河南省新乡市高三第一次模拟考试（理科数学）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1.若 与 的虚部互为相反数，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别对两个复数进行四则运算化成复数的标准形式，分别得到得复数的虚部，再相加等于 0，
从而求得 的值.
【详解】因为 ，所以虚部为 ，
因为 ，所以虚部为 ，
所以 ，即 .
故答案为：D.
【点睛】本题考查复数 四则运算，考查对复数概念的理解，考查基本运算求解能力.
2.设集合 ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
对集合 ，利用一元二次不等式的解法求得不等式的解集，从而化简集合 ，再与 进行交、
并运算，从而得到答案.
【详解】因为 ， ，
所以 ， .
故选：C.
的
1 3
1 2
i
i
−
+
1( )2i a ai− a
2− 2 1− 1
a
1 3 (1 3 )(1 2 ) 5 5 11 2 5 5
i i i i ii
− − − − −= = = − −+ 1−
1 1
2 2i a ai a ai − = + a
1 0a − = 1a =
{ }( 1)( 2) 0A x x x= + − < { }1 2B x x= − < <
{ }1 2A B x x∩ = − < < { }0 4A B x x∪ = ≤ <
{ }0 2A B x x∩ = ≤ < { }1 2A B x x∪ = − < <
A A B
{ | 0 4}A x x= ≤ < { | 1 2}B x x= − < <
{ | 0 2}A B x x= ≤ 1
4
15
3
4 15
15
16
15
2 15
5
a
2
2
2
1( 0)1
xy a
a
− = > (0,1) 0y ax− =
(0,1) 0y ax− =
2
1 1
41 a
=
+
15a =
2
2 11
15
xy − =则 ，故其离心率为 .
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线的标准方程、渐近线方程、离心率计算，考查方程思想的应用，求
解时注意不能把 的值弄错.
8. 的展开式的常数项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先对多项式进行变行转化成 ，其展开式要出现常数项，只能第 1 个括号出
项，第 2 个括号出 项.
【详解】∵ ，
∴ 的展开式中的常数项为 .
故选：A.
【点睛】本题考查二项式定理展开式的应用，考查运算求解能力，求解的关键是对多项式进
行等价变形，同时要注意二项式定理展开式的特点.
9.唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图 1 所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱
的组合体（如图 2）.当这种酒杯内壁表面积（假设内壁表面光滑，表面积为 平方厘米，半
球的半径为 厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的 2 倍，则 的取值范围
为（ ）
4
15
c = 4 4 15
1515
e = =
,a b
41 1( )x y x y
+ − −
36 36− 48 48−
4
4 1( ) 1x y xy
+ −
2 2x y 2 2
1
x y
4 4 4
41 1 1( ) 1x yx y x y x yx y xy xy
++ − − = + − = + −
41 1x y x y
+ − −
222
4 4
2
2 2(C (C 361) )x y x y
× =
S
R RA. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设圆柱的高度与半球的半径分别为 ，计算容积得到 ，根据高的
关系得到 ，计算得到答案.
【 详 解 】 设 圆 柱 的 高 度 与 半 球 的 半 径 分 别 为 ， 则 ， 则
，
所以酒杯的容积 ，
又 ，所以 ，所以 ，解得 .
故选
【点睛】本题考查了几何体的体积运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
10. 为椭圆 上的一个动点， 分别为圆 与圆
上的动点，若 的最小值为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
35(0 ]10π， 3[ , )10
S
π +∞ 3( , ]5 10
S S
π π
3[ )10 2
S S
π π，
,h R 3 34
3 2 3
SV R R R
π π= − +
2 25
2 3
SR Rπ π<
,h R 22 2S R Rhπ π= +
2
2
SRh Rπ π= −
3 2 3 2 3 32 2 4
3 3 2 3 2 3
S SV R R h R R R R R R
ππ π π π π = + = + − = − +
0h > 2 02
S Rπ− > 2 25
2 3
SR Rπ π<
3
10 2
S SRπ πω 0 ,26 6 6x
π π πω πω − ∈ − −
3 72 ,6 2 2
π π ππω − ∈
5 11,6 6
ω ∈
2 12 12,11 5T
π π π
ω
= ∈
12 12,11 5
π π
P ABCD− PD ⊥ ABCD AB AD⊥ / /AB CD
2AD CD PD= = = 1AB = ,E F ,PC PB BE PCD
2( )AF EF+
14 4 2
3
+
BE PCD度，求出 的斜弦值，再将 翻折至与平面 PAB 共面，利用余弦定理求出 ，
即为 的最小值.
【详解】取 CD 的中点 H，连接 BH，EH.
依题意可得， .因为 平面 ABCD，所以 ，
从而 平面 ABCD，
所以 BE 与平面 PCD 所成角为 ，
且 ，则 ，则 E 为 PC 的中点.
在 中， .
因为 ， ， ，
所以 ，所以 .
将 翻折至与平面 PAB 共面，如图所示，则图中
，
当 F 为 AE 与 PB 的交点时， 取得最小值，此时，
.
故答案为： .
【点睛】本题考查空间中线面垂直、线面角、余弦定理等知识的交会，考查空间相象能力和
运算求解能力，将空间中线段和的最值问题，转化成平面问题，对转化与化归思想的考查要
求较高，属于难题.
三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
,APB BPC∠ ∠ PBC∆ AE
2( )AF EF+
BH CD⊥ PD ⊥ PD BH⊥
BH ⊥
BEH∠
2tan 2BHBEH EH EH
∠ = = = 1EH =
Rt PAB∆ 2 2cos 3
APAPB PB
∠ = =
3PB = 2 2=PC 5BC =
2cos 2BPC∠ =
4BPC
π∠ =
PBC∆
2 2 2 1 4 2cos cos 4 2 3 3 6APC APB
π − ∠ = ∠ + = − =
AF EF+
2 2 2 2 4 2 14 4 2( ) (2 2) ( 2) 2 2 2 2 6 3AF EF AE
− ++ = = + − × × × =
14 4 2
3
+17.甲、乙两人同时参加一个外贸公司的招聘,招聘分笔试与面试两部分,先笔试后面试.甲笔
试与面试通过的概率分别为 0.8,0.5,乙笔试与面试通过的概率分别为 0.8,0.4,且笔试通过
了才能进入面试,面试通过则直接招聘录用,两人笔试与面试相互独立互不影响.
(1)求这两人至少有一人通过笔试的概率;
(2)求这两人笔试都通过却都未被录用的概率;
(3)记这两人中最终被录用的人数为 X,求 X 的分布列和数学期望.
【答案】(1)0.96；(2)0.192；(3)分布列见解析，数学期望 0.72
【解析】
【分析】
(1)利用独立事件与对立事件的概率公式求解即可；(2)直接利用独立事件的概率公式求解即
可；（3）X 可取 0,1,2,利用独立事件与对立事件的概率公式求出各随机变量对应的概率，从
而可得分布列，进而利用期望公式可得 的数学期望.
【详解】(1)设“这两人至少有一人通过笔试”为事件 A,
则 P(A)=1 P( )=1 (1 0.8)2=0.96.
(2)设“这两人笔试都通过却都未被录用”为事件 B,
则 P(B)=0.82×(1 0.5)×(1 0.4)=0.192.
(3)甲、乙两人被录用的概率分别为 0.8×0.5=0.4,0.8×0.4=0.32.
由题意可得 X 可取 0,1,2,则
P(X=0)=(1 0.4)×(1 0.32)=0.408,
P(X=1)=(1 0.4)×0.32+0.4×(1 0.32)=0.464,
P(X=2)=0.4×0.32=0.128,
所以 X 的分布列为
X 0 1 2
P 0.408 0.464 0 128
故 E（X）=0×0.408+1×0.464+2×0.128=0.72.
.
X
− A − −
− −
− −
− −【点睛】本题主要考查对立事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机
变量的分布列与数学期望，属于中档题.求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准
确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运
用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；
（3）公式应用关.
18.如图，在正四棱锥 中，二面角 为 ， 为 的中点.
（1）证明： ；
（2）已知 为直线 上一点，且 与 不重合，若异面直线 与 所成角为 ，求
【答案】（1）详见解析；（2）11.
【解析】
【分析】
（1）设 V 在底面的射影为 O，连接 OE，找出二面角的平面角，再证明 ，从而得到
；
（2）取 AB 的中点 G，以 O 为坐标原点，分别以 ， ， 为 x，y，z 轴的正方向，建
立空间直角坐标系 ，设 ， ，根据异面直线 与 所成角
为 ，求出 的值，从而得到 的值.
【详解】（1）设 V 在底面的射影为 O.则 O 为正方形 ABCD 的中心如图，
连接 OE，因为 E 为 BC 的中点，所以 .
在正四棱锥 中， ，则 ，
所以 为二面角 的平面角，则 .
在 中， ，又 ，
所以 .
V ABCD− V BC D− − 60° E BC
BC VE=
F VA F A BF VE 60° .VF
VA
2VE OE=
BC VE=
OG OE OV
O xyz− 2AB = ( 1)VF VAλ λ= ≠ BF VE
60° λ VF
VA
OE BC⊥
V ABCD− VB VC= VE BC⊥
VEO∠ V BC D− − 60VEO °∠ =
Rt VOE∆ 2VE OE= 2AB BC OE= =
BC VE=（2）取 AB 的中点 G，以 O 为坐标原点，分别以 ， ， 为 x，y，z 轴的正方向，建
立空间直角坐标系 ，设 ，则 ， ， ，
， ， ， .设 ，
则 ，
从而 ，
整理得 ，解得 （ 舍去），
故 .
【点睛】本题考查空间中的线线垂直、线面角、面面角定义，考查空间想象能力和运算求解
能力，在第（2）问求解时，根据共线向量基本定理确定，引入一个变量 确定点 的位置，
是求解问题的关键.
19.在直角坐标系 中，点 ， 是曲线 上的任意一点，动点 满足
（1）求点 的轨迹方程；
（2）经过点 的动直线 与点 的轨迹方程交于 两点，在 轴上是否存在定点
（异于点 ），使得 ？若存在，求出 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在点 符合题意.
【解析】
【分析】
（1）设 ， ，利用相关点代入法得到点 的轨迹方程；
（2）设存在点 ，使得 ，则 ，因为直线 l 的倾斜角不可
OG OE OV
O xyz− 2AB = (0,0, 3)V (0,1,0)E (1,1,0)B
(1, 1,0)A − (1, 1, 3)VA = − − (1,1, 3)VB = − (0,1, 3)VE = − ( 1)VF VAλ λ= ≠
( 1, 1, 3 3)BF VF VB λ λ λ= − = − − − − +
2 2
| | | 2 4 || cos , | cos60
| || | 2 4( 1) ( 1)
BF VEBF VE
BF VE
λ
λ λ
°⋅ −〈 〉 = = =
− + +
2 10 11 0λ λ+ − = 11λ = − 1λ =
11VF
VA
=
λ F
xOy ( 2,0)M − N 21 24x y= + C
0.MC NC+ =
C
(1,0)P l C ,A B x D
P ADP BDP∠ = ∠ D
2 2y x= ( 1,0)D −
( , )C x y ( )0 0,N x y C
( ,0)D t ADP BDP∠ = ∠ 0DA DBk k+ =能为 ，故设直线 l 的方程为 ，利用斜率和为 0，求得 ，从而得到定点坐标.
【详解】（1）设 ， ，
则 ， ， .
又 ，则 即
因为点 N 为曲线 上的任意一点，
所以 ，
所以 ，整理得 ，
故点 C 的轨迹方程为 .
（2）设存在点 ，使得 ，所以 .由题易知，直线 l 的倾
斜角不可能为 ，故设直线 l 的方程为 ，
将 代入 ，得 .设 ， ，则 ，
.因为 ，所以
，即 ，所以 .故存在点 ，
使得 .
【点睛】本题考查相关点代入法求轨迹方程及抛物线中的定点问题，考查函数与方程思想、
数形结合思想的应用，求解时注意直线方程的设法，能使运算过程更简洁.
20.已知数列 满足
（1）证明：数列 为等差数列；
（2）设 ，求数列 的前 项和
【答案】（1）详见解析；（2） .
【解析】
【分析】
0° 1x my= + 1t = −
( , )C x y ( )0 0,N x y
( 2, )MC x y= + ( )0 0,NC x x y y= − − ( )0 02 2,2MC NC x x y y+ = − + −
0MC NC+ = 0
0
2 2 0,
2 0,
x x
y y
− + =
− =
0
0
2 2,
2 .
x x
y y
= +
=
21 24x y= +
2
0 0
1 24x y= +
212 2 (2 ) 24x y+ = + 2 2y x=
2 2y x=
( ,0)D t ADP BDP∠ = ∠ 0DA DBk k+ =
0° 1x my= +
1x my= + 2 2y x= 2 2 2 0y my− − = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 2y y m+ =
1 2 2y y = − 1 2 1 2
1 2 1 2
01 1DA DB
y y y yk k x t x t my t my t
+ = + = + =− − + − + −
( )1 2 1 22 (1 ) 0my y t y y+ − + = 4 2 (1 ) 0m m t− + ⋅ − = 1t = − ( 1,0)D −
ADP BDP∠ = ∠
{ }na 4 4 4 4 2
1 2 3
1 (4 1).3na a a a n n+ + + + = −
{ }2
na
2 (1 3 )n
n nb a= ⋅ + { }nb n .nT
1 2( 1) 3 3n
nT n n+= − ⋅ + +（1）根据递推关系得到 ，再利用定义证明数列 为等差数列；
（2）由（1）得 ，再利用错位相减求和等差数列前 项和公式，求
得数列 的前 项和
【详解】（1）当 时， ，
则 .∵
，∴ .
又∵ ， ，∴ ，也满足 ，
∴ ，∵ ，
∴数列 为公差是 2 的等差数列.
（2） ，设数列 的前 n 项和为 ，
则 ，
∴ ，∴
，即
，故
，
∴ .
【点睛】本题考查数列递推关系、等差数列的定义、等差数列前 项和、错位相减法求和，考
查转化与化归思想、方程思想的运用，考查运算求解能力.
21.已知函数
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ，不等式 对 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2） .
【解析】
2 2 1na n= − { }2
na
(2 1) 3 2 1n
nb n n= − ⋅ + − n
{ }nb n .nT
2n ≥ 4 4 4 2
1 2 1
1 ( 1) 4( 1) 13na a a n n− + + + = − − −
( )4 2 2 3 3 21 1 14 1 ( 1) 4( 1) 1 4 4( 1) 1 (2 1)3 3 3na n n n n n n n = − − − − − = − − − = −
2 0na ≥ 2 2 1na n= −
4
1 1a = 2
1 0a ≥ 2
1 1a = 2 2 1na n= −
2 2 1na n= − 2 2
1 2n na a+ − =
{ }2
na
(2 1) 3 2 1n
nb n n= − ⋅ + − { }(2 1) 3nn − ⋅ nS
21 3 3 3 (2 1) 3n
nS n= × + × + + − ⋅
2 3 13 1 3 3 3 (2 1) 3n
nS n += × + × +…+ − ⋅
( )2 3 13 3 2 3 3 3 (2 1) 3n n
n nS S n +− = + × + + + − − ⋅
2
1 1 1 13 3 32 3 2 (2 1) 3 3 6 (1 2 ) 3 (2 2 ) 3 61 3
n
n n n n
nS n n n+ + + +− ×− = + × − − ⋅ = − + − ⋅ = − ⋅ −−
1( 1) 3 3n
nS n += − ⋅ +
2 1 2( 1) 3 3n
n nT S n n n+= + = − ⋅ + +
n
3( ) 1( 0).axf x x e a= − ≠
( )f x
2a = ( ) 3lnf x mx x≥ + (0, )x∈ +∞ m
( ,2]−∞【分析】
（1）先对函数进行求导得 ，再对 进行分类讨论，解导数不等式，从
而得到函数 单调区间；
（2）由 ，将 对 恒成立等价于 对
恒成立.构造函数 ，取 ，则
，进而得到函数 的最小值为 2，即可得到到
的取值范围.
【详解】（1） .
当 时，令 ，得 ；令 ，得 .
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
当 时令 ，得 ；令 ，得 .
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（2）因为 ，所以 对 恒成立等价于
对 恒成立.设 ， ，
令 ，得 ；令 ，得 .
所以 ，所以 .取 ，
则 ，即 ，
所以 .
设 ，因为 ， ，
所以方程 必有解，
的
2( ) ( 3)axf x x e ax′ = + a
2a = ( ) 3lnf x mx x≥ + (0, )x∈ +∞ 3 2 3ln 1xx e xm x
− −≤
(0, )x∈ +∞ ( ) 1 ln ( 0)g t t t t= − − > 3 2xt x e=
( )3 2 3 21 ln 0x xx e x e− − ≥ 3 2 3ln 1xx e xy x
− −= m
2 3 2( ) 3 ( 3)ax ax axf x x e ax e x e ax′ = + = +
0a < ( ) 0f x′ < 3x a
> − ( ) 0f x′ ≥ 3x a
≤ −
( )f x 3 ,a
− +∞
3, a
−∞ −
0a > ( ) 0f x′ ≥ 3x a
≥ − ( ) 0f x′ < 3x a
< −
( )f x 3, a
−∞ −
3 ,a
− +∞
2a = ( ) 3lnf x mx x≥ + (0, )x∈ +∞ 3 2 3ln 1xx e xm x
− −≤
(0, )x∈ +∞ ( ) 1 ln ( 0)g t t t t= − − > 1( ) tg t t
′ −=
( ) 0g t′ < 0 1t< < ( ) 0g t′ > 1t >
min( ) (1) 0g t g= = 1 ln 0t t− − ≥ 3 2xt x e=
( )3 2 3 21 ln 0x xx e x e− − ≥ 3 2 3ln 1 2xx e x x− − ≥
3 2 3ln 1 2 2
xx e x x
x x
− − ≥ =
3 2( ) xh x x e= (0) 0 1h = < 2(1) 1h e= >
3 2 1xx e =所以当且仅当 时，函数 得最小值，且最小值为 2，所以
，即 m 的取值范围为 ，
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，
求解过程中注意分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想的综合运用，特别是构造新
函数后，再利用导数的工具性作用研究函数是求解的关键.
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注
意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，
则按所做的第一题计分.
22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ，（ 为参数），曲线 的参数方
程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）已知点 的极坐标为 ， 与曲线 交于 两点，求
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用消参数将参数方程化成普通方程，再利用公式 化成极坐标方程；
（2）将点 的极坐标化为直角坐标，得点 为直线参数方程所过的定点，再利用参数的几何
意义进行求解.
【详解】解：（1）曲线 C 的直角坐标方程为 ，即 ，
因为 所以 ，即 ，
故曲线 C 的极坐标方程为 .
3 2 1xx e =
3 2 3ln 1( 0)
xx e xy xx
− −= >
2m ≤ ( ,2]−∞
xOy l
12 2
3
2
x t
y t
= − +
=
t C
3cos
3 3sin
x
y
α
α
=
= +
α x
C
P (2, )π l C ,A B 2( ) .PA PB+
6sinρ θ= 6 3 3+
cos ,
sin ,
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
P P
2 2( 3) 9x y+ − = 2 2 6x y y+ =
cos ,
sin ,
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
2 6 sinρ ρ θ= 6sinρ θ=
6sinρ θ=（2）将 代入 ，得 .设 A、B 两点对应的
参数分别为 ， ，则 ， .因为点 P 的极坐标为 ，所以点 P 的
直角坐标为 ，所以
.
【点睛】本题考查曲线的参数方程、普通方程、极坐标方程的互化、直线参数方程参数的几
何意义，考查转化与化归思想的应用，求解是要注意利用直线的参数的几何意义解题时，要
保证参数方程为标准形式.
23.已知函数
（1）求不等式 的解集；
（2）设 表示不大于 的最大整数，若 对 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）将函数 的绝对值去掉等价于 再分别解不等式并取交集；
（2）利用取整函数的定义，将不等式 转化为 ，再利用（1）的结论进行
求解.
【详解】（1）
由 得： 或 或 解得： ；
由 ， 或 或 解得： .
12 ,2
3
2
x t
y t
= − +
=
2 2( 3) 9x y+ − = 2 (2 3 3) 4 0t t− + + =
1t 2t 1 2 2 3 3t t+ = + 1 2 4t t = (2, )π
( 2,0)−
2
1 2 1 2( | | | |) | | | | 2 | | | | 2 6 3 3PA PB PA PB PA PB t t t t+ = + + ⋅ = + + = +
( ) 7 1.f x x x= − + +
2 ( ) 10x f x< <
[ ]x x [ ( )] 9f x ≤ [ , 9]x a a∈ + a
( 2,4)− ( 2, 1)− −
( )f x
6 2 , 1,
( ) 8, 1 7,
2 6, 7,
x x
f x x
x x
− < −
= − ≤ ≤
− >
[ ( )] 9f x ≤ ( ) 10f x <
6 2 , 1,
( ) 8, 1 7,
2 6, 7,
x x
f x x
x x
− < −
= − ≤ ≤
− >
( ) 2f x x> 1,
6 2 2 ,
x
x x
< −
− >
1 7,
8 2 ,
x
x
− ≤ ≤
>
7,
2 6 2 ,
x
x x
>
− > 4x <
( ) 10f x < 1,
6 2 10,
x
x
< −
−
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