四川省遂宁市高中2020届三诊考试数学（理科）试题 word版含答案及评分意见

高三数学（理科）三诊试题第 1 页（共 17 页） 遂宁市高中 2020 届三诊考试 数学（理科）试题 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。总分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷（选择题，满分 60 分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。 2．选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区 域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3．考试结束后，将答题卡收回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合 题目要求的。 1．设 ，则“ ”是“ ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若复数 为纯虚数（ 为虚数单位, 为实数），则 的值为 A． B． C． D．1 3．某人口大县举行“《只争朝夕，决战决胜脱贫攻坚》扶贫知识政策答题比赛”，分初赛和复赛两个阶段 进行，规定：初赛成绩大于 90 分的具有复赛资格，某校有 1000 名学生参加了初赛，所有学生的成绩 均在区间（30，150]内，其频率分布直方图如图所示，则获得复赛资格的人数为 ,m n∈R nm ≥ 12 1 ≤     −nm 1 i 1 ia + + i a 2a 4 9 4 1高三数学（理科）三诊试题第 2 页（共 17 页） A．650 B．660 C．680 D．700 4. 已知 满足 ，则 A． B． C． D． 5. 方程 表示的曲线的大致形状是（图中实线部分） A B C D 6．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、 立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个 节气日影之和为七丈三尺五寸，问谷雨日影长为 A．七尺五寸 B．六尺五寸 C．五尺五寸 D．四尺五寸 7. 设 是定义在 上恒不为零的函数，对任意实数 ，都有 ，若 ， ，则数列 的前 项和 的取值范围是 A. B. C. D. 8. 2019 年庆祝中华人民共和国成立 70 周年阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮 α 3 1)2cos( −=+απ cos2 =α 7 9 12 7 7 9 − 7 18 − 02)4( 22 =−−−− yxyx ( )f x R ,x y R∈ ( ) ( ) ( )f x f y f x y= + 1 1 2a = ( )( )na f n n N+= ∈ { }na n nS      2,3 1     1,3 1     2,2 1 1 ,12    高三数学（理科）三诊试题第 3 页（共 17 页） 志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最，编组之新、要素之全彰显强军成就.装备方阵堪称“强军 利刃”“强国之盾”，见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐，其中空中梯队编有 12 个梯队，在 领队机梯队、预警指挥机梯队、轰炸机梯队、舰载机梯队、歼击机梯队、陆航突击梯队这 6 个梯队中， 某学校为宣传的需要，要求甲同学需从中选 3 个梯队了解其组成情况，其中舰载机梯队、歼击机梯队 两个梯队中至少选择一个，则不同的选法种数为． A．12 种 B．16 种 C．18 种 D．20 种 9. 设函数 ，若 ， ， ，则 的大小 关系为 A． B． C． D． 10. 已知正三棱柱 的底面边长为 ，且该三棱柱外接球的表面积为 ，若 为底面 的中心，则 与平面 所成角的大小为 A． B． C． D． 11. 已 知 ， 是 双 曲 线 的 左 、 右 焦 点 ， 若 双 曲 线 上 存 在 点 满 足 ，则双曲线离心率的最小值为 A． B． C． D． 12. 已知函数 若存在 使得 ，则实数 的最大值 为    = − 0,3 0,3)( x xxf x x 2 1log 5a f  = −    )2.4(log2fb = )2( 7.0fc = , ,a b c a b c< < b a c< < c a b< < c b a< < 1 1 1ABC A B C− 6 π14 P 1 1 1A B C PA ABC π 3 4 π 6 π 5π 12 1F 2F ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > P 2 12 2aPFPF −=⋅ 6 5 3 2 ( ), ln(2 ) ln ,f x y x ax y x y= + − , (0, )x y∈ +∞ ( ), 0f x y = a高三数学（理科）三诊试题第 4 页（共 17 页） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，满分 90 分） 注意事项： 1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。 2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题至第 21 题为必考题，每个试题考生都作答；第 22、23 题 为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ▲ 。 14．已知两个单位向量 、 的夹角为 ，向量 ，则 ▲ 。 15．已知点 ，过抛物线 的焦点 的直线 交抛物线于 ， 两点，若 ， 则点 的纵坐标为 ▲ 。 16. 如图，平行六面体 中， ， ， ， ， ， 则 的长为 ▲ 。 三、解答题：本大题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 12 分） 函 数 的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 又 函 数 1 e 1 2e 1 3e 2 e 2ln22 +−−= xxxy (1,1) 1e 2e 60 21 23 eem −= m = )2,0(M xy 42 = F AB A B 0=⋅ FMAM B 1111 DCBAABCD − 5=AB 3=AD 71 =AA 3 π=∠BAD 411 π=∠=∠ DAABAA 1AC ( ) sin( )( 0, 0,0 )f x A x Aω ϕ ω ϕ π= + > > < )2 2,1( − ( )1,1 − E OMN∆ 8 632 − N l 0x my t− − = E A B E P OAPB l 22 tm + 14 )2( 16 )2( 22 =++− yx 2高三数学（理科）三诊试题第 8 页（共 17 页） 个单位，得到曲线 。 （1）点 为曲线 上任意一点，写出曲线 的参数方程，并求出 的最大值； （2）设直线 l 的参数方程为 ，（ 为参数），又直线 与曲线 的交点为 ， ，以坐标原 点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 的中点且与 垂直的直线的极坐标方程。 ▲ 23．（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 已知函数 ， （1）解不等式 ； （2）当 ， 时，若 的值域为 ，求证： 。 ▲ 2 C ),( yxM C C yx 32 1 −    −= = ty tx 2 2 t l C E F x EF l 32)( −= xxf baxxg ++= 2)( 2( )f x x< 0>a 0>b )()()( xgxfxF += [ )+∞,5 3 2 2 1 2 1 ≥+++ ba高三数学（理科）三诊试题第 9 页（共 17 页） 遂 宁 市 高 中 2020 届 三 诊 考 试 数学（理科）试题参考答案及评分意见 一、选择题（12×5=60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D A A B C D B A A C B 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 14. 15. 16. （选修 2-1P98 第 3 题） 三、解答题：本大题共 70 分。 17．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）由函数 的部分图象可得 , ,即 ,则 ，又函数图像过点 ， 则 ， 即 ，又 ，即 ，（ 每个值 1 分） 即 ，则 …………4 分 由 ， ，得 ， ， 所以函数 的单调增区间为 ………6 分（少 扣 1 分） （2）由 ，得 ，因为 ，所以 ， π 4 3 7 1− 25698 + ( ) sin( )( 0, 0,0 )f x A x Aω ϕ ω ϕ π= + > > < < 2A = 5 2 8 8 T π π= − T π= 2 2T πω = = ,28 π     2 28 2k π πϕ π× + = + 2 ,4k k Z πϕ π= + ∈ 0 ϕ π< < 4 πϕ = , ,A ω ϕ ( ) 2sin(2 )4f x x π= + ( ) 2sin[2( ) ] 2cos28 4g x x x π π= + + = πππ kxk 222 ≤≤− Zk ∈ πππ kxk ≤≤− 2 Zk ∈ )(xg Zkkk ∈    − ,,2 πππ Zk ∈ 1)( −=Cg 2 12cos −=C 20 πx 0)(/ >∴ xf )(xf 0 π（ ， ） 0)0()( => fxf )(xf∴ ( ]0 π， ( ],2x π π∈ 0sin )2 2,1( − ( )1,1 − ∴ 2)1(1 22 =−+=R 2== Ra )2 2,1( − 12 2 22 =+ b yx 1b =高三数学（理科）三诊试题第 14 页（共 17 页） 椭圆 的方程为 ； ……………4 分 （2）设点 ，则点 ，将两点坐标分别代入辅助圆方程和椭圆方程可 得， ， ，故 ，即 ， 又 ，则 将 与 联立可解得 或 ， 下辅助点 的坐标为 或 ……………7 分 （3）由题意可设 ， . 联立 整理得 ， 则 . 根据韦达定理得 ……………8 分 因为四边形 是对边平行且相等和容易变形的四边形，即四边形 恰好为平行四边形， 所以 .所以 ， 因为点 在椭圆 上，所以 ， ∴ E 12 2 2 =+ yx ),( 00 yxN )0( 0 322 =+ tm 22 tm + 3 14 )2( 16 )2( 22 =++− yx 2 2 C 14 )22( 16 )22( 22 =−+++− yx 1416 22 =+ yx C    = = θ θ sin2 cos4 y x (θ ),( yxM C )3cos(4sin32cos232 1 πθθθ +=−=− yx yx 32 1 − 4 1416 22 =+ yx    −= = ty tx 2 2 t l 042 =−+ yx高三数学（理科）三诊试题第 16 页（共 17 页） 所以有 解得 或 ， ……………8 分 所以线段 的中点坐标为 ，即线段 的中点坐标为 ，直线 的斜率为 ， 则与直线 垂直的直线的斜率为 ，故所求直线的直角坐标方程为 ，即 ，将 代 入 ， 得 其 极 坐 标 方 程 为 ……………10 分 23．（本小题满分 10 分） 【 解 析 】 ： （ 1 ） 不 等 式 化 为 ， 即 ， 等 价 于 ① 或 ②， 由①解得 ，由②解得 或 ， ……………4 分 所以不等式 的解集为 ． ……………5 分 （2）根据绝对值三角不等式可知 ， ……………7分 因为 的值域为 所以 ，则 ， 故    =+ =−+ 1416 042 22 yx yx    = = 0 4 y x    = = 2 0 y x EF )2 20,2 04( ++ EF )1,2( l 2 1− l 2 )2(21 −=− xy 032 =−− yx cos , sinx yρ θ ρ θ= = 03sincos2 =−− θρθρ 2( )f x x< 232 xx