高三数学模拟试题
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.不需写出解答过程，请把答案写在答
题纸的指定位置上）
1.已知集合 ， ，则集合 中元素的个数为_____．
【答案】4
【解析】
【分析】
本题首先可以通过题意得出集合 以及集合 所包含的元素，然后利用并集定义写出 ，即可得出结
果．
【详解】因为集合 ， ，
所以 .
所以集合 中元素的个数为 4，故答案为 4．
【点睛】本题考查并集中元素个数的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方
程思想，是基础题．
2.设复数 ，则 _________________.
【答案】1
【解析】
解法一：由题意可得： .
解法二：
3.已知一组数据 4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为________
【答案】
【解析】
【分析】
先计算平均数,再利用方差公式求解即可.
【详解】该组数据平均数 .
故方差
{1,2,3}A = {2,3,4}B = A B
A B A B
{ }1,2,3A = {2,3,4}B =
{1,2,3,4}A B∪ =
A B
1
1
iz i
+= − z =
1 2 11 2
iz i
+= = =−
2 2
2
(1 ) 1 2 2 , 1.(1 )(1 ) 1 2
i i i iz i zi i i
+ + += = = = ∴ =− + −
5
3
4 6 5 8 7 6 66x
+ + + + += =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 1 4 6 6 6 5 6 8 6 7 6 6 66s = − + − + − + − + − + − .
故答案为：
【点睛】本题主要考查了方差的计算,属于基础题型.
4.根据如图所示的伪代码，最后输出的 的值为__________.
【答案】7
【解析】
【分析】
根据当型循环的含义，知直到 时，退出循环.
【详解】第一次循环： ；第二次循环： ；第三次循环： ；
因 ，故退出循环，此时 .
故答案为：7
【点睛】本题考查根据当型循环语句计算输出值的问题，此类题要做到认真通读语句，建议数据较小时可
以采用列举出来的办法，是一道容易题.
5.函数 的定义域为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
解不等式组 可得函数的定义域.
【详解】由题设有 ，故 ，
故函数的定义域为 .
【点睛】函数的定义域一般从以下几个方面考虑：
( )1 54 0 1 4 1 06 3
= + + + + + =
5
3
i
10T ≥
2, 3T i= = 5, 5T i= = 10, 7T i= =
10 10T = ≥ 7i =
1 lgy x= −
( ]0,10
0
1 lg 0
x
x
>
− ≥
0
1 lg 0
x
x
>
− ≥ 0 10x< ≤
( ]0,10（1）分式的分母不为零；
（2）偶次根号 （ ， 为偶数）中， ；
（3）零的零次方没有意义；
（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为 1.
6.从长度分别为 的四条线段中，任取三条的不同取法共有 种，在这些取法中，以取出的三条线段
为边可组成的三角形的个数为 ，则 等于____________.
【答案】
【解析】
【分析】
分别求出 即可．
【详解】从 4 条长度不同的线段中任取 3 条，共有 4 种取法，即 ，可组成三角形的只有一种 ，
因此 ，∴ ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查事件的概念，求事件的个数．解题时可用列举法列出任取 3 条线段的所有可能以及满足
组成三角形的个数，从而得 ， ．列举法是我们常用的方法．能组成三角形的判定关键是两个较小的线
段长之和大于最长的线段长度．
7.若双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 _______.
【答案】
【解析】
【分析】
双曲线 的渐近线方程为 ，由双曲线 的一条渐近线方程为
，可得 ，从而得到 的值.
【详解】双曲线 的渐近线方程为 .
由由双曲线 的一条渐近线方程为 ，即
n a *, 2n N n∈ ≥ n 0a ≥
1 2 3 4、、、 n
m m
n
1
4
,m n
4n = (2,3,4)
1m = 1
4
m
n
=
1
4
n m
( )2
2
2 1 0x y mm
− = > 3 0x y+ = m =
3
( )2
2
2 1 0x y mm
− = > 1y xm
= ± ( )2
2
2 1 0x y mm
− = >
3 0x y+ = 1 3
3m
= m
( )2
2
2 1 0x y mm
− = > 1y xm
= ±
( )2
2
2 1 0x y mm
− = > 3 0x y+ = 3
3y x= −所以 ，即
故答案为：
【点睛】本题考查根据双曲线 渐近线方程求参数的值,属于基础题.
8.已知 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
设等差数列 的公差为 ，根据题意，求得 的值，再利用等差数列的通项公式，即可求求解.
【详解】由题意，设等差数列 的公差为 ，
可得 ，解得 ，所以 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及前 n 项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通
项公式和求和公式，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了计算能力.
9.若关于 的不等式 的解集不是空集，则 的取值范围是________.
【答案】 或
【解析】
【分析】
分别讨论 和 ，利用不等式 的解集不是空集，解出 的取值范围.
【详解】解：若 ，则原不等式等价为 ，此时不等式的解集为空集，所以不成立，即 .
若 ，要使不等式 的解集不是空集，
则①若 ，有 ，解得 .
②若 ，则满足条件.
综上所述，满足条件的 的取值范围是 或 .
故答案为： 或 .
【点睛】本题主要考查一元二次不等式 基本解法，属于基础题.
的
的
1 3
3m
= 3m =
3
nS { }na n 1 2 3 4a a a+ + = 6 10S = 3a =
14
9
{ }na d 1,a d
{ }na d
1 2 3 1
6 1
3 3 4
6 56 102
a a a a d
S a d
+ + = + = ×= + =
1
10
9
2
9
a
d
=
=
3 1
142 9a a d= + =
14
9
x 2 1 0mx mx− + < m
0m < 4m >
=0m 0m ≠ 2 1 0mx mx− + < m
=0m 1 0< 0m ≠
0m ≠ 2 1 0mx mx− + <
0m > 2 4 0m m∆ = − > 4m >
0m <
m 0m < 4m >
0m < 4m >10.已知等边三角形 的边长为 ， 为 边的中点，沿 将 折成直二面角 ，则
三棱锥 的外接球的表面积为_____
【答案】
【解析】
【分析】
先证明 AD⊥平面 BCD，利用二面角的定义得知∠BDC＝90°，利用勾股定理可得出△BCD 的外接圆直径
为 BC，设 R 为三棱锥 A﹣BCD 的外接球的半径，得 ，再利用球体表面积公式可得
出答案．
【详解】如图所示，
折叠前，由于△ABC 时等边三角形，D 为 BC 的中点，则 AD⊥BC，
折叠后，则有 AD⊥CD，AD⊥BD，∵BD∩CD＝D，∴AD⊥平面 BCD，
∵二面角 B﹣AD﹣C 为直二面角，∵AD⊥BD，AD⊥CD，则二面角 B﹣AD﹣C 的平面角为∠BDC＝90°，
且 ，
Rt△BCD 的外接圆直径为 ，
所以，三棱锥 A﹣BCD 的外接球半径为 ，
因此，三棱锥 A﹣BCD 的外接球的表面积为 4πR2＝80π．
故答案为 80π
【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积计算，考查二面角的定义，同时也考查直线与平面垂直的判定定
理，考查计算能力与推理能力，属于中档题．
11.若 ， 是方程 的两个根，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】
ABC 8 D BC AD ABC B AD C− −
A DCB−
80π
2 2AD( ) ( )2 2
BCR = +
1BD CD 8 4,AD ABsin60 4 32
°= = × = = =
2 2 4 2BC BD CD= + =
2 2AD( ) ( ) 2 52 2
BCR = + =
tanα tan β 2 6 7 0x x− + = α β+ =
, .4k k Z
ππ − ∈由韦达定理得 ，再求出 ，即得解.
【详解】由题得 .
所以 ，
所以
故答案为：
【点睛】本题主要考查和角的正切公式的应用，考查正切函数的图象的应用，意在考查学生对这些知识的
理解掌握水平.
12.已知 都是正实数，则 的最小值是__________.
【答案】
【解析】
试题分析：
考点：基本不等式.
13.已知点 ， ， 均位于同一单位圆 上，且 ，若 ，则
的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由 整理可得： ，即： ，以圆心为原点，以 BC 所在直线为 轴建立
平面直角坐标系，设 ，由 整理得： ，所以点 P 在以原点为圆心，半径为 2
的圆上运动，由 等价转化成 ，利用 整理即可求
解．
【详解】由 可得： ,
tan tan 6,tan tan 7α β α β+ = = tan( ) 1α β+ = −
tan tan 6,tan tan 7α β α β+ = =
tan tan 6tan( ) 11 tan tan 1 7
α βα β α β
++ = = = −− −
, .4k k Z
πα β π+ = − ∈
, .4k k Z
ππ − ∈
,a b
2
a b
a b a b
++ +
2 2 2−
A B C O 2
BA BC AB⋅ = 3PB PC⋅ = PA PB PC+ +
[5,7]
2
BA BC AB⋅ = 0BA AC⋅ = BA AC⊥ x
( ),P x y 3PB PC⋅ = 2 2 4x y+ =
PA PB PC+ + 3PO OA+ ( )2
3 3PO OA PO OA+ = +
2
BA BC AB⋅ = ( ) 22BA AC AB BA AC AB AB⋅ − = ⋅ + = 所以 ，所以 ，即线段 BC 为单位圆的直径.
以圆心为原点，以 BC 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，如下图：
则 ，
设 ，则
由 可得： ，所以点 P 在以原点为圆心，半径为 2 的圆上运动，
因为 ，
所以
,
又 ，
所以 ，即： .
【点睛】本题主要考查了数量积的运算及向量的坐标运算，还考查了向量垂直的数量积关系、转化思想及
计算能力，考查了向量模的运算，属于难题．
14.已知函数 ，若 有两个零点 ，则 的取值范围
______.
【答案】
0BA AC⋅ = BA AC⊥
x
( )1,0B − ( )1,0C
( ),P x y ( ) ( )1 , , 1 ,PB x y PC x y= − − − = − −
3PB PC⋅ = 2 2 4x y+ =
3PA PB PC PO OA PO OB PO OC PO OA+ + = + + + + + = +
( )2 2 23 3 9 6PA PB PC PO OA PO OA PO PO OA OA + + = + = + = + ⋅ +
37 12cos ,PO OA= +
1 cos , 1PO OA− ≤ ≤
37 12 37 12PA PB PC− ≤ + + ≤ + 5 7PA PB PC≤ + + ≤
( )
ln , 1
1 , 12
x x
f x x x
≥= − + > + = +， ， ，
( ) ( )( )1 ln( ( ) 1) 0F x f f x m f x m= + + = + + =
( ) 1 mf x e−+ = ( ) 1mf x e−= − 1x 2x )1 2x x<
1x ≥ 2ln 1mx e−= − 1x < 11 12
mx e−− = −
11 2
mt e−= − > 2ln x t= 2
tx e= 11 2
x t− = 1 2 2x t= − 1 2 (2 2 )tx x e t∴ = − 1
2t >
( ) (2 2 )tg t e t= − 1
2t > ( ) 2 tg t te′ = − 1 , ( ) 02t g t′ ∈ +∞ > 2C 2 2 2x y b+ = 2C 1C
1C 2
4 1C E O
l 2C A B
1C
EA EB 1C P M
MP②试问：是否存在以 为圆心， 为半径的圆 ，使得直线 和直线 都与圆 相交？若存在，
请求出实数 的范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）①详见解析；②存在， .
【解析】
试题分析：（1）由圆 C2 将椭圆 C1 的长轴三等分，可得 ；又椭圆 C1 右焦点到右准线的距离为 ，
可得 ，及 a2=b2+c2 即可得出；（2）①由题意知直线 PE，ME 的斜率存在且不为 0，设直
线 PE 的斜率为 k，则 PE：y=kx-1，与椭圆的方程联立可得点 P 的坐标，同理可得点 M 的坐标，进而得到
直线 PM 的方程，可得直线 PM 过定点．
②由直线 PE 的方程与圆的方程联立可得点 A 的坐标，进而得到直线 AB 的方程．假设存在圆心为（m，
0），半径为 的圆 G，使得直线 PM 和直线 AB 都与圆 G 相交，则圆心到二直线的距离都小于半径
．即（i） ，（ii） ．得出 m 的取值范围存在即可．
试题解析：（Ⅰ ）依题意， ，则 ，
∴ ，又 ，∴ ，则 ，
∴椭圆方程为 ．
（2）①由题意知直线 的斜率存在且不为 0，设直线 的斜率为 ，则 ： ，
由 得 或
∴ ，
( ,0)m 3 2
5
G PM AB G
m
2
2 19
x y+ = 2 2( , )5 5
−
12 23b a⋅＝ 2
4
2 2 2
4
a bcc c
− =＝
3 2
5
3 2
5 2
5 3 2
51 25
tm
t+
＜
2
4
5 3 2
51
tm
t
+
+
＜
12 23b a= ⋅ 3a b=
2 2 2 2c a b b= − =
2 2 2
4
a bcc c
− = = 1b = 3a =
2
2 19
x y+ =
,PE ME PE k PE 1y kx= −
2
2
1,
{
1,9
y kx
x y
= −
+ =
2
2
2
18 ,9 1{
9 1,9 1
kx k
ky k
= +
−= +
0,{ 1,
x
y
=
= −
2
2 2
18 9 1( , )9 1 9 1
k kP k k
−
+ +用 去代 ，得 ，
方法 1： ，
∴ ： ，即 ，
∴直线 经过定点 ．
方法 2：作直线 关于 轴的对称直线 ，此时得到的点 、 关于 轴对称，则 与 相交于
轴，可知定点在 轴上，
当 时， ， ，此时直线 经过 轴上的点 ，
∵
∴ ，∴ 、 、 三点共线，即直线 经过点 ，
综上所述，直线 经过定点 ．
②由 得 或 ∴ ，
则直线 ： ，
设 ，则 ，直线 ： ，直线 ： ，
假设存在圆心为 ，半径为 的圆 ，使得直线 和直线 都与圆 相交，
则 由（ ）得 对 恒成立，则 ，
1
k
− k
2
2 2
18 9( , )9 9
k kM k k
− −
+ +
2 2
22 2
2 2
9 1 9
19 1 9
18 18 10
9 1 9
PM
k k
kk kk k k k
k k
− −− −+ += =
++ +
PM
2 2
2 2
9 1 18( )9 10 9
k k ky xk k k
− −− = ++ +
2 1 4
10 5
ky xk
−= +
PM 4(0, )5T
l y 'l 'P 'M y PM ' 'P M y
y
1k = 9 4( , )5 5P 9 4( , )5 5M − PM y 4(0, )5T
2
22
2
9 1 4
19 1 5 ,18 10
9 1
PT
k
kkk k k
k
− − −+= =
+
2
22
2
9 4
19 5 ,18 10
9
MT
k
kkk k k
k
− − −+= =
− +
PT MTk k= P M T PM T
PM 4(0, )5T
2 2
1,{ 1,
y kx
x y
= −
+ =
2
2
2
2 ,1{
1,1
kx k
ky k
= +
−= +
0,{ 1,
x
y
=
= −
2
2 2
2 1( , )1 1
k kA k k
−
+ +
AB
2 1
2
ky xk
−=
2 1
10
kt k
−= t R∈ PM 4
5y tx= + AB 5y tx=
( ,0)m 3 2
5
G PM AB G
2
2
5 3 2, ( )51 25
{ 4
35 2, ( )51
tm i
t
mt
ii
t
<
+
+
<
+
i 2 2 18 1825 ( )25 25t m − < t R∈ 2 18
25m ≤由（ ）得， 对 恒成立，
当 时，不合题意；当 时， ，得 ，即
，
∴存在圆心为 ，半径为 的圆 ，使得直线 和直线 都与圆 相交，所有 的取值集合为
．
解法二：圆 ，由上知 过定点 ，故 ；又直线 过原点，
故 ，从而得 ．
考点：1.直线与圆锥曲线的关系；2.椭圆的标准方程．
19.已知函数 （a， ）.
（1）若 ，且 在 内有且只有一个零点，求 a 的值；
（2）若 ，且 有三个不同零点，问是否存在实数 a 使得这三个零点成等差数列？若存在，
求出 a 的值，若不存在，请说明理由；
（3）若 ， ，试讨论是否存在 ，使得 .
【答案】（1） （2）存在；a 的值为 （3）答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】
（1） ， ，讨论 和 两种情况，分别计算函数的单调性，
再根据零点个数得到参数.
（2） ，根据题意 ，计算得到
， ，计算得到答案.
（3） ， ，故必须
ii 2 218 8 2( ) 025 5 25m t mt− + − < t R∈
2 18
25m = 2 18
25m < 2 28 18 2( ) 4( )( ) 05 25 25m m∆ = − − − < 2 2
25m <
2 2
5 5m− < <
( ,0)m 3 2
5
G PM AB G m
2 2( , )5 5
−
2 2 18:( ) 25G x m y− + = PM 4(0, )5
2 24 18( )5 25m + < AB
2 2 18: 0 25G m + < 2 2( , )5 5m∈ −
( ) 3 21 13f x x ax bx= + + + b R∈
0b = ( )f x ( )0, ∞+
2 0a b+ = ( )f x
1a = 0b < 0
1 10, ,12 2x ∈ ( )0
1
2f x f =
1
33
4
−
1
33
5
−
( ) 3 21 13f x x ax= + + ( ) 2 2f x x ax′ = + 0a ≥ 0a <
( ) 3 2 21 13f x x ax a x= + − + ( ) ( )( )( )1
3f x x m d x m x m d= − − − − +
m a− = 3 3
5a = −
( ) 3 21 13f x x x bx= + + + ( ) ( )2
0 0 0 0
1 1 1 4 14 7 122 12 2f x f x x x b − = − + + + 在 上有解，解方程得到答案.
【详解】（1）若 ，则 ， ，
若 ，则在 ，则 ，则 在 上单调递增，
又 ，故 在 上无零点，舍；
若 ，令 ，得 ， ， ，
在 上， ， 在上单调递减，
在 上， ， 在上单调递增，
故 ，
若 ，则 ， 在 上无零点，舍；
若 ，则 ， 在 上恰有一零点，此时 ；
若 ，则 ， ， ，
则 在 和 上有各有一个零点，舍；
故 a 的值为 .
（2）因为 ，则 ，若 有三个不同零点，且成等差数列，可设
，
故 ，则 ，故 ， ， .
此时， ， ，故存在三个不同的零点.
故符合题意的 a 的值为 .
（3）若 ， ， ，
2
0 04 14 7 12 0x x b+ + + = 1 10, ,12 2
∪
0b = ( ) 3 21 13f x x ax= + + ( ) 2 2f x x ax′ = +
0a ≥ ( )0, ∞+ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0, ∞+
( )0 1 0f = > ( )f x ( )0, ∞+
0a < ( ) 2 2 0f x x ax′ = + = ( ) 0f x′ = 1 0x = 2 2x a= −
( )0, 2a− ( ) 0f x′ < ( )f x
( )0, 2a− ( ) 0f x′ > ( )f x
( ) ( ) 3 3 38 42 4 1 13 3f x f a a a a= − = − + + = +极小值
34 1 03 a + > ( )2 0f a− > ( )f x ( )0, ∞+
34 1 03 a + > ( )2 0f a− = ( )f x ( )0, ∞+
1
33
4a = −
34 1 03 a + < ( )2 0f a− < ( )0 1 0f = > ( ) ( ) ( )23 3 1 0f a a a a− = − − + + >
( )f x ( )0, 2a− ( )2 , 3a a− −
1
33
4
−
2 0a b+ = ( ) 3 2 21 13f x x ax a x= + − + ( )f x
( ) ( )( )( ) ( )( )3 2 2 2 3 21 1 3 33 3f x x m d x m x m d x mx m d x m md= − − − − + = − + − − +
m a− = ( ) 0f a− = 3 3 31 1 03 a a a− + + + = 35 13 a = − 3 3
5a = −
3 3
5m = 26d a= ±
1
33
5
−
1a = 0b < ( ) 3 21 13f x x x bx= + + +
( ) 3 2
3 2
0 0 0 0
1 1 1 1 1 11 12 3 3 2 2 2f x f x x bx b
− = + + + − + + + ∴若存在 ，使得 ，
必须 在 上有解.
，
方程的两根为： ， ，
只能是 ，
依题意 ，即 ，
即 ，
又由 ，得 ，故欲使满足题意的 存在，则 ，
∴当 时，存在唯一的 满足 ，
当 时，不存在 使 .
【点睛】本题考查了函数的零点问题，解方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
20.设数列 （任意项都不为零）的前 项和为 ，首项为 ，对于任意 ，满足 .
（1）数列 的通项公式；
（2）是否存在 使得 成等比数列，且 成等差数列？若存在，试求
的值；若不存在，请说明理由；
（3）设数列 ， ，若由 的前 项依次构成的数列是单调递增数列，
求正整数 的最大值.
【答案】（1） ；（2）存在， ；（3）
( )3 2
3 2 2
0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 4 14 7 123 2 2 2 12 2x x b x x x x b
= − + − + − = − + + +
0
1 10, ,12 2x ∈ ( )0
1
2f x f =
2
0 04 14 7 12 0x x b+ + + = 1 10, ,12 2
∪
0b
14 2 21 48 7 21 48
8 4
b b− ± − − ± −= 0 0x >
0x∴ 7 21 48
4
b− + −
7 21 480 14
b− + −< < 7 21 48 11b< − < 49 21 48 121b∴ < − <
25 7
12 12b− < < −
7 21 48 1
4 2
b− + − = 5
4b = − 0x 5
4b ≠ −
25 5 5 7, ,12 4 4 12b ∈ − − − − 0
1 10, ,12 2x ∈ ( )0
1
2f x f =
25 7 5, ,012 12 4b ∈ −∞ − − − 0
1 10, ,12 2x ∈ ( )0
1
2f x f =
{ }na n nS 1 n ∗∈N 1
2
n n
n
a aS +⋅=
{ }na
( ), ,k m n N k m n∗∈ < < , ,k m na a a 4 216 , ,k m na a a
k m n+ +
{ }b ( )1
, 2 1,
, 2 , 0
n
n n
a n k k Nb q n k k N q
∗
− ∗
= − ∈= = ∈ >
{ }nb r
r
( )na n n N ∗= ∈ 7k m n+ + = 8【解析】
【分析】
（1）代入 求得 ，利用 可验证出奇数项和偶数项分别成等差数列，由此得到 和 ，
进而得到 ；
（2）假设存在 满足题意，利用等差中项和等比中项的定义可构造方程组，得到
，由 可求得 的范围，结合 得到 ，进而求出 ；
（3）将问题转化为当 为偶数时， ，构造函数 和
，可利用导数说明 与 的单调性，进而确定 的取值，同时得到 的范
围，从而求得结果.
【详解】（1） 数列 是非零数列， .
当 时， ， ；
当 且 时， ， ，
是首项为 ，公差为 的等差数列， 是首项为 ，公差为 的等差数列，
， ，
（2）设存在 ，满足题意，
成等比数列， ；
成等差数列， ，
消去 可得： ， ，
， ， ，解得： ，
， ， ， ， .
（3）若 是单调递增数列，则 为偶数时， 恒成立，
.
1n = 2a 1n n na S S −= − 2 1na − 2na
na
( ), ,k m n N k m n∗∈ < <
2
2
16
2 1
kn k
= −
2 8n > k k ∗∈N k ,m n
n ( ) ( )ln 1 ln 1ln1 1
n nqn n
− +< ( ),x e∈ +∞ ( ) 0f x′ <
( )f x∴ ( )0,e ( ),e +∞
( )f x∴ x e=
∴ 4n ≥ ( )ln 1
1
n
n
−
−
ln1 ln3
1 3
< ln3
3
∴ ( )ln 1
1
n
n
−
−
ln3ln 3q∴ >
( ) ( ) ( )ln 2 1xg x xx
+= ≥ ( )
( ) ( )
2 2
2ln 2 1 ln 22 2 0
x x xx xg x x x
− + − − ++ +′ = = <
( )ln 1
1
n
n
+∴ − 6n = ln 7 ln3
5 3
> 8n = ln9 ln3
7 3
<
∴ 2 6n≤ ≤ 1
33q > 11 1nn q n−− < < +
8n = 1 1nq n− < +
∴ 8 r 8
4 3
2 1M
− = −
7
5
α =
M
3M α
1 1λ = 2 2λ = 1
1
3
2
3 49
33M α =
（1）根据特征值的定义列出特征多项式，令 解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得
相应的特征向量；（2） ，即可求 ．
【详解】（1）矩阵 的特征多项式为 ，
令 ，可求得特征值为 ， ，
设 对应的一个特征向量为 ，
则由 ，得 ，可令 ，则 ，
所以矩阵 的一个特征值 对应的一个特征向量为 ，
同理可得矩阵 的一个特征值 对应的一个特征向量为 ．
（2）
所以 ．
【点睛】本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握
水平．
22.已知曲线 的极坐标方程是 .以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的正半轴，建立平
面直角坐标系，直线 的参数方程是: （ 是参数）.
若直线 与曲线 相交于 、 两点，且 ，试求实数 值.
设 为曲线 上任意一点，求 的取值范围.
【答案】 或 ； .
【解析】
【分析】
把曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心到直线的距离求出 值；
( ) 0f λ =
7 1 325 1 2
α = = +
3M α
M ( ) ( 1)( 2)f λ λ λ= − −
( ) 0f λ = 1 1λ = 2 2λ =
1 1λ = x
y
α =
1 Mλ α α= 3 3 0x y− + = 1x = 1y = −
M 1 1λ = 1
1
M 2 2λ = 3
2
7 1 325 1 2
α = = +
3 31 3 492 21 2 33M α = + × × =
C 4cosρ θ= x
l
2
2
2
2
x m t
y t
= +
=
t
( )1 l C A B 14AB = m
( )2 ( ),M x y C x y+
( )1 1m = 3m = ( )2 2 2 2,2 2 2 − +
( )1 C m把曲线 普通方程化为参数方程，利用三角恒等变换求出 的取值范围.
【详解】解： 曲线 的极坐标方程是 化为直角坐标方程为： ，直线 的直
角坐标方程为： .
圆心到直线 的距离（弦心距） ,
圆心 到直线 的距离为 ： ,
或 .
曲线 的方程可化为 ，其参数方程为： （ 为参数）
为曲线 上任意一点，
的取值范围是 .
【点睛】本题考查参数方程与极坐标的应用，属于中档题.
23. 已知：a≥2，x∈R．求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3．
【答案】详见解析
【解析】
试题分析：利用含绝对值不等式性质得|x－1＋a|＋|x－a|最小值|2a－1|，再根据 a 取值范围求最小值 3．最后
根据不等式传递性得证.
试题解析：证明：因为|m|+|n|≥|m－n|，
所以|x－1＋a|＋|x－a|≥|x－1＋a－(x－a)|＝|2a－1|．
又 a≥2，故|2a－1|≥3．
所以|x－1＋a|＋|x－a|≥3．
考点：含绝对值不等式性质
24.如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 平面 ，垂足为 ， 在
上，且 ， 是 的中点．
的( )2 C x y+
( )1 C 4cosρ θ= 2 2 4 0x y x+ − = l
y x m= −
∴ l
2
2 14 22 2 2d
= − =
( )2,0 y x m= − 2 0 2
22
m− − =
∴ 2 1m − =
∴ 1m = 3m =
( )2 C ( )2 22 4x y− + = 2 2cos
2sin
x
y
θ
θ
= +
=
θ
( ),M x y C 2 2 sin2 4x y
πθ + = + +
x y∴ + 2 2 2,2 2 2 − +
P ABCD− ABCD PG ⊥ ABCD G G AD
14, , , 23PG AG GD BG GC GB GC= = ⊥ = = E BC
（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（2）若 点是棱 上一点，且 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【详解】试题分析：（1）依题意，可以以 点为原点， 、 、 分别为 轴、 轴、 轴建立空
间直角坐标系，求出向量 的坐标，由向量的夹角公式即可求得两异面直线所成角的余弦值；（2）
可设 ，由 和 共线得到点 坐标，求出其长度即可.
试题解析：（1）以 点为原点， 、 、 分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则
，
，故
∵ ，
∴ 与 所成角的余弦值为 ．
（2）解：设 ，则 ，
∵ ，∴ ，
即 ，∴ ，
又 ，即 ，
GE PC
F PC DF GC⊥ PF
FC
10
10
3
G x y z
(0, , )F y z F
G x y z
(2,0,0)B
(0,2,0), (0,0,4)C P ( ) ( )1,1,0 , 1,1,0 , (0,2, 4),E GE PC= = −
GE PC 10
10
(0, , )F y z
3 3( , , ) (0,2,0) 2 3 02 2y z y− ⋅ = − = 3
2y =
3(0, , 4) (0,2, 4)2 z λ− = −∴ ，故 ，
，∴
考点：空间向量求解空间角及在证明线线垂直中的应用.
25.棋盘上标有第 、 、 、 、 站，棋子开始位于第 站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正
面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到调到第 站或第 站时，游戏结束.设棋
子位于第 站的概率为 .
（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币 次后，求棋手所走步数之和 的分布列与数学期望；
（2）证明： ；
（3）求 、 的值.
【答案】（1）分布列见解析，随机变量 的数学期望为 ；（2）证明见解析；
（3） ， .
【解析】
【分析】
（1）根据题意得出随机变量 的可能取值有 、 、 、 ，利用独立重复试验的概率公式计算出随机变
量 在相应取值时的概率，可列出随机变量 的分布列，由此计算出随机变量 的数学期望；
（2）根据题意，棋子要到第 站，由两种情况，由第 站跳 站得到，也可以由第 站跳 站得
1z = 3(0, ,1)2F
3 5
2 3
5
2
PF
FC
= =
0 1 2 100 0
99 100
n nP
3 X
( )( )1 1
1 1 982n n n nP P P P n+ −− = − − ≤ ≤
99P 100P
X 9
2
99 100
2 113 2P = − 100 99
1 113 2P = +
X 3 4 5 6
X X X
( )1n + n 1 ( )1n − 2到，由此得出 ，并 该等式两边同时减去 ，可得出所证等式成立；
（3）结合（1）、（2）可得 ，利用累加法求出数列 的通项公式，从而可求出 和
的值.
【详解】（1）由题意可知，随机变量 的可能取值有 、 、 、 .
， ，
， .
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
所以，随机变量 的数学期望为 ；
（2）根据题意，棋子要到第 站，由两种情况，由第 站跳 站得到，其概率为 ，也可以由第
站跳 站得到，其概率为 ，所以， .
等式两边同时减去 得 ；
（3）由（2）可得 ， ， .
由（2）可知，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
，
，
在1 1
1 1
2 2n n nP P P+ −= + nP
1
1
1
2
n
n nP P
+
+
− = −
{ }nP 99P 100P
X 3 4 5 6
( ) 31 13 2 8P X = = =
( ) 3
1
3
1 34 2 8P X C = = ⋅ =
( ) 3
2
3
1 35 2 8P X C = = ⋅ =
( ) 31 16 2 8P X = = =
X
X 3 4 5 6
P 1
8
3
8
3
8
1
8
X 1 3 3 1 93 4 5 68 8 8 8 2EX = × + × + × + × =
( )1n + n 1 1
2 nP ( )1n −
2 1
1
2 nP − 1 1
1 1
2 2n n nP P P+ −= +
nP ( ) ( )1 1 1
1 1 1 1 982 2 2n n n n n nP P P P P P n+ − −− = − + = − − ≤ ≤
0 1P = 1
1
2P = 2 1 0
1 1 3
2 2 4P P P= + =
{ }1n nP P+ − 2 1
1
4P P− = 1
2
−
1 1
1
1 1 1
4 2 2
n n
n nP P
− +
+
∴ − = ⋅ − = −
( ) ( ) ( ) 2 3 99
99 1 2 1 3 2 99 98
1 1 1 1
2 2 2 2P P P P P P P P ∴ = + − + − + + − = + − + − + + −
98
100
1 114 21 2 1112 3 21 2
− − = + = − − − 又 ，则 ，
由于若跳到第 站时，自动停止游戏，故有 .
【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式以及等比数列的判定与应用，同时也考查了累加法求数列
通项，综合性较强，属于难题.
99
99 98 99
1 1= 2 2P P − − = − 98 99
2 113 2P = +
99 100 98 99
1 1 112 3 2P P = = +
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