十一月份半期考试
数学（理科）
第（Ⅰ）卷（选择题，共 60 分）
一．选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题只有一个正确选项.
1.已知 为虚数单位，复数 ，则 （ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算化简 ，由此求得 的模.
【详解】因为 ，所以 .
故选：A.
【点睛】本小题主要考查复数的除法运算和复数的模的求法，属于基础题.
2.已知集合 ， ，则 =（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
解一元二次不等式求得集合 ,解绝对值不等式求得集合 ，由此求得两个集合的交集.
【详解】因为 ， ，所以 =
故选：C
【点睛】本小题主要考查两个集合的交集，考查一元二次不等式的解法，考查绝对值不等式
的解法，属于基础题.
3.双曲线 的渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【
i 2
1
iz i
= + | |z =
2 5 2 2
z z
2 11
iz ii
= = ++
2 2| | 1 1 2z = + =
{ | ( 1)( 2) 0}A x x x= + − < { || 1| 2}B x x= + < A B ( 3,1)− ( 3,2)− ( 1,1)− ( 1,2)− A B { | 1 2}A x x= − < < { | 3 1}B x x= − < < A B ( 1,1)− 2 2 2 2 1 ( 0, 0)x y a ba b − = > > 2y x= ±
5
5
2 5
5
5
2 5
【解析】
【分析】
根据渐近线方程得到 ，由此求得双曲线离心率.
【详解】由题可知 ，所以
故选：D
【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.
4.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 .从中随机取一件．其长度
误差落在区间 内的概率为（ ）
（附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正态分布的对称性，求得长度误差落在区间 内的概率.
【 详 解 】 设 长 度 误 差 为 随 机 变 量 ， 由 得 ，
， 所 以
故选：B
【点睛】本小题主要考查正态分布的对称性，属于基础题.
5.已知 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，且 ，则
b
a
2b
a
= 2 2 2
2
2 2 1+( ) 5c c a b be a a a a
+= = = = =
2(1,2 )N
(3,5)
ξ 2( , )N µ σ ( ) 68.26%P µ σ ξ µ σ− < < + = ( 2 2 ) 95.44%)P µ σ ξ µ σ− < < + = 4.56% 13.59% 27.18% 31.74% (3,5) ξ 2~ (1, 2 )Nξ ( 1 3) 68.26%P ξ− < < = ( 3 5) 95.44%P ξ− < < = ( 3 5) ( 1 3) 95.44% 68.26%(3 5) 13.59%2 2 P PP ξ ξξ − < < − − < < −< < = = = ,m n , ,α β γ / / , / /m nα α //m n ,α γ β γ⊥ ⊥ / /α β / / , / /m nα α ,m nβ β⊂ ⊂ / /α β
D. 若 ，且 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据空间中直线和平面的位置关系分别去判断各个选项， 均可举出反例； 可证明得
出.
【详解】若 ， ，则 或 与 异面或 与 相交，故选项 错误；
若 ， ，则 与 可能相交，故选项 错误；
若直线 不相交，则平面 不一定平行，故选项 错误；
， 或 ，又 ，故选项 正确.
本题正确选项：
【点睛】本题考查空间中直线、平面之间位置关系有关命题的判断，考查学生的空间想象能
力和对定理的掌握程度.
6. 内角 所对的边分别是 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分
也不必要条件
【答案】B
【解析】
，所以 或 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，故选择 B.
7. 的展开式的常数项是（ ）
A. B. C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
求得 展开式中含 的项、常数项，由此求得 的展开式的常数项.
,m nα β⊥ ⊥ α β⊥ m n⊥
, ,A B C D
/ /m α / /n α //m n m n m n A
α γ⊥ β γ⊥ α β B
,m n ,α β C
α β⊥ m α⊥ / /m β∴ m β⊂ n β⊥ m n∴ ⊥ D
D
ABC∆ , ,A B C , ,a b c cos cosa A b B= A B=
cos cos sin cos sin cos sin 2 sin 2a A b B A A B B A B= ⇔ = ⇔ = A B=
2A B
π+ =
cos cosa A b B= A B=
2 4
2
1( 2)( 1)x x
+ −
4− 2−
4
2
1 1x
−
2x− 2 4
2
1( 2)( 1)x x
+ −
【详解】 的通项为 ，r=3 得 ，r=4 得
，
所以 展开式的常数项是 .
故选：B
【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查乘法分配律，属于基础题.
8.要得到函数 的图象，可将函数 的图象（ ）
A. 向左平移 个单位 B. 向左平移 个单位
C. 向右平移 个单位 D. 向右平移 个单位
【答案】D
【解析】
【分析】
先将 转化为 ，由此根据三角函数图像变换的知识判断出正确选项.
【 详 解 】 ， ， 因 为
，所以需要将 的图象向右平移 个单位.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.
9.对于任意 ，函数 满足 ，且当 时，函数 ，若
， ， ，则 大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 判断出函数的对称轴，结合函数的单调性判断出 的大小关系.
【详解】因为 满足 ，所以 的图象关于 x=1 对称.因为 时，函数
4
2
1( 1)x
− 2 8
1 4 ( 1)r r r
rT C x −
+ = ⋅ − ⋅ 3 3 2 2
3 1 4 ( 1) 4T C x x− −
+ = ⋅ − ⋅ = −
4 4 0
4 1 4 ( 1) 1T C x+ = ⋅ − ⋅ =
2 4
2
1( 2)( 1)x x
+ − 2 2( 4 ) 2 1 2x x −⋅ − + × = −
( ) sin(2 )4f x x
π= + ( ) cos2g x x=
4
π
8
π
4
π
8
π
cos2x sin[2( )]4x
π+
( ) cos2 sin(2 ) sin[2( )]2 4g x x x x
π π= = + = + ( ) sin[2( )]8f x x
π= +
( ) ( )8 4 8x x
π π π+ = + − ( )g x
8
π
x∈R ( )f x (2 ) ( )f x f x− = 1x ( )f x lnx=
3
2(2 )a f
−= 2
1(log )4b f= ( )c f e= , ,a b c
c b a> > c a b> > b c a> > b a c> >
(2 ) ( )f x f x− = , ,a b c
( )f x (2 ) ( )f x f x− = ( )f x 1x
，所以 在 单调递增，由对称性可得 在 单调递减，所以离 x=1
越远的点，纵坐标越大.
，因为 ，所以 .
故选：C
【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性和对称性比较大小，考查指数运算和对数运算，
属于基础题.
10.曲线 在 上存在单增区间，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数 在区间 上存在增区间，得到其导函数 在区间 上有解，
由此分离常数 ，利用导数与单调性、最值，求得 的取值范围.
【详解】因为曲线 在 上存在单增区间，所以 在 上
有解，所以 在 上有解，所以 .令 ，则 ，所以
在 单调递减，在 单调递增，所以 ，所以 .
故选：A
【点睛】本小题主要考查根据函数在给定区间上存在增区间，求参数的取值范围，属于基础
题.
11.空间四面体 ABCD 中，AB=CD=3，AC=BD=4，AD=BC= ，则四面体 ABCD 的外接球的表面积
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
( )f x lnx= ( )f x (1, )+∞ ( )f x ( ,1)−∞
2
3
2
3
2
1 2 1,log 242 42
− = = =− 2 1 1 2 14 e− < − < − − b c a> >
2( ) 2
xkf x x e= − (0,2) k
( , )e +∞ [ ),e +∞ 2
( , )2
e +∞
2
[ , )2
e +∞
( )f x ( )0,2 ( )' 0f x > ( )0,2
k k
2( ) 2
xkf x x e= − (0,2) '( ) 0xf x kx e− >= (0,2)
x
k e
x
> (0,2)
min
x
k e
x
>
( )
xeg x x
= 2
('( ) 1)x
g e x
xx
−=
( )g x (0,1) (1,2) min( ) (1)g x g e= = k e>
11
12π 14π 16π 18π
根据四面体 的三组对棱两两相等，将四面体放入长方体中，通过计算长方体体对角线，
求得四面体外接球的半径，进而求得外接球的表面积.
【详解】因为空间四面体 ABCD 中， AB=CD，AC=BD，AD=BC，于是可以将该四面体放入长方体
中，设长方体的长、宽、高分别为 x、y、z，则有： ，于是 ，由
于该四面体的外接球和长方体外接球为同一球，所以外接球的直径等于长方体的体对角线，
所以 ,所以球的表面积 .
故选：D
【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的求法，考查空间想象能力，属于基础题.
12.设函数 ，对任意的 ，存在 ，使
成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将 转 化 为 ， 根 据 “ 对 任 意 的 ， 存 在
”使上述不等式成立列不等式组，利用导数解不等式组，由此求得 的取值范围.
【详解】由 可得 ，因为对任意的 ，存在
，都有 ，所以 .当 时，
ABCD
2 2
2 2
2 2
16
9
11
x y
x z
y z
+ =
+ =
+ =
2 2 2 18x y z+ + =
2 2 22 3 2R x y z= + + = 24 18S Rπ π= =
2 2( ) ln , ( )f x x x x g x x ax
= − = + + 1
1[ ,2]4x ∈ 2 [2,4]x ∈
1 2( ) ( ) 1f x g x− < a ( 3, 4ln2)− − 9( , 4ln 2)2 − − 9 7 1( , ln 2)2 4 8 − − + 7 1( 3, ln 2)4 8 − − + 1 2( ) ( ) 1f x g x− < 2 1 2( ) 1 ( ) ( ) 1g x f x g x− < < + 1 1[ ,2]4x ∈ 2 [2,4]x ∈ a 1 2( ) ( ) 1f x g x− < 2 1 2( ) 1 ( ) ( ) 1g x f x g x− < < + 1 1[ ,2]4x ∈ 2 [2,4]x ∈ 2 1 2( ) 1 ( ) ( ) 1g x f x g x− < < + ( ) ( ) ( ) ( ) max max min min 1 1 f x f x f x f x < + > −
[2,4]x∈
. ， ， 在 单调
递减， ，所以 在 单调递减，由于 ，
所以 在 单调递增， 单调递减， ，
因为 ， ，
于是 ，所以
故选：B
【点睛】本小题主要考查含有“任意、存在”的不等式成立问题的求解，考查利用导数求最
值，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
第（Ⅱ）卷（选择题，共 60 分）
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡上．
13.已知 与 垂直，则 与 的夹角为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用 与 垂直，两个向量的数量积为零列方程，根据数量积的运算进行化简，求得 与
的夹角的余弦值，进而求得 与 的夹角.
【 详 解 】 由 题 可 得 ， 所 以
，所以 与 的夹角为 .
故答案为：
【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的向量表示，考查向量数量积运算，考查向量夹角的
计算，属于基础题.
14.已知 ，则 =_________.
min max
9( ) 3 , ( ) 2g x a g x a= + = + '( ) 1 lnf x x x x= − − ''( ) 2ln 3f x x= − − ''( )f x 1[ ,2]4
1 1''( ) ''( ) 2 ln 3 4 ln 2 3 04 4f x f≤ = − − = − < '( )f x 1[ ,2]4 '(1) 0f = ( )f x 1[ ,1)4 (1,2] max( ) (1) 1f x f= = 1 1 1( ) ln 2, (2) 2 4 ln 24 4 8f f= + = − 1 33 7 33ln 2 14( ) (2) ln 2 04 8 4 8f f −− = − = >
min( ) 2 4ln 2f x = −
91 12
2 4ln 2 3 1
a
a
< + + − > + −
9( , 4 ln 2)2a ∈ − −
2, 1,= = − a b a b b a b
3
π
a b− b a b
a b
2 2( ) | || | cos , | | 2cos , 1 0a b b a b b a b a b b a b− ⋅ = ⋅ − = < > − = < > − =
1cos , 2a b< >= a b 3
π
3
π
1cos( ) , (0, )4 3 4
π πα α+ = ∈ cos2α
【答案】
【解析】
【分析】
根据同角三角函数 基本关系式求得 的值，利用诱导公式和二倍角公式，将
转化为 ，由此求得 的值.
【 详 解 】 因 为 ， 所 以 ， 所 以
= .
故答案为：
【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查诱导公式和二倍角公式，属于基
础题.
15.已知函数 ，若 ，且 ，
则 的取值范围为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
作出 图像，根据“ ，且 ”，利用二次函数对称
轴，对数函数图像与性质，将 转化为 ，结合 求得 的取值
范围.
【详解】作出 f(x)的图像，由此可得 ， ，所以
，所以 ，即 ，所以
所以 ，因为 ，所以 范围为
.
故答案为：
的
4 2
9
πsin 4
α + cos2α
2sin( )cos( )4 4
π πα α+ + cos2α
1cos( ) , (0, )4 3 4
π πα α+ = 2 2sin( )4 3
πα + =
cos 2 cos[2( ) ] sin 2( )4 2 4
π π πα α α= + − = + 2 2 1 4 22 sin( ) cos( ) 24 4 3 3 9
π πα α+ + = × × =
4 2
9
2 2 1,( 0)( ) ln ,( 0)
x x xf x x x
+ += >
a b c d< < < ( ) ( ) ( ) ( )f a f b f c f d= = = ab cd+ [1,2) ( )f x a b c d< < < ( ) ( ) ( ) ( )f a f b f c f d= = = ab cd+ 2( 1) 2b− + + 1 0b− < ≤ ab cd+ 2 1 0, 2a b a b− ≤ < − < ≤ + = − 1 1c d ee ≤ < < ≤ ( ) | ln | ln , ( ) | ln | lnf c c c f d d d= = − = = ln lnc d− = ln + ln = ln 0c d c d = 1cd = 2 2( 2) 1 2 1 ( 1) 2ab cd b b b b b+ = − − ⋅ + = − − + = − + + 1 0b− < ≤ ab cd+ [1,2) [1,2)
【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数、对数函数的图像与性质，
考查二次函数求最值的方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
16.已知抛物线 焦点为 ，过点 的直线 与抛物线交于 ， 两点， 为坐标原
点，若 ， ，过点 M，N 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点 C，
D，则 的最小值为_________.
【答案】6
【解析】
【分析】
设出直线 的方程，联立直线 的方程和抛物线方程，消去 ，写出韦达定理.利用向量的坐标
运算化简 ， ，从而求得 的表达式，进而用基本不等式求得 的
最小值.
【详解】设直线 的方程为： ， ， ， ， ，
的2 6y x= F F l A B O
1
4OM OB= 1= 4OA ON
CD
l l x
1
4OM OB= 1= 4OA ON CD CD
l 3
2x ty= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )3 3,M x y ( )4 4,N x y
由 ，因为 ， ，
所以 ， ，即 ， ，令 ，
则 ，故
的最小值为 （当且仅当 时取等号）.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查最值的求法，
考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
三．解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.第 17 题～第 21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答.第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17.已知等比数列 的前 项和为 ， ，且 是 和 的等差中项．
（1）求数列 的通项公式；
（2）当 时，令 ，求数列 的前 项和．
【答案】(1) 或 (2)
【解析】
【分析】
（1）根据等差中项的性质列方程，并转化为 的形式，由此解方程求得 的值.结合等比
数列前 项和公式，求得 的值.由此求得数列 的通项公式.
（2）利用分组求和法求得数列 的前 项和.
【详解】（1）由 是 和 的等差中项，得 2 = + ，即 a1q7 = 8a1q +
7a1q4，
所以 q6－7q3－8 = 0，即 ，解得公比 或 ．
2
2
1 2
6
6 9 0 93
2
y x
y ty y y
x ty
= ⇒ − − = ⇒ = − = +
1
4OM OB= 1= 4OA ON
( ) ( )3 3 2 2
1, ,4x y x y= ( ) ( )1 1 4 4
1, ,4x y x y= 3 2
1
4y y= 4 14y y= 1 0y >
3 4 2 1 2 1 2 1 1 2
1 1 14 4 2 4 2 64 4 4CD y y y y y y y y y y= + = + = − + ≥ − ⋅ = − = CD
6 1 2
3 , 124y y= = −
6
{ }na n nS 7 127S = 8a 216a 514a
{ }na
2 0a > 2
2logn n nb a a= + { }nb n
1127 ( 1)n
na −= ⋅ − 12n
na -=
4 1 ( 1)
3 2
n
n
n nT
− −= +
1,a q q
n 1a { }na
{ }nb n
8a 216a 514a 8a 216a 514a
3 3( 8)( 1) 0q q− + = 2q = 1q = −
当 时，由 ，所以 ；
当 时，由 ，所以
（2）当 时，知 ， ，
所以数列 的前 项和为
【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列前 项和公式以及通项公式，考查分
组求和法，考查运算求解能力，属于基础题.
18.由中央电视台综合频道 和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视
公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予
中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会
问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了 、 两
个地区的 100 名观众，得到如下的 列联表，已知在被调查的 100 名观众中随机抽取 1 名，
该观众是 地区当中“非常满意”的观众的概率为 0.4．
非常满意 满意 合计
35 10
合计
（1）现从 100 名观众中用分层抽样的方法抽取 20 名进行问卷调查，则应抽取“非常满意”
的 、 地区的人数各是多少．
（2）完成上述表格，并根据表格判断是否有 的把握认为观众的满意程度与所在地区有关
系．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
2q =
7
1
7 1
(1 ) 127 11
a qS aq
−= = ⇒ =−
12n
na -=
1q = −
7
1
7 1
(1 ) 127 1271
a qS aq
−= = ⇒ =−
1127 ( 1)n
na −= ⋅ −
2 0a > -12n
na = 2 1
2log 4 1n
n n nb a a n−= + = + −
{ }nb n (1 4 ) ( 1) 4 1 ( 1)
1 4 2 3 2
n n
n
n n n nT
− − − −= + = +−
n
( 1)CCTV
A B
2 2×
B
A
B x y
A B
95%
2
0( )P K k>
0k
附：参考公式： .
（3）若以抽样调查的频率为概率，从 、 两个地区随机抽取 2 人，设抽到的观众“非常满
意”的人数为 ，求 的分布列和期望．
【答案】(1) 地 7 人、 地 8 人；(2)表格见解析，没有 的把握认为观众的满意程度与
所在地区有关系．(3)分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）“在被调查的 100 名观众中随机抽取 1 名，该观众是 地区当中“非常满意”的观众的
概率为 0.4”，求得 的值，再根据分层抽样的知识求得应抽取“非常满意”的 、 地区的
人数.
（2）利用公式计算出 的值，由此判断出没有 的把握认为观众的满意程度与所在地区
有关系．
（3）根据二项分布的分布列计算公式，计算出 的分布列，并求得数学期望.
【详解】（1）由题意，得： ，解得 ，故 .
地抽取 人， 地抽取 人．
（2）完成表格如下：
非常满意 满意 合计
35 10 45
40 15 55
合计 75 25 100
，
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d b d a c
−= + + + +
A B
X X
A B 95%
3(X) 2E =
B
x A B
2K 95%
X
0.4100
x = 40x = 15y =
A∴ 2035 7100
× = B 2040 8100
× =
A
B
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d b d a c
−= + + + +
2100(35 15 40 10) 100 3.84175 25 55 45 297
× − ×= = = = =
⋅⋅
A PB C− − 10
5
−
l x
2 2
1 : 14 2
x yC + = ,A B P l
1PA PB⋅ = −
P 2C
1l 1C ,D E 2C M O DE OM⋅
2
2 12
x y+ = [2 2,3]
（1）设出 两点的坐标，根据对称性得到 点坐标，利用平面向量数量积的坐标运算化简
，求得 两点坐标的关系，将 点坐标代入椭圆方程，化简求得点 的轨迹
方程.
（2）当直线 斜率不存在时，根据椭圆的几何性质求得 .当直线 的斜率
存在时，设出直线 的方程 ，代入 方程，利用判别式为零列出 关系.将
代入 方程，化简后写出韦达定理，计算出 的表达式，并利用换元法
和二次函数的性质，求得 的取值范围.
【详解】（1）设 ，则由题知 ， ，
, ，
由 在椭圆 上，得 ，所以 ，
故点 的轨迹 的方程为 ；
（2）当直线 的斜率不存在时， 为 的左（或右）顶点，也是 的左（或右）焦点，所
以 ；
当直线 的斜率存在时，设其方程为 ,
， ，
，所以 ，
，
,P A B
1PA PB⋅ = − ,P A A P
1l 2 2DE OM⋅ = 1l
1l y kx m= + 2C ,k m
y kx m= + 1C DE OM⋅
DE OM⋅
1 1( , ), ( , )P x y A x y 1 1( , )B x y− 1x x=
1 1(0, ), (0, )PA y y PB y y= − = − − 2 2
1 1 1( )( ) 1 1PA PB y y y y y y⋅ = − − − = − ⇒ = +
1 1( , )A x y
2 2
1 : 14 2
x yC + =
2 2
1 1 14 2
x y+ =
2 2 1 14 2
x y ++ =
P 2C
2
2 12
x y+ =
1l M 2C 1C
2 2 2 2 22DE OM
×⋅ = × =
1l 1 1 2 2 0 0, ( , ), ( , ), ( , )y kx m D x y E x y M x y= +
2 2 22
2 (2 1) 4 2 2 0
12
y kx m
k x kmx mx y
= + ⇒ + + + − = + =
2 20 2 1k m∆ = ⇒ + =
0 02
2 2 1
2 1
km kx yk m m
− −= = ⇒ =+
2 1( , )kM m m
−
1 2 2
2 2 22 2
2
1 2 2 2
4 4
2 1(2 1) 4 2 4 0
2 4 41 24 2 2 1
km ky kx m x x k mk x kmx mx y mx x k m
− −= + + = = +⇒ + + + − = ⇒ −+ = = = − +
2 2
2 2 2
1 2 1 2 1 22 2
2 2 2 2
2 2
1 4 1 41 1 ( ) 4
1 1 4 1 1 42 2 2 2 2 1
k kDE OM k x x k x x x xm m
k k k k
m k
+ +⋅ = + − ⋅ = + + −
+ + + += = +
令 ，
， ，
所以，当 时，即 时， 取最大值 ，当 时，即 时，
取最小值 ；综上： 的取值范围为 .
【点睛】本小题主要考查代入法求轨迹方程，考查直线和椭圆的位置关系，包括相交和相切，
考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
21.已知函数 (其中 , 是自然对数的底数) .
(1)若对任意 ,都有 ,求 的取值范围;
(2)设 ( )的最小值为 ,当 时,证明:
.
【答案】(1) . (2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先求得 的导函数 ，对 分成 三种情况分类讨论，结合
，求得 的取值范围.
（2）利用 的导数求得 的最小值 .利用函数 的导函数，求得 的最
大值为零，由此证得 .利用差比较法、分析法，即证 ，即
证 .用常用不等式 证得上式成立.从而证得不等式
成立.
【详解】(1) 的定义域为 , ,
(i)若 时,当 时, , 在 上递增,且 时,
22 1 1k t+ = ≥
2 2
2
2
(2 1)( 1)1 1 4 1 12 2 2 2 ( ) 22 1
t tk kDE OM k t t t
− ++ +⋅ = = = − + ++
1 (0,1]t
∈
1 1
2t
= 2 1
2k = DE OM⋅ 3 1 1t
= 0k = DE OM⋅
2 2 DE OM⋅ [2 2,3]
( ) e ( 1)xf x a x= + + a∈R e
x∈R ( ) 0f x ≥ a
3 3( ) ln ( 1)g x x x m x= + - m∈R ( )mϕ 0m < 11 1 331 e e ( ) 03 mm mϕ+ − − − ≤ ≤ [ 1,0]− ( )f x ( )'f x a 0, 0, 0a a a> = < ( ) 0f x ≥ a ( )g x ( )g x ( )mϕ ( )mϕ ( )mϕ ( ) 0mϕ ≤ ( ) 11 3 131 03 mmm e ej + - -æ öç ÷- - ³ç ÷è ø 1ln( 3 ) 1 3m m- ³ - - 11 ln 1x xx- £ £ - 11 1 331 e e ( ) 03 mm mϕ+ − − − ≤ ≤ ( )f x ( , )−∞ +∞ ( ) xf x e a′ = + 0a > x∈R ( ) 0f x′ > ( )f x ( , )−∞ +∞ x → −∞
,所以 不恒成立,故 不符合条件;
(ii)若 时, ,所以 符合条件;
(iii)若 时,令 ,得 ,当 时, , 在
上递减;当 时, , 在 上递增,
所以 ,即 ,得 ,
综上, 的取值范围是 .
(2) 的定义域为 , ,得 ,
于是
当 时, , 递减;当 时, , 递增,
所以 ,
,得 ,当 时, , 递增;当
时, , 递减,所以 ,
,等价于 ,等价于 ,
由(1)知 时,得 ,在 时,得 ,用 替代 ,得 ,用
替代 ,得 (当且仅当 时取等号), 取 ，显然
成立
综上知, .
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数证明不等式，考
查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析法、差比较法整部
不等式，综合性很强，属于难题.
（二）选考题：共 10 分.请考生任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.在平面直角坐标系 中，曲线 参数方程为 为参数)，将曲线 上所有
( )f x → −∞ ( ) 0f x ≥ 0a >
0a = ( ) 0xf x e= > 0a =
0a < ( ) 0f x′ = ( )lnx a= − ( ,ln( ))x a∈ −∞ − ( ) 0f x′ < ( )f x ( ,ln( ))a−∞ − (ln( ), )x a∈ − +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x (ln( ), )a− +∞
ln( )
min( ) (ln( )) [ln( ) 1] [ln( ) 1] 0af x f a e a a a a a-= - = + - + =- + - + ³ ln( ) 0a- £ 1a ≥ −
a [ 1,0]−
( )g x (0, )+∞ ( ) 2 2 23 ln 3g x x x x mx¢ = + + 2 (3ln 1 3 ) 0x x m= + + = 1
3m
x e- -
=
1
30, m
x e- -æ öç ÷Î ç ÷è ø
( ) 0g x′ < ( )g x 1 3 ,m x e - -æ öç ÷Î +¥ç ÷è ø ( ) 0g x′ > ( )g x
1
3( ) m
m g ej - -æ öç ÷= =ç ÷è ø
3 1 3 1 3 13 1 1( 1)3 3
m m mm e m e m e- - - - - -+= - + - = - -
3 1( ) 1 0mm ej - -¢ = - = 1
3m = − 1, 3m æ öç ÷Î - ¥ -ç ÷è ø
( ) 0mj ¢ > ( )mϕ 1 ,03m ∈ −
( ) 0mj ¢ < ( )mϕ max 1( ) 03mj j æ öç ÷= - =ç ÷è ø ( ) 11 3 131 3 mmm e ej + - -æ öç ÷- -ç ÷è ø 11 31 03 mm e + =- - ³ 11 33 mm e + - ³ 1ln( 3 ) 1 3m m- ³ - - 1a = − 1xe x≥ + 1x > − ln( 1)x x+ £ 1x − x ln 1x x≤ −
1
x
x 11 ln 1x xx- £ £ - 1x = 3x m=- 1ln( 3 ) 1 3m m- ³ - -
11 3 131 ( ) 03
mme e mj+ - -æ öç ÷- £ £ç ÷è ø
xOy 1C 6cos (4sin
x
y
θ θθ
=
= 1C
点的横坐标变为原来的 ，纵坐标变为原来的 ，得到曲线 .
（1）求曲线 的普通方程；
（2）过点 且倾斜角为 的直线 与曲线 交于 两点，求 取得最小值时 的
值.
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【分析】
（1）利用 消去参数 ，求得曲线 的直角坐标方程.根据坐标变换的知识
求得 的普通方程.
（2）设出直线 的参数方程，代入 的方程并写出根与系数关系，求得弦长 的表达式，
并利用三角函数最值的求法求得 取得最小值时 的值.
【详解】（1）将曲线 参数方程 为参数)的参数消去，得到直角坐标方程为
，设 上任意一点为 ，经过伸缩变换后的坐标为 ，由题意得：
，故 ；
（2）过点 倾斜角为 的直线 的参数方程为： 为参数)，带入 的
方程 得： ，
记 对于的参数分别为 ， ，
，
故当 时， .
1
3
1
2 2C
2C
( )1,1P α l 2C ,A B AB α
2 2 4x y+ = 3
4
πα =
2 2sin cos 1θ θ+ = θ 1C
2C
l 2C AB
AB α
1C 6cos (4sin
x
y
θ θθ
=
=
2 2
136 16
x y+ = 1C 0 0( , )x y ( , )x y′ ′
0
0
0
0
1
33
21
2
x x x x
y yy y
= = ⇒ = =
′ ′
′′
2 2 4x y+ =
( )1,1P α l
1 cos (1 sin
x t
y t
α αα
= +
= + 2C
2 2 4x y+ = 2 2(cos sin ) 2 0t tα α+ + − =
,A B 1 2,t t
( )1 2
1 2
2 cos sin
2
t t
t t
α α + = − +
= −
2
1 2 4(cos sin ) 8 2 3 sin2AB t t α α α= − = + + = +
3
4
πα =
min 2 2AB =
【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查坐标变换，考查直线参数方程的运用，
考查三角函数求最值的方法，属于基础题.
23.已知函数 .
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）将所求不等式 转化为 ，利用零点分段法求得不等式的解
集.
（2）将“存在 ，使得 ”转化为 ，利用绝对值不
等式求得 的最大值，进而求得 的取值范围.
【详解】（1）由题知 ，当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；当 时， ，不等式无解；
综上，不等式的解集为 .
（2）由题知，存在 ， 成立，即 ，
，所以 ， .
【点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查含有绝对值的不等式存在性问题，
属于中档题.
2( ) | 2 |, ( ) 3| | 1f x x g x x m= − = + +
0m = ( )+ ( ) 5f x g x ≤
a R∈ ( ) 3 ( )g a f a≤ m
1{ | 1}2x x− ≤ ≤ [ 5, 5]m∈ −
( )+ ( ) 5f x g x ≤ 2 +3 4x x− ≤
a R∈ ( ) 3 ( )g a f a≤ 2
max
1 ( 2 )3
m a a
+ ≤ − −
2a a− − m
2 +3 4x x− ≤ 0x ≤ 2 3 4x x− − ≤ 1 02 x− ≤ ≤
0 2x< < 2 +3 4x x− ≤ 0 1x< ≤ 2x ≥ 2+3 4x x− ≤ 1{ | 1}2x x− ≤ ≤ a R∈ 2 12 3 ma a +− ≥ + 2 max 1 ( 2 )3 m a a + ≤ − − 2 ( 2) 2a a a a− − ≤ − − = 2 1 23 m + ≤ [ 5, 5]m∈ −
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