广东省珠海市实验中学-东莞六中 2019－2020 学年第一学期第一次联考文科数学试题
一．选择题:本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.
1.已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析： ,
所以 ，故选 A．
考点：集合的运算．
2. 是 的（ ）条件.
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充要 D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求解两个不等式，得到 与 的关系，结合充分必要条件的判定，即可求解．
【详解】由 ，解得 或 ，由 ，解得 或 ，
所以由 不能推得 ，反之由 可推得 ，
所以 是 的必要不充分条件，故选 B．
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及必要不充分条件的判定，着重考查了
推理与运算能力，属于基础题．
3.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则 a12 值是( )
A. 15 B. 30
C. 31 D. 64
【答案】A
的
U = R { }| 0 2 1xA x= < < { }3| log 0B x x= > ( )UA C B∩ =
{ }| 0x x < { }| 0x x > { }| 0 1x x< <
{ }| 1x x >
{ }2 1 0 | 0x x A x x< ⇒ < ⇒ = < { }3log 0 1 1x x B x x> ⇒ > ⇒ = ⇒
{ }| 1UC B x x= ≤ ( ) { }| 0UA C B x x∩ = <
2 1x > 2 4x >
2 1x > 2 4x >
2 1x > 1x < − 1x > 2 4x > 2x < − 2x >
2 1x > 2 4x > 2 4x > 2 1x >
2 1x > 2 4x >【解析】
【分析】
根据等差数列性质解得 ，再根据等差数列性质得结果.
【详解】因为
故选:A
【点睛】本题考查等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
4.若 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据诱导公式和余弦的倍角公式，化简得
，即可求解．
【 详 解 】 由 题 意 ， 可 得
，故选 A．
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中合理配凑，以及准确利用诱
导公式和余弦的倍角公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础
题．
5.已知平面向量 ， ，且 ，则 ＝
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量平行求出 x 的值，结合向量模长的坐标公式进行求解即可．
8a
7 9 8 8 12 8 416 2 16 8 2 16 1 15a a a a a a a+ = ∴ = ∴ = ∴ = − = − =
1sin 6 3a
π − =
2cos 23 a
π + =
7
9
− 1
3
− 1
3
7
9
2cos( 2 ) cos( 2 ) cos[2( )]3 3 6a a a
π π π+ = − − = − −
2[1 2sin ( )]6 a
π= − − −
2 2cos( 2 ) cos[ ( 2 )] cos( 2 ) cos[2( )]3 3 3 6a a a a
π π π ππ+ = − − + = − − = − −
2 7[1 2sin ( )]6 9a
π= − − − = −
(2, 3)a = − ( ,6)b x= / /a b | |a b+
5 13 5 13【详解】 且 ，则
故
故选 B.
【点睛】本题考查向量模长的计算，根据向量平行的坐标公式求出 x 的值是解决本题的关
键．
6.设实数 满足 则 的大小关系为
A. c= + ≤ a R∈ ( )y f x a= −
a
2a ≥ − 0 1a< < 1 2a≤ < 2a >
0a = ( ) 0f x =
0a < ( )f x a=
0a > 2a >由图知性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
第 13 题 ~ 第 21 题为必做题，每个试题考生都必须作答.第 22 题 ~ 第 23 题为选做题，考生
根据要求作答.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.
13.已知实数 ， 满足不等式组 ，则 的最大值为_______.
【答案】2
【解析】
【分析】
作出不等式组表示的平面区域，根据目标函数的几何意义，结合图象，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，
又由 ，即 表示平面区域内任一点 与点 之间连线的斜率，
显然直线 的斜率最大，
又由 ，解得 ，则 ，
所以 的最大值为 2.
【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式
组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考
查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
14.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为____________.
x y
2 2 0
2
x y
y
y x
+ − ≥
≤
≥ 1
y
x +
( )
0
1 1
y y
x x
−=+ − − 1
y
x +
( ),x y ( )1,0D −
AD
2 2 0
2
x y
y
+ − =
=
( )0,2A 0 2 21 0ADk
−= =− −
1
y
x +【答案】
【解析】
【分析】
根据三视图作出三棱锥的实物图，计算出三棱锥的底面积和高，然后利用锥体的体积公式可
计算出该几何体的体积.
【详解】根据三视图可知，该四面体侧棱 底面 ，且 ， ， ，
，是正方体的一个角，
所以，该四面体的体积为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查几何体体积的计算，涉及到几何体的三视图，解题的关键就是将几何体的
实物图作出，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.
15.已知数列 的首项 ，其前 n 项和为 ．若 ，则 ．
【答案】
32
3
PA ⊥ ABC AB AC⊥ 4AB = 4AC =
4PA =
21 1 324 43 2 3
× × × =
32
3
1 2a = 1 2 1n nS S+ = + na =
2
2 1{3 2 2n n
na n−
== ⋅ ≥【解析】
【详解】已知数列的前 项和 的关系，要求项 ，
一般把已知 中的 用 代换得
，两式相减得 ，
又 ， ，
所以数列 从第二项开始成等比数列，
因此其通项公式为 ．
16.若关于 的不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
分离参数可得不等式 对任意 恒成立，设 ，求出函数 在
上的最小值后可得结果．
【详解】∵关于 不等式 对任意 恒成立，
∴ 对任意 恒成立．
设 ，则 ，
∴当 时， 单调递减；当 时， 单调递
增．
∴ ，
∴ ．
∴实数 的取值范围是 ．
的
n nS na
1 2 1n nS S+ = + n 1n −
12 1n nS S −= + ( 2)n ≥ 1 2n na a+ =
1 1 2 12 1nS a a a+ = + = + 2 3a =
{ }na
2
2, 1,{3 2 , 2,n n
na n−
== ⋅ ≥
x 0xe ax− ≥ (0, )x∈ +∞ a
( ],e−∞
xea x
≤ ( )0,x∈ +∞ ( )
xef x x
= ( )f x
( )0,+∞
x 0xe ax− ≥ ( )0,x∈ +∞
xea x
≤ ( )0,x∈ +∞
( ) ( 0)
xef x xx
= > 2
( 1)( )
xx ef x x
−′ =
(0,1)x∈ ( ) 0, ( )f x f x′ < (1, )x∈ +∞ ( ) 0, ( )f x f x′ >
min( ) (1)f x f e= =
a e≤
a ( , ]e−∞故答案为 ．
【点睛】解答不等式在某区间上的恒成立问题时，常用的方法是分离参数法，即通过参数的
分离，把不等式化为一边只含有参数、另一边只含有变量的形式，然后通过构造函数并求出
函数的最值后可得所求．解题中常用到以下结论： 恒成立 或
恒成立 ，当函数的最值不存在时，可利用函数值域的端点值来代
替．
三 、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，边 的中点为 ，求 的长.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由 及正弦定理得 ，从而得到角 的大小；
（2）利用 可得 ，进而利用余弦定理可得 ，再利用余弦定
理可得 BD.
【详解】（1）由 及正弦定理得： ，
又 ，所以 ，
因为 所以 ，
因为 ，所以 .
（2）由余弦定理得 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
( , ]e−∞
( )a f x> max( )a f x⇔ >
( )a f x< min( )a f x⇔ >
ABC∆ A B C a b c 2 2 cosc a b A+ =
B
5a = 3c = AC D BD
2
3B
π= 19
2BD =
2 2 cosc a b A+ = 1cos 2B = − B
2 2 2 2 cosb a c a c B= + − ⋅ 7b = cosA
2 2 cosc a b A+ = 2sin sin 2sin cosC A B A+ =
( )sin sinC A B= + = sin cos cos sinA B A B+ 2sin cos sin 0A B A+ =
sin 0A ≠ 1cos 2B = −
0 B π< < 2
3B
π=
2 2 2 2 22 cos 5 3 3 5 49b a c a c B= + − ⋅ = + + × =
7b = 7
2AD =
2 2 2 49 9 25 11cos 2 2 7 3 14
b c aA bc
+ − + −= = =× ×
2 2 2 2 cosBD AB AD AB AD A= + − ⋅ ⋅ 49 7 11 199 2 34 2 14 4
= + − × × × =所以 .
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围.对于余
弦定理一定要熟记两种形式：（1） ；（2） .另
外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住 ， ， 等特殊角的三角函
数值，以便在解题中直接应用.
18.如图，在直四棱柱 中，底面 为菱形， 为 中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)连接 与与 交于点，在 利用中位线证明平行.
(2) 首先证明 平面 ，由于 平面 ，证明得到结论.
【详解】证明：（1）连接 与 交于点 ，连接
因 底面 为菱形，所以 为 中点
因为 为 中点，所以
平面 ， 平面 ，所以 平面
（2）在直四棱柱 中， 平面 ， 平面
所以
为
19
2BD =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
2 2 2
cos 2
b c aA bc
+ −=
30° 45° 60°
1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD E 1DD
1 / /BD ACE
1BD AC⊥
BD AC 1BDD∆
AC ⊥ 1 1BDD B 1BD ⊂ 1 1BDD B
BD AC O OE
ABCD O BD
E 1DD 1/ /OE BD
OE ⊂ ACE 1BD ⊄ ACE 1 / /BD ACE
1 1 1 1ABCD A B C D− 1BB ⊥ ABCD AC ⊂ ABCD
1BB AC⊥因为底面 为菱形，所以
所以 ， ， ， 平面 ， 平面
所以 平面
因为 平面 ，所以
【点睛】本题考查直棱柱得概念和性质，考查线面平行的判定定理，考查线面垂直的判定定
理，考查了学生的逻辑能力和书写能力，属于简单题
19.已知函数 .
(1)当 时，求函数 的最小值和最大值
(2)设△ABC 的对边分别为 ，且 ， ,若 ，求 的值.
【答案】（1）最小值为 ，最大值为 0；（2）
【解析】
【分析】
（1） 解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公
式化为一个角的正弦函数，由 的范围求出 的范围，利用正弦函数的值域即可确定出
的最小值和最大值；
（2）由 ，以及（1）确定的函数解析式，求出 的度数，利用正弦定理化简
，得到 ，再利用余弦定理列出关系式，将 ， ，以及 的值
代入求出 的值即可．
【详解】(1)
由 ，
ABCD BD AC⊥
1BB AC⊥ BD AC⊥ 1BB BD B∩ = 1BB ⊂ 1 1BDD B BD ⊂
1 1BDD B
AC ⊥ 1 1BDD B
1BD ⊂ 1 1BDD B 1AC BD⊥
( ) 23 1sin 2 cos ,2 2f x x x x R= − − ∈
5,12 12x
π π ∈ −
, ,a b c 3c = ( ) 0f C = sin 2sinB A= ,a b
31 2
− − 1, 2a b= =
( )f x
x 2 6x
π−
( )f x
( ) 0f C = C
sin 2sinB A= 2b a= 2b a= c cosC
,a b
( ) 23 1 3 1+cos2 1sin2 cos sin22 2 2 2 2
xf x x x x= − − = − −
∴ 2 6x
π− ∈ 2,3 3
π π − 的最小值为
(2)由 即得 ，而又 ，
则 ， ，则由
解得 .
【点睛】本题考查正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，
以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
20.设数列 前 项之和为 ，数列 满足
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 前 项之和 ．
【答案】（1） ； （2） .
【解析】
【分析】
（1）利用递推关系，两式作差即可得出；
（2） ，利用“分组求和法”与“裂项求和”方法即可得出．
【详解】(1)当 n＝1 时，a1＝S1＝3，
由 得
∴an＝Sn－Sn－1＝3n(n≥2)
又 a1 也符合，
的
( )f x∴ 31 , 0.2
− − 最大值
( ) 0f C = ( ) sin 2 1 06f C C
π = − − =
( )0,C π∈
112 , , 26 6 6 6 2C C
π π π π π − ∈ − ∴ − =
∴
3C
π=
2 2 2 2 2
2 2
2 3
b a b a
c a b abcosC a b ab
= =
= + − = + −
即
1, 2a b= =
{ }na n
13 3
2 2
n
nS
+
= − { }nb
2 1
3 2 1
1 3(2 1)log
n
n
n
b n a
−
+
= +−
{ }na
{ }nb n nT
3n
na = 2 13 3
2 1 8 8
nn
n
+
+ −+
( ) 2 1
2 1
3
1 32 1 log 3
n
n nb n
−
+= +−
13 3
2 2
n
nS
+
= − ( )1
3 3 , 22 2
n
nS n− = − ≥∴an＝3n(n∈N＋)
(2)
所以
.
【点睛】本题考查了“分组求和法”、“裂项求和”方法、数列递推关系，考查了推理能力与
计算能力，属于中档题．
21.已知函数 ，其中 且 .
（1）讨论 的单调性；
(2) 若不等式 恒成立，求实数 取值范围；
（3）若方程 存在两个异号实根 ， ，求证：
【答案】（1）详见解析；（2） ；（3）证明详见解析.
【解析】
【详解】(１) 的定义域为 .
其导数
①当 时, ,函数在 上是增函数;
②当 时,在区间 上, ;在区间(0,+∞)上, ．
所以, 在 是增函数,在(0,+∞)是减函数.
(２)当 时, 则 取适当的数能使 ，比如取 ，
能使 , 所以 不合题意
当 时，令 ,则
( ) ( )( )2 1 2 1 2 1
2 1
3
1 1 1 1 13 3 32 1 log 3 2 1 2 1 2 2 1 2 1
n n n
n nb n n n n n
− − −
+
= + = + = − + − − + − +
( )3 5 2 11 1 1 1 1 11 3 3 3 32 3 3 5 2 1 2 1
n
nT n n
− = − + − + + − + + + + + − +
( ) 2 13 1 91 1 3 312 2 1 1 9 2 1 8 8
n nn
n n
+− = − + = + − + − +
1( ) ln + )f x x axa
= −（ a R∈ 0a ≠
( )f x
( )f x ax< a
( ) 0f x = 1x 2x 1 2 0x x+ >
2
ea >
( )f x
0a < '( ) 0f x >
0a > 1( ,0)a
− '( ) 0f x > '( ) 0f x <
( )f x 1( ,0)a
−
0a < x ( )f x ax≥ 1x e a
= −
1 1 1( ) 1 ( ) 2 0 1 ( )f e a e ae ae a ea a a
− = − − = − > > − = − 0a <
0a > ( ) ( )h x ax f x= − 1( ) 2 ln( )h x ax x a
= − +问题化为求 恒成立时 的取值范围.
由于
在区间 上, ;在区间 上, .
的最小值为 ,所以只需
即 , ,
(３)由于 存在两个异号根 ，不仿设 ，因为 ,所以
构造函数: ( )
所以函数 在区间 上为减函数. ,则 ,
于是 ,又 , ,
由 在 上为减函数可知 .即
选考题：共 10 分.请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
作答时请写清题号.
22.已知直线 的参数方程是 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极
轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ．
（1）求直线 的普通方程与圆 C 的直角坐标方程；
（2）设圆 与直线 交于 、 两点，若 点的直角坐标为 ，求 的值．
【 答 案 】（ 1 ） 直 线 l 的 方 程 为 , 圆 C 的 方 程 为 （ 2 ）
( ) 0h x > a
12 ( )1 2( ) 2 1 1
a x ah x a
x xa a
+
′ = − =
+ +
∴ 1 1( , )2a a
− −
( )h x∴ 1( )2h a
− 1( ) 02h a
− >
1 1 12 ( ) ln( ) 02 2a a a a
⋅ − − − + > 1ln 12a
∴ < −
2
ea∴ >
( ) 0f x = 1 2,x x 1 0x < 1
1 0xa
− < < 0a >
( ) ( ) ( )g x f x f x= − − 1 0xa
− < <
1 1( ) ln( ) ln( ) 2g x x x axa a
∴ = − − + +
2
2
2
1 1 2( ) 2 01 1 1
axg x a
x x xa a a
′ = − + = <
− + −
1( ,0)a
− 1
1 0xa
− < < 1( ) (0) 0g x g> =
1 1( ) ( ) 0f x f x− − > 1( ) 0f x = 1 2( ) 0 ( )f x f x− > =
( )f x 0, )+∞（ 2 1x x> − 1 2 0x x+ >
l
2 12{ ( )
2
2
x t
t
y t
= +
= −
是参数 x
=2 2 cos( )4
πρ θ +
l
C l A B P (1,0) PA PB+
1 0x y+ − = ( ) ( )2 21 1 2x y− + + =【解析】
【详解】试题分析：
(1)消去参数可得直线 的普通方程为 ，极坐标方程转化为直角坐标方程可得圆 C
的直角坐标方程是
(2)利用题意由弦长公式可得 .
试题解析：
解：（1）∵直线 l 的参数方程是 （ 是参数），∴ ．
即直线 的普通方程为 ．
∵ ，∴
∴圆 C 的直角坐标方程为 ，
即 或
（2）将 代入 得 ，∴
．
∴ ．
23.已知 为正实数，函数 .
（1）求函数 的最大值；
（2）若函数 的最大值为 1，求 的最小值.
【答案】（1） （2）
【解析】
6PA PB+ =
l 1 0x y+ − =
( ) ( )2 21 1 2x y− + + =
6PA PB+ =
2 12
2
2
x t
y t
= +
= −
t 1 0x y+ − =
l 1 0x y+ − =
2 2cos 2cos 2sin4
πρ θ θ θ = + = −
2 2 cos 2 sinρ ρ θ ρ θ= −
2 2 2 2x y x y+ = −
2 2 2 2 0x y x y+ − + = ( ) ( )2 21 1 2x y− + + =
2 12
2
2
x t
y t
= +
= −
2 2 2 2 0x y x y+ − + = 2 2 1 0t t− − =
1 2 1 22, 1t t t t+ = ⋅ = −
( )2
1 2 1 2 1 24 6PA PB t t t t t t+ = − = + − ⋅ =
,a b ( ) | | | 2 |f x x a x b= − − +
( )f x
( )f x 2 24a b+
2+a b 1
2分析】
（1）利用绝对值不等式公式进行求解；
（2）由（1）得 ，再根据基本不等式可得 的最小值.
【详解】解：（1）因为 ，
所以函数 的最大值为 .
（2）由（1）可知， ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
且当 时取“ ”，
所以 的最小值为 .
【点睛】本题考查了基本不等式、绝对值不等式等知识，运用基本不等式时，要注意题意是
否满足“一正、二定、三相等”的条件，熟练运用绝对值不等式也是解决本题的关键.
【
2 1a b+ = 2 24a b+
( ) ( ) ( )2 2f x x a x b a b≤ − − + = +
( )f x 2a b+
2 1a b+ =
2 2a 4b 4ab+ ≥
( ) ( )2 2 2 2 22 a 4b a 4b 4ab a 2b+ ≥ + + = +
( ) ( )22 22 4 2 1a b a b+ ≥ + =
2 2 14 2a b+ ≥
12 2a b= = =
2 24a b+ 1
2
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