石室中学十一月份半期考试数学(文科)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题只有一个正确选项.
1.已知 为虚数单位,复数 ,则 ( )
A. B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算化简 ,由此求得 的模.
【详解】因为 ,所以 .
故选:A.
【点睛】本小题主要考查复数的除法运算和复数的模的求法,属于基础题.
2.已知集合 , ,则 =( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求得集合 ,解绝对值不等式求得集合 ,由此求得两个集合的交集.
【详解】因为 , ,所以 =
故选:C
【点睛】本小题主要考查两个集合的交集,考查一元二次不等式的解法,考查绝对值不等式
的解法,属于基础题.
3.双曲线 的渐近线方程为 ,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
i 2
1
iz i
= + | |z =
2 5 2 2
z z
2 11
iz ii
= = ++
2 2| | 1 1 2z = + =
{ | ( 1)( 2) 0}A x x x= + − < { || 1| 2}B x x= + < A B ( 3,1)− ( 3,2)− ( 1,1)− ( 1,2)− A B { | 1 2}A x x= − < < { | 3 1}B x x= − < < A B ( 1,1)− 2 2 2 2 1 ( 0, 0)x y a ba b − = > > 2y x= ±
5
5
2 5
5
5
2 5
根据渐近线方程得到 ,由此求得双曲线离心率.
【详解】由题可知 ,所以
故选:D
【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质,考查双曲线离心率的求法,属于基础题.
4.曲线 在点 处的切线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求函数的导函数得: ,再求 ,再利用点斜式求直线方程即可
得解.
【详解】解:因为 ,所以 ,则 ,
所以曲线 在点 处的切线的斜率为 1,
即切线方程为 ,
所以切线方程为 .
故选:A.
【点睛】本题考查了利用导数求曲线在某点处的斜率,属基础题.
5.已知 是两条不同的直线, 是三个不同的平面,则下列命题正确的是( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,且 ,则
D. 若 ,且 ,则
b
a
2b
a
= 2 2 2
2
2 2 1+( ) 5c c a b be a a a a
+= = = = =
siny x x= ( , )2 2
π π
0x y− = 0x y π+ − = 2 4 0x y π− + =
2 4 3 0x y π+ − =
' sin cosy x x x= +
2
' | 1
x
y π=
=
siny x x= ' sin cosy x x x= +
2
' | 1
x
y π=
=
siny x x= ( , )2 2
π π
2 2y x
π π− = −
0x y− =
,m n , ,α β γ
/ / , / /m nα α //m n
,α γ β γ⊥ ⊥ / /α β
/ / , / /m nα α ,m nβ β⊂ ⊂ / /α β
,m nα β⊥ ⊥ α β⊥ m n⊥
【答案】D
【解析】
【分析】
根据空间中直线和平面的位置关系分别去判断各个选项, 均可举出反例; 可证明得
出.
【详解】若 , ,则 或 与 异面或 与 相交,故选项 错误;
若 , ,则 与 可能相交,故选项 错误;
若直线 不相交,则平面 不一定平行,故选项 错误;
, 或 ,又 ,故选项 正确.
本题正确选项:
【点睛】本题考查空间中直线、平面之间位置关系有关命题的判断,考查学生的空间想象能
力和对定理的掌握程度.
6. 内角 所对的边分别是 ,则“ ”是“ ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分
也不必要条件
【答案】B
【解析】
,所以 或 ,
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件,故选择 B.
7.若变量 x、y 满足约束条件 ,则 的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先作出变量 x、y 对应的不等式表示的平面区域,再利用目标函数 z 的几何意义为区域内的点
到坐标原点距离的平方,然后观察图像即可得解.
, ,A B C D
/ /m α / /n α //m n m n m n A
α γ⊥ β γ⊥ α β B
,m n ,α β C
α β⊥ m α⊥ / /m β∴ m β⊂ n β⊥ m n∴ ⊥ D
D
ABC∆ , ,A B C , ,a b c cos cosa A b B= A B=
cos cos sin cos sin cos sin 2 sin 2a A b B A A B B A B= ⇔ = ⇔ = A B=
2A B
π+ =
cos cosa A b B= A B=
2 4 0
2 2 0
1 0
x y
x y
y
− + ≥
+ − ≤
− ≥
2 2z x y= +
4
5 1 2 5
5
5
4
【详解】解:变量 x、y 满足约束条件 ,则不等式组表示的平面区域如图所示,
目标函数 z 的几何意义为区域内的点到坐标原点距离的平方,
由图可得:以 O 为圆心作圆,当圆与直线 y=1 相切时,切点到原点的距离最小,最小距离为
1,所以 z 的最小值为 ,
故选:B.
【点睛】本题考查了简单的线性规划问题,重点考查了数形结合的数学思想方法,属基础题.
8.要得到函数 的图象,可将函数 的图象( )
A. 向左平移 个单位 B. 向左平移 个单位
C. 向右平移 个单位 D. 向右平移 个单位
【答案】D
【解析】
【分析】
先将 转化为 ,由此根据三角函数图像变换的知识判断出正确选项.
【 详 解 】 , , 因 为
,所以需要将 的图象向右平移 个单位.
故选:D
【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式,考查三角函数图像变换,属于基础题.
9.对于任意 ,函数 满足 ,且当 时,函数 ,若
2 4 0
2 2 0
1 0
x y
x y
y
− + ≥
+ − ≤
− ≥
21 =1
( ) sin(2 )4f x x
π= + ( ) cos2g x x=
4
π
8
π
4
π
8
π
cos2x sin[2( )]4x
π+
( ) cos2 sin(2 ) sin[2( )]2 4g x x x x
π π= = + = + ( ) sin[2( )]8f x x
π= +
( ) ( )8 4 8x x
π π π+ = + − ( )g x
8
π
x∈R ( )f x (2 ) ( )f x f x− = 1x ( )f x lnx=
, , ,则 大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 判断出函数的对称轴,结合函数的单调性判断出 的大小关系.
【详解】因为 满足 ,所以 的图象关于 x=1 对称.因为 时,函数
,所以 在 单调递增,由对称性可得 在 单调递减,所以离 x=1
越远的点,纵坐标越大.
,因为 ,所以 .
故选:C
【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性和对称性比较大小,考查指数运算和对数运算,
属于基础题.
10.曲线 在 上存在单增区间,则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数 在区间 上存在增区间,得到其导函数 在区间 上有解,
由此分离常数 ,利用导数与单调性、最值,求得 的取值范围.
【详解】因为曲线 在 上存在单增区间,所以 在 上
有解,所以 在 上有解,所以 .令 ,则 ,所以
在 单调递减,在 单调递增,所以 ,所以 .
故选:A
3
2(2 )a f
−= 2
1(log )4b f= ( )c f e= , ,a b c
c b a> > c a b> > b c a> > b a c> >
(2 ) ( )f x f x− = , ,a b c
( )f x (2 ) ( )f x f x− = ( )f x 1x
( )f x lnx= ( )f x (1, )+∞ ( )f x ( ,1)−∞
2
3
2
3
2
1 2 1,log 242 42
− = = =− 2 1 1 2 14 e− < − < − − b c a> >
2( ) 2
xkf x x e= − (0,2) k
( , )e +∞ [ ),e +∞ 2
( , )2
e +∞
2
[ , )2
e +∞
( )f x ( )0,2 ( )' 0f x > ( )0,2
k k
2( ) 2
xkf x x e= − (0,2) '( ) 0xf x kx e− >= (0,2)
x
k e
x
> (0,2)
min
x
k e
x
>
( )
xeg x x
= 2
('( ) 1)x
g e x
xx
−=
( )g x (0,1) (1,2) min( ) (1)g x g e= = k e>
【点睛】本小题主要考查根据函数在给定区间上存在增区间,求参数的取值范围,属于基础
题.
11.空间四面体 ABCD 中,AB=CD=3,AC=BD=4,AD=BC= ,则四面体 ABCD 的外接球的表面积
为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
根据四面体 的三组对棱两两相等,将四面体放入长方体中,通过计算长方体体对角线,
求得四面体外接球的半径,进而求得外接球的表面积.
【详解】因为空间四面体 ABCD 中, AB=CD,AC=BD,AD=BC,于是可以将该四面体放入长方体
中,设长方体的长、宽、高分别为 x、y、z,则有: ,于是 ,由
于该四面体的外接球和长方体外接球为同一球,所以外接球的直径等于长方体的体对角线,
所以 ,所以球的表面积 .
故选:D
【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的求法,考查空间想象能力,属于基础题.
12.设函数 ,对任意的 ,存在 ,使
成立,则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【
11
12π 14π 16π 18π
ABCD
2 2
2 2
2 2
16
9
11
x y
x z
y z
+ =
+ =
+ =
2 2 2 18x y z+ + =
2 2 22 3 2R x y z= + + = 24 18S Rπ π= =
2 2( ) ln , ( )f x x x x g x x ax
= − = + + 1
1[ ,2]4x ∈ 2 [2,4]x ∈
1 2( ) ( ) 1f x g x− < a 7( 4ln 2, )2 − − +∞ 9( , )2 − +∞ 21 1( ln 2, )4 8 − + +∞ ( 3, )− +∞
【解析】
【分析】
对任意的 ,存在 ,都有 ,等价于 ,再
利用导数求函数的最值即可得解.
【 详 解 】 解 : 因 为 对 任 意 的 , 存 在 , 都 有 , 即
,所以 .当 时,函数 在 为增函数,则
, 又 因 为 , 设 ,
,
所以 ,又 在 单调递减,则
,所以 在 单调递减,由于 ,所以
在 单调递增, 单调递减, ,于是 ,所以
,
故选:B.
【点睛】本题考查了不等式恒成立及有解问题,重点考查了利用导数求函数的最值,属中档
题.
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡上.
13.已知 与 垂直,则 与 的夹角为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
由 与 垂直,则 ,再将已知条件代入运算即可.
【详解】解:由 又 与 垂直,
则 ,所以 ,
又 ,所以 与 的夹角为 ,
1
1[ ,2]4x ∈ 2 [2,4]x ∈ 1 2( ) ( ) 1f x g x− < max max( ) ( ) 1f x g x< + 1 1[ ,2]4x ∈ 2 [2,4]x ∈ 1 2( ) ( ) 1f x g x− < 1 2( ) ( ) 1f x g x< + max max( ) ( ) 1f x g x< + [2,4]x∈ ( )g x [2,4] max 2 9( ) 4 4 2g x a a= + + = + ' ( ) 1 2 lnf x x x x= − − ( ) 1 2 lnh x x x x= − − 1[ ,2]4x∈ ' ( ) 2ln 3h x x= − − ' ( )h x 1[ ,2]4 ' ' 1 1( ) ( ) 2ln 3 4ln 2 3 04 4h x h≤ = − − = − < ' ( )f x 1[ ,2]4 ' (1) 0f = ( )f x 1[ ,1)4 (1,2] max( ) (1) 1f x f= = 91 12 a< + + 9( , )2a ∈ − +∞ 2, 1,= = − a b a b b a b 3 π a b− b ( ) 0a b b− ⋅ = 2, 1,a b= = a b− b 2 2( ) | || | cos , | | 2cos , 1 0a b b a b b a b a b b a b− ⋅ = ⋅ − = < > − = < > − = 1cos , 2a b< >=
[ ], 0,a b π< >∈ a b
3
π
故答案为: .
【点睛】本题考查了向量的数量积的运算及向量的夹角的运算,属基础题.
14.已知 ,则 =_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据同角三角函数的基本关系式求得 的值,利用诱导公式和二倍角公式,将
转化为 ,由此求得 的值.
【 详 解 】 因 为 , 所 以 , 所 以
= .
故答案为:
【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式,考查诱导公式和二倍角公式,属于基
础题.
15.已知函数 ,若 ,且 ,
则 的取值范围为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
作出 图像,根据“ ,且 ”,利用二次函数对称
轴,对数函数图像与性质,将 转化为 ,结合 求得 的取值
范围.
【详解】作出 f(x)的图像,由此可得 , ,所以
,所以 ,即 ,所以
3
π
1cos( ) , (0, )4 3 4
π πα α+ = ∈ cos2α
4 2
9
πsin 4
α + cos2α
2sin( )cos( )4 4
π πα α+ + cos2α
1cos( ) , (0, )4 3 4
π πα α+ = 2 2sin( )4 3
πα + =
cos 2 cos[2( ) ] sin 2( )4 2 4
π π πα α α= + − = + 2 2 1 4 22 sin( ) cos( ) 24 4 3 3 9
π πα α+ + = × × =
4 2
9
2 2 1,( 0)( ) ln ,( 0)
x x xf x x x
+ += >
a b c d< < < ( ) ( ) ( ) ( )f a f b f c f d= = = ab cd+ [1,2) ( )f x a b c d< < < ( ) ( ) ( ) ( )f a f b f c f d= = = ab cd+ 2( 1) 2b− + + 1 0b− < ≤ ab cd+ 2 1 0, 2a b a b− ≤ < − < ≤ + = − 1 1c d ee ≤ < < ≤ ( ) | ln | ln , ( ) | ln | lnf c c c f d d d= = − = = ln lnc d− = ln + ln = ln 0c d c d = 1cd =
所以 ,因为 ,所以 范围为
.
故答案为:
【点睛】本小题主要考查分段函数 图像与性质,考查二次函数、对数函数的图像与性质,
考查二次函数求最值的方法,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.
16.已知抛物线 的焦点为 ,过点 的直线 与抛物线交于 , 两点, 为坐标原
点,若 , ,过点 M,N 分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为点 C,
D,则 的最小值为_________.
【答案】6
【解析】
【分析】
设出直线 的方程,联立直线 的方程和抛物线方程,消去 ,写出韦达定理.利用向量的坐标
运算化简 , ,从而求得 的表达式,进而用基本不等式求得 的
的
2 2( 2) 1 2 1 ( 1) 2ab cd b b b b b+ = − − ⋅ + = − − + = − + + 1 0b− < ≤ ab cd+ [1,2) [1,2) 2 6y x= F F l A B O 1 4OM OB= 1= 4OA ON CD l l x 1 4OM OB= 1= 4OA ON CD CD
最小值.
【详解】设直线 的方程为: , , , , ,
由 ,因为 , ,
所以 , ,即 , ,令 ,
则 ,故
的最小值为 (当且仅当 时取等号).
故答案为:
【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查韦达定理的运用,考查最值的求法,
考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.
三.解答题:共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤.第 17 题~第 21 题为必考
题,每个试题考生都必须作答.第 22 题~第 23 题为选考题,考生根据要求作答.
17.已知等比数列 的前 项和为 , ,且 是 和 的等差中项.
(1)求数列 通项公式;
(2)当 时,令 ,求数列 的前 项和.
【答案】(1) 或 (2)
【解析】
【分析】
(1)根据等差中项的性质列方程,并转化为 的形式,由此解方程求得 的值.结合等比
数列前 项和公式,求得 的值.由此求得数列 的通项公式.
(2)利用分组求和法求得数列 的前 项和.
【详解】(1)由 是 和 的等差中项,得 2 = + ,即 a1q7 = 8a1q +
7a1q4,
的
l 3
2x ty= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )3 3,M x y ( )4 4,N x y
2
2
1 2
6
6 9 0 93
2
y x
y ty y y
x ty
= ⇒ − − = ⇒ = − = +
1
4OM OB= 1= 4OA ON
( ) ( )3 3 2 2
1, ,4x y x y= ( ) ( )1 1 4 4
1, ,4x y x y= 3 2
1
4y y= 4 14y y= 1 0y >
3 4 2 1 2 1 2 1 1 2
1 1 14 4 2 4 2 64 4 4CD y y y y y y y y y y= + = + = − + ≥ − ⋅ = − = CD
6 1 2
3 , 124y y= = −
6
{ }na n nS 7 127S = 8a 216a 514a
{ }na
2 0a > 2
2logn n nb a a= + { }nb n
1127 ( 1)n
na −= ⋅ − 12n
na -=
4 1 ( 1)
3 2
n
n
n nT
− −= +
1,a q q
n 1a { }na
{ }nb n
8a 216a 514a 8a 216a 514a
所以 q6-7q3-8 = 0,即 ,解得公比 或 .
当 时,由 ,所以 ;
当 时,由 ,所以
(2)当 时,知 , ,
所以数列 的前 项和为
【点睛】本小题主要考查等差中项的性质,考查等比数列前 项和公式以及通项公式,考查分
组求和法,考查运算求解能力,属于基础题.
18.由中央电视台综合频道 和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视
公开课.每期节目由一位知名人士讲述自己的故事,分享他们对于生活和生命的感悟,给予
中国青年现实的讨论和心灵的滋养,讨论青年们的人生问题,同时也在讨论青春中国的社会
问题,受到青年观众的喜爱,为了了解观众对节目的喜爱程度,电视台随机调查了 、 两
个地区的 100 名观众,得到如下的 列联表,已知在被调查的 100 名观众中随机抽取 1 名,
该观众是 地区当中“满意”的观众的概率为 0.15.
(1)现从 100 名观众中用分层抽样的方法抽取 20 名进行问卷调查,则应抽取“满意”的 、
地区的人数各是多少;
(2)在(1)的条件下,从抽取到“满意”的人中随机抽取 2 人,设“抽到的观众来自不同
的地区”为事件 ,求事件 的概率;
(3)完成上述表格,并根据表格判断是否有 的把握认为观众的满意程度与所在地区有关
系.
附:参考公式: .
3 3( 8)( 1) 0q q− + = 2q = 1q = −
2q =
7
1
7 1
(1 ) 127 11
a qS aq
−= = ⇒ =−
12n
na -=
1q = −
7
1
7 1
(1 ) 127 1271
a qS aq
−= = ⇒ =−
1127 ( 1)n
na −= ⋅ −
2 0a > -12n
na = 2 1
2log 4 1n
n n nb a a n−= + = + −
{ }nb n (1 4 ) ( 1) 4 1 ( 1)
1 4 2 3 2
n n
n
n n n nT
− − − −= + = +−
n
( 1)CCTV
A B
2 2×
B
A
B
A A
95%
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d b d a c
−= + + + +
【答案】(1)2 人,3 人;(2) ;(3)没有 的把握认为观众的满意程度与所在地区有
关系
【解析】
【分析】
(1)先利用已知条件可得 ,再结合分层抽样,按比例取样即可得解;
(2)由古典概型的概率的求法,分别求出从 地区抽取 2 人包含的基本事件的个数及事件
包含的基本事件的个数,再求解即可;
(3)先利用 ,求出 ,然后得出结论即可.
【详解】解:(1)由题意,得: ,解得 ,
地抽取 人, 地抽取 人.
(2)从 地区抽取到 2 人,记为 ,从 地区抽取到 3 人,记为 ,随机抽取 2 人,
所有的基本事件为 共有
10 种情况,事件 包含的基本事件有 共 6 种情况,
所以 .
(3)完成表格如下:
非常满意 满意 合计
35 10 45
40 15 55
合计 75 25 100
,
故没有 的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系.
3
5 95%
15y =
A A
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d b d a c
−= + + + +
2K
0.15100
y = 15y =
A∴ 2010 2100
× = B 2015 3100
× =
A ,C D B , ,a b c
( , ),( , ),( , ),( ,c),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),C D C a C b C D a D b D c a c a b b c
A ( , ),( , ),( ,c),( , ),( , ),( , ),C a C b C D a D b D c
6 3( ) 10 5P A = =
A
B
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d b d a c
−= + + + +
2100(35 15 40 10) 100 3.84175 25 55 45 297
× − ×= =
( ) 0f x ≤ a
3 3( ) ln ( 1)g x x x m x= - - ( )mϕ 0m > ( ) 0mϕ ≤
【答案】(1)1;(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)先利用导数求解函数 的单调性,再求出函数 的最大值,再求导运算即可;
(2)先利用导数求得 ,再结合(1)已证明的不等式 (当且仅当
时,取等号),即可得证.
【详解】解:(1) 的定义域为 , ,因为 ,解得得 ,
当 时, ,则 递增;当 时, ,则 递减,
所以 ,即 ,
令 ( ),且 , ,得 ,
当 时, ,则 递增;当 ,则 递减,
所以 ,又 ,
因此, ,此时, .
(2)由(1)知, (当且仅当 时,取等号)
又 的定义域为 ,且 ,
令 ,得 ,当 时, , 在 内递减;
当 时, ,则 在 上递增,
于是 , 等价于 等价于 ,
将 视为 ,由(1)知, 显然成立,
故 .
【点睛】本题考查了导数的综合应用,重点考查了不等式恒成立问题,属难度较大的题型.
22.在平面直角坐标系 中,曲线 参数方程为 为参数),将曲线 上所有
( )f x ( )f x
( )mϕ = 3 11
3
mm e -- ln 1x x≤ −
1x =
( )f x (0, )+∞ 1( ) 0f x ax
¢ = - = 0a > 1x a
=
10,x a
∈ ( ) 0f x′ > ( )f x 1 ,x a
∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x max 1 1( ) ln 1f x f a aa a æ ö æ öç ÷ ç ÷= = - - -ç ÷ ç ÷è ø è ø 0≤ ln 1 0a a- + ³ ( ) ln 1h a a a= − + 0a > (1) 0h = 1( ) 1 0h a a
¢ = - = 1a =
(0,1)a∈ ( ) 0′ >h a ( )h a (1, )∈ +∞a ( )h a
max( ) ( ) (1) 0h a h a h£ = = ( ) ln 1 0h a a a= - + ³
( ) 0h a = 1a =
ln 1x x≤ − 1x =
( )g x (0, )+∞ 2 2 2 2( ) 3 ln 3 (3ln 1 3 )g x x x x mx x x m¢ = + - = + -
( ) 0g x′ = 1
3m
x e -
=
1
30, m
x e -æ öç ÷Î ç ÷è ø
( ) 0g x′ < ( )g x 1 30, m e -æ öç ÷ç ÷è ø 1 3 ,m x e -æ öç ÷Î +¥ç ÷è ø ( ) 0g x′ > ( )g x
1
3 ,m
e -æ öç ÷+¥ç ÷è ø
1
3( ) m
m g ej -æ öç ÷= =ç ÷è ø
3 11
3
mm e -- ( ) 0mϕ ≤ 3 13 mm e -£ ln(3 ) 3 1m m£ -
3m x ln(3 ) (3 ) 1m m£ -
( ) 0mϕ ≤
xOy 1C 6cos (4sin
x
y
θ θθ
=
= 1C
点的横坐标变为原来的 ,纵坐标变为原来的 ,得到曲线 .
(1)求曲线 的普通方程;
(2)过点 且倾斜角为 的直线 与曲线 交于 两点,求 取得最小值时 的
值.
【答案】(1) ;(2)
【解析】
【分析】
(1)利用 消去参数 ,求得曲线 的直角坐标方程.根据坐标变换的知识
求得 的普通方程.
(2)设出直线 的参数方程,代入 的方程并写出根与系数关系,求得弦长 的表达式,
并利用三角函数最值的求法求得 取得最小值时 的值.
【详解】(1)将曲线 参数方程 为参数)的参数消去,得到直角坐标方程为
,设 上任意一点为 ,经过伸缩变换后的坐标为 ,由题意得:
,故 ;
(2)过点 倾斜角为 直线 的参数方程为: 为参数),带入 的
方程 得: ,
记 对于的参数分别为 , ,
,
故当 时, .
的
1
3
1
2 2C
2C
( )1,1P α l 2C ,A B AB α
2 2 4x y+ = 3
4
πα =
2 2sin cos 1θ θ+ = θ 1C
2C
l 2C AB
AB α
1C 6cos (4sin
x
y
θ θθ
=
=
2 2
136 16
x y+ = 1C 0 0( , )x y ( , )x y′ ′
0
0
0
0
1
33
21
2
x x x x
y yy y
= = ⇒ = =
′ ′
′′
2 2 4x y+ =
( )1,1P α l
1 cos (1 sin
x t
y t
α αα
= +
= + 2C
2 2 4x y+ = 2 2(cos sin ) 2 0t tα α+ + − =
,A B 1 2,t t
( )1 2
1 2
2 cos sin
2
t t
t t
α α + = − +
= −
2
1 2 4(cos sin ) 8 2 3 sin2AB t t α α α= − = + + = +
3
4
πα =
min 2 2AB =
【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程,考查坐标变换,考查直线参数方程的运用,
考查三角函数求最值的方法,属于基础题.
23.已知函数 .
(1)当 时,解不等式 ;
(2)若存在 ,使得 ,求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)将所求不等式 转化为 ,利用零点分段法求得不等式的解
集.
(2)将“存在 ,使得 ”转化为 ,利用绝对值不
等式求得 的最大值,进而求得 的取值范围.
【详解】(1)由题知 ,当 时, ,解得 ;
当 时, ,解得 ;当 时, ,不等式无解;
综上,不等式的解集为 .
(2)由题知,存在 , 成立,即 ,
,所以 , .
【点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式,考查含有绝对值的不等式存在性问题,
属于中档题.
2( ) | 2 |, ( ) 3| | 1f x x g x x m= − = + +
0m = ( )+ ( ) 5f x g x ≤
a R∈ ( ) 3 ( )g a f a≤ m
1{ | 1}2x x− ≤ ≤ [ 5, 5]m∈ −
( )+ ( ) 5f x g x ≤ 2 +3 4x x− ≤
a R∈ ( ) 3 ( )g a f a≤ 2
max
1 ( 2 )3
m a a
+ ≤ − −
2a a− − m
2 +3 4x x− ≤ 0x ≤ 2 3 4x x− − ≤ 1 02 x− ≤ ≤
0 2x< < 2 +3 4x x− ≤ 0 1x< ≤ 2x ≥ 2+3 4x x− ≤ 1{ | 1}2x x− ≤ ≤ a R∈ 2 12 3 ma a +− ≥ + 2 max 1 ( 2 )3 m a a + ≤ − − 2 ( 2) 2a a a a− − ≤ − − = 2 1 23 m + ≤ [ 5, 5]m∈ −