四川省遂宁市高中2020届三诊考试数学（文科）试题 word版含答案及评分意见

高三数学（文科）三诊试题第 1 页（共 16 页） 遂宁市高中 2020 届三诊考试 数学（文科）试题 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。总分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷（选择题，满分 60 分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。 2．选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区 域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3．考试结束后，将答题卡收回。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1．若集合 ， ，则 A． B． C． D． 2．已知 为实数， 为虚数单位，且 （ 为实数集），则 A． B． C． D． 3. 函数 的大致图象为 4. 某人口大县举行“《只争朝夕，决战决胜脱贫攻坚》扶贫知识政策答题比赛”，分初赛和复赛两个阶段进 { }10 2 axxaxf 4ln6)( 2 += bxxg −= 2)( b 2 1 e 22 1 e 23 1 e 2 3 e高三数学（文科）三诊试题第 4 页（共 16 页） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.） 13. 曲线 在点 处的切线的斜率为 ▲ . 14. 若向量 与向量 共线，则 的值是 ▲ ． 15．已知点 ，过抛物线 的焦点 的直线 交抛物线于 ， 两点，若 ， 则点 的横坐标为 ▲ ． 16．已知 均为正实数，则 的最小值为 ▲ . 三、解答题（本大题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（本小题满分 12 分） 函 数 的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 又 函 数 （1）求函数 的单调减区间； （2）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，又 ，且锐角 满足 ， 若 ，求 的值。 xxxy ln22 −−= )1,1( − ),12( kkm −= )1,4(=n nm ⋅ )2,0(M xy 42 = F AB A B 0=⋅ FMAM B ayx ,, 225 2 43 y x a ax x y + + − ++ ( ) sin( )( 0, 0,0 )f x A x Aω ϕ ω ϕ π= + > > < < ( ) 8g x f x π = +   )(xg ABC△ A B C a b c 3c = C 1)( −=Cg sin 2sinB A= ba +高三数学（文科）三诊试题第 5 页（共 16 页） ▲ 18.（本小题满分 12 分） 某中学举行的“新冠肺炎”防控知识闭卷考试比赛，总分获得一等奖、二等奖、三等奖的代表队人数情 况如下表，该校政教处为使颁奖仪式有序进行，气氛活跃，在颁奖过程中穿插抽奖活动。并用分层抽样的 方法从三个代表队中共抽取 16 人在前排就坐，其中一等奖代表队有 6 人。 名次 性别 一等奖 代表队 二等奖 代表队 三等奖 代表队 男生 30 ？ 20 女生 30 20 30 （1）求二等奖代表队的男生人数； （2）从前排就坐的三等奖代表队员 5 人（2 男 3 女）中随机抽取 人上台领奖，请求出只有一个男生 上台领奖的概率； （3）抽奖活动中，代表队员通过操作按键，使电脑自动产生 内的两个均匀随机数 ， ，随后 电脑自动运行如图所示的程序框图的相应程序。若电脑显示“中奖”，则代表队员获相应奖品；若电脑显示 “谢谢”，则不中奖。求代表队队员获得奖品的概率。 3 [ ]2,2− x y高三数学（文科）三诊试题第 6 页（共 16 页） ▲ 19.（本小题满分 12 分） 如图，在长方体 中，底面 是边长为 的正 方 形 ， 对 角 线 与 相 交 于 点 ， 点 在 线 段 上 且 ， 与底面 所成角为 。 （1）求证： ； （2） 为线段 上一点，且 ，求异面直线 与 所成角的余弦值。 ▲ HKLEABCD − ABCD 3 AC BD O F AH 02 =+ HFAF BE ABCD 3 π BEAC ⊥ M BD 2=BM AM BF高三数学（文科）三诊试题第 7 页（共 16 页） 20.（本小题满分 12 分） 已知函数 （1）当 时， 恒成立，求正实数 的取值范围； （2）当 时，探索函数 在 上的零点个数，并说明理由。 ▲ 21.（本小题满分 12 分） 如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”。过椭圆第四象限内一点 作 轴的垂线交其“辅助圆”于点 ，当点 在点 的下方时，称点 为点 的“下辅助点”。已知椭圆 上的点 的下辅助点为 。 （1）求椭圆 E 的方程； （2）若 的面积等于 ，求下辅助点 的坐标； （3）已知直线 ： 与椭圆 交于不同的 ， 两点，若椭圆 上存在点 ，满足 ，求直线 与坐标轴围成的三角形面积的最小值。 ▲ xaxxf sin)( −= )( Ra ∈ )6,0( π∈x 0)( > )2 2,1( − ( )1,1 − OMN∆ 8 632 − N l 0x my t− − = E A B E P OP OA OB= +   l高三数学（文科）三诊试题第 8 页（共 16 页） 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，将曲线方程 ，先向左平移 个单位，再向上平移 个单位，得到曲线 。 （1）点 为曲线 上任意一点，写出曲线 的参数方程，并求出 的最大值； （2）设直线 l 的参数方程为 ，（ 为参数），又直线 与曲线 的交点为 ， ，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 的中点且与 垂直的直线的极坐标方程。 ▲ 23．（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 已知函数 ， （1）解不等式 ； （2）当 ， 时，若 的值域为 ，求证： 。 ▲ xOy 14 )2( 16 )2( 22 =++− yx 2 2 C ),( yxM C C yx 32 1 −    −= = ty tx 2 2 t l C E F x EF l 32)( −= xxf baxxg ++= 2)( 2( )f x x< 0>a 0>b )()()( xgxfxF += [ )+∞,5 3 2 2 1 2 1 ≥+++ ba高三数学（文科）三诊试题第 9 页（共 16 页） 遂 宁 市 高 中 2020 届 三 诊 考 试 数学（文科）试题参考答案及评分意见 一、选择题（12×5=60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D B A A B C C A D C C 二、填空题（4 5=20 分） 13. 14. 15. 16. 三、解答题：本大题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）由函数 的部分图象可得 , ,即 ,则 ，又函数图像过点 ， 则 ， 即 ，又 ，即 ，（ 每值 1 分） 即 ，则 …………4 分 由 ， ，得 ， ， 所以函数 的单调减区间为 ………6 分（少 扣 1 分） （2）由 ，得 ，因为 ， 所以 ，所以 ， ， × 1− 2 17− 4 1 10 ( ) sin( )( 0, 0,0 )f x A x Aω ϕ ω ϕ π= + > > < < 2A = 5 2 8 8 T π π= − T π= 2 2T πω = = ,28 π     2 28 2k π πϕ π× + = + 2 ,4k k Z πϕ π= + ∈ 0 ϕ π< < 4 πϕ = , ,A ω ϕ ( ) 2sin(2 )4f x x π= + ( ) 2sin[2( ) ] 2cos28 4g x x x π π= + + = πππ +≤≤ kxk 222 Zk ∈ 2 πππ +≤≤ kxk Zk ∈ )(xg Zkkk ∈    + ,2, πππ Zk ∈ 1)( −=Cg 2 12cos −=C 20 π