安徽省宣城市2020届高三第二次调研考试数学理科试题（考试版+解析版）

2020 年高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题） 1．已知全集 U＝R，集合 A＝{x|log3x＜1}，B＝{x|x2﹣x≥2}，则 A∩B＝（　　） A．{x|2≤x＜3} B．{x|x＜3} C．{x|2≤x≤3} D．{x|2＜x≤3} 2．设复数 z 满足 z（1﹣i）＝2+i，则复数 z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 푆4 푆8 = 1 3，则 푆8 푆16 等于（　　） A． 3 10 B．1 3 C．1 9 D．1 8 4．已知，풂 = 2 푙푛2，풃 = 3 푙푛3，풄 = 5 푙푛5，则（　　） A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a 5．国家正积极推行垃圾分类工作，教育部办公厅等六部门也发布了《关于在学校推进生活 垃圾分类管理工作的通知》．《通知》指出，到 2020 年底，各学校生活垃圾分类知识普 及率要达到 100%某市教育主管部门据此做了“哪些活动最能促进学生进行垃圾分类” 的问卷调查（每个受访者只能在问卷的 4 个活动中选择一个）如图是调查结果的统计图， 以 下 结 论 正 确 的 是 （ 　 　 ） A．回答该问卷的受访者中，选择的（2）和（3）人数总和比选择（4）的人数多B．回该问卷的受访者中，选择“校园外宣传”的人数不是最少的 C．回答该问卷的受访者中，选择（4）的人数比选择（2）的人数可能多 30 人 D．回答该问卷的总人数不可能是 1000 人 6．函数풇(풙) = 3푥 ― 3―푥 |푥 + 1| + |푥 ― 1| 的图象大致是（　　） A． B． C． D． 7．已知 α∈（0，π），1 2sin2α＝cos2α+1，则 cosα＝（　　） A． 5 5 或 0 B． 5 5 C．2 5 5 D．2 5 5 或 0 8．已知双曲线 C：푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1（a＞0，b＞0）的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 45°的 直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（　　） A．[ ퟐ，+∞） B．（ ퟐ，+∞） C．（2，+∞） D．（1，+∞） 9．已知下列两个命题，命题甲：平面 α 与平面 β 相交；命题乙：相交直线 l，m 都在平面 α 内，并且都不在平面 β 内，直线 l，m 中至少有一条与平面 β 相交．则甲是乙的（　　） A．充分且必要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 10．口袋里放有大小相等的 2 个红球和 1 个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}， an = { ―ퟏ，第풏次摸取白球 +ퟏ，第풏次摸取红球，如果 Sn 为数列{an}的前 n 项和，那么 S7＝3 的概率为（　　）A．Cퟓ ퟕ（1 3）2（2 3）5 B．Cퟐ ퟕ（2 3）2（1 3）5 C．Cퟓ ퟕ（1 3）2（2 3）5 D．Cퟑ ퟕ（1 3）2（2 3）5 11．已知函数 f（x）＝2lnx ― 1 2풂풙ퟐ +(휶 ― ퟐ)풙 + 풂 + ퟏ(풂＞ퟎ)的值域与函数 y＝f[f（x）]的 值域相同，则 a 的取值范围为（　　） A．（0，1] B．[1，+∞） C．（0，4 3] D．[ 4 3，+∞） 12．如图．正四面体 ABCD 的顶点 A，B，C 分别在两两垂直的三条射线 OX，OY，OZ 上， 则在下列命题中，错误的为（　　） A．O﹣ABC 是正三棱锥 B．二面角 D﹣OB﹣A 的平面角为휋 3 C．直线 AD 与直线 OB 所成角为휋 4 D．直线 OD⊥平面 ABC 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分共 20 分 13．(풙 ― 1 푥)(ퟏ + ퟐ풙)ퟒ的展开式中，x3 的系数为　 　． 14．| → 푶푨|＝1，| → 푶푩| = ퟑ， → 푶푨• → 푶푩 = 0，点 C 在∠AOB 内，且∠AOC = 휋 3，设 → 푶푪 = m → 푶푨 + n → 푶푩（m，n∈R），则푚 푛 = 　 　． 15．将正整数排成如图：试问 2020 是表中第　 　行的第　 　个数． 16．若椭圆푥2 4 + 푦2 3 = ퟏ上有两点 P，Q（不是长轴的端点），O 为原点，若直线 OP，OQ 斜 率分别为 K1，K2，且满足푲ퟏ푲ퟐ = ― 3 4，则( → 푶푷)ퟐ +( → 푶푸)ퟐ = 　 　． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答、第 22、23 为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：60 分 17．在△ABC 中，풄풐풔푩 = 3 3 ；풔풊풏푪 = 6 9 ． （1）求 sinA； （2）若△ABC 的面积푺 = ퟐ，求 BC 的边长． 18．如图所示多面体中，AD⊥平面 PDC，四边形 ABCD 为平行四边形，点 E，F 分别为 AD，BP 的中点，AD＝3，AP＝3 ퟐ，PC = ퟏퟗ． （1）求证：EF∥平面 PDC； （2）若∠CDP＝120°，求二面角 E﹣CP﹣D 的平面角的余弦值．19．已知抛物线 C：y2＝2px（0＜p＜8）的焦点为 F 点 Q 是抛物线 C 上的一点，且点 Q 的 纵坐标为 4，点 Q 到焦点的距离为 5． （1）求抛物线 C 的方程； （2）设直线 l 不经过 Q 点且与抛物线交于 A，B 两点，QA，QB 的斜率分别为 K1，K2， 若 K1K2＝﹣2，求证：直线 AB 过定点，并求出此定点． 20．某生物公司将 A 型病毒疫苗用 100 只小白鼠进行科研和临床试验，得到统计数据如表： 未感染病毒 感染病毒 总计 未注射 10 x A 注射 40 y B 总计 50 50 100 现从所有试验的小白鼠中任取一只，取得注射疫苗小白鼠的概率为1 2． （1）能否有 99.9%的把握认为注射此型号疫苗有效？ （2）现从感染病毒的小白鼠中任取 3 只进行病理分析，记已注射疫苗的小白鼠只数为 ξ，求 ξ 的分布列和数学期望． 附：풌ퟐ = 푛(푎푑 ― 푏푐)2 (푎 + 푏)(푐 + 푑)(푎 + 푐)(푏 + 푑)P（K2≥k0） 0.10 0.010 0.001 k0 2.706 6.635 10.828 21．已知函数 f（x）＝（x+2）ln（x+1）﹣mx，m∈R． （1）当 m＝3 时，求曲线 y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程； （2）若 x＞0 时，f（x）＞0 恒成立，求 m 的取值范围． （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分 22．在平面直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为{풙 = ―ퟐ ퟑ + ퟒ풄풐풔휽 풚 = ퟐ + ퟒ풔풊풏휽 （θ 为参数），直线 l 的参数方程为{풙 = ―ퟐ ퟑ + 풎 풚 = ퟑ풎 （m 为参数），以平面直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立坐标系． （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）直线 l 与曲线 C 相交于 M，N 两点，若푷( ― ퟐ ퟑ，ퟎ)，求 1 |푃푀|2 + 1 |푃푁|2的值． 23．已知函数 f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+2|． （1）求不等式 f（x）＞0 的解集； （2）若关于 x 的不等式|2m+1|≥f（x+3）+3|x+5|有解，求实数 m 的取值范围．参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1．已知全集 U＝R，集合 A＝{x|log3x＜1}，B＝{x|x2﹣x≥2}，则 A∩B＝（　　） A．{x|2≤x＜3} B．{x|x＜3} C．{x|2≤x≤3} D．{x|2＜x≤3} 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可． 解：∵A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|x≤﹣1 或 x≥2}， ∴A∩B＝{x|2≤x＜3}． 故选：A． 【点评】本题考查了描述法的定义，对数函数的定义域和单调性，一元二次不等式的解 法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 2．设复数 z 满足 z（1﹣i）＝2+i，则复数 z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出풛的坐标得答案． 解：由足 z（1﹣i）＝2+i，得 z = 2 + 푖 1 ― 푖 = (2 + 푖)(1 + 푖) (1 ― 푖)(1 + 푖) = 1 2 + 3 2풊， ∴풛 = 1 2 ― 3 2풊． 则 z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（1 2， ― 3 2），位于第四象限． 故选：D． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题．3．设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 푆4 푆8 = 1 3，则 푆8 푆16 等于（　　） A． 3 10 B．1 3 C．1 9 D．1 8 【分析】根据等差数列的性质 S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12 也成等差数列，结合 푆4 푆8 = 1 3，我们易根据等差数列的性质得到 S8＝3S4，S16＝10S4，代入即可得到答案． 解：根据等差数列的性质， 若数列{an}为等差数列，则 S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12 也成等差数列； 又∵ 푆4 푆8 = 1 3， 则数列 S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12 是以 S4 为首项，以 S4 为公差的等差数列 则 S8＝3S4，S16＝10S4， ∴ 푆8 푆16 = 3 10 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据数列{an}为等差数列，则 S4，S8 ﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12 也成等差数列，然后根据等差数列的性质，判断数列 S8，S16 与 S4 的关系，是解答本题的关键． 4．已知，풂 = 2 푙푛2，풃 = 3 푙푛3，풄 = 5 푙푛5，则（　　） A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a 【分析】利用对数的运算性质先化为 a = 30 푙푛215，b = 30 푙푛310，c = 30 푙푛56，再利用指数函数的 性质得到 310、215、56 的大小，结合对数函数的性质即可得到 a，b，c 的大小关系． 解：a = 2 푙푛2 = 30 15푙푛2 = 30 푙푛215，b = 3 푙푛3 = 30 10푙푛3 = 30 푙푛310，c = 5 푙푛5 = 30 6푙푛5 = 30 푙푛56， ∵310＝（32）5＞（23）5＝215＝（25）3＞（52）3＝56，∴ln310＞ln215＞ln56， ∴ 30 푙푛310＜ 30 푙푛215＜ 30 푙푛56，即 b＜a＜c， 故选：C． 【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数 和指数函数的性质的合理运用． 5．国家正积极推行垃圾分类工作，教育部办公厅等六部门也发布了《关于在学校推进生活 垃圾分类管理工作的通知》．《通知》指出，到 2020 年底，各学校生活垃圾分类知识普 及率要达到 100%某市教育主管部门据此做了“哪些活动最能促进学生进行垃圾分类” 的问卷调查（每个受访者只能在问卷的 4 个活动中选择一个）如图是调查结果的统计图， 以 下 结 论 正 确 的 是 （ 　 　 ） A．回答该问卷的受访者中，选择的（2）和（3）人数总和比选择（4）的人数多 B．回该问卷的受访者中，选择“校园外宣传”的人数不是最少的 C．回答该问卷的受访者中，选择（4）的人数比选择（2）的人数可能多 30 人 D．回答该问卷的总人数不可能是 1000 人 【分析】对于 A，选择的（2）和（3）人数总和比选择（4）的人数少；对于 B，选择 “校园外宣传”的人数是最少的；对于 C，选择（4）的人数比选择（2）的人数可能多 30%；对于 D，回答该问卷的总人数不可能是 1000 人． 解：对于 A，答该问卷的受访者中，∵选择的（2）和（3）人数总和所占百分比为： 15.75%+27%＝42.75%， 选择（4）的人数的百分比为 45.75%， ∴回答该问卷的受访者中，选择的（2）和（3）人数总和比选择（4）的人数少，故 A 错误； 对于 B，回该问卷的受访者中， 由扇形统计图得选择“校园外宣传”的百分比最小， ∴选择“校园外宣传”的人数是最少的，故 B 错误； 对于 C，回答该问卷的受访者中， 选择（4）的人数比选择（2）的人数可能多 30%，故 C 错误； 对于 D，回答该问卷的总人数不可能是 1000 人，故 D 正确． 故选：D． 【点评】本题考查命题真假的判断，考查扇形统计图等基础知识，考查推理论证能力与 运算求解能力，属于基础题． 6．函数풇(풙) = 3푥 ― 3―푥 |푥 + 1| + |푥 ― 1| 的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】由函数的奇偶性及趋近性，结合选项即可得出答案．解：函数的定义域为 R，풇( ― 풙) = 3―푥 ― 3푥 | ― 푥 + 1| + | ― 푥 ― 1| = 3―푥 ― 3푥 |푥 ― 1| + |푥 + 1| = ―풇(풙)，故 函数 f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项 AD； 又 x→+∞时，f（x）→+∞，可排除选项 C． 故选：B． 【点评】本题考查函数图象的运用，涉及了函数的奇偶性，考查数形结合思想及极限思 想，属于基础题． 7．已知 α∈（0，π），1 2sin2α＝cos2α+1，则 cosα＝（　　） A． 5 5 或 0 B． 5 5 C．2 5 5 D．2 5 5 或 0 【分析】利用二倍角公式化简已知可得 sinαcosα＝2cos2α，结合范围 α∈（0，π），分类 讨论可得 cosα＝0，或 sinα＝2cosα，进而即可求解． 解：∵1 2sin2α＝cos2α+1， ∴sinαcosα＝2cos2α， ∵α∈（0，π）， ∴cosα＝0，或 sinα＝2cosα，由于 sin2α+cos2α＝（2cosα）2+cos2α＝1，解得 cos2α = 1 5， 解得 cosα = 5 5 ，或 ― 5 5 （舍去）． ∴cosα＝0，或 5 5 ． 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角函数的的二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查 了分类讨论思想，属于基础题． 8．已知双曲线 C：푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1（a＞0，b＞0）的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 45°的 直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（　　）A．[ ퟐ，+∞） B．（ ퟐ，+∞） C．（2，+∞） D．（1，+∞） 【分析】若过点 F 且倾斜角为 45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线 的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范 围． 解：双曲线 C：푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1（a＞0，b＞0）的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 45°的直 线与双曲线的右支有且只有一个交点． 则：该直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线的斜率푏 푎 所以푏 푎 ≥ ퟏ e2 = 푐2 푎2 = 푎2 + 푏2 푎2 ≥ ퟐ ∴e ≥ ퟐ 故选：A． 【点评】本题考查的知识点：双曲线的性质及应用及相关的运算问题． 9．已知下列两个命题，命题甲：平面 α 与平面 β 相交；命题乙：相交直线 l，m 都在平面 α 内，并且都不在平面 β 内，直线 l，m 中至少有一条与平面 β 相交．则甲是乙的（　　） A．充分且必要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】由面面间的相互关系得到：甲⇒乙，乙⇒甲，从而甲是乙的充要条件． 解：命题甲：平面 α 与平面 β 相交， 命题乙：相交直线 l，m 都在平面 α 内，并且都不在平面 β 内，直线 l，m 中至少有一条 与平面 β 相交． ∴由面面间的相互关系得到：甲⇒乙，乙⇒甲∴甲是乙的充要条件． 故选：A． 【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的求法，考查空间中面面间的位置关 系等基础知识，考查推理论证能力，属于基础题． 10．口袋里放有大小相等的 2 个红球和 1 个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}， an = { ―ퟏ，第풏次摸取白球 +ퟏ，第풏次摸取红球，如果 Sn 为数列{an}的前 n 项和，那么 S7＝3 的概率为（　　） A．Cퟓ ퟕ（1 3）2（2 3）5 B．Cퟐ ퟕ（2 3）2（1 3）5 C．Cퟓ ퟕ（1 3）2（2 3）5 D．Cퟑ ퟕ（1 3）2（2 3）5 【分析】推导出 an＝1 的概率 P1 = 2 3，an＝﹣1 的概率 P2 = 1 3，S7＝3 是指在 7 次取球中，5 次取到红球，2 次取到白球，由此能求出 S7＝3 的概率． 解：口袋里放有大小相等的 2 个红球和 1 个白球，有放回地每次摸取一个球， 定义数列{an}，an = { ―ퟏ，第풏次摸取白球 +ퟏ，第풏次摸取红球， Sn 为数列{an}的前 n 项和， ∴an＝1 的概率 P1 = 2 3，an＝﹣1 的概率 P2 = 1 3， ∴S7＝3 是指在 7 次取球中，5 次取到红球，2 次取到白球， ∴S7＝3 的概率为 P = 푪ퟓퟕ( 1 3)ퟐ( 2 3)ퟓ． 故选：A． 【点评】本题考查概率的求法，考查 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计 算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 11．已知函数 f（x）＝2lnx ― 1 2풂풙ퟐ +(휶 ― ퟐ)풙 + 풂 + ퟏ(풂＞ퟎ)的值域与函数 y＝f[f（x）]的值域相同，则 a 的取值范围为（　　） A．（0，1] B．[1，+∞） C．（0，4 3] D．[ 4 3，+∞） 【分析】对函数 f（x）求导，利用导数求得 f（x）的单调性情况，进而得到其最值，结 合题意及图象建立关于 a 的不等式，解不等式即可得到 a 的取值范围． 解：풇′(풙) = 2 푥 ―풂풙 + (풂 ― ퟐ)(풙＞ퟎ)， 由于 a＞0，故函数 f′（x）在（0，+∞）上为减函数，又 f′（1）＝0， 故当 x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当 x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0， ∴函数 f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， ∴풇(풙)풎풂풙 = 풇(ퟏ) = ― 1 2풂 + 풂 ― ퟐ + 풂 + ퟏ = 3 2풂 ― ퟏ，且 x→+∞时，f（x）→﹣∞， 故函数 f（x）的值域为( ― ∞， 3 2풂 ― ퟏ]， 作出函数 f（x）的草图如下， 由图可知，要使函数 f（x）的值域与函数 y＝f[f（x）]的值域相同，则需3 2풂 ― ퟏ ≥ ퟏ，解 得풂 ≥ 4 3， 故选：D． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，解题的关键是理解题干意思，进而建 立关于 a 的不等式，考查转化思想，数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．12．如图．正四面体 ABCD 的顶点 A，B，C 分别在两两垂直的三条射线 OX，OY，OZ 上， 则在下列命题中，错误的为（　　） A．O﹣ABC 是正三棱锥 B．二面角 D﹣OB﹣A 的平面角为휋 3 C．直线 AD 与直线 OB 所成角为휋 4 D．直线 OD⊥平面 ABC 【分析】在 A 中，AC＝AB＝BC，OA＝OB＝OC，从而 O﹣ABC 是正三棱锥；在 B 中， 设 OB＝1，求出平面 OBD 的法向量 → 풎 = （1，0，﹣1），平面 OAB 的法向量→ 풏 = （0， 0，1），二面角 D﹣OB﹣A 的平面角为휋 4；在 C 中，设 OB＝1，求出 cos＜ → 푨푫， → 푶푩＞ = | → 퐴퐷 ⋅ → 푂퐵| | → 퐴퐷| ⋅ | → 푂퐵| = 1 2 = 2 2 ，直线 AD 与直线 OB 所成角为휋 4；在 D 中，利用向量法求出 OD⊥ AB，OD⊥AC，从而直线 OD⊥平面 ABC． 解：正四面体 ABCD 的顶点 A，B，C 分别在两两垂直的三条射线 OX，OY，OZ 上， 在 A 中，∵AC＝AB＝BC，OA＝OB＝OC，∴O﹣ABC 是正三棱锥，故 A 正确； 在 B 中，设 OB＝1，则 A（1，0，0），B（0，1，0），D（1，1，1），O（0，0，0）， → 푶푫 = （1，1，1）， → 푶푩 = （0，1，0）， 设平面 OBD 的法向量 → 풎 = （x，y，z），则{ → 풎 ⋅ → 푶푩 = 풚 = ퟎ → 풎 ⋅ → 푶푫 = 풙 + 풚 + 풛 = ퟎ ，取 x＝1，得 → 풎 = （1，0，﹣1）， 平面 OAB 的法向量→ 풏 = （0，0，1）， cos＜ → 풎，→ 풏＞ = → 푚 ⋅ → 푛 | → 푚| ⋅ | → 푛| = 1 2 = 2 2 ， 二面角 D﹣OB﹣A 的平面角为휋 4，故 B 错误； 在 C 中，设 OB＝1，则 A（1，0，0），B（0，1，0），D（1，1，1），O（0，0，0）， → 푨푫 = （0，1，1）， → 푶푩 = （0，1，0）， cos＜ → 푨푫， → 푶푩＞ = | → 퐴퐷 ⋅ → 푂퐵| | → 퐴퐷| ⋅ | → 푂퐵| = 1 2 = 2 2 ， ∴直线 AD 与直线 OB 所成角为휋 4，故 C 正确； 在 D 中，设 OB＝1，则 A（1，0，0），B（0，1，0），D（1，1，1），O（0，0，0）， C（0，0，1）， → 푶푫 = （1，1，1）， → 푨푩 = （﹣1，1，0）， → 푨푪 = （﹣1，0，1）， → 푶푫 ⋅ → 푨푩 = ퟎ， → 푶푫 ⋅ → 푨푪 = 0，∴OD⊥AB，OD⊥AC， ∵AB∩AC＝A，∴直线 OD⊥平面 ABC，故 D 正确． 故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于中档题． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分共 20 分 13．(풙 ― 1 푥)(ퟏ + ퟐ풙)ퟒ的展开式中，x3 的系数为　8　． 【分析】根据式子特点，可先求出（1+2x）4 的通项，然后分别求出它的展开式中的 x2， x4 项的系数，然后相减即可． 解：对于（1+2x）4，其通项为푻풌+ퟏ = 푪풌ퟒퟐ풌 ⋅ 풙풌，k＝0，1，…，4， 令 k＝2 和 4，可得对应项的系数为：푪ퟐퟒ ⋅ ퟐퟐ = ퟐퟒ，푪ퟒퟒ ⋅ ퟐퟒ = ퟏퟔ． 故所求的 x3 的系数为 24﹣16＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查二项展开式的通项、以及利用通项研究特定项的系数的问题，还考查 了学生的计算能力与逻辑推理能力．属于基础题． 14．| → 푶푨|＝1，| → 푶푩| = ퟑ， → 푶푨• → 푶푩 = 0，点 C 在∠AOB 内，且∠AOC = 휋 3，设 → 푶푪 = m → 푶푨 + n → 푶푩（m，n∈R），则푚 푛 = 　1　． 【分析】依题意建立直角坐标系，加上点 C 在∠AOB 内的限制，可得点 C 的坐标，在 直角三角形中由正切函数的定义可求解．解：因为 → 푶푨 ⋅ → 푶푩 = 0，所以 → 푶푨⊥ → 푶푩，故可建立直角坐标系，则 → 푶푨 = （1，0）， → 푶푩 = （0， ퟑ）， 故 → 푶푪 = m → 푶푨 + n → 푶푩 = m（1，0）+n（0， ퟑ）＝（m， ퟑn）， 又点 C 在∠AOB 内，且∠AOC＝60°， 所以 tan60° = 3푛 푚 ， 所以푛 푚 = 1 故答案为：1． 【点评】本题为向量的基本运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是一种非常有效 的方法，属基础题． 15．将正整数排成如图： 试问 2020 是表中第　11　行的第　997　个数．【分析】由题意得第 n 行有 2n﹣1 个数，由此利用等比数列的前 n 项和公式能求出结果． 解：由题意得第 n 行有 2n﹣1 个数， 20+2+22+23+24+25+26+27+28+29 = 1 ― 210 1 ― 2 = 1023， 20+2+22+23+24+25+26+27+28+29+210 = 1 ― 211 1 ― 2 = 2047， ∴2020 是表中第 11 行的第 997 个数． 故答案为：11，997． 【点评】本题考查表中数字的位置的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是中档题． 16．若椭圆푥2 4 + 푦2 3 = ퟏ上有两点 P，Q（不是长轴的端点），O 为原点，若直线 OP，OQ 斜 率分别为 K1，K2，且满足푲ퟏ푲ퟐ = ― 3 4，则( → 푶푷)ퟐ +( → 푶푸)ퟐ = 　7　． 【分析】设 P、Q 的坐标分别为（2cosα， ퟑsinα），（2cosβ， ퟑsinβ），通过푲ퟏ푲ퟐ = ― 3 4，可知 cos（α﹣β）＝0，不妨取휷 = 휶 + 휋 2；然后用含有 α 和 β 的式子表示出 → 푶푷 ퟐ + → 푶푸 ퟐ，借助诱导公式和同角三角函数的平方关系进行化简整理即可得解． 解：设 P、Q 的坐标分别为（2cosα， ퟑsinα），（2cosβ， ퟑsinβ）， ∵ 푲ퟏ푲ퟐ = ― 3 4， ∴ 3푠푖푛훼 2푐표푠훼 ⋅ 3푠푖푛훽 2푐표푠훽 = ― 3 4， 即 cos （ α ﹣ β ） ＝ 0 ， ∴ 휶 ― 휷 = 휋 2 +풌흅，풌 ∈ 풁，不妨取휷 = 휶 + 휋 2， ∴ ( → 푶푷)ퟐ +( → 푶푸)ퟐ = ퟒ풄풐풔ퟐ휶 + ퟑ풔풊풏ퟐ휶 + ퟒ ퟑ풔풊풏휶풄풐풔휶 + ퟒ풄풐풔ퟐ휷 + ퟑ풔풊풏ퟐ휷 + ퟒ ퟑ 풔풊풏휷풄풐풔휷 = ퟒ풄풐풔ퟐ휶 + ퟑ풔풊풏ퟐ휶 + ퟒ ퟑ풔풊풏휶풄풐풔휶 + ퟒ풔풊풏ퟐ휶 + ퟑ풄풐풔ퟐ휶 ― ퟒ ퟑ풔풊풏휶풄풐풔휶 ＝4+3＝7． 故答案为：7．【点评】本题考查椭圆中的计算，还涉及三角函数中的常用公式，解题的关键是用参数 设点的坐标，考查学生的知识迁移能力和运算能力，属于中档题． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答、第 22、23 为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：60 分 17．在△ABC 中，풄풐풔푩 = 3 3 ；풔풊풏푪 = 6 9 ． （1）求 sinA； （2）若△ABC 的面积푺 = ퟐ，求 BC 的边长． 【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinB，cosC 的值，进而根据两 角和的正弦函数公式可求 sinA 的值， （2）由（1）利用正弦定理可求 a：b：c＝sinA：sinB：sinC＝2 ퟑ：3：1，设 a＝2 ퟑk，b ＝3k，c＝k，则由三角形的面积公式解得 k＝1，即可求得 a 的值． 解：（1）∵풄풐풔푩 = 3 3 ， ∴可得 sinB = ퟏ ― 풄풐풔ퟐ푩 = 6 3 ， ∵풔풊풏푪 = 6 9 ， 6 9 ＜ 6 3 ，即 sinC＜sinB，C 为锐角，可得 cosC = ퟏ ― 풄풐풔ퟐ푪 = 5 3 9 ， ∴sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC = 6 3 × 5 3 9 + 3 3 × 6 9 = 2 2 3 ． （2）∵sinA = 2 2 3 ，sinB = 6 3 ，풔풊풏푪 = 6 9 ， ∴a：b：c＝sinA：sinB：sinC = 2 2 3 ： 6 3 ： 6 9 = 2 ퟑ：3：1， 设 a＝2 ퟑk，b＝3k，c＝k，则由三角形的面积公式 S = 1 2bcsinA＝2，可得1 2 × ퟑ풌 × 풌 × 2 2 3 = ퟐ，解得 k＝1， ∴a＝2 ퟑ．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理， 三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 18．如图所示多面体中，AD⊥平面 PDC，四边形 ABCD 为平行四边形，点 E，F 分别为 AD，BP 的中点，AD＝3，AP＝3 ퟐ，PC = ퟏퟗ． （1）求证：EF∥平面 PDC； （2）若∠CDP＝120°，求二面角 E﹣CP﹣D 的平面角的余弦值． 【分析】（1）取 PC 的中点为 M，连结 FM，DM，四边形 EFMD 是平行四边形，EF∥ DM，EF∥平面 PDC． （2）由余弦定理求出 CD＝2，以 D 为原点，在平面 CDP 内过 D 作 DP 的垂线为 x 轴， DP 为 y 轴，DA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 E﹣CP﹣D 的 平面角的余弦值． 解：（1）证明：取 PC 的中点为 M，连结 FM，DM， ∵F，M 分别为 BP、PC 的中点， ∴FM∥BC，且 FM = 1 2BC， 又四边形 ABCD 为平行四边形，ED∥BC，且 ED = 1 2푩푪， ∴FM∥ED，且 FM＝ED，∴四边形 EFMD 是平行四边形， ∴EF∥DM，∵EF⊄平面 PDC，DM⊂平面 PDC， ∴EF∥平面 PDC． （2）解：∵AD⊥平面 PDC，四边形 ABCD 为平行四边形，点 E，F 分别为 AD，BP 的 中点， AD＝3，AP＝3 ퟐ，PC = ퟏퟗ．∠CDP＝120°， ∴cos120° = 퐶퐷2 + 푃퐷2 ― 푃퐶2 2 × 퐶퐷 × 푃퐷 = 퐶퐷2 + (3 2)2 ― 32 ― 19 2 × 퐶퐷 × (3 2)2 ― 32 = ― 1 2，解得 CD＝2， 如图，以 D 为原点，在平面 CDP 内过 D 作 DP 的垂线为 x 轴， DP 为 y 轴，DA 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（0，0，3），B（ ퟑ，﹣1，3），C（ ퟑ，﹣1，0），D（0，0，0），E（0，0， 3 2），P（0，3，0）， 设平面 CEP 的一个法向量 → 풎 = （x，y，z）， → 푪푷 = （ ― ퟑ，4，0）， → 푬푷 = （0，3， ― 3 2）， 则{ → 푪푷 ⋅ → 풎 = ― ퟑ풙 + ퟒ풚 = ퟎ → 푬푷 ⋅ → 풎 = ퟑ풚 + ( ― 3 2)풛 = ퟎ，取 y＝1，得 → 풎 = （ 4 3，ퟏ，ퟐ）， 平面 CDP 的一个法向量→ 풏 = （0，0，1）， 设二面角 E﹣CP﹣D 的平面角为 θ， 则 cosθ = | → 푚 ⋅ → 푛| | → 푚| ⋅ | → 푛| = 2 1 + 4 + 16 3 = 2 93 31 ． ∴二面角 E﹣CP﹣D 的平面角的余弦值为2 93 31 ．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题． 19．已知抛物线 C：y2＝2px（0＜p＜8）的焦点为 F 点 Q 是抛物线 C 上的一点，且点 Q 的 纵坐标为 4，点 Q 到焦点的距离为 5． （1）求抛物线 C 的方程； （2）设直线 l 不经过 Q 点且与抛物线交于 A，B 两点，QA，QB 的斜率分别为 K1，K2， 若 K1K2＝﹣2，求证：直线 AB 过定点，并求出此定点． 【分析】（1）由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，设 Q 的坐标，由题意 可得 p 的值，进而求出抛物线的方程； （2）设直线 AB 的方程与抛物线联立，求出两根之和及两根之积，进而求出直线 AQ，QB 的斜率之积，由题意可得参数之间的关系，进而求出直线 AB 恒过的定点，注意直线不 过 Q，所以求出符合题意的定点的坐标． 解：（1）由题意 Q（8 푝，4），直线方程为 x = ― 푝 2，由抛物线的性质，到焦点的距离等 于到准线的距离， 由题意可得| 8 푝 + 푝 2|＝5，解得 p＝2 或 8，由题意可得 p＝2， 所以抛物线的方程为：y2＝4x； （2）由题意设直线 l 的方程为：x＝my+b，设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立直线 l 与抛物线的方程可得{풙 = 풎풚 + 풃 풚ퟐ = ퟒ풙 ，整理可得 y2﹣4my﹣4b＝0，则{ △= ퟏퟔ풎ퟐ + ퟏퟔ풃＞ퟎ 풚ퟏ + 풚ퟐ = ퟒ풎 풚ퟏ풚ퟐ = ―ퟒ풃 ，① 由（1）可得 Q（4，4）可得 K1•K2 = 푦1 ― 4 푥1 ― 4 ⋅ 푦2 ― 4 푥2 ― 4 = ― 2， 即（y1﹣4）（y2﹣4）＝﹣2（x1﹣4）（x2﹣4）， 即（y1﹣4）（y2﹣4）＝﹣2（my1+b﹣4）（my2+b﹣4）， 整理可得（1+2m2）y1y2+（2mb﹣8m﹣4）（y1+y2）+2b2﹣16b+48＝0， 将①代入可得：b2﹣10b+24＝16m2+8m，即（b﹣5）2＝（1+4m）2， 所以 b﹣5＝1+4m，或 b﹣5＝﹣1﹣4m， 即 b＝6+2m，或 b＝4﹣4m， 所以直线 l 的方程为：x＝my+6+2m，即 x﹣6＝m（y+2）恒过（6，﹣2）， 或者 x＝my＝4﹣4m 即 x﹣4＝m（y﹣4）恒过（4，4）， 而由题意可得直线 l 不过 Q（4，4）， 可证得直线 AB 恒过定点（6，﹣4）． 【点评】本题考查抛物线的性质，直线恒过定点的求法，属于中档题． 20．某生物公司将 A 型病毒疫苗用 100 只小白鼠进行科研和临床试验，得到统计数据如表：未感染病毒 感染病毒 总计 未注射 10 x A 注射 40 y B 总计 50 50 100 现从所有试验的小白鼠中任取一只，取得注射疫苗小白鼠的概率为1 2． （1）能否有 99.9%的把握认为注射此型号疫苗有效？ （2）现从感染病毒的小白鼠中任取 3 只进行病理分析，记已注射疫苗的小白鼠只数为 ξ，求 ξ 的分布列和数学期望． 附：풌ퟐ = 푛(푎푑 ― 푏푐)2 (푎 + 푏)(푐 + 푑)(푎 + 푐)(푏 + 푑) P（K2≥k0） 0.10 0.010 0.001 k0 2.706 6.635 10.828 【分析】（1）先根据题意补充完整 2×2 列联表，然后由 K2 的公式计算出其观测值，并 与附表中的数据进行对比即可作出判断； （2）ξ 的可能取值为 0，1，2，3，然后由超几何分布求概率的方法依次求出每个 ξ 的取 值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望． 解：（1）由条件知，x＝40，y＝10，A＝50，B＝50， ∴푲ퟐ = 100 × (10 × 10 ― 40 × 40)2 50 × 50 × 50 × 50 = ퟑퟔ＞ퟏퟎ.ퟖퟐퟖ， 故有 99.9%的把握认为注射此型号疫苗有效． （2）ξ 的可能取值为 0，1，2，3， P（ξ＝0） = 퐶3 40퐶0 10 퐶3 50 = 247 490，P（ξ＝1） = 퐶2 40퐶1 10 퐶3 50 = 195 490，P（ξ＝2） = 퐶1 40퐶2 10 퐶3 50 = 45 490，P（ξ＝3） = 퐶0 40퐶3 10 퐶3 50 = 3 490． ∴ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 247 490 195 490 45 490 3 490 ∴数学期望 E（ξ） = ퟎ × 247 490 +ퟏ × 195 490 +ퟐ × 45 490 +ퟑ × 3 490 = 3 5． 【点评】本题考查独立性检验、超几何分布、离散型随机变量的分布列和数学期望，考 查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题． 21．已知函数 f（x）＝（x+2）ln（x+1）﹣mx，m∈一、选择题． （1）当 m＝3 时，求曲线 y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程； （2）若 x＞0 时，f（x）＞0 恒成立，求 m 的取值范围． 【分析】（1）把 m＝3 代入函数解析式，求导函数，再求出 f′（0）与 f（0）的值，利 用直线方程的点斜式得答案； （2）由 f（x）＞0，得（x+2）ln（x+1）﹣mx＞0，即 ln（x+1） ― 푚푥 푥 + 2＞0．设 g（x）＝ ln（x+1） ― 푚푥 푥 + 2，可得 g′（x） = 푥2 + (4 ― 2푚)푥 + 4 ― 2푚 (푥 + 2)2(푥 + 1) 令 x2+（4﹣2m）x+4﹣2m＝ 0，可得△＝（4﹣2m）2﹣4（4﹣2m）＝4m（m﹣2），分 0≤m≤2，m＜0，m＞2 三类 分析求解满足题意的 m 的取值范围． 解：（1）当 m＝3 时，f（x）＝（x+2）ln（x+1）﹣3x， f′（x）＝ln（x+1） + 푥 + 2 푥 + 1 ― 3． 则 f′（0）＝﹣1，又 f（0）＝0， ∴曲线 y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程为 x+y＝0；（2）由 f（x）＞0，得（x+2）ln（x+1）﹣mx＞0，即 ln（x+1） ― 푚푥 푥 + 2＞0． 设 g （ x ） ＝ ln （ x+1 ） ― 푚푥 푥 + 2， 则 g ′ （ x ） = 1 푥 + 1 ― 푚(푥 + 2) ― 푚푥 (푥 + 2)2 = 푥2 + (4 ― 2푚)푥 + 4 ― 2푚 (푥 + 2)2(푥 + 1) ． 令 x2+（4﹣2m）x+4﹣2m＝0， △＝（4﹣2m）2﹣4（4﹣2m）＝4m（m﹣2）． ①若△≤0，即 0≤m≤2，g′（x）＞0，当 x＞0 时，y＝g（x）在（0，+∞）上单调递 增， 而 g（0）＝0，∴x＞0 时，f（x）＞0 恒成立，满足题意； ②若 m＜0，g′（x）＞0，当 x＞0 时，y＝g（x）在（0，+∞）上单调递增， 而 g（0）＝0，∴x＞0 时，f（x）＞0 恒成立，满足题意； ③若 m＞2，当 x＞0 时，由 g′（x）＝0， 解得풙ퟏ = 풎 ― ퟐ ― 풎ퟐ ― ퟐ풎＜0，풙ퟐ = 풎 ― ퟐ + 풎ퟐ ― ퟐ풎＞0． y＝g（x）在（0，x2）上单调递减，则 g（x2）＜g（0）＝0，不满足题意． 综上所述，m 的取值范围是（﹣∞，2]． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查分类 讨论的数学思想方法，是中档题． （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分 22．在平面直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为{풙 = ―ퟐ ퟑ + ퟒ풄풐풔휽 풚 = ퟐ + ퟒ풔풊풏휽 （θ 为参数），直线 l 的参数方程为{풙 = ―ퟐ ퟑ + 풎 풚 = ퟑ풎 （m 为参数），以平面直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立坐标系．（1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）直线 l 与曲线 C 相交于 M，N 两点，若푷( ― ퟐ ퟑ，ퟎ)，求 1 |푃푀|2 + 1 |푃푁|2的值． 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转 换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 解：（1）曲线 C 的参数方程为{풙 = ―ퟐ ퟑ + ퟒ풄풐풔휽 풚 = ퟐ + ퟒ풔풊풏휽 （θ 为参数），转换为直角坐标方程 为(풙 + ퟐ ퟑ)ퟐ +(풚 ― ퟐ)ퟐ = ퟏퟔ，整理得풙ퟐ + 풚ퟐ +ퟒ ퟑ풙 ― ퟒ풚 = ퟎ， 根据{ 풙 = 흆풄풐풔휽 풚 = 흆풔풊풏휽 흆ퟐ = 풙ퟐ + 풚ퟐ ，转换为极坐标方程为흆 = ퟒ풔풊풏휽 ― ퟒ ퟑ풄풐풔휽． （2）直线 l 的参数方程为{풙 = ―ퟐ ퟑ + 풎 풚 = ퟑ풎 转换为直线的标准参数式为{풙 = ―ퟐ ퟑ + 1 2풕 풚 = 3 2 풕 （t 为参数） 代入圆的直角坐标方程为풕ퟐ ―ퟐ ퟑ풕 ― ퟏퟐ = ퟎ， 所以풕ퟏ + 풕ퟐ = ퟐ ퟑ，t1t2＝﹣12， 所以 1 |푃푀|2 + 1 |푃푁|2 = 1 푡1 2 + 1 푡2 2 = (푡1 + 푡2)2 ― 2푡1푡2 (푡1푡2)2 = 12 + 24 122 = 1 4． 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型． 23．已知函数 f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+2|． （1）求不等式 f（x）＞0 的解集； （2）若关于 x 的不等式|2m+1|≥f（x+3）+3|x+5|有解，求实数 m 的取值范围．【分析】（1）化简函数的解析式为分段函数，然后求解不等式的解集． （2）利用绝对值的几何意义，求出 f（x+3）+3|x+5|的最小值然后求解不等式的解集． 解：（1）函数 f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+2|．可得풇(풙) = {풙 ― ퟑ，풙 ≥ 1 2 ―ퟑ풙 ― ퟏ， ― ퟐ＜풙＜ 1 2 ―풙 + ퟑ，풙 ≤ ―ퟐ ， 当 x﹣3＞0 时，得 x＞3；当﹣3x﹣1＞0 时，得 ―ퟐ＜풙＜ ― 1 3；当﹣x+3＞0 时，得 x≤﹣ 2， 综上可得不等式 f（x）＞0 的解集为( ― ∞， ― 1 3) ∪ (ퟑ， + ∞)． （2）依题意|2m+1|≥（f（x+3）+3|x+5|）min， 令 g（x）＝f（x+3）+3|x+5|＝|2x+5|+|2x+10|≥|﹣2x﹣5+2x+10|＝5． ∴|2m+1|≥5，解得 m≥2 或 m≤﹣3，即实数 m 的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[2，+ ∞）． 【点评】本题考查绝对值不等式的解集，分段函数的应用，函数的最值的求法，考查转 化思想以及计算能力．