2020 年高考数学二模试卷（文科）
一、选择题（共 12 小题）
1．已知集合 A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈Z}，B＝{x||x|≤2，x∈Z}，则 A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1} B．{﹣2，﹣1，0，1}
C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}
2．已知复数 z 满足 1
1 + 푖 = a+bi，（a，b∈R），则 a+b＝（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D． ퟐ
3．命题 p：∀x＞0，ex＞1，则命题 p 的否定是（ ）
A．∀x＞0，ex≤1 B．∀x≤0，ex≤1
C．∃x0＞0，e풙ퟎ ≤ 1 D．∃x0≤0，e풙ퟎ ≤ 1
4．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员 9 场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是
（ ）
A．乙所得分数的极差为 26
B．乙所得分数的中位数为 19
C．两人所得分数的众数相同
D．甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数
5．已知 a，b，c∈R，3a＝2，4b＝5，5c＝4，则下列不等关系中正确的是（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b6．函数 f（x）＝sin（x +
휋
6）的图象平移后对应的函数为 g（x）＝sin（x +
휋
6 + φ），若 g
（x）为偶函数，则|φ|的最小值为（ ）
A．휋
6 B．휋
3 C．2휋
3 D．5휋
6
7．函数 f（x） =
푒푥 ― 푒―푥
푥2 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知 m，n 为两条不同直线，α，β 为两个不同的平面，则下列说法中正确的个数是（ ）
①若 m∥α，α∥β，则 m∥β； ②若 m∥α，m∥β，则 α∥β；
③若 m⊥α，n⊥β，α∥β，则 m∥n； ④若 m⊥α，n⊥β，α⊥β，则 m⊥n；
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知△ABC 三内角 A，B，C 满足 cos2A+cos2B＝1+cos2C 且 2sinAsinB＝sinC，则下列
结论正确的是（ ）
A．A＝B，C ≠
휋
2 B．A≠B，C =
휋
2 C．A≠B，C ≠
휋
2 D．A＝B，C =
휋
2
10．若点 A 为抛物线 y2＝4x 上一点，F 是抛物线的焦点，|AF|＝6，点 P 为直线 x＝﹣1 上
的动点，则|PA|+|PF|的最小值为（ ）
A．2 ퟏퟑ B．2 ퟐퟏ C．2+2 ퟏퟒ D．811．已知三棱锥 P﹣ABC 中，PA＝1，PB = ퟑ，CA＝CB＝AB＝2，平面 PAB⊥平面
ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．25휋
3 B．16휋
3 C．7휋
3 D．5휋
3
12．已知函数 f（x）的定义域为（ ―
휋
2，휋
2），f'（x）是 f（x）的导函数．若 f'（x）cosx+f
（x）sinx＜0，则关于 x 的不等式 f（x）＜ ퟐf（휋
4）cosx 的解集为（ ）
A．（ ―
휋
2，휋
4） B．（ ―
휋
4，휋
4）
C．（휋
4，휋
2） D．（ ―
휋
2， ―
휋
4）∪（휋
4，휋
2）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知向量→
풂 = （2，﹣1），→
풃 = （1，t），且|→
풂 + →
풃|＝|→
풂 ― →
풃|，则 t＝ ．
14．已知六张卡片上分别标有数字 1，2，3，4，5，6，随机取出两张卡片，则数字之和为
偶数的概率为 ．
15．已知双曲线mx2+y2＝1的一条渐近线方程为y =
1
2x，则其焦点到渐近线的距离为 ．
16．根据疾病防控的需要，某医院要从感染科抽调两名医生随省医疗队赴武汉参加抗疫工
作，现有甲、乙、丙、丁、戊五名优秀医生申请作为志愿者参加．为确定最终驰援武汉
的人选，医院领导组五位成员先各推荐两名人员，分别为“丁、戊”，“丙、戊”，“甲、
乙”，“乙、戊”，“甲、丁”．根据最终入选名单发现五位领导中有一人推荐的两人
都没有入选，其余四人推荐的人选中各有一人入选．根据以上信息判断，最后随省医疗
队参加抗疫的两名医生是 ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：
共 60 分．
17．记 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，且 a1+S2＝11，a2+a4＝a3+7．（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{
1
푎푛푎푛+1
}的前 n 项和 Tn．
18．如图，在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1＝AD＝1，AB＝2，P 为 A1B1 的中点．
（1）证明：平面 PA1D⊥平面 ABC1；
（2）求多面体 PA1BDD1 的体积．
19．已知椭圆 E：푥2
4 + 푦2
2 = 1，点 A，B 分别是椭圆的左，右顶点，P 是椭圆上一点．
（1）若直线 AP 的斜率为 2，求直线 PB 的斜率；
（2）若点 P 的坐标为（ ퟐ，1），斜率为 2
2 的直线 l 与椭圆相交于 E，F（异于 P 点）
两点．证明：PE，PF 的斜率 k1，k2 的和为定值．
20．为了研究昼夜温差与引发感冒的情况，医务人员对某高中在同一时间段相同温差下的
学生感冒情况进行抽样调研，所得数据统计如表 1 所示，并将男生感冒的人数与温差情
况统计如表 2 所示．
表 1
患感冒人数 不患感冒人数 合计
男生 30 70 100
女生 42 58 p
合计 m n 200
表 2 温差 x 6 7 8 9 10
患感冒人数 y 8 10 14 20 23
（1）写出 m，n，p 的值；
（2）判断是否有 95%的把握认为在相同的温差下认为“性别”与“患感冒的情况”具
有相关性；
（3）根据表 2 数据，计算 y 与 x 的相关系数 r，并说明 y 与 x 的线性相关性强弱（若 0.75
≤|r|≤1，则认为 y 与 x 线性相关性很强；0.3≤|r|≤0.75，则认为 y 与 x 线性相关性一般；
|r|≤0.25，则认为 y 与 x 线性相关性较弱）．
附：参考公式：K2 = 푛(푎푑 ― 푏푐)2
(푎 + 푏)(푐 + 푑)(푎 + 푐)(푏 + 푑)
，n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.25 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010
k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
r =
푛
푖=1 (푥푖 ― 푥)(푦푖 ― 푦)
푛
푖=1 (푥푖 ― 푥)2 푛
푖=1 (푦푖 ― 푦)2
，
ퟓ
풊=ퟏ
（xi ― 풙）2＝10，
ퟓ
풊=ퟏ
（yi ― 풚）2＝164，
ퟒퟏퟎ ≈ 20.2485．
21．已知函数 f（x）＝x2lnx．
（1）讨论 f（x）的单调性；
（2）若关于 x 的不等式 f（x）﹣ax+1≥0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的
第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为{풙 = 풕ퟐ +
4
푡2 ― ퟒ
풚 = ퟐ풕 ―
4
푡
（t 为参数，且 t＞0），
以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρcosθ﹣3ρsinθ﹣1＝0．
（1）写出曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程；
（2）若直线 l 与 x 轴交点记为 M，与曲线 C 交于 P，Q 两点，求 1
|푃푀| +
1
|푄푀|．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知 a，b 为实数，且满足 3a2+4b2≤12．证明：
（1）풂풃 ≤ ퟑ；
（2）a+2b≤4．参考答案
一、选择题：本大题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．已知集合 A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈Z}，B＝{x||x|≤2，x∈Z}，则 A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1} B．{﹣2，﹣1，0，1}
C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}
【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可．
解：A＝{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣2≤x≤2，x∈Z}＝{﹣2，﹣
1，0，1，2}，
∴A∩B＝{﹣1，0，1，2}．
故选：C．
【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，绝对值不等式的
解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．已知复数 z 满足 1
1 + 푖 = a+bi，（a，b∈R），则 a+b＝（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D． ퟐ
【分析】把已知等式变形，咋样复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条
件求解．
解：由 1
1 + 푖 = a+bi，得 1＝（a+bi）（1+i）＝（a﹣b）+（a+b）i，
∴a+b＝0．
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．3．命题 p：∀x＞0，ex＞1，则命题 p 的否定是（ ）
A．∀x＞0，ex≤1 B．∀x≤0，ex≤1
C．∃x0＞0，e풙ퟎ ≤ 1 D．∃x0≤0，e풙ퟎ ≤ 1
【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
解：∵全称命题的否定是特称命题．
∴命题 p：∀x＞0，ex＞1 的否定是：∃x0＞0，ex0≤1；
故选：C．
【点评】本题考查命题的否定，注意量词的变化，是对基本知识的考查．
4．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员 9 场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是
（ ）
A．乙所得分数的极差为 26
B．乙所得分数的中位数为 19
C．两人所得分数的众数相同
D．甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数
【分析】根据极差，中位数，众数和平均数的定义，求出这些数，再将所得数据与各项
进行对照，即可得解．
解：A、乙所得分数的极差为 33﹣7＝26，故本选项说法正确；
B、乙所得分数的中位数为 19，故本选项说法正确；C、甲、乙两人所得分数的众数都为 22，故本选项说法正确；
D 、 甲 =
10 + 15 + 16 + 21 + 22 + 22 + 23 + 32 + 34
9 =
173
9 ， 乙 =
7 + 11 + 12 + 16 + 19 + 20 + 22 + 22 + 33
9 =
162
9 ，则甲＞乙，故本选项说法错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查了茎叶图，要我们判断其中关于特征数的描述不正确的一项，着
重考查了茎叶图的认识，以及极差，平均数，中位数和众数的定义及求法等知识，属于
基础题．
5．已知 a，b，c∈R，3a＝2，4b＝5，5c＝4，则下列不等关系中正确的是（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【分析】3a＝2，4b＝5，5c＝4，a＝log32＝log94＜log54＜1，b＞1，即可得出 a，b，c 的
大小关系．
解：∵3a＝2，4b＝5，5c＝4，
∴a＝log32＝log94＜log54＜1，b＞1．
∴a＜c＜b．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的大小比较、对数函数的单调性性，考查了推理能力与计算
能力，属于基础题．
6．函数 f（x）＝sin（x +
휋
6）的图象平移后对应的函数为 g（x）＝sin（x +
휋
6 + φ），若 g
（x）为偶函数，则|φ|的最小值为（ ）
A．휋
6 B．휋
3 C．2휋
3 D．5휋
6
【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和函数的平移变换的应用求出结果．【解答】函数 f（x）＝sin（x +
휋
6）的图象平移后对应的函数为 g（x）＝sin（x +
휋
6 +
φ），
由于 g（x）为偶函数，
所以휋
6 + φ = 풌흅 +
휋
2（k∈Z），解得 φ＝k흅 +
휋
3，
当 k＝0 时，φ =
휋
3，
即|φ|的最小值为휋
3．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的平移变换的应
用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
7．函数 f（x） =
푒푥 ― 푒―푥
푥2 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想进行判断排除即可．
解：函数的定义域为{x|x≠0}，
f（﹣x） =
푒―푥 ― 푒푥
푥2 = ― f（x），则函数 f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除 A，当 x→+∞，f（x）→+∞排除 C，D，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用奇偶性的定义以及极限思想结合排
除法是解决本题的关键．比较基础．
8．已知 m，n 为两条不同直线，α，β 为两个不同的平面，则下列说法中正确的个数是（ ）
①若 m∥α，α∥β，则 m∥β； ②若 m∥α，m∥β，则 α∥β；
③若 m⊥α，n⊥β，α∥β，则 m∥n； ④若 m⊥α，n⊥β，α⊥β，则 m⊥n；
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个命题得
答案．
解：对于①，若 m∥α，α∥β，则 m∥β 或 m⊂β，故①错误；
对于②，若 m∥α，m∥β，则 α∥β 或 α 与 β，故②错误；
对于③，若 m⊥α，α∥β，则 m⊥β，又 n⊥β，∴m∥n，故③正确；
对于④，若 m⊥α，n⊥β，α⊥β，则 m⊥n，故④正确．
∴说法正确的个数是 2．
故选：B．
【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查
空间想象能力与思维能力，是中档题．
9．已知△ABC 三内角 A，B，C 满足 cos2A+cos2B＝1+cos2C 且 2sinAsinB＝sinC，则下列
结论正确的是（ ）
A．A＝B，C ≠
휋
2 B．A≠B，C =
휋
2 C．A≠B，C ≠
휋
2 D．A＝B，C =
휋
2
【分析】由二倍角的余弦函数公式化简已知可得 sin2A+sin2B＝sin2C，由正弦定理得：a2+b2＝c2，可求 C =
휋
2，由已知等式及二倍角公式可得 sin2A＝sin2B＝1，进而可求 A＝B，即
可得解．
解：∵cos2A+cos2B＝1+cos2C，
∴1﹣2sin2A+1﹣2sin2B＝1+1﹣2sin2C，可得：sin2A+sin2B＝sin2C，
∴由正弦定理得：a2+b2＝c2，
∴C =
휋
2，
又∵sinC＝2sinAsinB，
可得：2sinAsinB＝2sinBcosB＝2sinAcosA＝1，
可得：sin2A＝sin2B＝1，
由于 A，B 为锐角，可得 A＝B =
휋
4．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，三角形内角和定理在解三角形中的综
合应用，考查了转化思想，属于基础题．
10．若点 A 为抛物线 y2＝4x 上一点，F 是抛物线的焦点，|AF|＝6，点 P 为直线 x＝﹣1 上
的动点，则|PA|+|PF|的最小值为（ ）
A．2 ퟏퟑ B．2 ퟐퟏ C．2+2 ퟏퟒ D．8
【分析】先根据抛物线的定义可知，|AF| = 풙푨 +
푝
2，可求出 xA，代入抛物线方程后可得
点 A 的坐标，设点 F 关于 x＝﹣1 的对称点为 E，则 E（﹣3，0），利用点关于直线的
对称性，将问题进行转化，|PA|+|PF|＝|PA|+|PE|≥|AE|，最后利用两点间距离公式求出
线段|AE|的长即可得解．
解：由题意可知，p＝2，F（1，0），由抛物线的定义可知，|AF| = 풙푨 +
푝
2 = 풙푨 +ퟏ = ퟔ，∴xA＝5，
代入抛物线方程，得풚푨
ퟐ = ퟐퟎ，不妨取点 A 为（5，ퟐ ퟓ），
设点 F 关于 x＝﹣1 的对称点为 E，则 E（﹣3，0），
∴|PA|+|PF|＝|PA|+|PE|≥|AE| = (ퟓ + ퟑ)ퟐ + (ퟐ ퟓ)ퟐ = ퟐ ퟐퟏ．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的性质、点关于直线的对称问题等，考查学生的转化与化归能
力和运算能力，属于基础题．
11．已知三棱锥 P﹣ABC 中，PA＝1，PB = ퟑ，CA＝CB＝AB＝2，平面 PAB⊥平面
ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．25휋
3 B．16휋
3 C．7휋
3 D．5휋
3
【分析】取 AB 的中点 D，由题意可知点 D 为△PAB 的外接圆的圆心，由平面 PAB⊥平面
ABC 得到 CD⊥平面 PAB，
所以此三棱锥的外接球的球心在 CD 上，又△ABC 为等边三角形，所以△ABC 的外接圆
的半径即为三棱锥的外接球的半径，利用正弦定理求出△ABC 的外接圆的半径即可解
题．
解：取 AB 的中点 D，连接 CD，PD，如图所示：因为 PA＝1，PB = ퟑ，AB＝2，所以 AB2＝PA2+PB2，
所以△PAB 为直角三角形，且∠APB＝90°，
∵点 D 是 AB 的中点，∴DA＝DB＝DP，
∴点 D 为△PAB 的外接圆的圆心，
又∵平面 PAB⊥平面 ABC，且 CD⊥AB，
∴CD⊥平面 PAB，
∴此三棱锥的外接球的球心在 CD 上，
又∵△ABC 为等边三角形，
∴△ABC 的外接圆的圆心即为三棱锥的外接球的球心，△ABC 的外接圆的半径即为三棱
锥的外接球的半径，
∴三棱锥的外接球的半径 R =
1
2 ×
2
3
2
= 2 3
3
，
∴此三棱锥的外接球的表面积为：4πR2＝4흅 × (2 3
3 )ퟐ =
16휋
3 ，
故选：B．
【点评】本题主要考查了三棱锥的外接球的问题，是中档题．12．已知函数 f（x）的定义域为（ ―
휋
2，휋
2），f'（x）是 f（x）的导函数．若 f'（x）cosx+f
（x）sinx＜0，则关于 x 的不等式 f（x）＜ ퟐf（휋
4）cosx 的解集为（ ）
A．（ ―
휋
2，휋
4） B．（ ―
휋
4，휋
4）
C．（휋
4，휋
2） D．（ ―
휋
2， ―
휋
4）∪（휋
4，휋
2）
【分析】函数 f（x）的定义域为（ ―
휋
2，휋
2），不等式 f（x）＜ ퟐf（휋
4）cosx，即푓(푥)
푐표푠푥＜
푓(휋
4)
푐표푠휋
4
．令 g（x） =
푓(푥)
푐표푠푥，x∈（ ―
휋
2，휋
2），利用导数研究其单调性即可得出不等式的解
集．
解：函数 f（x）的定义域为（ ―
휋
2，휋
2），
不等式 f（x）＜ ퟐf（휋
4）cosx，即푓(푥)
푐표푠푥＜
푓(휋
4)
푐표푠휋
4
．
令 g（x） =
푓(푥)
푐표푠푥，x∈（ ―
휋
2，휋
2），
∵f'（x）cosx+f（x）sinx＜0，
∴g′（x） =
푓′(푥)푐표푠푥 + 푓(푥)푠푖푛푥
푐표푠2푥 ＜0，
∴函数 g（x）在 x∈（ ―
휋
2，휋
2）上单调递减，
∴푓(푥)
푐표푠푥＜
푓(휋
4)
푐표푠휋
4
，即为：g（x）＜g（휋
4），解得휋
4＜x＜
휋
2．
∴关于 x 的不等式 f（x）＜ ퟐf（휋
4）cosx 的解集为（휋
4，휋
2）．
故选：C．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性解不等式、构造法、等价转化方法，考
查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知向量→
풂 = （2，﹣1），→
풃 = （1，t），且|→
풂 + →
풃|＝|→
풂 ― →
풃|，则 t＝ 2 ．
【分析】根据向量垂直的等价条件以及平面向量的坐标运算，求值计算即可．
解：∵|→
풂 + →
풃|＝|→
풂 ― →
풃|，则→
풂⊥→
풃，
∴→
풂•→
풃 = 2×1﹣1×t＝0，∴t＝2，
故答案是：2．
【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据向量垂直的坐标公式进行求解是解决本
题的关键．
14．已知六张卡片上分别标有数字 1，2，3，4，5，6，随机取出两张卡片，则数字之和为
偶数的概率为 2
5 ．
【分析】基本事件总数 n = 푪ퟐퟔ = 15，数字之和为偶数包含的基本事件个数 m = 푪ퟐퟑ + 푪ퟐퟑ =
6，由此能求出数字之和为偶数的概率．
解：六张卡片上分别标有数字 1，2，3，4，5，6，随机取出两张卡片，
基本事件总数 n = 푪ퟐퟔ = 15，
数字之和为偶数包含的基本事件个数 m = 푪ퟐퟑ + 푪ퟐퟑ = 6，
则数字之和为偶数的概率 p =
푚
푛 =
6
15 =
2
5．
故答案为：2
5．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能
力，是基础题．
15．已知双曲线 mx2+y2＝1 的一条渐近线方程为 y =
1
2x，则其焦点到渐近线的距离为
2 ．【分析】通过双曲线的渐近线方程，求出 m，求出焦点坐标，利用点到直线的距离转化
求解即可．
解：双曲线 mx2+y2＝1 的一条渐近线方程为 y =
1
2x，
可得 ―풎 =
1
2，解得 m = ―
1
4，
双曲线方程为：y2 ― 푥2
4 = 1，可得焦点坐标（0，± ퟓ），
焦点到渐近线的距离为： 2 5
1 + 4 = 2．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．
16．根据疾病防控的需要，某医院要从感染科抽调两名医生随省医疗队赴武汉参加抗疫工
作，现有甲、乙、丙、丁、戊五名优秀医生申请作为志愿者参加．为确定最终驰援武汉
的人选，医院领导组五位成员先各推荐两名人员，分别为“丁、戊”，“丙、戊”，“甲、
乙”，“乙、戊”，“甲、丁”．根据最终入选名单发现五位领导中有一人推荐的两人
都没有入选，其余四人推荐的人选中各有一人入选．根据以上信息判断，最后随省医疗
队参加抗疫的两名医生是 乙、丁 ．
【分析】利用假设法，分别假设哪两人没有入选，得出相对应的结论即可推出．
解：由于最终入选名单发现五位领导中有一人推荐的两人都没有入选，其余四人推荐的
人选中各有一人入选，
若没有入选为甲、乙，则丁、戊一定入选，与“丁、戊”只有一人相矛盾，
若没有入选为甲、丁，则乙、戊一定入选，与“乙、戊”只有一人相矛盾，
若没有入选为乙、戊，则甲、丁一定入选，与“甲、丁”只有一人相矛盾，
若没有入选为丙、戊，则乙、丁一定入选，则甲没有入选，则符合题意要求，
故最后随省医疗队参加抗疫的两名医生是乙、丁，故答案为：乙、丁．
【点评】本题考查简单的合情推理，考查数据分析能力以及推理论证能力，属于中档
题．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：
共 60 分．
17．记 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，且 a1+S2＝11，a2+a4＝a3+7．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{
1
푎푛푎푛+1
}的前 n 项和 Tn．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为 d，由等差数列的通项公式可得首项和公差的方
程组，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；
（2）求得
1
푎푛푎푛+1
=
1
(2푛 + 1)(2푛 + 3) =
1
2（ 1
2푛 + 1 ―
1
2푛 + 3），再由数列的裂项相消求和，
计算可得所求和．
解：（1）等差数列{an}的公差设为 d，
由 a1+S2＝11，a2+a4＝a3+7，可得 3a1+d＝11，2a1+4d＝a1+2d+7，即 a1+2d＝7，
解得 a1＝3，d＝2，
则 an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
（2）
1
푎푛푎푛+1
=
1
(2푛 + 1)(2푛 + 3) =
1
2（ 1
2푛 + 1 ―
1
2푛 + 3），
可得 Tn =
1
2（1
3 ―
1
5 +
1
5 ―
1
7 +⋯ +
1
2푛 + 1 ―
1
2푛 + 3）
=
1
2（1
3 ―
1
2푛 + 3） =
푛
6푛 + 9．
【点评】本题考查等差数列的通项公式的运用，同时考查数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，是一道基础题．
18．如图，在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1＝AD＝1，AB＝2，P 为 A1B1 的中点．
（1）证明：平面 PA1D⊥平面 ABC1；
（2）求多面体 PA1BDD1 的体积．
【分析】（1）推导出 BC1⊥B1C，BC1⊥AB，从而 BC1⊥A1D，BC1⊥A1P，从而 BC1⊥平面
PA1D 由此能证明平面 PA1D⊥平面 ABC1．
（2）多面体 PA1BDD1 的体积为：V = 푽푫―푨ퟏ푷푩 + 푽푷―푨ퟏ푫푫ퟏ =
1
3 ×
1
2 × 푨ퟏ푷 × 푨푨ퟏ × 푨푫 +
1
3 ×
1
2 × 푨ퟏ푫ퟏ × 푫푫ퟏ × 푨ퟏ푷，由此能求出结果．
解：（1）证明：∵在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，
AA1＝AD＝1，AB＝2，P 为 A1B1 的中点．
∴BC1⊥B1C，BC1⊥AB，
∵B1C∥A1D，AB∥A1P，∴BC1⊥A1D，BC1⊥A1P，
∵A1D∩A1P＝A1，∴BC1⊥平面 PA1D，
∵BC1⊂平面 ABC1．∴平面 PA1D⊥平面 ABC1．
（2）解：多面体 PA1BDD1 的体积为：
V = 푽푫―푨ퟏ푷푩 + 푽푷―푨ퟏ푫푫ퟏ
=
1
3 ×
1
2 × 푨ퟏ푷 × 푨푨ퟏ × 푨푫 +
1
3 ×
1
2 × 푨ퟏ푫ퟏ × 푫푫ퟏ × 푨ퟏ푷 =
1
3 ×
1
2 × ퟏ × ퟏ × ퟏ +
1
3 ×
1
2 × ퟏ × ퟏ × ퟏ
=
1
3．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、
面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
19．已知椭圆 E：푥2
4 + 푦2
2 = 1，点 A，B 分别是椭圆的左，右顶点，P 是椭圆上一点．
（1）若直线 AP 的斜率为 2，求直线 PB 的斜率；
（2）若点 P 的坐标为（ ퟐ，1），斜率为 2
2 的直线 l 与椭圆相交于 E，F（异于 P 点）
两点．证明：PE，PF 的斜率 k1，k2 的和为定值．
【分析】（1）由椭圆的方程可得 A，B 的坐标，由题意可得中线 AP 的方程，与椭圆联
立求出 P 的坐标，进而求出直线 PB 的斜率；
（2）设直线 l 的方程，与椭圆联立求出两根之和，两根之积，进而求出 k1，k2 的和，求
出为定值．
解：（1）由椭圆的方程可得 A（﹣2，0），B（2，0），
由题意可得中线 AP 的方程为：y＝2（x+2），设 P（m，n），
联立直线与椭圆可得：{풚 = ퟐ(풙 + ퟐ)
푥2
4 +
푦2
2 = ퟏ ，整理可得：9x2+32x+28＝0，所以﹣2•m =
28
9 ，所
以 m = ―
14
9 ，
代入直线 AP 中可得 n＝2（ ―
14
9 + 2） =
8
9，所以 P（ ―
14
9 ，8
9），所以 kPB =
8
9
― 14
9 ― 2
= ―
1
4，
所以直线 PB 的斜率为 ―
1
4；
（2）由题意设直线 l 的方程 x = ퟐy+t，设 E（x1，y1），F（x2，y2），
则直线 l 与椭圆联立{풙 = ퟐ풚 + 풕
푥2
4 +
푦2
2 = ퟏ ，整理可得 4y2+2 ퟐty+t2﹣4＝0，
△＝8t2﹣4×4（t2﹣4）＞0，即 t2＜8，y1+y2 = ―
2
2 t，y1y2 = 푡2 ― 4
4
，
所以 k1+k2 =
푦1 ― 1
푥1 ― 2 +
푦2 ― 1
푥2 ― 2 =
(푦1 ― 1)(푥2 ― 2) + (푦2 ― 1)(푥1 ― 2)
(푥1 ― 2)(푥2 ― 2)
=
(푦1 ― 1)( 2푦2 + 푡 ― 2) + (푦2 ― 1)( 2푦1 + 푡 ― 2)
( 2푦1 + 푡 ― 2)( 2푦2 + 푡 ― 2)
=
2 2푦1푦2 + (푡 ― 2 2)(푦1 + 푦2) ― 2(푡 ― 2)
2푦1푦2 + 2(푡 ― 2)(푦1 + 푦2) + (푡 ― 2)2
=
2 2 ⋅ 푡2 ― 4
4 + (푡 ― 2 2) ⋅ ― 2푡
2 ― 2(푡 ― 2)
2 ⋅ 푡2 ― 4
4 + 2(푡 ― 2) ⋅ ― 2푡
2 + (푡 ― 2)2
＝0，
所以可证的 PE，PF 的斜率 k1，k2 的和为定值 0．
【点评】本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合应用，考查了推理能力与计算能力，
属于中档题．
20．为了研究昼夜温差与引发感冒的情况，医务人员对某高中在同一时间段相同温差下的
学生感冒情况进行抽样调研，所得数据统计如表 1 所示，并将男生感冒的人数与温差情
况统计如表 2 所示．
表 1患感冒人数 不患感冒人数 合计
男生 30 70 100
女生 42 58 p
合计 m n 200
表 2
温差 x 6 7 8 9 10
患感冒人数 y 8 10 14 20 23
（1）写出 m，n，p 的值；
（2）判断是否有 95%的把握认为在相同的温差下认为“性别”与“患感冒的情况”具
有相关性；
（3）根据表 2 数据，计算 y 与 x 的相关系数 r，并说明 y 与 x 的线性相关性强弱（若 0.75
≤|r|≤1，则认为 y 与 x 线性相关性很强；0.3≤|r|≤0.75，则认为 y 与 x 线性相关性一般；
|r|≤0.25，则认为 y 与 x 线性相关性较弱）．
附：参考公式：K2 = 푛(푎푑 ― 푏푐)2
(푎 + 푏)(푐 + 푑)(푎 + 푐)(푏 + 푑)
，n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.25 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010
k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
r =
푛
푖=1 (푥푖 ― 푥)(푦푖 ― 푦)
푛
푖=1 (푥푖 ― 푥)2 푛
푖=1 (푦푖 ― 푦)2
，
ퟓ
풊=ퟏ
（xi ― 풙）2＝10，
ퟓ
풊=ퟏ
（yi ― 풚）2＝164，
ퟒퟏퟎ ≈ 20.2485．
【分析】（1）根据表中数据直接可以算出结果；
（2）由题中数据直接代入 K2 公式，算出结果，进而判断结论；（3）由题算出풙，풚，代入 r 公式即可算出结果，进而判断结论．
解：（1）根据表中数据直接可以得出 m＝72，n＝128，p＝100；
（2）由题中数据直接代入 K2 = (30 × 58 ― 42 × 70)2
72 × 128 × 100 × 100 = ퟑ.ퟏퟐퟓ＜ퟑ.ퟖퟒퟏ，
所以没有 95%的把握认为在相同的温差下认为“性别”与“患感冒的情况”具有相关性；
（3）由题풙 =
6 + 7 + 8 + 9 + 10
5 = ퟖ，풚 =
8 + 10 + 14 + 20 + 23
5 = ퟏퟓ，
所以
ퟓ
풊=ퟏ
(풙풊 ― 풙)(풚풊 ― 풚) = ퟒퟎ，
则 r =
40
10 164 =
20
410 =
20
20.2485 = ퟎ.ퟗퟖퟕퟕ＞ퟎ.ퟕퟓ，
所以 y 与 x 的线性相关性很强．
【点评】本题主要考查的是独立性检验及相关系数，是道基础题．
21．已知函数 f（x）＝x2lnx．
（1）讨论 f（x）的单调性；
（2）若关于 x 的不等式 f（x）﹣ax+1≥0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
【分析】（1）求导，判断导函数与 0 的关系，进而得出单调性情况；
（2）问题转化为풂 ≤ 풙풍풏풙 +
1
푥恒成立，令품(풙) = 풙풍풏풙 +
1
푥，利用导数求其最小值即
可．
解：（1）由已知，函数的定义域为（0，+∞），풇′(풙) = ퟐ풙풍풏풙 + 풙 = ퟐ풙(풍풏풙 +
1
2)，令
f′（x）＝0，解得풙 =
푒
푒 ，
当ퟎ＜풙＜
푒
푒 时，f′（x）＜0，f（x）在(ퟎ，
푒
푒 )上单调递减，
当풙＞
푒
푒 时，f′（x）＞0，f（x）在(
푒
푒 ， + ∞)上单调递增．综上，f（x）的单调递减区间为(ퟎ，
푒
푒 )，单调递增区间为(
푒
푒 ， + ∞)；
（2）∵f（x）﹣ax+1≥0 恒成立，即 x2lnx﹣ax+1≥0 等价于풂 ≤ 풙풍풏풙 +
1
푥恒成立，
令품(풙) = 풙풍풏풙 +
1
푥，품′(풙) = 풍풏풙 + ퟏ ―
1
푥2，令풉(풙) = 풍풏풙 + ퟏ ―
1
푥2，则풉′(풙) =
1
푥 +
2
푥3＞ퟎ
在（0，+∞）上恒成立，
∴g′（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵g′（1）＝0，
∴0＜x＜1 时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上单调递减，
x＞1 时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴g（x）min＝g（1）＝1，
∴a≤1，即实数 a 的取值范围为（﹣∞，1]．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，
考查转化思想及运算能力，属于中档题．
一、选择题
22．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为{풙 = 풕ퟐ +
4
푡2 ― ퟒ
풚 = ퟐ풕 ―
4
푡
（t 为参数，且 t＞0），
以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρcosθ
﹣3ρsinθ﹣1＝0．
（1）写出曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程；
（2）若直线 l 与 x 轴交点记为 M，与曲线 C 交于 P，Q 两点，求 1
|푃푀| +
1
|푄푀|．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转
换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
解：（1）曲线 C 的参数方程为{풙 = 풕ퟐ +
4
푡2 ― ퟒ
풚 = ퟐ풕 ―
4
푡
（t 为参数，且 t＞0），转换为直角坐标
方程为 y2＝4x．
直线 l 的极坐标方程为 ρcosθ﹣3ρsinθ﹣1＝0，转换为直角坐标方程为 x﹣3y﹣1＝0．
（2）直线 l 与 x 轴交点记为 M，即（1，0），转换为参数方程为{풙 = ퟏ +
3
10풕
풚 =
1
10풕
（t 为
参数）与曲线 C 交于 P，Q 两点，
把直线的参数方程代入方程 y2＝4x．
得到 푡2
10 ―
12
10풕 ― ퟒ = ퟎ，
所以풕ퟏ + 풕ퟐ = ퟏퟐ ퟏퟎ，t1t2＝﹣40，
则： 1
|푃푀| +
1
|푄푀| =
|푡1 ― 푡2|
|푡1푡2| = (12 10)2 + 160
40
= ퟏ．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元
二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属
于基础题型．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知 a，b 为实数，且满足 3a2+4b2≤12．证明：
（1）풂풃 ≤ ퟑ；
（2）a+2b≤4．
【分析】（1）根据基本不等式即可证明；
（2）利用已知条件转化为椭圆上的点坐标，利用三角函数有界性，转化求解即可．【解答】证明：（1）∵3a2+4b2≥4 ퟑ|ab|，当且仅当 ퟑ|a|＝2|b|取等号，且 3a2+4b2≤12，
∴4 ퟑ|ab|≤12，
∴|ab| ≤ ퟑ，
∴ab ≤ ퟑ；
（2）证明：a，b 为实数，且满足 3a2+4b2≤12．
可得：푎2
4 + 푏2
3 ≤ ퟏ，表示的图形是椭圆以及内部部分，椭圆上的点为（2cosθ， ퟑsinθ），
a+2b＝2cosθ+2 ퟑsinθ＝4cos（θ ―
휋
3），
因为 cos（θ ―
휋
3）≤1，
所以 4cos（θ ―
휋
3）≤4．
所以 a+2b≤4．
【点评】本题考查不等式的证明，基本不等式的应用，三角函数的有界性以及两角和与
差的三角函数的应用，是中档题．
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