上海市松江区2020届高三数学12月一模试卷（附解析Word版）

上海市松江区 2020 届高三一模数学试卷 一.填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 1.已知集合 ， ，则 _____ 【答案】 【解析】 【分析】 求解不等式化简集合 A，再由交集的运算性质得答案． 【详解】由集合 A 得 ,所以 故答案为 【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题． 2.若角 的终边过点 ，则 的值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可得 x＝4，y＝﹣3，r＝5，再由任意角的三角函数的定义可得 ，由诱导公 式化简，代入即可求解． 【详解】解：∵角 α 的终边过点 P（4，﹣3），则 x＝4，y＝﹣3，r＝5， ， ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题． 3.设 ，则 ______. 【答案】1. 【解析】 分析：首先求得复数 z，然后求解其模即可. 详解：由复数的运算法则有： { }| 1 0A x x= − ≥ { }0 1 2B = ，， A B∩ = { }1 2， x 1≥ { }A B 1,2∩ = { }1,2 (4, 3)P − 3sin( )2 π α+ 4 5 − 4cos 5 α = 4cos 5 α = 3 4sin( ) cos2 5 π α α+ = − = − 1 21 iz ii −= ++ | |z = ， 则： . 点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计 算求解能力. 4. 的展开式中 项的系数为_______． 【答案】40 【解析】 【分析】 根据二项定理展开式，求得 r 的值，进而求得系数． 【详解】根据二项定理展开式的通项式得 所以 ，解得 所以系数 【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题． 5.已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，若椭圆上的点 满足 ， 则 ________ 【答案】 【解析】 【分析】 根据椭圆定义，得到 ，再由题中条件，即可得出结果. 【详解】由题意，在椭圆 中， ， 又 ，所以 ，因此 . 故答案为： ( )( ) ( )( ) 1 11 22 2 21 1 1 2 i ii iz i i i ii i i − −− −= + = + = + =+ + − 1z i= = 5 2 2x x  +   4x ( )52 10 3 5 5 2 2 r rr r r rC x C xx − −  =   10 3 4r− = 2r = 2 2 5 2 40C × = 2 2 19 4 x y+ = 1F 2F P 1 2| | 2 | |PF PF= 1| |PF = 4 1 2 2 6PF PF a+ = = 2 2 19 4 x y+ = 1 2 2 6PF PF a+ = = 1 22PF PF= 1 3 62 =PF 1 4PF = 4 【点睛】本题主要考查椭圆上的点到焦点的距离，熟记椭圆的定义即可，属于基础题型. 6.若关于 、 的二元一次方程组 无解，则实数 ________ 【答案】 【解析】 【分析】 根据方程组无解，得到直线 与直线 平行，根据两直线平行的充要 条件，即可求出结果. 【详解】因为关于 、 的二元一次方程组 无解， 所以直线 与直线 平行， 所以 ，解得： . 故答案为： 【点睛】本题主要考查由方程组无解求参数，熟记直线与直线平行的判定条件，灵活运用转 化与化归的思想即可，属于常考题型. 7.已知向量 ， ，若向量 ∥ ，则实数 ________ 【答案】 【解析】 【分析】 先 由 题 意 ， 得 到 ， 根 据 向 量 共 线 的 坐 标 表 示 ， 得 到 ，求解，即可得出结果. 【详解】因为向量 ， ，所以 ， 又 ∥ ，所以 ，即 ， 解得： . x y 4 2mx y m x my m + = +  + = m = 2− 4 2+ = +mx y m + =x my m x y 4 2mx y m x my m + = +  + = 4 2+ = +mx y m + =x my m 2 4 0 2 4 m m m m  − = + ≠ 2m = − 2− (1,2)a = ( , 3)b m= − ( 2 )a b−  b m = 3 2 − 2 (1 2 ,8)− = −a b m  ( )1 2 ( 3) 8 0− × − − =m m (1,2)a = ( , 3)b m= − 2 (1 2 ,8)− = −a b m  ( 2 )a b−  b ( )1 2 ( 3) 8 0− × − − =m m 2 3 0m + = 3 2m = − 故答案为： 【点睛】本题主要考查由向量共线求参数，熟记向量共线 坐标表示即可，属于常考题型. 8.已知函数 存在反函数 ，若函数 的图像经过点 ，则 函数 的图像必经过点________ 【答案】 【解析】 【分析】 先由题意，得到 ，推出函数 的图像过点 ，其反函数过点 ，求 出 ，得到 ，进而可求出结果. 【详解】因为函数 的图像经过点 ， 所以 ，因此 ，即函数 的图像过点 又 存在反函数 ，所以 的图像过点 ， 即 ，所以 ， 即函数 的图像必经过点 . 故答案为： 【点睛】本题主要考查反函数的应用，熟记反函数的性质即可，属于常考题型. 9.在无穷等比数列 中，若 ，则 的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】 先设等比数列 的公比为 ，根据题意，得到 且 ， ，分别讨论 ，和 ，即可得出结果. 的 3 2 − ( )y f x= 1( )y f x−= ( ) 2xy f x= + (1,6) 1 2( ) logy f x x−= + (4,3) 6 (1) 2= +f ( )y f x= (1,4) (4,1) 1(4) 1− =f 1 2(4) log 4 1 2 3− + = + =f ( ) 2xy f x= + (1,6) 6 (1) 2= +f (1) 4f = ( )y f x= (1,4) ( )y f x= 1( )y f x−= 1( )y f x−= (4,1) 1(4) 1− =f 1 2(4) log 4 1 2 3− + = + =f 1 2( ) logy f x x−= + ( )4,3 ( )4,3 { }na 1 2 1lim( ) 3nn a a a→∞ + +⋅⋅⋅+ = 1a 1 1 2(0, ) ( , )3 3 3 { }na q 1q < 0q ≠ 1 1 1 3 =− a q 1 0q− < < 0 1q< abc a b c= + + 2 2 1a b+ = c 2 2− 1 2 ≤ab 11 2 − ≤ −ab 2 2 1a b+ = ( )2 1 2 + −= a bab abc a b c= + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 33 += = + − + − + a bc a b a b a b = +t a b (0, 2= + ∈ t a b 3= −y t t , 0a b > 2 2 1a b+ = 2 2 1 2a b ab+ = ≥ 1 2 ≤ab a b= 取等号；因此 ， 又 ，所以 ，即 ， 由 得 ，所以 ， 令 ，因为 ，当且仅当 时取等号. 所以 ， 又易知函数 在 上单调递增， 因此 ， 因此 . 即实数 的最小值为 . 故答案为： 【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型. 12.记边长为 1 的正六边形的六个顶点分别为 、 、 、 、 、 ，集合 ，在 中任取两个元素 、 ，则 的概 率为________ 【答案】 【解析】 【分析】 先以 的中点为坐标原点 ，以 所在直线为 轴，以 的垂直平分线为 轴，建 立平面直角坐标系，得到各顶点坐标，列举出集合 中所有元素，以及满足条件的组合，根 1 11 12 2 − ≤ − = −ab 2 2 1a b+ = 2 2 2 1 2+ + = +a b ab ab ( )2 1 2 + −= a bab abc a b c= + + 1 += − a bc ab ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 33 += = + − + − + a bc a b a b a b = +t a b ( )2 2 2 2 2( ) 2 2 2+ = + = + + ≤ + =a b a b a b ab a b a b= (0, 2= + ∈ t a b 3= −y t t (0, 2t ∈  3 3 22 22 = − ≤ − = −y t t ( ) ( ) 2 2 2 2 23 3 2 2 = = ≥ = − + − − −+ c a b ta b t c 2 2− 2 2− 1A 2A 3A 4A 5A 6A { | ( , 1,2,3,4,5,6, )}i jM a a A A i j i j= = = ≠   M m n 0m n⋅ =  8 51 41A A O 41A A x 41A A y M 据古典概型的概率计算公式，即可求出结果. 【详解】以 的中点为坐标原点 ，以 所在直线为 轴，以 的垂直平分线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为正六边形的边长为 ， 所以易得： 、 、 、 、 、 ， 因此 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 共 个向量. 因此 中含有 个不同的元素. 41A A O 41A A x 41A A y 1 ( )1 1,0A − 2 1 3,2 2  −    A 3 1 3,2 2       A ( )4 1,0A 5 1 3,2 2  −    A 6 1 3,2 2  − −    A 1 2 5 4 1 3,2 2  = =     A A A A  1 3 6 4 3 3,2 2  = =     A A A A  ( )1 4 2,0=A A ( )4 1 2,0= −A A 1 5 2 4 3 3,2 2  = = −    A A A A  1 6 3 4 1 3,2 2  = = −    A A A A  2 1 4 5 1 3,2 2  = = − −    A A A A  ( )2 3 6 5 1,0= =A A A A  ( )2 5 1, 3= −A A ( )5 2 1, 3= −A A ( )2 6 3 5 0, 3= = −A A A A  3 1 4 6 3 3,2 2  = = − −    A A A A  ( )3 2 5 6 1,0= = −A A A A  ( )3 6 1, 3= − −A A ( )6 3 1, 3=A A 4 2 5 1 3 3,2 2  = = −    A A A A  4 3 6 1 1 3,2 2  = = −    A A A A  ( )5 3 6 2 0, 3= =A A A A  18 { | ( , 1,2,3,4,5,6, )}i jM a a A A i j i j= = = ≠   18 又在 中任取两个元素 、 ，满足 的有： 与 或 ； 与 或 ； 与 或 ； 与 或 ； 与 或 ； 与 或 ； 与 或 ； 与 或 ； 与 或 ； 与 或 ； 与 或 ； 与 或 ；共 种选法，又由 、 的任意性， 因此满足 的情况共有： 种； 又在 中任取两个元素 、 ，共有 种情况； 因此，满足 的概率为： . 故答案为： 【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型. 二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13.已知 是平面 的一条斜线，直线  ，则（ ） A. 存在唯一的一条直线 ，使得 B. 存在无限多条直线 ，使得 C. 存在唯一的一条直线 ，使得 ∥ D. 存在无限多条直线 ，使得 ∥ 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，作出图形，结合直线与直线，直线与平面位置关系，即可得出结果. 【详解】因为 是平面 的一条斜线，直线  ，画出图形如下： M m n 0m n⋅ =  1 3,2 2       3 3,2 2  −    3 3,2 2  −    1 3,2 2  − −    3 3,2 2  −    3 3,2 2  −    1 3,2 2  −    3 3,2 2       3 3,2 2  − −    1 3,2 2  −    3 3,2 2       3 3,2 2  − −    ( )2,0 ( )0, 3− ( )0, 3 ( )2,0− ( )0, 3− ( )0, 3 ( )1,0 ( )0, 3− ( )0, 3 ( )1,0− ( )0, 3− ( )0, 3 ( )1, 3 3 3,2 2  −    3 3,2 2  −    ( )1, 3− − 3 3,2 2  −    3 3,2 2  −    ( )1, 3− 3 3,2 2       3 3,2 2  − −    ( )1, 3− 3 3,2 2       3 3,2 2  − −    24 m n 0m n⋅ =  2 224 48=A M m n 2 2 18 2C A 0m n⋅ =  2 2 18 2 48 8 51 = =P C A 8 51 l α m α m l m⊥ m l m⊥ m l m m l m l α m α 显然在平面内必存在直线 与直线 垂直， 且平面内有无数条直线与直线 平行， 故存在无限多条直线 ，使得 . 故选：B 【点睛】本题主要考查直线与直线位置关系的判定，熟记线面，线线位置关系即可，属于常 考题型. 14.设 ，则“ ”是“ 、 中至少有一个数大于 1”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果. 【详解】若 ，则 、 中至少有一个数大于 1，即“ ”是“ 、 中至少 有一个数大于 1”的充分条件， 反之，若“ 、 中至少有一个数大于 1”，则 不一定大于 ，如： ； 因此，“ ”是“ 、 中至少有一个数大于 1”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查命题的充分不必要条件，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于 常考题型. 15.若存在 ，使 对任意的 恒成立，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 m l m m l m⊥ ,x y∈R 2x y+ > x y 2x y+ > x y 2x y+ > x y x y x y+ 2 2, 1x y= = − 2x y+ > x y ,b c R∈ 2 + + ≤x bx c M [ ]0,4x∈ M 1 M 2 M 4 M 8 【答案】B 【解析】 【分析】 先令 ，由题意，得到 ，推出 ， 三式相加得 ，根据绝对值不等式的性质定理，得到 ，再由题中存在 ，使结论成立，可得：只 需 ，进而可得出结果. 【详解】因为 对任意的 恒成立，令 ， 则只需 ，即 ，所以 ， 所以以上三式相加可得： ， 由绝对值不等式的性质定理可得： ， 因此只需 即 . 故选：B 【点睛】本题主要考查求最值的问题，熟记绝对值不等式的性质，以及不等式的性质即可， 2( )f x x bx c= + + (0) (4) ( )2 f M f M bf M   ≤ ≤   − ≤  2 16 4 2 22 c M b c M b c M   ≤ + + ≤   − ≤ 2 22 16 4 4− + + + + ≤b c b c c M 2 2 2 16 4 16 42 2 − + + + + ≥ + +b bc b c c b ,b c R∈ 2 min 4 4 12 6≥ + +bM b 2 + + ≤x bx c M [ ]0,4x∈ 2( )f x x bx c= + + (0) (4) ( )2 f M f M bf M   ≤ ≤   − ≤  2 16 4 4 c M b c M bc M   ≤ + + ≤   − ≤ 2 16 4 2 22 c M b c M b c M   ≤ + + ≤   − ≤ 2 22 16 4 4− + + + + ≤b c b c c M 2 2 2 2 16 4 2 162 2 24 4 16− + + + + ≥ − + + + + = + +b b bc b c c c b c c b ( )2 2 2 minmin min 14 4 16 4 12 822 6 4 8    ≥ + + = + + = + + ≥      b bM b b b 2M ≥ 属于常考题型. 16.已知集合 ，集合 ，定义 为 中元素的最小值，当 取遍 的所有非空子集时，对应的 的和记为 ，则 （ ） A. 45 B. 1012 C. 2036 D. 9217 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意先确定 可能取的值为 ，再得到对应的个数，根据错位相 减法，即可求出结果. 【详解】因为集合 ，集合 ， 为 中元素的最小值，当 取 遍 的所有非空子集，由题意可得： 可能取的值为 ， 则共有 个 ； 个 ； 个 ； 个 ；……， 个 ； 因此 ， 所以 ， 两式作差得 ， 所以 . 故选：C 【点睛】本题主要考查含 个元素的集合的子集的应用，以及数列的求和，熟记错位相减法求 和，会求集合的子集个数即可，属于常考题型. 三.解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17.如图，圆锥的底面半径 ，高 ，点 是底面直径 所对弧的中点，点 是母线 的中点. {1,2,3, ,10}M = ⋅⋅⋅ A M⊆ ( )M A A A M ( )M A 10S 10S = ( )M A 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 {1,2,3, ,10}M = ⋅⋅⋅ A M⊆ ( )M A A A M ( )M A 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 92 1 82 2 72 3 62 4 02 10 9 8 7 6 0 10 2 2 2 3 2 4 2 10 2= + × + × + × +⋅⋅⋅+ ×S 10 9 8 7 1 102 2 2 2 3 2 4 2 10 2= + × + × + × +⋅⋅⋅+ ×S 10 10 9 8 7 6 1 10 2(1 2 )2 2 2 2 2 2 10 101 2 −− = − − − − − −⋅⋅⋅− + = − +−S 112 12 2036= − + = − 10 2036=S n 2OA = 6PO = C AB D PA （1）求圆锥的侧面积和体积； （2）求异面直线 与 所成角的大小.（结果用反三角函数表示） 【答案】（1）侧面积 ，体积 ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）根据圆锥的侧面积公式，以及体积公式，结合题中数据，即可得出结果； （2）先由题意，得到 ， ， 两两垂直，以 为坐标原点，以 ， ， 所 在直线为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，分别求出 ， ，根据向量夹角公式，即可求出结果. 【详解】（1）因为圆锥的底面半径 ，高 ， 所以其母线长 ， 因此圆锥的侧面积为 ； 体积为： ； （2）由题意，易得： ， ， 两两垂直，以 为坐标原点，以 ， ， 所 在直线为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， 又点 是母线 的中点，所以 ， 因此 ， ， 记异面直线 与 所成角的大小为 ， 为 CD AB 4 10π 8π 14arccos 14 OC OB OP O OC OB OP x y z ( )2, 1,3= − −CD ( )0,4,0AB = 2OA = 6PO = 2 2 2 10= + =PA PO OA 1 2 4 102 π π= ⋅ ⋅ ⋅ =S PA OA 21 83 π π= ⋅ ⋅ ⋅ =V OA PO OC OB OP O OC OB OP x y z (2,0,0)C (0, 2,0)A − (0,2,0)B (0,0,6)P D PA (0, 1,3)−D ( )2, 1,3= − −CD ( )0,4,0AB = CD AB θ 所以 ， 因此，异面直线 与 所成角的大小为 . 【点睛】本题主要考查求圆锥的侧面积与体积，以及异面直线所成的角，熟记圆锥的侧面积 公式与体积公式，以及空间向量的方法求异面直线所成的角即可，属于常考题型. 18.已知函数 . （1）求 的最大值； （2）在△ 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ， 、 、 成等差数列，且 ，求边 的长. 【答案】（1）最大值为 1；（2） . 【解析】 【分析】 （1）先将函数解析式化简整理，得到 ，根据正弦函数的性质，即 可得出最大值； （2）先由题意得到 ，求出 ；由 、 、 成等差数列，得: ； 由 得 ，再由余弦定理，即可得出结果. 【详解】（1） 4 14cos cos , 1414 4 θ ⋅ −= < > = = = ×       CD AB CD AB CD AB CD AB 14arccos 14 2( ) 2 3sin cos 2sinf x x x x= − ( )f x ABC A B C a b c ( ) 0f A = b a c 2AB AC⋅ =  a 2a = ( ) 2sin 2 16f x x π = + −   1sin 2 6 2A π + =   3A π= b a c 2a b c= + 2AB AC⋅ =  4bc = ， 由 可得 ，因此 ， 所以 ； （2）由 得 ，即 ， 又 ，所以 ，因此 ，所以 ； 由 、 、 成等差数列，可得: ； 又 ，所以 ，即 ， 由余弦定理可得： ， 解得： . 【点睛】本题主要考查求正弦型函数的最大值，以及解三角形，熟记正弦函数的性质，以及 余弦定理即可，属于常考题型. 19.汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍 物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等 于危险距离时就自动刹车，某种算法（如下图所示）将报警时间划分为 4 段，分别为准备时 间 、人的反应时间 、系统反应时间 、制动时间 ，相应的距离分别为 、 、 、 ，当车速为 （米/秒），且 时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数 随 地面湿滑成都等路面情况而变化， ）. 阶段 0、准备 1、人的反应 2、系统反应 3、制动 2( ) 2 3sin cos 2sin 3sin2 (1 cos2 ) 3sin2 cos2 1= − = − − = + −f x x x x x x x x 2sin 2 16x π = + −   x∈R 2 6 π+ ∈x R 1 sin 2 16x π − ≤ + ≤   max( ) 2 1 1= − =f x ( ) 0f A = 2sin 2 1 06 π + − =  A 1sin 2 6 2A π + =   0 A π< < 1326 6 6 π π π< +