴ + = − + = − =
2 2 ( 0)y px p= > 2 2 1y x− = ,A B
ABF p
2 3
2
px = − ,A B ,A By y
2
2 2 1 4A B
py y= = + p 3
2 AB p=
2
3 1 4
p p+ = 2 3p = 2 3
p
p
A国三角形” ，如图 .17 世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”，
如图 .在杨辉三角中，相邻两行满足关系式： ，其 中 是行数， .请
类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是__________．
【答案】
【解析】
分析：这是一个考查类比推理的题目，解题的关键是仔细观察图中给出的莱布尼茨三角形，
并从三解数阵中，找出行与行之间数的关系，探究规律并其表示出来．
详解：类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数 ，
而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子 ，有
( )Chinese triangle A
B 1 1
1
r r r
n n nC C C+ +
++ = n r N∈
1 1 1 1
1 2 1 2 1
1 1 1
r r r
n n n n n nC C C C C C +
+ + + + +
= +
1
1
1
nC +
1 1
1
r r r
n n nC C C+ +
++ =．
故答案为 ．
点睛：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据
新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每个试题
考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：
17.已知△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，向量 ＝(cos B，cos C)， ＝
(2a＋c，b)，且 ⊥ ．
(1)求角 B 的大小；
(2)若 b＝ ，求 a＋c 的范围．
【答案】（1） （2）( ，2]．
【解析】
【分析】
（1）利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用正弦定理化简，整理后利用两角和与
差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出 cosB 的值，即可确定出 B 的度数；
（2）由 b 及 cosB 的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出 a+c 的最大值，
最后利用三角形两边之和大于第三边求出 a+c 的范围即可．
【详解】(1)∵ ＝(cos B，cos C)， ＝(2a＋c，b)，且 ⊥ ．
∴(2a＋c)cos B＋bcos C＝0，∴cos B(2sin A＋sin C)＋sin Bcos C＝0，
∴2cos Bsin A＋cos Bsin C＋sin Bcos C＝0．即 2cos Bsin A＝－sin(B＋C)＝－sin A．
∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，∴cos B＝－ ．∵0＜B＜π，∴B＝ ．
(2)由余弦定理得
b2＝a2＋c2－2accos π＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2- ＝ (a＋c)2，
1 1 1 1
1 2 1 2 1
1 1 1
r r r
n n n n n nC C C C C C +
+ + + + +
= +
1 1 1 1
1 2 1 2 1
1 1 1
r r r
n n n n n nC C C C C C +
+ + + + +
= +
m n
m n
3
2
3
π
3
m n m n
1
2
2
3
π
2
3
2
2
a c+
3
4当且仅当 a＝c 时取等号．∴(a＋c)2≤4，故 a＋c≤2．
又 a＋c>b＝ ，∴a＋c∈( ，2]．即 a＋c 的取值范围是( ，2]．
【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．
18.某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择；
方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率为 .第一次抽奖，若未中奖，则抽奖
结束.若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出
硬币，反面朝上，员工则获得 500 元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行
第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，获得奖金 1000 元；若未中奖，则所获奖金为 0 元.
方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为 ，每次中奖均可获奖金 400 元.
（1）求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 （元）的分布列；
（2）某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，试比较哪个方案更划算？
【答案】（1）详见解析；（2）选甲方案
【解析】
试题分析：
(1)由题意可知 的取值可以是 ，结合题意求解相应的概率即可求得分布列；
(2)利用(1)中的结论结合题意求解相应的数学期望，选择期望值更大的数值即可确定选择的
方案.
试题解析：（1） ， ，
.
所以某员工选择方案甲进行抽奖所获金 （元）的分布列为：
500 1000
（2）由（1）可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金 的均值
，
.
3 3 3
4
5
2
5
X
X 0,500,1000
( ) 1 4 1 1 70 5 5 2 5 25P X = = + × × = ( ) 4 1 2500 5 2 5P X = = × =
( ) 4 1 4 81000 5 2 5 25P X = = × × =
X
X 0
P
7
25
2
5
8
25
X
( ) 2 8500 1000 5205 25E X = × + × =若选择方案乙进行抽奖中奖次数 ，则 ，
抽奖所获奖金 的均值 ，故选择方案甲较划算.
点睛：离散型随机变量的分布列指出了随机变量 X 的取值范围以及取各值的概率；要理解两
种特殊的概率分布——两点分布与超几何分布；并善于灵活运用两性质：一是 pi≥0(i＝
1,2，…)；二是 p1＋p2＋…＋pn＝1 检验分布列的正误．
19.如下图，在四棱锥 中， 面 ， ， ， ，
， ， ， 为 的中点．
（1）求证： 面 ；
（2）线段 上是否存在一点 ，满足 ？若存在，试求出二面角 的
余弦值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）存在点 ，满足 ,二面角 余弦值为
．
【解析】
【详解】试题分析：（1）要证 平面 ，只要在平面 内找到一条直线与 平
行即可，取 的中点 ,构造平行四边形 即可证明；（2）以 分别为
轴建立空间直角坐标系 ，写出点 的坐标，假设 上存在一点 使
，利用空间向量知识可得到在 上存在点 满足条件，平面 的一个法向量
为 ，再求出平面 的法向量，即可求二面角 的余弦值．
试题解析：（1）取 的中点 ，连 和 ，过 点作 ，垂足为
∵ ， ，∴ ，又
的
23, 5Bξ
～ ( ) 2 63 5 5E ξ = × =
X ( ) ( ) ( )400 400 480E X E E Eξ ξ= = =
P ABCD− PD ⊥ ABCD / /AB DC AB AD⊥ 6DC =
8AD = 10BC = 45PAD∠ = E PA
/ /DE PBC
AB F CF DB⊥ F PC D− −
F CF DB⊥ F PC D− −
8
17
/ /DE PBC PBC DE
PB M CDAN , ,DA DC DP
, ,x y z D xyz− , , ,A B C D AB F
CF BD⊥ AB F DPC
(1,0,0)DA = FPC F PC D− −
PB M EM CM C CN AB⊥ N
CN AB⊥ DA AB⊥ / /CN DA / /AB CD∴四边形 为平行四边形，
∴ ，在直角三角形 中，
∴ ，而 分别为 的中点，
∴ 且 ，又
∴ 且 ，四边形 为平行四边形，
∴
平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．
（2）由题意可得， 两两互相垂直，如图，以 分别为 轴建立空间
直角坐标系 ，
则 ，假设 上存在一点 使 ，设 坐
标为 ，
则 ，由 ，得 ，
又平面 的一个法向量为
设平面 的法向量为
CDAN
8, 6CN AD DC AN= = = = BNC
2 2 2 210 8 6BN BC CN= − = − =
12AB = ,E M ,PA PB
/ /EM AB 6EM = / /DC AB
/ /EM CD EM CD= CDEM
/ /DE CM
CM ⊂ PBC DE ⊄ PBC / /DE PBC
, ,DA DC DP , ,DA DC DP , ,x y z
D xyz−
AB F CF BD⊥ F
(1,0,0)DA =
DPC (1,0,0)DA =
FPC (8,12,9)n =又 ， ，
由 ，得 ，即
不妨设 ，有
则
又由法向量方向知，该二面角为锐二面角，
故二面角 的余弦值为 ．
考点：1.直线与平面平行的判定与性质；2.空间向量的应用．
20.已知动圆 经过点 ，并且与圆 相切.
（1）求点 P 的轨迹 C 的方程；
（2）设 为轨迹 C 内的一个动点，过点 且斜率为 的直线 交轨迹 C 于 A,B 两点，
当 k 为何值时？ 是与 m 无关的定值，并求出该值定值.
【答案】（1） （2）7.
【解析】
【分析】
（1）由题意可得点 P 的轨迹 C 是以 M、N 为焦点的椭圆，求出半长轴及半焦距的长度，再由
隐含条件求得 b，则椭圆方程可求；
（2）设 A（x1，y1），B（x2，y2），G（m，0）（﹣2＜m＜2），直线 l：y＝k（x﹣m），联立直线
方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得 A，B 的横坐标与纵坐标的和与积，再由 ω＝
|GA|2+|GB|2 是与 m 无关的定值求得 k，进一步得到该定值．
【详解】解：（1）由题设得：|PM|+|PN|＝4，
∴点 P 的轨迹 C 是以 M、N 为焦点的椭圆，
∵2a＝4，2c＝2，∴ ，
F PC D− −
P ( )1,0N ( )2 2: 1 16.M x y+ + =
( ),0G m G k l
2 2| | | |GA GBω = +
2 2
14 3
x y+ =
2 2 3b a c= − =∴椭圆方程为 ；
（2）设 A（x1，y1），B（x2，y2），G（m，0）（﹣2＜m＜2），直线 l：y＝k（x﹣m），
由 ，得（3+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣12＝0，
，
∴ ．
．
∴
．
∵ω＝|GA|2+|GB|2 的值与 m 无关，∴4k2﹣3＝0，
解得 ．此时 ω＝|GA|2+|GB|2＝7．
【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不
求”的解题思想方法与待定系数法，是中档题．
21.设函数 ，曲线 过点 ，且在点 处的切
线方程为 .
（1）求 值；
（2）证明：当 时， ；
（3）若当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）详见解析；（3） .
的
2 2
14 3
x y+ =
( )
2 2
14 3
y k x m
x y
= − + =
2 2 2
1 2 1 22 2
8 4 12
4 3 4 3
mk k mx x x xk k
−+ = ⋅ =+ +，
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 2
62 4 3
mky y k x m k x m k x x km k
+ = − + − = + − = +
( )( ) ( ) ( )2 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2
3 4
4 3
k m
y y k x m x m k x x k m x x k m k
−
⋅ = − − = − + + = +
( )2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2| | ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( ) 2GA GB x m y x m y x x x x m x x m y y y y+ = − + + − + = + − − + + + + −
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2
22
6 4 3 24 3
1
4 3
m k k
k
k
− − + +
= +
+
3
2k = ±
2( ) ln ( 1)f x ax x b x= + − ( )y f x= 2( , 1)e e e− + (1,0)
0y =
,a b
1x ≥ 2( ) ( 1)f x x≥ −
1x ≥ 2( ) ( 1)f x m x≥ − m
1, 1a b= = − 3
2m ≤【解析】
【分析】
（1）根据导数几何意义得 ，再结合 联立方程组，解得 的值；
（2）即证明差函数 的最小值非负，先求差函数的导数，为研究导函数
符号，需对导函数再次求导，得导函数最小值为零，因此差函数单调递增，也即差函数最小
值为 ，（3）令函数 ，因为 ，所以
.先求差函数导数，再求导函数的导数得 ，所以分
进行讨论：当 时， 满
足题意；当 时，能找到一个减区间，使得 不满足题意.
【详解】（1）由题意可知， 定义域为
，
，
．
（2） ，
设 ， ，
由 ， 在 上单调递增，
∴ ， 在 上单调递增， ．
∴ ．
（3）设 , ， ，
由（2）中知 ， ，
∴ ，
当 即 时， ，
所以 在 单调递增， ，成立．
( )1 0f ′ = ( ) 2 1f e e e= − + ,a b
( ) 2 2lng x x x x x= + −
( )1 0g = ( ) ( )22ln 1 1h x x x x m x= − − − + ( )1 0h =
( )min 0h x = ( ) 2ln 3 2h x x m′ +′ = −
3 3,2 2m m≤ > 3
2m ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 1 0h x h x h h x h≥ ⇒ ≥ ⇒′ = ≥′ ′ =′
3
2m > ( ) ( )1 0h x h< =
( ) ( )2ln 1f x ax x b x= + − ( )0, , ,x x o> ∈ ∞即
( ) 2 ln ,( 0)f x ax x ax b x= + + >′
( )1 0f a b=′ + = ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1f e ae b e a e e e e= + − = − + = − +
1, 1a b∴ = = −
( ) 2ln 1f x x x x= − +
( ) 2 2lng x x x x x= + − ( )1x ≥ ( ) 2 ln 1g x x x x= − +′
( )( )' 2ln 1 0g x x +′ = > ( )g x′ [ )1,+∞
( ) ( )1 0g x g′ ′≥ = ( )g x [ )1,+∞ ( ) ( )1 0g x g≥ =
( ) ( )21f x x≥ −
( ) ( )22ln 1 1h x x x x m x= − − − + ( )1x ≥ ( ) ( )2 ln 2 1 1h x x x x m x= + − − −′
( ) ( )22ln 1 1 1x x x x x x≥ − + − = − ln 1x x x≥ −
( ) ( ) ( ) ( )( )3 1 2 1 3 2 1h x x m x m x≥ − − − = − −′
3 2 0m− ≥ 3
2m ≤ ( ) 0h x′ ≥
( )h x [ )1,+∞ ( ) ( )1 0h x h∴ ≥ =②当 即 时，
，令 ，得 ，
当 时， 单调递减，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，不成立．
综上， ．
【点睛】本题主要考查了导数的综合应用问题，利用导数研究函数的单调性从而得到函数的
最值即可证明不等式，对于恒成立问题，一般采用变量分离的方式将参数与函数的最值比较，
属于难题.
（二）选考题：请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修 4―4：坐标系与参数方程]
22. 选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中,曲线 （t 为参数,且 ）,其中 ,在以 O 为
极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
（Ⅰ）求 与 交点的直角坐标；
（Ⅱ）若 与 相交于点 A, 与 相交于点 B,求 最大值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）4.
【解析】
（ Ⅰ ） 曲 线 的 直 角 坐 标 方 程 为 ， 曲 线 的 直 角 坐 标 方 程 为
．联立 解得 或 所以 与 交点的
直角坐标为 和 ．
（Ⅱ）曲线 的极坐标方程为 ，其中 ．因此 得到极坐标为
3 2 0m− < 3
2m > ( ) ( )( )2 ln 1 2 1h x x x m x+ −′ = −
( ) '( ) 2ln 3 2h x x m+′ = − ( )( )' 0h x′ = 2 3
2
0 1
m
x e
−
= >
[ ]01,x x∈ ( )h x′ ( ) ( )1h x h′ < ′
( )h x [ )01, x ( ) ( )1 0h x h< =
3
2m ≤
xOy 1
cos ,:{ sin ,
x tC y t
α
α
=
= 0t ≠ 0 α π≤ <
2 3: 2sin , : 2 3 cos .C Cρ θ ρ θ= =
2C 3C
1C 2C 1C 3C AB
( ) 3 30,0 , ,2 2
2C 2 2 2 0x y y+ − = 3C
2 2 2 3 0x y x+ − =
2 2
2 2
2 0,{
2 3 0,
x y y
x y x
+ − =
+ − =
0,{ 0,
x
y
=
=
3 ,2{
3 ,2
x
y
=
=
2C 1C
(0,0) 3 3( , )2 2
1C ( , 0)Rθ α ρ ρ= ∈ ≠ 0 α π≤ < A， 的极坐标为 ．所以
，当 时， 取得最大值，最大值为 ．
考点：1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．
[选修 4―5：不等式选讲]
23.已知函数 的最小值为 .
（1）求 的值；
（2）若 、 、 均 正实数，且满足 ，求证： .
【答案】（1）3；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）讨论 的取值，去掉函数 的绝对值，求出 的最小值 ；
（2）根据 ，利用基本不等式求出 的最小值，即
可证明结论成立．
【详解】（1）当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
综上， 的最小值 .
（2）证明：因为 、 、 均为正实数，且满足 ，
所以
，
为
(2sin , )α α B 2sin 2 3 cosAB α α= −
4 ( )3sin
πα= − 5
6
πα = AB 4
( ) 2 | 1| | 2 |f x x x= + + − m
m
a b c a b c m+ + =
2 2 2
3b c a
a b c
+ + ≥
x ( )f x ( )f x m
3a b c m+ + = =
2 2 2
( )b c a a b ca b c
+ + + + +
1x < − ( ) 2( 1) ( 2) 3 (3, )f x x x x= − + − − = − ∈ +∞
1 2x−
微信/支付宝扫码支付