河北省唐山市2020届高三第一次模拟考试数学（文科）试题 （考试版+解析版）

2020 年高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题） 1．已知集合 A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2+2x≤0}，则 A∩B 中元素的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．设 i 是虚数单位，复数풛 = 2 + 푖 3 ― 푖，则 z 在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标．2010 年第六次全国人口普查资 料表明，随着我国社会经济的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体 系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提 高．如图体现了我国平均预期寿命变化情况，依据此图，下列结论错误的是（　　） A．男性的平均预期寿命逐渐延长 B．女性的平均预期寿命逐渐延长 C．男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性 D．女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性4．已知向量→ 풂，→ 풃满足|→ 풂 + → 풃|＝|→ 풃|，且|→ 풂|＝2，则→ 풂 ⋅ → 풃 = （　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 5．设 sin（휋 4 + θ） = 1 3，则 sin2θ＝（　　） A． ― 1 9 B． ― 7 9 C．1 9 D．7 9 6．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五 丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四 尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制 1 文＝10 尺，1 斛＝1.62 立方尺，圆 周率 π＝3），则该圆柱形容器能放米（　　） A．900 斛 B．2700 斛 C．3600 斛 D．10800 斛 7．已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，a2＝b2＝m，a3＝b3＝n，若 m，n 为正数， 且 m≠n，则（　　） A．a1＜b1 B．a1＞b1 C．a1＝b1 D．a1，b1 的大小关系不确定 8．抛物线 x2＝2py（p＞0）上一点 A 到其准线和坐标原点的距离都为 3，则 p＝（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 9．函数 f（x）＝tanx﹣x2 在( ― 휋 2， 휋 2)上的图象大致为（　　）A． B． C． D． 10．设函数풇(풙) = 풔풊풏(풙 + 2휋 3 )，则下列结论中错误的是（　　） A．f（x）的图象关于点（휋 3，0）对称 B．f（x）的图象关于直线풙 = 휋 6对称 C．f（x）在[0，휋 3]上单调递减 D．f（x）在[ ― 휋 3，0]上的最大值为 1 11．已知四棱锥 P﹣ABCD 的顶点都在球 O 的球面上，PA⊥底面 ABCD，且 AB＝AD＝1， BC＝CD＝2，若球 O 的表面积为 36π，则 PA＝（　　） A．2 B． ퟔ C． ퟑퟏ D． ퟑퟑ 12．已知 F 是双曲线푪： 푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = ퟏ(풂＞ퟎ，풃＞ퟎ)的右焦点，M 是 C 的渐近线上一点，且 MF ⊥x 轴，过 F 作直线 OM 的平行线交 C 的渐近线于点 N（O 为坐标原点），若 MN⊥ ON，则双曲线 C 的离心率是（　　） A．2 3 3 B． ퟑ C． 6 2 D．2二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．若 x，y 满足约束条件{풙 ― 풚 + ퟏ ≥ ퟎ 풙 + 풚 ― ퟑ ≤ ퟎ 풙 ― ퟑ풚 + ퟏ ≤ ퟎ ，则 z＝2x﹣y 的最小值为　 　． 14．曲线 f（x）＝ex+2sinx﹣1 在点（0，f（0））处的切线方程为　 　． 15．在数列{an}中，已知 a1＝1，an+1＝an+tn（n∈N*，t 为非零常数），且 a1，a2，a3 成等比 数列，则 an＝　 　． 16．已知풇(풙) = 풂( 1 푥 ―ퟐ풙) + 풍풏풙，f（x）有极大值 f（x1）和极小值 f（x2），则 a 的取值范 围是　 　；f（x1）+f（x2）＝　 　． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题： 共 60 分． 17．某高校艺术学院 2019 级表演专业有 27 人，播音主持专业 9 人，影视编导专业 18 人．某 电视台综艺节目招募观众志愿者，现采用分层抽样的方法从上述三个专业的人员中选取 6 人作为志愿者． （1）分别写出各专业选出的志愿者人数； （2）将 6 名志愿者平均分成三组，且每组的两名同学选自不同的专业，通过适当的方式 列出所有可能的结果，并求表演专业的志愿者 A 与播音主持专业的志愿者分在一组的概 率． 18．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知ퟐ풄 = ퟑ풂풔풊풏푪 ― 풄풄풐풔푨． （1）求角 A； （2）设 D 是 BC 边上一点，若∠푨푫푩 = 2휋 3 ，且 AD＝1，a＝3，求 b，c． 19．如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面为等边三角形，且 AA1⊥底面 ABC，AB＝2 ퟐ，A1A ＝3，D，E 分别为 AC，A1C1 的中点，点 F 在棱 CC1 上，且 FC＝1．（1）证明：平面 BEF⊥平面 BDF； （2）求点 D 到平面 BEF 的距离． 20．已知 P 是 x 轴上的动点（异于原点 O），点 Q 在圆 O：x2+y2＝4 上，且|PQ|＝2．设线 段 PQ 的中点为 M． （1）当直线 PQ 与圆 O 相切于点 Q，且点 Q 在第一象限，求直线 OM 的斜率； （2）当点 P 移动时，求点 M 的轨迹方程． 21．已知 a＞0，函数 f（x）＝2ax3﹣3（a2+1）x2+6ax﹣2． （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）在 R 上仅有一个零点，求 a 的取值范围． 选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 记分．[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．在极坐标系中，圆 C：ρ＝4sinθ，直线 l：ρcosθ＝2．以极点 O 为坐标原点，以极轴为 x轴的正半轴建立直角坐标系． （1）求圆 C 的参数方程，直线 l 的直角坐标方程； （2）点 A 在圆 C 上，AB⊥l 于 B，记△OAB 的面积为 S，求 S 的最大值． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）＝|x+a|﹣2|x﹣1|﹣1． （1）当 a＝1 时，求不等式 f（x）＞0 的解集； （2）是否存在实数 a，使得 f（x）的图象与 x 轴有唯一的交点？若存在，求 a 的值；若 不存在，说明理由．参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，有一 项是符合题目要求的． 1．已知集合 A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2+2x≤0}，则 A∩B 中元素的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】可以求出集合 B，然后进行交集的运算求出 A∩B，从而可得出 A∩B 的元素个 数． 解：∵A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣2≤x≤0}， ∴A∩B＝{﹣1，0}， ∴A∩B 中元素的个数是 2． 故选：B． 【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，交集的定义及运算，集合元素的定义，考 查了计算能力，属于基础题． 2．设 i 是虚数单位，复数풛 = 2 + 푖 3 ― 푖，则 z 在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】化简 z，从而求出其在复平面内对应的点所在的象限． 解：∵i 是虚数单位，复数풛 = 2 + 푖 3 ― 푖 = (2 + 푖)(3 + 푖) (3 ― 푖)(3 + 푖) = 5 + 5푖 10 = 1 2 + 1 2i； 则 z 在复平面内对应的点（1 2，1 2）位于第一象限； 故选：A． 【点评】本题考查了复数的运算，考查复数的几何意义，是一道基础题．3．人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标．2010 年第六次全国人口普查资 料表明，随着我国社会经济的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体 系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提 高．如图体现了我国平均预期寿命变化情况，依据此图，下列结论错误的是（　　） A．男性的平均预期寿命逐渐延长 B．女性的平均预期寿命逐渐延长 C．男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性 D．女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性 【分析】根据柱状统计图即可判断． 解：由柱状统计图可知无论男女的平均预期寿命都在逐渐延长，且很明显女性平均预期 寿命延长幅度略高于男性， 故 A、B、D 正确，C 错误， 故选：C． 【点评】本题考查了柱状统计图，考查了合情推理的问题，属于基础题． 4．已知向量→ 풂，→ 풃满足|→ 풂 + → 풃|＝|→ 풃|，且|→ 풂|＝2，则→ 풂 ⋅ → 풃 = （　　）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【分析】根据条件可表示出 2→ 풂 ⋅ → 풃 = ― → 풂2，代入即可得到所求值． 解：因为|→ 풂 + → 풃|＝|→ 풃|，即有|→ 풂 + → 풃|2＝|→ 풃|2， 所以→ 풂2+2→ 풂 ⋅ → 풃 + → 풃2 = → 풃2，则 2→ 풂 ⋅ → 풃 = ― → 풂2＝﹣4， 所以→ 풂 ⋅ → 풃 = ― 2， 故选：D． 【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属于基础题． 5．设 sin（휋 4 + θ） = 1 3，则 sin2θ＝（　　） A． ― 1 9 B． ― 7 9 C．1 9 D．7 9 【分析】将已知由两角和的正弦公式展开可得 2 2 （sinθ+cosθ） = 1 3，两边平方可得1 2 （1+sin2θ） = 1 9，即可得解． 解：∵sin（휋 4 + θ） = 1 3， ∴ 2 2 （sinθ+cosθ） = 1 3， ∴两边平方，可得：1 2（1+sin2θ） = 1 9， 解得：sin2θ = ― 7 9， 故选：B． 【点评】本题主要考查了二倍角的正弦公式及两角和的正弦公式的应用，属于基本知识 的考查． 6．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四 尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制 1 文＝10 尺，1 斛＝1.62 立方尺，圆 周率 π＝3），则该圆柱形容器能放米（　　） A．900 斛 B．2700 斛 C．3600 斛 D．10800 斛 【分析】由底面圆周长五丈四尺求出圆柱底面半径，根据圆柱的体积公式计算出对应的 体积，除以 1.62 得答案． 解：设圆柱的底面半径为 r，则 2πr＝54，得 r＝9， 故米堆的体积为 π×92×18＝4374 立方尺， ∵1 斛米的体积约为 1.62 立方尺， ∴该圆柱形容器能放米 4374÷1.62≈2700 斛， 故选：B． 【点评】本题考查圆柱体积的求法，考查圆的周长公式的应用，是基础题． 7．已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，a2＝b2＝m，a3＝b3＝n，若 m，n 为正数， 且 m≠n，则（　　） A．a1＜b1 B．a1＞b1 C．a1＝b1 D．a1，b1 的大小关系不确定 【分析】本题先根据等差中项和等比中项的性质可列式并计算出 a1、b1 关于 m、n 的表 达式，然后应用作差法比较 a1、b1 的大小，进行不等式的计算即可得到正确选项． 解：由题意，可知 ∵数列{an}是等差数列，且 a2＝m，a3＝n，∴2a2＝a1+a3，即 2m＝a1+n， 解得 a1＝2m﹣n， 又∵数列{bn}是等比数列，且 b2＝m，b3＝n， ∴b22＝b1b3，即 m2＝nb1， 解得 b1 = 푚2 푛 ， ∴a1﹣b1＝2m﹣n ― 푚2 푛 = ― (푚 ― 푛)2 푛 ， ∵m，n 为正数，且 m≠n， ∴（m﹣n）2＞0， ∴a1﹣b1 = ― (푚 ― 푛)2 푛 ＜0， 即 a1＜b1． 故选：A． 【点评】本题主要考查等差数列和等比数列与不等式的综合问题．考查转化与化归思想， 方程思想，不等式的运算能力，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题． 8．抛物线 x2＝2py（p＞0）上一点 A 到其准线和坐标原点的距离都为 3，则 p＝（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【分析】先根据抛物线的方程写出其准线方程，从而得到点 A 的纵坐标，将其代入抛物 线方程求得 A 的横坐标，再利用两点间距离公式建立关于 p 的方程，解之即可得解． 解：由抛物线 x2＝2py 可知，其准线方程为풚 = ― 푝 2， ∵点 A 到其准线的距离为 3，∴풚푨 = ퟑ ― 푝 2，∴풙ퟐ푨 = ퟐ풑 ⋅ (ퟑ ― 푝 2)， 又点 A 到原点的距离为 3，∴|푶푨|ퟐ = 풙ퟐ푨 + 풚ퟐ푨 = ퟐ풑(ퟑ ― 푝 2) + (ퟑ ― 푝 2)ퟐ = ퟑퟐ，解得 p＝4． 故选：C． 【点评】本题考查抛物线的准线方程，两点间距离公式，考查学生的分析能力和运算能 力，属于基础题． 9．函数 f（x）＝tanx﹣x2 在( ― 휋 2， 휋 2)上的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用函数的奇偶性及特殊点的函数值，结合选项直接得解． 解：函数 f（x）既不是奇函数也不是偶函数，故排除选项 B、D； 又풇( 휋 4) = ퟏ ― 휋2 16＞ퟎ，故排除选项 C． 故选：A． 【点评】本题考查函数图象的运用，考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题． 10．设函数풇(풙) = 풔풊풏(풙 + 2휋 3 )，则下列结论中错误的是（　　） A．f（x）的图象关于点（휋 3，0）对称B．f（x）的图象关于直线풙 = 휋 6对称 C．f（x）在[0，휋 3]上单调递减 D．f（x）在[ ― 휋 3，0]上的最大值为 1 【分析】根据三角函数的图象与性质间的关系判断 A，B 选项；结合换元思想研究 f（x） 的单调性，进一步判断 C，D 选项． 解：对于 A，因为풇( 휋 3) = 풔풊풏( 휋 3 + 2휋 3 ) = ퟎ，故 A 对； 对于 B，풇( 휋 6) = 풔풊풏( 휋 6 + 2휋 3 ) = 풔풊풏 5휋 6 = 1 2 ≠± ퟏ，故 B 错； 对于 C，풙 ∈ [ퟎ， 휋 3]时，풙 + 2휋 3 ∈ [ 2휋 3 ，흅]，这是 y＝sinx 的减区间，结合复合函数“同增 异减”可知，C 对； 对于 D，풙 ∈ [ ― 휋 3，ퟎ]时，풙 + 2휋 3 ∈ [ 휋 3， 2휋 3 ]，可知当풙 + 2휋 3 = 휋 2，即풙 = ― 휋 6时，f（x）max ＝1，故 D 对． 故选：B． 【点评】本题考查正弦（型）函数的对称性、单调性及最值的判断方法，注意转化思想 的应用，同时考查学生的运算能力和推理能力．属于中档题． 11．已知四棱锥 P﹣ABCD 的顶点都在球 O 的球面上，PA⊥底面 ABCD，且 AB＝AD＝1， BC＝CD＝2，若球 O 的表面积为 36π，则 PA＝（　　） A．2 B． ퟔ C． ퟑퟏ D． ퟑퟑ 【分析】先分析底面四边形 ABCD 的外接圆，利用三角形全等得到底面四边形 ABCD 的 外接圆的圆心 M 为 AC 的中点，从而面四边形 ABCD 的外接圆的半径 r = 5 2 ，易知球 O 的球心 O 在过点 M 的底面 ABCD 的垂线上，由球 O 的表面积求出球 O 的半径，再利用 勾股定理即可求出 PA 的值．解：设底面四边形 ABCD 的外接圆为圆 M，如图所示： ， ∵AB＝AD，BC＝CD，AC＝AC， ∴△ADC≌△ABC， ∴∠ADC＝∠ABC， 又因为圆内接四边形对角互补，∴∠ADC＝∠ABC＝90°， ∴底面四边形 ABCD 的外接圆的圆心 M 为 AC 的中点， ∵AD＝1，CD＝2，∠ADC＝90°，∴AC = ퟓ，即面四边形 ABCD 的外接圆的半径 r = 5 2 ， 过点 M 作底面 ABCD 的垂线，则球 O 的球心 O 在垂线上，如图所示： ， 过球心 O 作 ON⊥PA 于点 N，故四边形 AMON 为矩形， ∵球 O 的表面积为 36π，∴4πR2＝36π，∴R＝3， 在 Rt△OAM 中：AM＝r = 5 2 ，OA＝R＝3，∴OM = ퟑퟐ ― ( 5 2 )ퟐ = 31 2 ，在 Rt△PON 中：ON＝AM＝r = 5 2 ，OP＝R＝3，∴PN = ퟑퟐ ― ( 5 2 )ퟐ = 31 2 ， ∴PA＝PN+AN＝PN+OM = ퟑퟏ， 故选：C． 【点评】本题主要考查了四棱锥的外接球，是中档题． 12．已知 F 是双曲线푪： 푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = ퟏ(풂＞ퟎ，풃＞ퟎ)的右焦点，M 是 C 的渐近线上一点，且 MF ⊥x 轴，过 F 作直线 OM 的平行线交 C 的渐近线于点 N（O 为坐标原点），若 MN⊥ ON，则双曲线 C 的离心率是（　　） A．2 3 3 B． ퟑ C． 6 2 D．2 【分析】把 x＝c 代入渐近线풚 = 푏 푎풙，可求得点 M 的坐标，由于 OM∥NF，利用点斜式 写出直线 NF 的方程，将其与渐近线풚 = ― 푏 푎풙联立，可求得点 N 的坐标，然后结合 MN⊥ ON，直线的斜率之积为﹣1，可得到关于 a、b、c 的等量关系式，最后结合 c2＝a2+b2 和 풆 = 푐 푎即可求得离心率． 解：根据题意，作出如图所示的图形， 由题意可知，点 F（c，0），渐近线方程为풚 =± 푏 푎풙， ∵MF⊥x 轴，∴把 x＝c 代入풚 = 푏 푎풙，得풚 = 푏푐 푎 ，∴点 M（풄， 푏푐 푎 ）， ∵OM∥NF，∴直线 NF 的方程为풚 = 푏 푎(풙 ― 풄)，联立{풚 = 푏 푎(풙 ― 풄) 풚 = ― 푏 푎풙 ，解得{풙 = 푐 2 풚 = ― 푏푐 2푎 ，∴点 N( 푐 2， ― 푏푐 2푎)， ∵MN⊥ON，∴ 푏푐 푎 ― ( ― 푏푐 2푎) 푐 ― 푐 2 ⋅ ( ― 푏 푎) = ―ퟏ，化简得，a2＝3b2， ∴离心率풆 = 푐2 푎2 = 푎2 + 푏2 푎2 = ퟏ + 푏2 푎2 = ퟏ + 1 3 = 2 3 3 ． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的渐近线、离心率等几何性质，还涉及到了两条直线的平行与 垂直关系、交点坐标等知识点，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．若 x，y 满足约束条件{풙 ― 풚 + ퟏ ≥ ퟎ 풙 + 풚 ― ퟑ ≤ ퟎ 풙 ― ퟑ풚 + ퟏ ≤ ퟎ ，则 z＝2x﹣y 的最小值为　﹣2　． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 解：由 x，y 满足约束条件{풙 ― 풚 + ퟏ ≥ ퟎ 풙 + 풚 ― ퟑ ≤ ퟎ 풙 ― ퟑ풚 + ퟏ ≤ ퟎ ，作出可行域如图所示， 化目标函数 z＝2x﹣y 为 y＝2x﹣z，{풙 ― 풚 + ퟏ = ퟎ 풙 ― ퟑ풚 + ퟏ = ퟎ解得 C（﹣1，0）， 由图可知，当直线 y＝2x﹣z 过 C（﹣1，0）时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最小值 为﹣2． 故答案为：﹣2．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 14．曲线 f（x）＝ex+2sinx﹣1 在点（0，f（0））处的切线方程为　y＝3x　． 【分析】先求出函数 f（x）的导数，然后分别求出 x＝0 处的导数值、函数值，最后代入 点斜式求解． 解：由已知得 f′（x）＝ex+2cosx， ∴f′（0）＝3，f（0）＝0， 故切线方程为：y＝3x． 故答案为：y＝3x． 【点评】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，注意抓住切点满足的条件列方 程．属于基础题． 15．在数列{an}中，已知 a1＝1，an+1＝an+tn（n∈N*，t 为非零常数），且 a1，a2，a3 成等比 数列，则 an＝　푛2 ― 푛 + 2 2 　． 【分析】由 a1，a2，a3 成等比数列可得 t 的方程，可得 an+1＝an+n，运用累加法可求 an． 解：a2＝a1+t＝1+t，a3＝a2+2t＝1+3t， 依题意 a1，a2，a3 成等比数列，即（1+t）2＝1（1+3t），解得 t＝0（舍去），t＝1； n≥2 时，a2﹣a1＝1，a3﹣a2＝2，…an﹣an﹣1＝n﹣1， 以上各式相加得 an﹣a1＝1+2+…+（n﹣1） = 1 2n（n﹣1），即有 an = 푛2 ― 푛 + 2 2 ． n＝l 时，表达式也成立， 所以∀n∈N*，an = 푛2 ― 푛 + 2 2 ； 故答案为：푛2 ― 푛 + 2 2 ． 【点评】本题考查等比数列的定义、利用递推式求数列通项，以及累加法的应用，属中 档题． 16．已知풇(풙) = 풂( 1 푥 ―ퟐ풙) + 풍풏풙，f（x）有极大值 f（x1）和极小值 f（x2），则 a 的取值范 围是　（0， 2 4 ）　；f（x1）+f（x2）＝　﹣ln2　． 【分析】先求导，根据函数有 f（x）有极大值 f（x1）和极小值 f（x2），即可求出 2ax2﹣ x+a＝0 有两个正根，可得 a 的取值范围，由 f（x1）+f（x2）＝a（ 1 푥1 ― 2x1）+lnx1+a（ 1 푥2 ― 2x2）+lnx2，即可求出． 解：f（x）＝a（1 푥 ― 2x）+lnx，x＞0， ∴f′（x）＝a（ ― 1 푥2 ― 2） + 1 푥 = ―2푎푥2 + 푥 ― 푎 푥2 ， ∵f（x）有极大值 f（x1）和极小值 f（x2）， ∴f′（x） = ―2푎푥2 + 푥 ― 푎 푥2 = 0，即 2ax2﹣x+a＝0 有两个正根， ∴{ △= ퟏ ― ퟖ풂ퟐ＞ퟎ 풙ퟏ + 풙ퟐ = 1 2푎＞ퟎ 풙ퟏ풙ퟐ = 1 2＞ퟎ ，解得 0＜a＜ 2 4 ； ∴0＜x1＜ 1 2＜x2， ∴f（x1）+f（x2）＝a（ 1 푥1 ― 2x1）+lnx1+a（ 1 푥2 ― 2x2）+lnx2＝a（ 1 푥1 ― 2x1 + 1 푥2 ― 2x2）+lnx1x2 ＝a（ 푥1 + 푥2 푥1푥2 ― 2（x1+x2）﹣ln2＝a（1 푎 ― 1 푎）﹣ln2＝﹣ln2． 故答案为：（0， 2 4 ），﹣ln2． 【点评】本题考查了导数和函数极值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档 题． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题： 共 60 分． 17．某高校艺术学院 2019 级表演专业有 27 人，播音主持专业 9 人，影视编导专业 18 人．某 电视台综艺节目招募观众志愿者，现采用分层抽样的方法从上述三个专业的人员中选取 6 人作为志愿者． （1）分别写出各专业选出的志愿者人数； （2）将 6 名志愿者平均分成三组，且每组的两名同学选自不同的专业，通过适当的方式 列出所有可能的结果，并求表演专业的志愿者 A 与播音主持专业的志愿者分在一组的概 率． 【分析】（1）利用分层抽样的性质能求出表演专业、播音主持专业、影视编导专业选取 的人数． （2）设表演专业的 3 位志愿者为 A，B，C，播音主持专业的志愿者为 D，影视编导的 志愿者为 E，F，将 6 名志愿者平均分成三组，且每组的两名同学选自不同的专业，利用 列举法能求出结果． 解：（1）某高校艺术学院 2019 级表演专业有 27 人，播音主持专业 9 人，影视编导专业18 人． 某电视台综艺节目招募观众志愿者，现采用分层抽样的方法从上述三个专业的人员中选 取 6 人作为志愿者． 表演专业选取：6 × 27 27 + 9 + 18 = 3 人， 播音主持专业选取：6 × 9 27 + 9 + 18 = 1 人， 影视编导专业选取：6 × 18 27 + 9 + 18 = 2 人． （2）设表演专业的 3 位志愿者为 A，B，C，播音主持专业的志愿者为 D，影视编导的 志愿者为 E，F， 将 6 名志愿者平均分成三组，且每组的两名同学选自不同的专业，所有可能的结果有 6 种，分别为： ①{A，D}，{B，E}，{C，F}； ②{A，D}，{C，E}，{B，F}； ③{B，D}，{A，E}，{C，F}； ④{B，D}，{C，E}，{A，F}； ⑤{C，D}，{A，E}，{B，F}； ⑥{C，D}，{B，E}，{A，F}． 其中 A 与 D 分在一组的情况有 2 种， ∴表演专业的志愿者 A 与播音主持专业的志愿者分在一组的概率 p = 2 6 = 1 3． 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法、分层抽样等基础知识，考查运 算求解能力，是基础题． 18．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知ퟐ풄 = ퟑ풂풔풊풏푪 ― 풄풄풐풔푨．（1）求角 A； （2）设 D 是 BC 边上一点，若∠푨푫푩 = 2휋 3 ，且 AD＝1，a＝3，求 b，c． 【分析】（1）由正弦定理得： ퟑsinA﹣cosA＝2，再利用辅助角公式即可求出角 A； （2）由三角形面积公式可得 bc＝3，再在△ABC 中，运用余弦定理即可求出 b，c 的 值． 解：（1）由正弦定理得：asinC＝csinA， 所以 2c = ퟑcsinA﹣ccosA，从而 ퟑsinA﹣cosA＝2， 所以 2（sinA ⋅ 3 2 ― 1 2 ⋅ 풄풐풔푨）＝2，即 sin（A ― 휋 6）＝1， 又因为 A∈（0，π）， 所以 A = 2휋 3 ； （2）因为 S△ABC = 1 2풃풄풔풊풏푨 = 1 2풂 ⋅ 푨푫 ⋅ 풔풊풏 2휋 3 ， 所以 bc＝a＝3， 在△ABC 中，由余弦定理得：b2+c2+bc＝a2， 所以（b﹣c）2＝9﹣3bc＝0， 所以 b＝c， 故 b＝c = ퟑ． 【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题． 19．如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面为等边三角形，且 AA1⊥底面 ABC，AB＝2 ퟐ，A1A ＝3，D，E 分别为 AC，A1C1 的中点，点 F 在棱 CC1 上，且 FC＝1． （1）证明：平面 BEF⊥平面 BDF； （2）求点 D 到平面 BEF 的距离．【分析】（1）由 A1A⊥平面 ABC，得 A1A⊥BD，再由△ABC 为等边三角形，D 为 AC 的中点，得 BD⊥AC，由直线与平面垂直的判定可得 BD⊥平面 ACC1A1，得 BD⊥EF．求 解三角形证明 EF⊥DF，得到 EF⊥平面 BDF，进一步可得平面 BEF⊥平面 BDF； （2）作 DM⊥BF，垂足为 M，由（1）可知平面 BEF⊥平面 BDF，得到 DM⊥平面 BEF，即 DM 即为点 D 到平面 BEF 的距离，求解三角形得答案． 【解答】（1）证明：∵A1A⊥平面 ABC，BD⊂平面 ABC，∴A1A⊥BD， ∵△ABC 为等边三角形，D 为 AC 的中点，∴BD⊥AC， 又 A1A∩AC＝A，∴BD⊥平面 ACC1A1，得 BD⊥EF． 在△DEF 中，DE＝3，EF = ퟔ，DF = ퟑ， 满足 DE2＝DF2+EF2，∴EF⊥DF． 又 BD∩DF＝D，∴EF⊥平面 BDF， 又∵EF⊂平面 BEF，∴平面 BEF⊥平面 BDF； （2）解：作 DM⊥BF，垂足为 M， 由（1）可知平面 BEF⊥平面 BDF，DM⊂平面 BEF， 平面 BEF∩平面 BDF＝BF，∴DM⊥平面 BEF， ∴DM 即为点 D 到平面 BEF 的距离．在△BDF 中，푩푫 = ퟔ，DF = ퟑ，BF＝3． 满足 BF2+DF2＝BD2，∴BD⊥DF． 故 DM = 퐵퐷 ⋅ 퐷퐹 퐵퐹 = ퟐ． 即点 D 到平面 BEF 的距离为 ퟐ． 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了点到 平面距离的求法，是中档题． 20．已知 P 是 x 轴上的动点（异于原点 O），点 Q 在圆 O：x2+y2＝4 上，且|PQ|＝2．设线 段 PQ 的中点为 M． （1）当直线 PQ 与圆 O 相切于点 Q，且点 Q 在第一象限，求直线 OM 的斜率； （2）当点 P 移动时，求点 M 的轨迹方程． 【分析】（1）根据条件求得 P 的坐标以及 Q 的坐标，进而求得 M 的坐标，进而求得结 论；（2）设出 M 的坐标，结合中点坐标公式求出 Q 的坐标，代入圆的方程即可求出结论． 解：（1）连接 OQ，当直线 PQ 与圆 O 相切于点 Q；则 OQ⊥PQ， 因为|OQ|＝|PQ|＝2；则|OP|＝2 ퟐ，点 Q 在第一象限，P（2 ퟐ，0），Q（ ퟐ， ퟐ）； 因为线段 PQ 的中点为 M，得 M（3 2 2 ， 2 2 ）； 所以直线 OM 的斜率为1 3． （2）设 M（x，y）（x≠0），由|OQ|＝|PQ|＝2， 由 M 为 PQ 的中点，得 P（4푥 3 ，0）则 Q（2푥 3 ，2y）； 把 Q（2푥 3 ，2y）代入 x2+y2＝4；整理得：푥2 9 + y2＝1； 所以点 M 的轨迹方程为：푥2 9 + y2＝1，（x≠0）． 【点评】本题考查了轨迹方程的求法，注意运用代入法，考查了直线与圆的位置关系， 是中档题． 21．已知 a＞0，函数 f（x）＝2ax3﹣3（a2+1）x2+6ax﹣2． （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）在一、选择题上仅有一个零点，求 a 的取值范围． 【分析】（1）求出导数后，发现导数可以因式分解，从而需要讨论两个根 a 和1 푎的大小， 得到单调性．（2）在（1）的基础上，分类判定零点情况，最后综合得到答案． 解：（1）由题可知：f′（x）＝6ax2﹣6（a2+1）x+6a＝6（x﹣a）（ax﹣1）， 令풇′(풙) = ퟎ，则，풙 = 풂或풙 = 1 푎． 当1 푎＞풂，即ퟎ＜풂＜ퟏ时，풙＜풂或풙＞ 1 푎时，풇′(풙)＞ퟎ， 此时，f（x）在（﹣∞，a），( 1 푎， + ∞)单调递增，f（x）在(풂， 1 푎)单调递减； 当 a＝1 时，f′（x）≥0 恒成立，所以 f（x）在 R 上单调递增． 当1 푎＜풂，即풂＞ퟏ时，풙＜ 1 푎或풙＞풂时，풇′(풙)＞ퟎ， 此时，f（x）在( ― ∞， 1 푎)，(풂， + ∞)上单调递增，f（x）在( 1 푎，풂)单调递减． 综上，当 0＜a＜1 时，f（x）的增区间为( ― ∞，풂)和( 1 푎， + ∞)，f（x）的减区间为(풂， 1 푎)； 当 a＝1 时，f（x）在 R 上单调递增； 当 a＞1 时，f（x）的增区间为( ― ∞， 1 푎)和(풂， + ∞)，f（x）的减区间为( 1 푎，풂)． （2）由题可得： f（a）＝﹣a4+3a2﹣2＝（a2﹣1）（2﹣a2）； 풇( 1 푎) = ퟏ ― 1 푎2 由（1）可得： 当 0＜a＜1 时，풇(풂)＜ퟎ，풇( 1 푎)＜ퟎ，所以 f（x）仅在( 1 푎， + ∞)有一个零点，满足要求； 当 a＝1 时，f（x）仅有一个零点 x＝1，满足要求； 当 a＞1 时，풇( 1 푎)＞ퟎ，又 f（x）在 R 上仅有一个零点，则 f（a）＞0，即ퟐ ― 풂ퟐ＞ퟎ，解得ퟏ＜풂＜ ퟐ， 综上，若 f（x）在 R 上仅有一个零点，则 a 的取值范围时(ퟎ， ퟐ)． 【点评】结合导数单调性考查了学生对于常见的含参一元二次讨论，考查了学生的计算 能力，分类讨论思想及逻辑推理能力，属于中档题． 选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 记分．[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．在极坐标系中，圆 C：ρ＝4sinθ，直线 l：ρcosθ＝2．以极点 O 为坐标原点，以极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系． （1）求圆 C 的参数方程，直线 l 的直角坐标方程； （2）点 A 在圆 C 上，AB⊥l 于 B，记△OAB 的面积为 S，求 S 的最大值． 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转 换． （2）利用三角形的面积公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的 应用求出结果． 解：（1）圆 C：ρ＝4sinθ，转换为直角坐标方程为 x2+（y﹣2）2＝4．转换为参数方程 为{ 풙 = ퟐ풄풐풔휽 풚 = ퟐ + ퟐ풔풊풏휽 （θ 为参数）． 直线 l：ρcosθ＝2．转换为直角坐标方程为 x＝2． （2）设 A（2cosα，2+2sinα），（0＜α＜2π），则：B（2，2+2sinα）， 所以 S△OAB＝2（1﹣cosα）（1+sinα） = [ ퟐ풔풊풏(휶 ― 휋 4) + ퟏ]ퟐ， 当휶 ― 휋 4 = 휋 2时，(푺△푶푨푩)풎풂풙 = ퟑ + ퟐ ퟐ． 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角 函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能 力及思维能力，属于基础题型．[选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）＝|x+a|﹣2|x﹣1|﹣1． （1）当 a＝1 时，求不等式 f（x）＞0 的解集； （2）是否存在实数 a，使得 f（x）的图象与 x 轴有唯一的交点？若存在，求 a 的值；若 不存在，说明理由． 【分析】（1）将 a＝1 代入，分类讨论解不等式，再取并集即可； （2）分 a＞﹣1，a＜﹣1 及 a＝﹣1 讨论即可得出结论． 解：（1）当 a＝1 时，f（x）＞0 化为|x+1|﹣2|x﹣1|﹣1＞0， 当 x≤﹣1 时，不等式化为 x﹣4＞0，无解； 当﹣1＜x＜1 时，不等式化为 3x﹣2＞0，解得2 3＜풙＜ퟏ； 当 x≥1 时，不等式化为﹣x+2＞0，解得 1≤x＜2； 综上，不等式的解集为( 2 3，ퟐ)； （2）存在，当 a＞﹣1 时，则풇(풙) = {풙 ― 풂 ― ퟑ，풙＜ ― 풂 ퟑ풙 + 풂 ― ퟑ， ― 풂 ≤ 풙 ≤ ퟏ ―풙 + 풂 + ퟏ，풙＞ퟏ ，此时 f（x）的最大值 为 f（1）＝a，所以 a＝0 时满足题意； 当 a＜﹣1 时，则풇(풙) = {풙 ― 풂 ― ퟑ，풙＜ퟏ ―ퟑ풙 ― 풂 + ퟏ，ퟏ ≤ 풙 ≤ ―풂 ―풙 + 풂 + ퟏ，풙＞ ― 풂 ，此时 f（x）的最大值为 f（1）＝﹣ a﹣2，所以 a＝﹣2 满足题意； 当 a＝﹣1 时，f（x）＝﹣|x﹣1|﹣1＜0，不满足题意； 综上，实数 a 的值为 a＝0 或 a＝﹣2． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想，属于基础题．