龙泉中学潜江中学 2020 届高三年级 12 月联考
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考试务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应的题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在试
卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. {0，2} B. {-2，0，2} C. {2} D. {0，2，4}
【答案】A
【解析】
【分析】
注意到集合 中 属于自然数,故先确定集合 中的元素,再求 即可.
【详解】依题意, ,故 ,
故选:A
【点睛】本题主要考查交集的运算,注意看清集合中求的是哪个量的取值范围.本题中 故
为自然数.
2.已知平面向量 若 则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 对应的坐标形式计算出 的值，然后根据模长的坐标形式计算出 的值即可.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
{ }| 5 4M x N x= ∈ − < < { }2,0,2,4,6N = − M N = M x M M N∩ { | 5 4} {0,1,2,3}M x N x= ∈ − < < = {0,2}M N = x∈N x (2, 3), (6, ).m n λ= − = ,m n⊥ n = 4 4− 4 13 2 13 m n⊥ λ n m n⊥ 2 6 3 0λ× − = 4λ =
所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查根据向量垂直关系求参数以及坐标形式下向量的模长计算，难度较易.已知
，若 ，则有 .
3.设命题 所有正方形都是平行四边形，则 为（ ）
A. 所有正方形都不是平行四边形 B. 有的平行四边形不是正方形
C. 有的正方形不是平行四边形 D. 不是正方形的四边形不是平行四边形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【详解】“所以”改为“存在”（或“有的”），“都是”改为“不都是”（或“不是”），
即 为有的正方形不是平行四边形
故选 C.
【点睛】本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
4.记数列 的前 n 项和为 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题要求 ,故直接令 再令 ,将两式相除即可.
【详解】当 时, ,当 时, ,所以
故选:D
【点睛】已知前 项积 求通项公式 ,则 .
5.下列图象中,可以作为 的图象的是（ ）
2 26 4 2 13n = + =
( ) ( )1 1 2 2, , ,a x y b x y= = a b⊥
1 2 1 2 0x x y y+ =
:p p¬
p¬
{ }na nS 2 2
1 2 3n n
na a a −⋅⋅⋅ = 5a =
43 53 63 73
5a 5n = 4n =
5n = 15
1 2 3 4 5 3a a a a a = 4n = 8
1 2 3 4 3a a a a = 71 2 3 4 5
5
1 2 3 4
3a a a a aa a a a a
= =
n nT na
1
1
,( 1)
,( 2)n n
n
T n
a T nT −
=
= ≥
4 3 2y x ax bx cx d= − + + + +
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
考虑函数的自变量 时函数值的正负，即可判断出符合要求的函数图象.
【详解】因为 的最高次项为 ，
当 时， ，当 时， ，
所以符合要求的仅有 C 选项.
故选：C.
【点睛】本题考查函数图象的判断，难度较易.判断一个函数的大致图象可以从函数的奇偶性、
单调性、特殊点的函数值正负等方面去判断.
6.已知三棱锥 中， ，则
三棱锥 的体积是（ ）
A. 4 B. 6 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意明确 ，结合棱锥体积公式得到结果.
【详解】由 ， ，且 ，得 ；
又由 ， ，且 ，得 .
因为 ，从而知 ，即
所以 .
,x x→ +∞ → −∞
( )f x 4x−
x → +∞ ( ) 0f x < x → −∞ ( ) 0f x < S ABC− , 4, 2 13, 2, 62SAB ABC SB SC AB BC π∠ = ∠ = = = = = S ABC− 4 3 6 3 SA ABC⊥ 平面 4SB = 2AB = 2SAB π∠ = 2 3SA = 2AB = 6BC = 2ABC π∠ = 2 10AC = 2 2 2SA AC SC+ = 2SAC π∠ = SA AC⊥ SA ABC⊥ 平面
又由于 ，
从而 .
故选 C.
【点睛】本题考查棱锥体积的计算，考查线面垂直的证明，考查计算能力与推理能力，属于
基础题.
7.已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 的对称轴为 ，且在 上单调递增
B. 函数 的对称轴为 ，且在 上单调递增
C. 函数 的对称中心为 ，且在 上单调递增
D. 函数 的对称中心为 ，且在 上单调递增
【答案】A
【解析】
【分析】
由 中 为常数,故可以考虑到利用函数对称性,再计算对
称轴与区间端点处的函数值考查单调性进行排除.
【详解】依题意, ,解得 ,因为 ,故函数 的对
称轴为 ,
排除 C、D；因为 , ,故 ,排除 B,
故选:A．
【点睛】若函数 满足 则函数 关于 对称.
1 2 6 62ABCS = × × =
1 1 6 2 3 4 33 3S ABC ABCV S SA− = ⋅ = × × =
( ) 6 2 2f x x x= − +
( )f x 3
2x = 30, 2
( )f x 3
2x = 3 ,32
( )f x 3 ,02
30, 2
( )f x 3 ,2 32
3 ,32
( ) 6 2 2f x x x= − + 6 2 2 6x x− + =
6 2 0
0
x
x
− ≥
≥ 0 3x≤ ≤ 3 3
2 2f x f x − = +
( )f x
3
2x =
3 2 32f = (3) 6f = 3 (3)2f f >
( )f x ( ) ( )f a x f a x+ = − ( )f x x a=
8.满足条件 的 面积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设出 的坐标，给定 坐标，求解出 的轨迹方程，根据 的轨迹即可求解出 面积
的最大值.
【详解】设 ，因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 的轨迹是以 为圆心，半径等于 的圆去掉点 两
点，
所以 .
故选：B.
【点睛】本题考查利用坐标法解决平面几何问题，着重考查了圆的相关知识，难度一般.使用
坐标法的前提是建立合适的平面直角坐标系，然后即可根据长度或者角度关系等确定坐标满
足的方程.
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合
题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分.
9.将函数 的图像向右平移 个单位,得到的图像关于 轴
对称,则（ ）
A. 的周期的最大值为 B. 的周期的最大值为 C. 当
的周期取最大值时,平移后的函数在 上单调递增 D. 当 的
周期取最大值时,平移后的函数在 上单调递减
【答案】AC
【解析】
【分析】
2, 2AB AC BC= = ABC∆
4 2 2 2 3 2 2+ 3 4 2+
C ,A B C C ABC∆
( ) ( ) ( ), , 1,0 , 1,0C x y A B − 2AC BC=
( ) ( ) ( )2 22 21 2 1 0x y x y y − + = + + ≠ ( ) ( )2 23 8 0x y y+ + = ≠
C ( )3,0− 2 2 ( ) ( )3 2 2,0 , 2 2 3,0− − −
( )max
1 2 22ABCS r AB= × × =
( ) sin 3 cos ( 0)f x x xω ω ω= + >
3
π y
( )f x 4
5
π
( )f x 4
11
π
( )f x [0, ]5
π
( )f x
[0, ]5
π
将函数 利用辅助角公式变形后，利用平移后函数图象的特点求解出 的最小值，此时有
周期的最大值，再据此分析出平移后函数在 上的单调性.
【详解】因为 ，
所以向右平移 个单位后得到 ，
又因为平移后得到的函数图象关于 轴对称，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，令 ，
所以 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增.
故选：AC.
【点睛】本题考查三角函数的周期与单调性、图象平移以及三角恒等变换的综合应用，难度
一般.
(1)求解三角函数周期的最值时，可将其与 的关系联系在一起：周期最大， 最小；周期最
小， 最大；
(2)分析 的单调增或减区间时，可通过分析 的单调减
或增区间.
10.已知双曲线 过点 且渐近线为 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的方程为 B. 的离心率为
C. 曲线 经过 的一个焦点 D. 直线 与 有两个公共
( )f x ω
0, 5
π
( ) sin 3 cos 2sin 3f x x x x
πω ω ω = + = +
3
π ( )12sin 2sin3 3 3y x x
ω ππ πω ω − = − + = +
y ( )1 ,3 2k k Z
ω π ππ− = + ∈
13 , , 02k k Zω ω= − − ∈ > min
1 53 2 2
ω = − = max
min
2 4
5T
π π
ω= =
5 52sin 2cos2 2 2xy x
π − = −
= 52 2 ,2k x k k Zπ π π≤ ≤ + ∈
4 4 2 ,5 5 5k x k k Zπ π π≤ ≤ + ∈ 0k = 20, 5x
π ∈
5 52sin 2cos2 2 2xy x
π − = −
= 0, 5
π
ω ω
ω
( )siny A xω ϕ= − + ( )siny A ωx φ= +
C ( )3, 2 3
3y x= ±
C
2
2 13
x y− = C 3
2 1xy e −= − C 2 1 0x y− − = C
点
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据题意得到双曲线 的方程，结合双曲线的性质逐一判断即可.
【详解】对于选项 A：由已知 ，可得 ，从而设所求双曲线方程为
，又由双曲线 过点 ，从而 ，即 ，从而选项 A
正确；
对于选项 B：由双曲线方程可知 ， ， ，从而离心率为 ，
所以 B 选项错误；
对于选项 C：双曲线的右焦点坐标为 ，满足 ，从而选项 C 正确；
对于选项 D：联立 ，整理，得 ，由 ，
知直线与双曲线 只有一个交点，选项 D 错误.
故选 AC
【点睛】本题考查双曲线的标准方程及简单的几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考
查推理能力与运算能力.
11.正方体 的棱长为 2, 分别为 的中点,则（ ）
A. 直线 与直线 垂直 B. 直线 与平面 平行
C
3
3y x= ± 2 21
3y x=
2 21
3 x y λ− = C ( )3, 2 2 21 3 ( 2)3
λ× − = 1λ =
3a = 1b = 2c = 2 2 3
33
ce a
= = =
( )2,0 2 1xy e −= −
2
2
2 1 0
13
x y
x y
− − =
− =
2 2-2 2 0y y + = 2(2 2) 4 2 0∆ = − × =
C
1 1 1 1ABCD A B C D− , ,E F G 1 1, ,BC CC BB
1D D AF 1AG AEF
C. 平面 截正方体所得的截面面积为 D. 点 与点 到平面 的距离相等
【答案】BC
【解析】
【分析】
A．利用线面垂直的定义进行分析；
B．作出辅助线利用面面平行判断；
C．作出截面然后根据线段长度计算出截面的面积；
D．通过等体积法进行判断.
【详解】A．若 ，又因为 且 ，所以 平面 ，
所以 ，所以 ，显然不成立，故结论错误；
B．如图所示，取 的中点 ，连接 ，
由条件可知： ， ，且 ，所以平面
平面 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，故结论正确；
C．如图所示，连接 ，延长 交于点 ，
AEF 9
2 C G AEF
1D D AF⊥ 1D D AE⊥ AE AF A∩ = 1DD ⊥ AEF
1DD EF⊥ 1CC EF⊥
1 1B C Q 1 ,AQ GQ
/ /GQ EF 1 / /AQ AE 1 ,CQ AQ Q EF AE E= = 1 / /AGQ
AEF
1AG ⊂ 1AGQ 1 / /AG AEF
1 1,D F D A 1 ,D F AE S
因为 为 的中点，所以 ，所以 四点共面，
所以截面即为梯形 ，又因为 ， ，
所以 ，所以 ，故结论正确；
D．记点 与点 到平面 的距离分别为 ，
因为 ，
又因为 ，
所以 ，故结论错误.
故选：BC.
【点睛】本题考查空间立体几何 直线、平面间的关系及截面和体积有关的计算的综合应用，
难度一般.
12.设非负实数 满足 则 的（ ）
A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最大值为
【答案】AC
【解析】
【分析】
采用三角代换的方式化简原式，然后利用换元法以及二次函数的值域求解出 的
最大值和最小值，注意取等号的条件.
的
,E F 1 ,C C BC 1/ /EF A D 1, , ,A E F D
1AEFD 2 2
1 4 2 2 5D S AS= = + = 1 2 2A D =
( )1
2
21 2 22 2 2 5 62 2AD SS
= × × − = 1
3 9=6 =4 2AEFDS ×梯形
C G AEF 1 2,h h
1
1 1 1 1 123 3 2 3C AEF AEF A CEFV S h V− −
×= ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ =
2
1 1 1 2 223 3 2 3G AEF AEF A GEFV S h V− −
×= ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ =
1 2h h≠
,x y 2 1,x y+ = 2 2x x y+ +
4
5
2
5 1
1 2
3
+
2 2x x y+ +
详解】令 ， ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以
，
所以 ， ，
取最大值时 或 1，此时 或 ，
取最小值时 ，此时 .
故选：AC.
【点睛】本题考查用三角换元法求最值，着重考查逻辑推理和运算求解的能力，难度较难.
(1)利用换元法求解最值时注意，换元后新元的取值范围；
(2)三角函数中的一组“万能公式”： ， .
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.边长为 2 的正方形 中, 则 ________
【答案】
【 cosx r θ= siny r θ= 0, 0, 2r
πθ > ∈
2 1x y+ = 2 cos sin 1r rθ θ+ = 1
2cos sinr θ θ= +
2
2
2 2
2
2 2
1 tan 2 1
1 tancos 1 2cos 2cos sin 1 tan 2tan2 22
1 tan 1 tan2 2
x x y r r
θ
θ
θθ θ θθ θ
θ θ
−
+
+++ + = + = =+ −
⋅ +
+ +
[ ]2
2
1 1 tan 0,121 5tan tan 1 tan2 2 2 2 4
θ
θ θ θ
= = ∈ − + + − − +
( )2 2
2max
1 1
1 5
2 4
x x y+ + = =
− +
( )2 2
min 2
1 4
5 50 4
x x y+ + = =
− +
tan 02
θ = 0
1
x
y
=
=
1
2
0
x
y
=
=
1tan 2 2
θ =
3
10
2
5
x
y
=
=
2
2tan 2sin
1 tan 2
θ
θ θ=
+
2
2
1 tan 2cos
1 tan 2
θ
θ θ
−
=
+
ABCD 1 3, ,2 5DE EC AF AD= = AE BF⋅ =
16
15
【解析】
【分析】
选取向量 作为平面内一组基底，然后根据条件将 分别表示为 组合的
形式，即可计算出 的结果.
【详解】因为 ，
所以 ，所以
所以
所以 .
故答案为： .
【点睛】本题考查向量数量积以及向量的线性运算在几何中的应用，难度一般.处理几何图形
中的向量数量积问题，关键是确定好基底，将向量用基底的形式表示出来，然后即可根据数
量积运算完成求解.
14.函数 在（a,10- ）上有最大值，则实数 a 取值范围是 ．
【答案】
【解析】
【详解】要满足题意即函数 最大值必是区间上的极大值．
由已知 ，
当 时， ，
当 时， 或 ；
所以 是函数的极大值点，
则由题意得： ，解得
15.在等腰直角三角形 中,点 是边 异于 、 的一点.光线从点 出发,经过 、
反射后又回到点 (如图).若光线 经过 的重心,且 则
_________
的
的
,AD AB ,AE BF ,AD AB
AE BF⋅
1 3,2 5DE EC AF AD= =
3 3
5 5BF BA AD AB AD= + = − + 1 1
3 3AE AD DC AB AD= + = +
2 23 1 1 3
5 3 3 5AB AD AB AD AB ADAE BF = − + ⋅ + = − +
⋅
1 3 164 43 5 15AE BF = − × + × =⋅
16
15
31( ) 3f x x x= − + 2a
[ )2,1−
( ) ( )( )2' 1 1 1f x x x x= − + = − + −
( )' 0f x > 1 1x− < < ( )' 0f x < 1x < − 1x >
1x =
( )21 10 ; ( ) 1a a f a f< < − ≤ 2 1a− ≤ < ABC P AB A B P BC CA P QR ABC∆ 4,AB AC= = AP =
【答案】
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，利用光的反射以及轴对称的性质确定出直线 的方程，再将重心坐标
代入方程即可求解出 的长度.
【详解】建立平面直角坐标如图，作 关于 的对称点 ，作 关于 轴的对称点 ，设
，
因为 ， ，
所以 ，解得 ，
由光的反射原理可知： 四点共线，所以 ，
所以 ，代入重心坐标 即 ，
所以 ，解得 或 (舍).
4
3
RQ
AP
P BC 1P P y 2P
AP a=
: 4 0BCl x y+ − = ( ) ( )1 2, , ,0P m n P a−
4 02 2
0 1
m a n
n
m a
+ + − = − = −
( )1 4,4P a−
1 2, , ,P P R Q 1 2
4
4RQ P P
ak k a
−= = +
( )4: 4RQ
al y x aa
−= ++
4 0 0 0 4 0,3 3
+ + + +
4 4,3 3
4 4 4
3 4 3
a aa
− = + +
4
3a = 0a =
故答案为： .
【点睛】本题考查直线方程在光线反射中的应用，难度较难.直线方程与轴对称以及光线反射
内容交汇时，可通过建立平面直角坐标系，利用坐标法简化问题，从而完成对应计算.
16.半径为 2 球面上有 四点，且 两两垂直，则 ， 与
面积之和的最大值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】
AB，AC，AD 为球的内接长方体的一个角，故 ，计算三个三角形的面积之和，
利用基本不等式求最大值．
【详解】如图所示，将四面体 置于一个长方体模型中，则该长方体外接球的半径为
2．
不妨设 ， ， ，则有 ，即 ．
记 ．
从而有 ，即 ，从而
．
当且仅当 ，即该长方体为正方体时等号成立．从而最大值为 8．
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值问题，考查了学生解决交汇性问题的能力．解答
关键是利用构造法求球的直径．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ，
．
的
4
3
, , ,A B C D , ,AB AC AD ABC∆ ACD∆
ADB∆
2 2 2 16x y z+ + =
A BCD−
AC x= AD y= AB z= 2 2 2
22
x y z+ + = 2 2 2 16x y z+ + =
1 1 1
2 2 2ABC ACD ADBS S S S yz xy zx= + + = + +△ △ △
( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 22 4 0x y z S x y y z z x+ + − = − + − + − ≥ 4 32S ≤
8S ≤
x y z= =
3cos 4A =
( )2 2 24 4a c b ac+ = +
（1）求证： ；
（2）若 ，求 c 的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
(1)根据题目条件 易知使用 的余弦定理,化简即可求得 .再
根据 可算得 后再证明到
(2)由(1)可算得 角的正余弦函数值,故可以利用正弦定理与 求得 ,再求得
的角度关系利用关于 的余弦定理求 .
【详解】（1）依题意, ,则 ,
,
因为 ,故 ．
（2）依题意, , ,
,
因为 ,即 ,可得 ,
又 ,所以 , ；
由 ,得 ．
【点睛】本题主要考查二倍角公式,正余弦定理的综合运用.
重点是根据题目条件分析边角关系,再选用正弦或者余弦定理进行列式化简求解.
2B A=
12ab =
5 2
2
( )2 2 24 4a c b ac+ = + cos B cos B
3cos 4A = cos2A 2B A=
,A B 12ab = ,a b C
cosC c
2 2 2
4
aca c b+ − = 2 2 2 1 cos2 8
a c b Bac
+ − = =
2
2 3 1cos2 2cos 1 2 1 cos4 8A A B = − = × − = =
( ),2 0,B A π∈ 2B A=
2 7sin 1 cos 4A A= − = 2 3 7sin 1 cos 8B B= − =
5 7sin sin( ) sin cos cos sin 16C A B A B A B= + = + =
sin sin
a b
A B
= 7 3 7
4 8
a b=
3 2a b=
12ab = 2 2a = 3 2b =
sin sin
a c
A C
=
5 72 2sin 5 216
sin 27
4
a Cc A
×
= = =
18.已知首项为 3 的数列 的前 n 项和为 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求证： 成等差数列．
【答案】(1) ；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)根据 可求得数列 的递推公式,再根据递推公式 判定
用累加法求得数列 的通项公式即可.
(2) 要 证 明 成 等 差 数 列 则 证 , 分 别 算 出
再求解即可.
【 详 解 】（ 1 ） 因 为 , 故 , ,
, ,…, , , 把 上 面 个
等式叠加,得到 ,故 ,
而 ,故 ．
（2）由（1）可得 , ,
故 ,
,所以 ,
故 成等差数列．
【点睛】本题主要考查累加法的运用以及等差数列的证明.本题也可以利用等差数列性质证明
.
19.如图，长方体 ABCD–A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BE⊥EC1.
{ }na nS 1
2log 13
n n
n
a a+ − =
{ }na
1,3, n n nSS S+− −
3n
na =
1
2log 13
n n
n
a a+ − = { }na 1 2 3n
n na a+ − = ⋅
{ }na
1,3, n n nSS S+− − 1( ) ( 3)n n n nS S S S+ − − = − −
1,n n nS SS + −
1
2log 13
n n
n
a a+ − = 1 2 3n
n na a+ − = ⋅ 1
1 2 3 ( 2)n
n na a n−
−− = ⋅ ≥
2
1 2 2 3n
n na a −
− −− = ⋅ 3
2 3 2 3n
n na a −
− −− = ⋅ 2
3 2 2 3− = ⋅a a 1
2 1 2 3a a− = ⋅ 1n −
( )2 1
1 2 3 3 3 3 3n n
na a −− = ⋅ + +⋅⋅⋅+ = − 3 ( 2)n
na n= ≥
1 3a = 3n
na =
1
1 1 3n
n n nS S a +
+ +− = = ( ) 13 1 3 3 3
1 3 2
n n
nS
+− −= =−
1 13 3 3 3( 3) 32 2
n n
nS
+ +− +− − = + =
( ) 1 1
1
1 1
3 3 3 33 2 2
n n
n
n n n n nS S S a S
+ +
+
+ +
− +− − = − = − = ( )1( 3)n n n nS S S S+− − = − −
1,3, n n nSS S+− −
1( ) ( 32 )n n nS SS += − + −
（1）证明：BE⊥平面 EB1C1；
（2）若 AE=A1E，AB=3，求四棱锥 的体积．
【答案】（1）见详解；（2）18
【解析】
【分析】
（1）先由长方体得， 平面 ，得到 ，再由 ，根据线面垂
直的判定定理，即可证明结论成立；
（2）先设长方体侧棱长为 ，根据题中条件求出 ；再取 中点 ，连结 ，证明
平面 ，根据四棱锥的体积公式，即可求出结果.
【详解】（1）因为在长方体 中， 平面 ；
平面 ，所以 ，
又 ， ，且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）设长方体侧棱长为 ，则 ，
由（1）可得 ；所以 ，即 ，
又 ，所以 ，即 ，解得 ；
取 中点 ，连结 ，因为 ，则 ；
所以 平面 ，
1 1E BB C C−
1 1B C ⊥ 1 1AA B B 1 1B C BE⊥ 1BE EC⊥
2a 3a = 1BB F EF
EF ⊥ 1 1BB C C
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1B C ⊥ 1 1AA B B
BE ⊂ 1 1AA B B 1 1B C BE⊥
1BE EC⊥ 1 1 1 1B C EC C∩ = 1EC ⊂ 1 1EB C 1 1B C ⊂ 1 1EB C
BE⊥ 1 1EB C
2a 1AE A E a= =
1EB BE⊥ 2 2 2
1 1EB BE BB+ = 2 2
12BE BB=
3AB = 2 2 2
12 2AE AB BB+ = 2 22 18 4a a+ = 3a =
1BB F EF 1AE A E= EF AB∥
EF ⊥ 1 1BB C C
所以四棱锥 的体积为
.
【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，依据四棱锥的体积，熟记线面垂直的判定定理，以
及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.
20.已知过点 A(0，1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x－2)2＋(y－3)2＝1 交于 M，N 两点．
(1)求 k 的取值范围；
(2)若 ＝12，其中 O 为坐标原点，求|MN|.
【答案】（1） ；（2）2．
【解析】
试题分析：（1）由题意可得，直线 l 的斜率存在，用点斜式求得直线 l 的方程，根据圆心到
直线的距离等于半径求得 k 的值，可得满足条件的 k 的范围．
（2）由题意可得，经过点 M、N、A 的直线方程为 y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行
求解
试题解析：（1）由题意可得，直线 l 的斜率存在，
设过点 A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．
由已知可得圆 C 的圆心 C 的坐标（2，3），半径 R=1．
故由 ，解得： ．
故当 ，过点 A（0，1）的直线与圆 C： 相交于 M，
N 两点．
1 1E BB C C−
1 1 1 1 1
1 1 1 3 6 3 183 3 3E BB C C BB C CV S EF BC BB EF− = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = × × × =矩形
OM ON⋅
4 7 4 7( , )3 3
− +
2
2 3 1 1
1
k
k
− + =
+ 1 2
4 7 4 7,3 3k k
− += =
4 7 4 7
3 3k
− +< < ( ) ( )2 22 3 1x y− + − =
（2）设 M ；N ，
由题意可得，经过点 M、N、A 的直线方程为 y=kx+1，代入圆 C 的方程 ，
可得 ，
∴ ，
∴ ，
由 ，解得 k=1，
故直线 l 的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心 C 在直线 l 上，MN 长即为圆的直径．所以|MN|=2
考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算
21.设函数
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个极值点 和 ，记过点 的直线的斜率为 ，
问：是否存在 ，使得 ？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）答案见解析：（2）不存在
【解析】
【详解】（1） 定义域为 ，
，
令 ，
①当 时， ， ，故 在 上单调递增，
②当 时， ， 的两根都小于零，在 上， ，
故 在 上单调递增，
( )1 1,x y ( )2 2,x y
( ) ( )2 22 3 1x y− + − =
( ) ( )2 21 4 1 7 0k x k x+ − + + =
( )
1 2 1 22 2
4 1 7,1 1
kx x x xk k
++ = =+ +
( )( ) ( ) 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2 2
12 4 11 1 1 1
k ky y kx kx k x x k x x k
+ += + + = + + + = +
2
1 2 1 2 2
12 4 8· 121
k kOM ON x x y y k
+ += + = =+
1( ) ln ( )f x x a x a Rx
= − − ∈
( )f x
( )f x 1x 2x 1 1 2 2( , ( )), ( , ( ))A x f x B x f x k
a 2k a= − a
( )f x ( )0, ∞+
( ) 2
2 2
1 1' 1 a x axf x x x x
− += + − =
( ) 2 21, 4g x x ax a= − + ∆ = −
2 2a− ≤ ≤ 0∆ ≤ ( )' 0f x ≥ ( )f x ( )0, ∞+
2a < − > 0∆ ( ) 0g x = ( )0, ∞+ ( )' 0f x >
( )f x ( )0, ∞+
③当 时， ， 的两根为 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ；
故 分别在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由（1）知， ，
因为 .
所以 ,
又由（1）知， ，于是 ，
若存在 ，使得 ，则 ，即 ，
亦即 （ ）
再由（1）知，函数 在 上单调递增，
而 ，所以 ，这与（ ）式矛盾，
故不存在 ，使得 .
22.设 均为正数，且 求：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
【分析】
(1)根据基本不等式变形： 可得到三组不等式，再根据条件 ，
2a > > 0∆ ( ) 0g x = 2 2
1 2
4 4,2 2
a a a ax x
− − + −= =
10 x x< < ( )' 0f x > 1 2x x x< < ( )' 0f x < 2x x> ( )' 0f x >
( )f x ( ) ( )1 20, , ,x x +∞ ( )1 2,x x
2a >
( ) ( ) ( ) ( )1 2
1 2 1 2 1 2
1 2
ln lnx xf x f x x x a x xx x
−− = − + − −
( ) ( )1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
ln ln11f x f x x xk ax x x x x x
− −= = + ⋅− −
1 2 1=x x 1 2
1 2
ln ln2 x xk a x x
−= − −
a 2k a= − 1 2
1 2
ln ln 1x x
x x
− =− 1 2 1 2ln lnx x x x− = −
2 2 2
2
1 2ln 0( 1)x x xx
− − = > *
( ) 1 2lnh t t tt
= − − ( )0, ∞+
2 1>x 2 2
2
1 2ln 1 1 2ln1 0x xx
− − > − − = *
a 2k a= −
, ,m n p 1.m n p+ + =
1
3mn np pm+ + ≤
2 2 2
1m n p
n p m
+ + ≥
2 2
2
a b ab
+ ≥ 1m n p+ + =
即可证明问题；
(2)构造基本不等式形式： 可得到三组不等式，再根据条件
，即可证明问题.
【详解】（1）由
得
由已知得
即
取等号时 ,
（2）因为
所以
取等号时 ,
即
【点睛】本题考查利用基本不等式完成证明，难度一般.利用基本不等式完成证明时，要学会
利用条件构造基本不等式形式去证明，同时要注意对于取到等号的条件进行说明.
2 2 2
, ,m n pn p mn p m
+ + +
1m n p+ + =
2 2 2 2 2 22 , 2 , 2 ,m n mn n p np p m pm+ ≥ + ≥ + ≥
2 2 2 .m n p mn np pm+ + ≥ + +
2( ) 1,m n p+ + =
2 2 2 2 2 2 1 3 3 3m n p mn np pm mn np pm+ + + + + = ≥ + +
1
3m n p= = =
1
3mn np pm∴ + + ≤
2 2 2
2 , 2 , 2 .m n pn m p n m pn p m
+ ≥ + ≥ + ≥
2 2 2
( ) 2( ),m n p m n p m n pn p m
+ + + + + ≥ + +
1
3m n p= = =
2 2 2
1m n p
n p m
+ + ≥
微信/支付宝扫码支付