数学模拟试卷
一．填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位置
上．
1．已知集合 A＝{x|x≥1}，B＝{﹣1，0，1，4}，则 A∩B＝ ．
2．设复数 z＝a+bi（a，b∈R，i 是虚数单位），且 z2＝2i，则 a+b＝ ．
3 ． 若 一 组 样 本 数 据 21 ， 19 ， x ， 20 ， 18 的 平 均 数 为 20 ， 则 该 组 样 本 数 据 的 方 差
为 ．
4．椭圆푥2
25 +
푦2
푏2 = 1（b＞0）与双曲线푥2
8 ― 푦2 = 1有公共的焦点，则 b＝ ．
5．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ．
6．把分别标有“诚”“信”“考”“试”的四张卡片随意的排成一排，则能使卡片从左到右可
以念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率是 ．
7．已知圆柱的高为 2，它的两个底面的圆周在半径为 2 的同一个球的球面上．则球的体积
与圆柱的体积的比值为 ．
8．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 2Sn＝an - 1
3푛（n∈N*），S2020＝ ．
9．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若푠푖푛퐵 ― 푠푖푛퐴
푠푖푛퐵 ― 푠푖푛퐶 =
푐
푎 + 푏则 sin（A -
휋
6）＝ ．
10．如图，在平面四边形 ABCD 中，∠CBA＝∠CAD＝90°，∠ACD＝30°，AB＝BC，点
E 在线段 BC 上，且
→
BC = 3
→
BE，若
→
AC = λ
→
AD + μ
→
AE（λ，μ∈R），则휇
휆的值为 ．
11．过直线 l：y＝x﹣2 上任意一点 P 作圆 C：x2+y2＝1 的一条切线，切点为 A，若存在定点
B（x0，y0），使得 PA＝PB 恒成立，则 x0﹣y0＝ ．
12．设 a＞0，b＞0，a﹣2b＝1，则(푎2 + 4)(푏2 + 1)
푎푏 的最小值为 ．
13．函数 f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象与其对称轴在 y 轴右侧的交点从左到右依次记为
A1，A2，A3，…，An，…，在点列{An}中存在三个不同的点 Ak、Al、Ap，使得△AkAlAp
是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 将 满 足 上 述 条 件 的 ω 值 从 小 到 大 组 成 的 数 记 为 ωn ， 则 ω6
＝ ．
14．已知定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（1+x）+f（1﹣x）＝0．且当 0≤x≤1 时，f（x）＝
log3（a﹣x）．若对于任意 x∈[﹣1，0]，都有f(푥2 ― 푡푥 ―
1
3) ≥ 1 ― 푙표푔35，则实数 t 的取值
范围为 ．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步驟．
15．（14 分）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2a﹣c＝2bcosC．
（1）求 B；
（2）若b = 3，△ABC 的面积为
3
2 ，求△ABC 的周长．
16．（14 分）如图，在三棱锥 A﹣BCD 中，点 M、N 分别在棱 AC、CD 上，N 为 CD 的中
点．
（1）若 M 为 AC 的中点，求证：AD∥平面 BMN；
（2）若平面 ABD⊥平面 BCD，AB⊥BC，求证：BC⊥AD．
17．（14 分）如图所示，一座小岛 A 距离海岸线上最近的点 P 的距离是 2km，从点 P 沿海岸
正东 12km 处有一城镇 B．一年青人从小岛 A 出发，先驾驶小船到海岸线上的某点 C 处，
再沿海岸线步行到城镇 B．若∠PAC＝θ，假设该年青人驾驶小船的平均速度为 2km/h，
步行速度为 4km/h．
（Ⅰ）试将该年青人从小岛 A 到城镇 B 的时间 t 表示成角 θ 的函数；
（Ⅱ）该年青人欲使从小岛 A 到城镇 B 的时间 t 最小，请你告诉他角 θ 的值．
18．（16 分）已知椭圆 C：푥2
푎2 +
푦2
푏2 = 1（a＞b＞0）的左右焦点分别为 F1，F2，点 P 是椭圆 C
上一点，以 PF1 为直径的圆 E：x2 + (푦 ―
2
2 )
2
=
9
2过点 F2．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）过点 P 且斜率大于 0 的直线 l1 与 C 的另一个交点为 A，与直线 x＝4 的交点为 B，
过点（3， 2）且与 l1 垂直的直线 l2 与直线 x＝4 交于点 D，求△ABD 面积的最小值．
19．（16 分）已知函数 f（x） = 푙푛푥
푥 + k 的极大值为1 + 푒
푒 ，其中 e＝2.71828…为自然对数的底
数．
（1）求实数 k 的值；
（2）若函数 g（x）＝ex - 푎
푥，对任意 x∈（0，+∞），g（x）≥af（x）恒成立．
（ⅰ）求实数 a 的取值范围；
（ⅱ）证明：x2f（x）＞asinx+x2﹣1．
20．（16 分）对于数列{an}，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{an}
为 P 数列．
（1）若{an}的前 n 项和 Sn＝3n+2，试判断{an}是否是 P 数列，并说明理由；
（2）设数列 a1，a2，a3，…，a10 是首项为﹣1、公差为 d 的等差数列，若该数列是 P 数
列，求 d 的取值范围；
（3）设无穷数列{an}是首项为 a、公比为 q 的等比数列，有穷数列{bn}，{cn}是从{an}中
取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为 T1，T2，求{an}是 P 数
列时 a 与 q 所满足的条件，并证明命题“若 a＞0 且 T1＝T2，则{an}不是 P 数列”．
一．填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位置
上．
1．已知集合 A＝{x|x≥1}，B＝{﹣1，0，1，4}，则 A∩B＝ {1，4} ．
【分析】进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|x≥1}，B＝{﹣1，0，1，4}，
∴A∩B＝{1，4}．
故答案为：{1，4}．
【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础
题．
2．设复数 z＝a+bi（a，b∈R，i 是虚数单位），且 z2＝2i，则 a+b＝ ±2 ．
【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算可得 a2﹣b2+2abi＝2i，然后利用复数相等
的条件列式求得 a，b 的值，则答案可求．
【解答】解：∵z＝a+bi（a，b∈R），且 z2＝2i，
∴（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi＝2i，
得{a2 ― 푏2 = 0
2푎푏 = 2 ，解得{a = 1
푏 = 1 或{a = -1
푏 = ―1．
∴a+b＝±2．
故答案为：±2．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．
3．若一组样本数据 21，19，x，20，18 的平均数为 20，则该组样本数据的方差为 2 ．
【分析】由平均数的定义求出 x 的值，再计算方差的大小．
【解答】解：数据 21，19，x，20，18 的平均数为
1
5 × （21+19+x+20+18）＝20，
解得 x＝22；
所以该组样本数据的方差为
s2 = 1
5 × [（21﹣22）2+（19﹣20）2+（22﹣20）2+（20﹣20）2+（18﹣20）2]＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平均数与方差的计算问题，是基础题．
4．椭圆푥2
25 +
푦2
푏2 = 1（b＞0）与双曲线푥2
8 ― 푦2 = 1有公共的焦点，则 b＝ 4 ．
【分析】求得双曲线的焦点坐标，可得 25﹣b2＝9，解方程可得 b 的值．
【解答】解：双曲线푥2
8 ― 푦2 = 1的焦点为（±3，0），
由题意可得 25﹣b2＝9，得 b2＝16，则 b＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查椭圆和双曲线的焦点坐标，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
5．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 15 ．
【分析】根据给出的算法语句的作用求解即可．
【解答】解：依题意，第一次运行循环时，I＝1，满足 I＜9，S＝2×1+1＝3，I＝3；
第二次运行循环时，I＝3，满足 I＜9，S＝2×3+1＝7，I＝5；
第三次运行循环时，I＝5，满足 I＜9，S＝2×5+1＝11，I＝7；
第四次运行循环时，I＝7，满足 I＜9，S＝2×7+1＝15，I＝9；
循环结束，
输出 S＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了算法语句的理解和应用，考查分析和解决问题的能力，属于基础
题．
6．把分别标有“诚”“信”“考”“试”的四张卡片随意的排成一排，则能使卡片从左到右可
以念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率是 1
12 ．
【分析】基本事件总数 n = 퐴44 = 24，能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试
诚信”包含的基本事件个数 m＝2，由此能求出能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”
和“考试诚信”的概率．
【解答】解：把分别标有“诚”“信”“考”“试”的四张卡片随意的排成一排，
基本事件总数 n = 퐴44 = 24，
能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”包含的基本事件个数 m＝2，
则能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率是 p = 푚
푛 =
2
24 =
1
12．
故答案为： 1
12．
【点评】本题考查概率的求法，考查查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基
础题．
7．已知圆柱的高为 2，它的两个底面的圆周在半径为 2 的同一个球的球面上．则球的体积
与圆柱的体积的比值为 16
9 ．
【分析】画图分析可得，该球的直径与圆柱的底面直径和高构成直角三角形，进而求得
圆柱的底面半径，进而求得球的体积与圆柱的体积的比值．
【解答】解：如图，
外接球的体积V1 =
4
3휋 × 23 =
32휋
3 ，
圆柱的底面直径d = 42 ― 22 = 2 3，故底面半径r = 3，
故圆柱体积 V2＝3π×2＝6π．故球的体积与圆柱的体积的比值为
푉1
푉2
=
16
9 ．
故答案为：16
9 ．
【点评】本题主要考查了圆柱与外接球的关系，需要根据球的直径和圆柱的底面直径和
高构成直角三角形进行求解．属于基础题．
8．已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn，且满足 2Sn＝an - 1
3푛（n∈N*），S2020＝ 1
4(1 ―
1
32020
) ．
【分析】直接利用关系式的应用求出结果．
【解答】解：当 n＝1 时有2푎1 = 푎1 ―
1
3得a1 =
1
3，当 n≥2 时，2푆푛―1 = 푎푛―1 ―
1
3푛―1①，
又2푆푛 = 푎푛 ―
1
3푛②，
②﹣①得2푎푛 = 푎푛 ― 푎푛―1 +
1
3푛―1 ―
1
3푛，
整理得a푛 + 푎푛―1 =
2
3푛；
于是 n＝2 得a2 + 푎1 =
2
32，
n＝4 得a4 + 푎3 =
2
34，
n＝6 得a6 + 푎5 =
2
36，…，
a2018 + 푎2017 =
2
32018，
a2020 + 푎2019 =
2
32020；
S2020 =
2
32 +
2
34 +
2
36 +⋯ +
2
32016 +
2
32018 +
2
32020 = 2 ×
1
9
1 ― 1
9
(1 ― (
1
32)
1010
) =
1
4(1 ―
1
32020)．
故答案为：1
4(1 ―
1
32020)
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，求和公式的应用，主要
考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．
9．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若푠푖푛퐵 ― 푠푖푛퐴
푠푖푛퐵 ― 푠푖푛퐶 =
푐
푎 + 푏则 sin（A -
휋
6）＝ 1
2 ．
【分析】由已知结合正弦定理及余弦定理可求 A，然后代入即可求解．
【解答】解：∵푠푖푛퐵 ― 푠푖푛퐴
푠푖푛퐵 ― 푠푖푛퐶 =
푐
푎 + 푏，
由正弦定理可得，푏 ― 푎
푏 ― 푐 =
푐
푎 + 푏，
整理可得，b2+c2﹣a2＝bc，
由余弦定理可得，cosA = 1
2，
∵0＜A＜π，
∴A = 1
3휋，
则 sin（A - 휋
6）＝sin
휋
6 =
1
2．
故答案为：1
2
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．
10．如图，在平面四边形 ABCD 中，∠CBA＝∠CAD＝90°，∠ACD＝30°，AB＝BC，点
E 在线段 BC 上，且
→
BC = 3
→
BE，若
→
AC = λ
→
AD + μ
→
AE（λ，μ∈R），则휇
휆的值为 3 ．
【分析】建立平面直角坐标系后，设 AB＝BC＝t 后，用向量的坐标运算可得．
【解答】解如图建立直角坐标系：设 AB＝BC＝t，
则 A（﹣t，0），C（0，t），
点 E 在线段 BC 上，且
→
BC = 3
→
BE，所以 E（0，푡
3），
因为在 Rt△ADC 中，AC = 2푡，∠ACD＝30°，
所以 AD =
6
3 푡，
由题知 Rt△ABC，是等腰三角形．
所以∠DAF＝45°，
所以 DF＝AF =
3
3 푡，
D（﹣（1 +
3
3 ）t，
3
3 푡），
→
AC = （t，t），
→
AD = （ -
3
3 푡，
3
3 푡），
→
AE = （t，푡
3），
若
→
AC = λ
→
AD + μ
→
AE（λ，μ∈R），
则（t，t）＝λ（ -
3
3 푡，
3
3 푡）+μ（t，푡
3），
{1 = -
3
3 휆 + 휇
1 =
3
3 휆 +
휇
3
，解得μ = 3
2，λ =
3
2 ，
所以휇
휆 = 3．
故答案为： 3．
【点评】本题考查了平面向量的基本运算，属中档题．
11．过直线 l：y＝x﹣2 上任意一点 P 作圆 C：x2+y2＝1 的一条切线，切点为 A，若存在定点
B（x0，y0），使得 PA＝PB 恒成立，则 x0﹣y0＝ 2± 2 ．
【分析】设 P（a，a﹣2），B 必在以 P 为圆心，PA 为半径的圆上，B（x0，y0）为这些圆
的公共点，PB2＝PA2 恒成立，即任意 a∈R，（x0﹣a）2+[y0﹣（a﹣1）]2＝a2+（a﹣2）2﹣
1 恒成立，所以{x0
2 + 푦0
2 + 4푦0 + 1 = 0
푥0 + 푦0 = 0 ，即可解得 x0，y0，进而得到答案．
【解答】解：设 P（a，a﹣2），
由题意知 B 必在以 P 为圆心，PA 为半径的圆上，B（x0，y0）为这些圆的公共点，
因为 PB2＝PA2，
所以（x0﹣a）2+[y0﹣（a﹣2）]2＝a2+（a﹣2）2﹣1
即（x02+y02+4y0+1）﹣2a（x0+y0）＝0，
因为任意 a∈R，（x02+y02+4y0+1）﹣2a（x0+y0）＝0 恒成立，
所以{x0
2 + 푦0
2 + 4푦0 + 1 = 0
푥0 + 푦0 = 0
解得{x0 = 1 +
2
2
푦0 = ―1 ―
2
2
或{x0 = 1 ―
2
2
푦0 = ―1 +
2
2
，
所以 x0﹣y0＝2± 2，
故答案为：2± 2．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，恒成立问题，属于难题．
12．设 a＞0，b＞0，a﹣2b＝1，则(푎2 + 4)(푏2 + 1)
푎푏 的最小值为 4+2 5 ．
【分析】结合已知条件进行化简后，直接利用基本不等式即可求解．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，a﹣2b＝1，
则(푎2 + 4)(푏2 + 1)
푎푏 =
푎2푏2 + 푎2 + 4푏2 + 4
푎푏 ，
＝ab + (푎 ― 2푏)2 + 4푎푏 + 4
푎푏 ，
＝ab + 4푎푏 + 5
푎푏 ，
＝ab + 5
푎푏 +4 ≥ 4 + 2 5，
当且仅当 ab = 5时取等号，此时取得最小值 4+2 5．
故答案为：4+2 5．
【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题．
13．函数 f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象与其对称轴在 y 轴右侧的交点从左到右依次记为
A1，A2，A3，…，An，…，在点列{An}中存在三个不同的点 Ak、Al、Ap，使得△AkAlAp
是等腰直角三角形，将满足上述条件的 ω 值从小到大组成的数记为 ωn，则 ω6＝ 11
2
π ．
【分析】令 ωx＝kπ + 휋
2，可求对称轴方程，进而可求 A1，A2，A3，……An 的坐标，由
△AkAtAp 是等腰直角三角形可知直线的斜率之积为﹣1 可求 ωn，进而可求 ω6 的值．
【解答】解：由 ωx＝kπ + 휋
2，得 x = (2푘 + 1)휋
2휔 ，k∈Z，
由题意得 x = 휋
2휔，3휋
2휔，5휋
2휔，…，(2푛 ― 1)휋
2휔 ，
即 A1（ 휋
2휔，1），A2（3휋
2휔，﹣1），A3（5휋
2휔，1），A4（
7휋
2휔，﹣1）…，
由△A1A2A3 是等腰直角三角形，
得 kA1A2•kA2A3＝﹣1，
即
2
휋
휔
• ―2
휋
휔
= ― 1，得 ω1 = 휋
2，
同理△A1A4A7 是等腰直角三角形得 kA1A4•kA1A4＝﹣1，得 ω2 = 3휋
2 ．
同理△A 1A6A11 是等腰直角三角形得 kA1A6 •k A6A11 ＝﹣1，得 ω 2 = 5휋
2 从而有 ωn =
(2푛 ― 1)휋
2 ．
则 ω6 = (2 × 6 ― 1)휋
2 =
11
2 π，
故答案是：11
2 π．
【点评】本题主要考查了正弦函数的对称性及直线垂直关系的应用，还考查了归纳推理
的应用，属于知识的简单综合．
14．已知定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（1+x）+f（1﹣x）＝0．且当 0≤x≤1 时，f（x）＝
log3（a﹣x）．若对于任意 x∈[﹣1，0]，都有f(푥2 ― 푡푥 ―
1
3) ≥ 1 ― 푙표푔35，则实数 t 的取值
范围为 [ - 7
3，1] ．
【分析】先求得 f（1）的值，由此求得 a 的值，证得 f（x）时周期为 4 的函数，将 1﹣log35
转化为 f（5
3），根据函数周期性和对称性，将原式转化为 - 5
3 + 4k≤x2﹣tx，结合 x 的取
值范围即可求得 t 的取值范围．
【解答】解：因为 f（1+x）+f（1﹣x）＝0．令 x＝0，则 2f（1）＝0，即 f（1）＝0，
由于 0≤x≤1 时，f（x）＝log3（a﹣x）．所以（1）＝log3（a﹣1）＝0，解得 a＝2，
即有当 0≤x≤1 时，f（x）＝log3（2﹣x）．
因为 1﹣log35 = lo푔3
3
5 = ― lo푔3
5
3 = ― lo푔3(2 ―
1
3) = ― f（1
3）＝﹣f（1 - 2
3）＝f（1 +
2
3）＝f（5
3），
又因为 f（x）为偶函数，所以 f（5
3）＝f（ - 5
3），
再根据 f（1+x）+f（1﹣x）＝0．f（﹣x）＝f（x），
则 f（x+4）＝f[1+（x+3）]＝﹣f[1﹣（x+3）]＝﹣f[﹣（x+2）]＝﹣f（x+2）＝﹣f[1+
（1+x）]＝f[1﹣（1+x）]＝f（﹣x）＝f（x），
所以函数 f（x）是周期为 4 的周期函数，
当 x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，所以 f（x）＝f（﹣x）＝log3（2+x），
所以当 x∈[﹣1，1]时，f（x）＝log3（2﹣|x|）．
因为 f（1+x）+f（1﹣x）＝0，所以 f（2﹣x）+f（x）＝0，故 f（x）＝﹣f（2﹣x），
所以当 x∈[1，3]时，2﹣x∈[﹣1，1]，所以 f（x）＝﹣log3（2﹣|2﹣x|）．
作出函数 f（x）的图象如图：
由f(푥2 ― 푡푥 ―
1
3) ≥ 1 ― 푙표푔35，得 - 5
3 + 4k≤x2﹣tx - 1
3 ≤
5
3 + 4k（k∈Z），对于任意 x∈[﹣
1，0]成立
当 x＝0 时， - 5
3 + 4k ≤ - 1
3 ≤
5
3 + 4k，解得 - 1
2 ≤ k ≤ 1
3，所以 k＝0，即 - 5
3 ≤ x2﹣
tx - 1
3 ≤
5
3对于任意 x∈[﹣1，0]成立，
当 x∈[﹣1，0）时，由 - 5
3 ≤ x2﹣tx - 1
3得 t≥（x + 4
3푥）的最大值，由于 y＝x + 4
3푥在[﹣
1，0）单调递减，所以 t≥﹣1 - 4
3 = ―
7
3，
由 x2﹣tx - 1
3 ≤
5
3得 t≤（x - 2
푥）的最小值，由于 y＝x - 2
푥在[﹣1，0）单调递增，所以 t
≤﹣1 - 2
―1 = 1，
综上，t 的取值范围是[ - 7
3，1]，
故答案为：[ - 7
3，1]．
【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本
题的关键，综合考查函数性质的应用．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步驟．
15．（14 分）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2a﹣c＝2bcosC．
（1）求 B；
（2）若b = 3，△ABC 的面积为
3
2 ，求△ABC 的周长．
【分析】（1）由已知利用余弦定理可得 a2+c2﹣b2＝ac，可求 cosB 的值，结合范围 B∈
（0，π），可得 B 的值．
（2）由已知利用三角形的面积公式可求 ac＝2，进而利用余弦定理可求 a+c 的值，即可
求解△ABC 的周长．
【解答】解：（1）∵2a﹣c＝2bcosC＝2b•푎2 + 푏2 ― 푐2
2푎푏 ，
∴整理可得 a2+c2﹣b2＝ac，
∵cosB = 푎2 + 푐2 ― 푏2
2푎푐 =
푎푐
2푎푐 =
1
2，
∴由 B∈（0，π），可得 B = 휋
3．
（2）∵B = 휋
3，△ABC 的面积为
3
2 =
1
2acsinB =
3
4 ac，
∴ac＝2，
∵b = 3，
∴由余弦定理 b2＝a2+c2﹣2accosB，可得 3＝a2+c2﹣ac＝（a+c） 2﹣3ac＝（a+c） 2﹣6，
解得 a+c＝3，
∴△ABC 的周长 a+b+c＝3 + 3．
【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计
算能力和转化思想，属于基础题．
16．（14 分）如图，在三棱锥 A﹣BCD 中，点 M、N 分别在棱 AC、CD 上，N 为 CD 的中
点．
（1）若 M 为 AC 的中点，求证：AD∥平面 BMN；
（2）若平面 ABD⊥平面 BCD，AB⊥BC，求证：BC⊥AD．
【分析】（1）推导出 MN∥AD，由此能证明 AD∥平面 BMN．
（2）作 AO⊥BD，垂足为 O，推导出 AO⊥平面 BCD，从而 AO⊥BC，再由 AB⊥BC，
得 BC⊥平面 ABD，由此能证明 BC⊥AD．
【解答】证明：（1）在△ACD 中，∵点 M、N 分别在棱 AC、CD 的中点，
∴MN∥AD，
∵AD⊄平面 BMN，MN⊂平面 BMN，
∴AD∥平面 BMN．
（2）如图，在平面 ADB 中，作 AO⊥BD，垂足为 O，
∵平面 ABD⊥平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD＝BD，
AO⊂平面 ABD，∴AO⊥平面 BCD，
∵BC⊂平面 BCD，∴AO⊥BC，
又 AB⊥BC，AB∩AO＝A，∴BC⊥平面 ABD，
∵AD⊂平面 ABD，∴BC⊥AD．
【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置
关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17．（14 分）如图所示，一座小岛 A 距离海岸线上最近的点 P 的距离是 2km，从点 P 沿海岸
正东 12km 处有一城镇 B．一年青人从小岛 A 出发，先驾驶小船到海岸线上的某点 C 处，
再沿海岸线步行到城镇 B．若∠PAC＝θ，假设该年青人驾驶小船的平均速度为 2km/h，
步行速度为 4km/h．
（Ⅰ）试将该年青人从小岛 A 到城镇 B 的时间 t 表示成角 θ 的函数；
（Ⅱ）该年青人欲使从小岛 A 到城镇 B 的时间 t 最小，请你告诉他角 θ 的值．
【分析】（Ⅰ）根据直角三角形的边角关系求出 AC 和 BC 的值，再求 t 关于 θ 的函数解
析式；
（Ⅱ）根据 t 的解析式，结合三角函数的性质求出 t 的最小值以及对应 θ 的值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，AP⊥PB，AP＝2，0＜θ＜휋
2，
所以 PC＝2tanθ，AC = 2
푐표푠휃，BC＝12﹣2tanθ，
所以 t 关于 θ 的函数为
t = 퐴퐶
2 +
퐵퐶
4 =
2
2푐표푠휃 +
12 ― 2푡푎푛휃
4 =
1
푐표푠휃 +3 ―
푡푎푛휃
2 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，t = 1
푐표푠휃 +3 ―
푡푎푛휃
2 =
2 ― 푠푖푛휃
푐표푠휃 +3，
令y = 2 ― 푠푖푛휃
푐표푠휃 ＞0，则2 = sinθ +2ycosθ ≤ 1 + 4푦2；
解得y ≥
3
2 ，当且仅当sinθ = 1
2，푐표푠휃 =
3
2 时，等号成立；
即θ = 휋
6时，所化时间 t 最小．
【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数图象与性质的问题，是中
档题．
18．（16 分）已知椭圆 C：푥2
푎2 +
푦2
푏2 = 1（a＞b＞0）的左右焦点分别为 F1，F2，点 P 是椭圆 C
上一点，以 PF1 为直径的圆 E：x2 + (푦 ―
2
2 )
2
=
9
2过点 F2．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）过点 P 且斜率大于 0 的直线 l1 与 C 的另一个交点为 A，与直线 x＝4 的交点为 B，
过点（3， 2）且与 l1 垂直的直线 l2 与直线 x＝4 交于点 D，求△ABD 面积的最小值．
【分析】（Ⅰ）根据题意求得椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义求得 a 和 b 的值，即可求
得椭圆方程；
（Ⅱ）设直线 l1 的方程，代入涂鸦方程，利用韦达定理求得 A 的横坐标，求得直线 l2 方
程，求得 D 点坐标，利用三角形的面积公式及基本不等式即可求得△ABD 面积的最小
值．
【解答】解：（Ⅰ）在圆 E 的方程中，令 y＝0，得到：x2＝4，
所以 F1（﹣2，0），F2（2，0），
又因为OE
∥
=
1
2퐹2푃，所以 P 点坐标为(2， 2)，
所以2a = |P퐹1| + |푃퐹2| = 4 2，则a = 2 2，b＝2，
因此椭圆的方程为푥2
8 +
푦2
4 = 1；
（Ⅱ）设直线 l1：y - 2 = k（x﹣2）（k＞0），
所以点 B 的坐标为(4， 2 +2푘)，
设 A（xA，yA），D（xD，yD），将直线 l1 代入椭圆方程得：（1+2k2）x2+（4 2k﹣8k2）x+8k2
﹣8 2k﹣4＝0，
所以 xPxA = 8푘2 ― 8 2푘 ― 4
1 + 2푘2 ，所以 xA = 4푘2 ― 4 2푘 ― 2
1 + 2푘2 ，
直线 l2 的方程为 y - 2 = ―
1
푘（x﹣3），所以点 D 坐标为(4， 2 ―
1
푘)，
所以 S△ABD = 1
2（4﹣xA）|yB﹣yD| = 1
2•4푘2 + 4 2푘 + 6
2푘2 + 1
•|2k + 1
푘|
＝2k + 3
푘 + 2 2 ≥ 2 6 + 2 2，
当且仅当 2k = 3
푘，即 k =
6
2 时取等号，
综上，△ABD 面积的最小值 2 6 + 2 2．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理及基本不等式的
应用，考查转化思想，属于中档题．
19．（16 分）已知函数 f（x） = 푙푛푥
푥 + k 的极大值为1 + 푒
푒 ，其中 e＝2.71828…为自然对数的底
数．
（1）求实数 k 的值；
（2）若函数 g（x）＝ex - 푎
푥，对任意 x∈（0，+∞），g（x）≥af（x）恒成立．
（ⅰ）求实数 a 的取值范围；
（ⅱ）证明：x2f（x）＞asinx+x2﹣1．
【分析】（1）求导，得出函数的单调性情况，进而求得其极大值，结合题意可求得 k＝1；
（2）（i）依题意，xe x﹣ax﹣alnx﹣a≥0 在（0，+∞）恒成立，令 h（x）＝e lnx+x﹣a
（x+lnx）﹣a，设 t＝lnx+x（t∈R），H（t）＝et﹣at﹣a，则 H（t）≥0 恒成立，接下来分
a＜0，a＝0 及 a＞0 三种情形讨论即可得出结论；
（ii）问题转化为证明lnx + 1
푥＞
푎푠푖푛푥
푥 ，构造函数F(x) = lnx + 1
푥，G（x）＝x﹣sinx，求
出函数 F（x）的最小值，函数 G（x）的最大值，结合 a 的取值范围即可得证．
【解答】解：（1）f'(x) = 1 ― 푙푛푥
푥2 (푥＞0)，当 x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调
递增，当 x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）的极大值为f(e) = 1
푒 + 푘 =
1 + 푒
푒 ，
∴k＝1；
（2）（i）根据题意，对任意 x∈（0，+∞），都有e푥 ―
푎
푥 ≥
푎푙푛푥
푥 + 푎，化简得 xex﹣ax﹣alnx
﹣a≥0，
令 h（x）＝xex﹣ax﹣alnx﹣a＝elnx+x﹣a（x+lnx）﹣a，设 t＝lnx+x（t∈R），则 H（t）＝et
﹣at﹣a，H′（t）＝et﹣a，只需 H（t）≥0，t∈R，
①当 a＜0，t＜0 时，H（t）＜1﹣at﹣a，则H(1
푎 ― 1)＜1 ― 푎(
1
푎 ― 1) ― 푎 = 0，不合题意；
②当 a＝0 时，H（t）≥0 显然成立；
③当 a＞0 时，由 H′（t）＞0，解得 t＞lna，由 H′（t）＜0，解得 t＜lna，
∴当 t∈（﹣∞，lna）时，H（t）单调递减，当 t∈（lna，+∞）时，H（t）单调递减，
∴H（t）min＝H（lna）＝a﹣alna﹣a＝﹣alna≥0，即﹣lna≥0，解得 0＜a≤1；
综上，实数 a 的取值范围为[0，1]；
（ii）证明：要证 x2f（x）＞asinx+x2﹣1，只需证x2(
푙푛푥
푥 +1)＞푎푠푖푛푥 + 푥2 ― 1，化简得 xlnx+1
＞asinx，只需证lnx + 1
푥＞
푎푠푖푛푥
푥 ，
设F(x) = lnx + 1
푥，G（x）＝x﹣sinx，
则F'(x) = 1
푥 ―
1
푥2 =
푥 ― 1
푥2 ，易知当 x∈（0，1）时，F（x）递减，当 x∈（1，+∞）时，F
（x）递增，
∴F（x）≥F（1）＝1，
由 G′（x）＝1﹣cosx≥0，则 G（x）在（0，+∞）递增，则 G（x）＞G（0）＝0，则 x
＞sinx，
又由（i）可知 0≤a≤1，故푎푠푖푛푥
푥 ＜1，
∴F(x)＞푎푠푖푛푥
푥 成立，故原命题成立．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，以及不等式的恒成立问题，考查分类讨论
思想，转化思想等数学思想，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题．
20．（16 分）对于数列{an}，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{an}
为 P 数列．
（1）若{an}的前 n 项和 Sn＝3n+2，试判断{an}是否是 P 数列，并说明理由；
（2）设数列 a1，a2，a3，…，a10 是首项为﹣1、公差为 d 的等差数列，若该数列是 P 数
列，求 d 的取值范围；
（3）设无穷数列{an}是首项为 a、公比为 q 的等比数列，有穷数列{bn}，{cn}是从{an}中
取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为 T1，T2，求{an}是 P 数
列时 a 与 q 所满足的条件，并证明命题“若 a＞0 且 T1＝T2，则{an}不是 P 数列”．
【分析】（1）求出数列{an}的通项，根据 P 数列的定义判断即可；
（2）由 P 数列的定义建立不等式，求解即可；
（3）通过反证法即可得出结论．
【解答】解：（1）∵S푛 = 3푛 +2，
∴a푛 = 푆푛 ― 푆푛―1 = 2 ⋅ 3푛―1(푛 ≥ 2)，
当 n＝1 时，a1＝S1＝5，
故a푛 = {5，푛 = 1
2 ⋅ 3푛―1，푛 ≥ 2，
那么当 k∈N•时，a푘+1 ― 푆푘 = 2 ⋅ 3푘 ― 3푘 ― 2 = 3푘 ― 2＞0，符合题意，
故数列{an}是 P 数列；
（2）由题意知，该数列的前 n 项和为S푛 = ― 푛 +
푛(푛 ― 1)
2 푑，푎푛+1 = ―1 + 푛푑，
由数列 a1，a2，a3，…，a10 是 P 数列，可知 a2＞S1＝a1，故公差 d＞0，
S푛 ― 푎푛+1 =
푑
2푛2 ― (1 +
3
2푑)푛 +1＜0对满足 n＝1，2，3……，9 的任意 n 都成立，则푑
2 ⋅ 92
― 9(1 +
3
2푑) + 1＜0，解得d＜ 8
27，
故 d 的取值范围为(0， 8
27)；
（3）①若{an}是 P 数列，则 a＝S1＜a2＝aq，
若 a＞0，则 q＞1，又由 an+1＞Sn 对一切正整数 n 都成立，可知a푞푛＞푎 ⋅
푞푛 ― 1
푞 ― 1 ，即2 - q
＜(1
푞)푛对一切正整数 n 都成立，
由(1
푞)푛＞0，푙푖푚
푛→∞
(
1
푞)푛 = 0，故 2﹣q≤0，可得 q≥2，；
若 a＜0，则 q＜1，又由 an+1＞Sn 对一切正整数 n 都成立，可知a푞푛＞푎 ⋅
푞푛 ― 1
푞 ― 1 ，即（2﹣
q）qn＜1 对一切正整数 n 都成立，
又当 q∈（﹣∞，﹣1]时，（2﹣q）qn＜1 当 n＝2 时不成立，
故有{q ∈ (0，1)
(2 ― 푞)푞＜1 或{q ∈ ( - 1，0)
(2 ― 푞)푞2＜1 ，解得q ∈ (1 ― 5
2 ，0) ∪ (0，1)，
∴当{an}是 P 数列时，a 与 q 满足的条件为{a＞0
푞 ≥ 2或{a＜0
푞 ∈ (
1 ― 5
2 ，0) ∪ (0，1)；
②假设{an}是 P 数列，则由①可知，q≥2，a＞0，且{an}中每一项均为正数，
若{bn}中的每一项都在{cn}中，则由这两数列是不同数列，可知 T1＜T2；
若{cn}中的每一项都在{bn}中，同理可得 T1＞T2；
若{bn}中至少有一项不在{cn}中且{cn}中至少有一项不在{bn}中，
设{bn'}，{cn'是将{bn}，{cn}中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项
和分别为 T1'，T2'，
不妨设{bn'}，{cn'}中最大的项在{bn'}中，设为 am（m≥2），
则 T2'≤a1+a2+……+am﹣1＜am≤T1'，故 T2'＜T1'，故总有 T1≠T2 与 T1＝T2 矛盾，故假设
错误，原命题正确．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查 P 数列的判断，考查等差数列、等比数
列等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
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