2020 年高考数学模拟试卷（文科）（5 月份）
一、选择题（共 12 小题）
1．已知集合 A＝{x|x+3＞0}，B＝{x|（x﹣5）（x+4）＜0}，则 A∩B＝（ ）
A．（﹣5，﹣3） B．（﹣4，﹣3） C．（﹣3，4） D．（﹣3，5）
2．已知 x，y∈R，（3+xi）i＝y﹣（x﹣1）i，则（ ）
A．x+y＝0 B．x﹣y＝0 C．xy＝2 D．xy＝﹣2
3．若双曲线 C：푥2
2 ― 푦2
3푚 = 흀的一条渐近线方程为 2x+3y＝0，则 m＝（ ）
A．3
2 B．2
3 C． 8
27 D．27
8
4．某地区城乡居民储蓄存款年底余额（单位：亿元）如图所示，下列判断一定不正确的是
（ ）
A．城乡居民储蓄存款年底余额逐年增长
B．农村居民的存款年底余额所占比重逐年上升
C．到 2019 年农村居民存款年底总余额已超过了城镇居民存款年底总余额
D．城镇居民存款年底余额所占的比重逐年下降
5．已知向量→
풂 = ( ― ퟐ，ퟏ)，→
풃 = (풎，ퟑ)，且→
풂 ⋅ →
풃 =
3
|
→
푎|
，则 m＝（ ）A． ퟐ B．2 C． ퟑ D．3
6．设 x，y 满足约束条件{풚 ≤ 풙 + ퟏ
풚 ≥
푥
2
풚 ≤ ―
푥
2
，则 z＝x﹣4y 的最大值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．0 D．4
7．从集合 A＝{x∈N|x≤4}中任意取出两个不同的元素，则取出的两元素之和为奇数的概率
是（ ）
A．2
5 B．3
5 C．2
3 D．1
2
8．在△ABC 中，A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 b＝3，풄 = ퟑ ퟑ，B＝30°，a＞b，
则 AC 边上的高线的长为（ ）
A．3 3
2 B．3
2 C．9
2 D．ퟑ ퟑ
9．如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，M，N，P 分别是 C1D1，BC，A1D1 的中点，有
下列四个结论：
①AP 与 CM 是异面直线；②AP，CM，DD1 相交于一点；③MN∥BD1；
④MN∥平面 BB1D1D．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．②④ C．①③④ D．②③④
10．“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而提出，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列{an}满足 a1＝1，
a2＝1，풂풏 = 풂풏―ퟏ + 풂풏―ퟐ(풏 ≥ ퟑ，풏 ∈ 푵∗)．如图是输出斐波那契数列的一个算法流程图，
现要输出斐波那契数列的前 50 项，则图中的空白框应填入（ ）
A．A＝B，B＝C B．B＝A，C＝B C．C＝A，B＝C D．A＝C，C＝B
11．过抛物线 C：y2＝16x 的焦点 F 作直线 l，且直线 l 与 C 及其准线分别相交于 A，B，D
三点，若 →
푨푫 = ퟑ →
푩푫，则（ ）
A．直线 l 的斜率为 ±
3
3 B．直线 l 的斜率为±3
C．|푨푩| =
64
3 D．|AB|＝16
12．已知函数풇(풙) = ퟑ풔풊풏ퟐ휔푥
2 +
1
2풔풊풏흎풙 ―
3
2 (흎＞ퟎ)，若 f（x）在(
휋
2，
3휋
2 )上无零点，则 ω
的取值范围是（ ）
A．(ퟎ，
2
9] ∪ [
8
9， + ∞) B．(ퟎ，
2
9] ∪ [
2
3，
8
9]
C．(ퟎ，
2
9] ∪ [
8
9，ퟏ] D．(
2
9，
8
9] ∪ [ퟏ， + ∞)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.13．已知函数풇(풙) = {ퟑ풙，풙 ≥ ퟏ
ퟐ풇(풙 + ퟏ)，풙＜ퟏ，则 f（﹣1）＝ ．
14．已知直线 y＝4x+b 是曲线 y＝4lnx+3 的一条切线，则 b＝ ．
15．设 α 为锐角，若풄풐풔(휶 +
휋
8) =
4
5，则 cos2α＝ ．
16．一个圆锥恰有三条母线两两夹角为 60°，若该圆锥的侧面积为ퟑ ퟑ흅，则该圆锥的体积
为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～
21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）
必考题：共 60 分.
17．在公比大于 0 的等比数列{an}中，已知 a3a5＝a4，且 a2，3a4，a3 成等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）已知 Sn＝a1a2…an，试问当 n 为何值时，Sn 取得最大值，并求 Sn 的最大值．
18．在三棱锥 D﹣ABC 中，푨푩 = 푩푪 = ퟐ ퟐ，DA＝DC＝AC＝4，平面 ADC⊥平面 ABC，
点 M 在棱 BC 上．
（1）若 M 为 BC 的中点，证明：BC⊥DM．
（2）若三棱锥 A﹣CDM 的体积为ퟐ ퟑ，求 M 到平面 ABD 的距离．
19．某水果批发商经销某种水果（以下简称 A 水果），购入价为 300 元/袋，并以 360 元/袋
的价格售出，若前 8 小时内所购进的 A 水果没有售完，则批发商将没售完的 A 水果以 220
元/袋的价格低价处理完毕（根据经验，2 小时内完全能够把 A 水果低价处理完，且当天
不再购入）．该水果批发商根据往年的销量，统计了 100 天 A 水果在每天的前 8 小时内的销售量，制成如频数分布条形图．
记 x 表示 A 水果一天前 8 小时内的销售量，y 表示水果批发商一天经营 A 水果的利润，n
表示水果批发商一天批发 A 水果的袋数．
（1）若 n＝16，求 y 与 x 的函数解析式；
（2）假设这 100 天中水果批发商每天购入 A 水果 15 袋或者 16 袋，分别计算该水果批
发商这 100 天经营 A 水果的利润的平均数，以此作为决策依据，每天应购入 A 水果 15
袋还是 16 袋？
20．已知函数 f（x）＝x3﹣a（x+2）．
（1）若 a＝3，求 f（x）的单调区间；
（2）若 f（x）存在唯一的零点 x0，且 x0＞0，求 a 的取值范围．
21．已知椭圆푥2
푎2 +
푦2
푏2 = ퟏ(풂＞풃＞ퟎ)上的点 P 到左、右焦点 F1，F2 的距离之和为ퟐ ퟐ，且离
心率为 2
2 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过 F2 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，点 C 与点 B 关于 x 轴对称，求△AF2C 面积的
最大值．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在极坐标系中，极点为 O，一条封闭的曲线 C 由四段曲线组成：흆 = ퟒ풄풐풔휽(휽 ∈ [ퟎ，
휋
4) ∪ [7휋
4 ，ퟐ흅))， 흆 = ퟒ풔풊풏휽(휽 ∈ [
휋
4，
3휋
4 ))， 흆 = ―ퟒ풄풐풔휽(휽 ∈ [
3휋
4 ，
5휋
4 ))， 흆 = ―ퟒ풔풊풏휽(휽 ∈ [
5휋
4 ，
7휋
4 ))．
（1）求该封闭曲线所围成的图形面积；
（2）若直线 l：흆풔풊풏(휽 +
휋
4) = 풌与曲线 C 恰有 3 个公共点，求 k 的值．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|x|+|2x﹣1|．
（1）求不等式 f（x）＜3 的解集；
（2）若存在 α∈（0，π），使得关于 x 的方程 f（x）＝msinα 恰有一个实数根，求 m 的
取值范围．参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．已知集合 A＝{x|x+3＞0}，B＝{x|（x﹣5）（x+4）＜0}，则 A∩B＝（ ）
A．（﹣5，﹣3） B．（﹣4，﹣3） C．（﹣3，4） D．（﹣3，5）
【分析】先求出集合 A，B，由此能求出 A∩B．
解：因为集合 A＝{x|x+3＞0}，B＝{x|（x﹣5）（x+4）＜0}，
所以 A＝（﹣3，+∞），B＝（﹣4，5），
所以 A∩B＝（﹣3，5）．
故选：D．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础
题．
2．已知 x，y∈R，（3+xi）i＝y﹣（x﹣1）i，则（ ）
A．x+y＝0 B．x﹣y＝0 C．xy＝2 D．xy＝﹣2
【分析】利用复数的四则运算、复数相等即可得出．
解：由（3+xi）i＝y﹣（x﹣1）i，
得﹣x+3i＝y﹣（x﹣1）i，
则﹣x＝y，3＝1﹣x，即 x＝﹣2，y＝2，
所以 x+y＝0，xy＝﹣4．
故选：A．【点评】本题考查了复数的四则运算式、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于
基础题．
3．若双曲线 C：푥2
2 ― 푦2
3푚 = 흀的一条渐近线方程为 2x+3y＝0，则 m＝（ ）
A．3
2 B．2
3 C． 8
27 D．27
8
【分析】由题意知 m＞0，且双曲线是焦点在 x 轴上的双曲线，写出其渐近线方程，结合
已知可得关于 m 的方程，则 m 值可求．
解：由题意知双曲线的渐近线方程为풚 =±
3푚
2 풙(풎＞ퟎ)，
2x+3y＝0 可化为풚 = ―
2
3풙，
则 3푚
2 =
2
3，解得풎 =
8
27．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程，考查运算求解能力，是中档题．
4．某地区城乡居民储蓄存款年底余额（单位：亿元）如图所示，下列判断一定不正确的是
（ ）
A．城乡居民储蓄存款年底余额逐年增长
B．农村居民的存款年底余额所占比重逐年上升
C．到 2019 年农村居民存款年底总余额已超过了城镇居民存款年底总余额D．城镇居民存款年底余额所占的比重逐年下降
【分析】根据扇形统计图和条形统计图即可判断出答案．
解：到 2019 年，在城乡居民储蓄存款年底总余额中，农村居民储蓄存款所占的比例仍然
小于城镇居民储蓄存款所占的比例，因此农村居民的存款年底总余额仍然少于城镇居民
的存款总额，
选项 C 说农村居民的存款年底总余额已经超过了城镇居民的存款总额显然是错误的．
故选：C．
【点评】本题考查表的应用，考查数据分析能力以及运算求解能力．
5．已知向量→
풂 = ( ― ퟐ，ퟏ)，→
풃 = (풎，ퟑ)，且→
풂 ⋅ →
풃 =
3
|
→
푎|
，则 m＝（ ）
A． ퟐ B．2 C． ퟑ D．3
【分析】直接根据数量积结合已知条件即可求解结论．
解：∵向量→
풂 = ( ― ퟐ，ퟏ)，→
풃 = (풎，ퟑ)，
由→
풂 ⋅ →
풃 =
3
|
→
푎|
，得 ― ퟐ풎 + ퟑ =
3
2 + 1，所以 ― ퟐ풎 = ―ퟐ，则풎 = ퟐ．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量数量积公式，考查运算求解能力．
6．设 x，y 满足约束条件{풚 ≤ 풙 + ퟏ
풚 ≥
푥
2
풚 ≤ ―
푥
2
，则 z＝x﹣4y 的最大值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．0 D．4
【分析】作出不等式组对应的平面区域，平移直线 x﹣4y＝0，判断最优解，利用数形结合即可的得到结论．
解：由题可知，再画出可行域如图，{풚 = 풙 + ퟏ
풚 =
푥
2
解得 A（﹣2，﹣1），
当 l：x﹣4y＝0 平移到过点（﹣2，﹣1）时，z 取得最大值，
最大值为：2．
故选：B．
【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合的思想以及运算求解能力．
7．从集合 A＝{x∈N|x≤4}中任意取出两个不同的元素，则取出的两元素之和为奇数的概率
是（ ）
A．2
5 B．3
5 C．2
3 D．1
2
【分析】从集合 A 的元素中取出两个不同的元素共有 n = 푪ퟐퟓ = 10 种情况，取出的两元
素之和为奇数的有 m = 푪ퟏퟑ푪ퟏퟐ = 6 种情况，由此能求出取出的两元素之和为奇数的概
率．
解：由题可知 A＝{0，1，2，3，4}，
从集合 A 的元素中取出两个不同的元素共有 n = 푪ퟐퟓ = 10 种情况，
取出的两元素之和为奇数的有 m = 푪ퟏퟑ푪ퟏퟐ = 6 种情况，故取出的两元素之和为奇数的概率为 P =
푚
푛 =
6
10 =
3
5．
故选：B．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推
理能力，是基础题．
8．在△ABC 中，A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 b＝3，풄 = ퟑ ퟑ，B＝30°，a＞b，
则 AC 边上的高线的长为（ ）
A．3 3
2 B．3
2 C．9
2 D．ퟑ ퟑ
【分析】由已知利用余弦定理可得 a2﹣9a+18＝0，结合 a＞b，可求 a 的值，进而根据三
角形的面积公式即可求解 AC 边上的高线的长．
解：因为 b＝3，풄 = ퟑ ퟑ，B＝30°，
所以由余弦定理 b2＝a2+c2﹣2accosB，可得ퟗ = 풂ퟐ +ퟐퟕ ― ퟐ × 풂 × ퟑ ퟑ ×
3
2 ，整理可得 a2
﹣9a+18＝0，
又 a＞b，
所以 a＝6．
因为푺△푨푩푪 =
1
2풂풄풔풊풏푩 = 9 3
2
，
所以 AC 边上的高线的长为
2푆△퐴퐵퐶
푏 = ퟑ ퟑ．
故选：D．
【点评】本题考查余弦定理以及三角形面积公式，考查运算求解能力，属于基础题．
9．如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，M，N，P 分别是 C1D1，BC，A1D1 的中点，有
下列四个结论：
①AP 与 CM 是异面直线；②AP，CM，DD1 相交于一点；③MN∥BD1；④MN∥平面 BB1D1D．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．②④ C．①③④ D．②③④
【分析】本题利用线线间的关系，以及线线平行和线面平行的条件求解．
解：因为 MP∥AC，MP≠AC，所以 AP 与 CM 是相交直线，
又面 A1ADD1∩面 C1CDD1＝DD1，
所以 AP，CM，DD1 相交于一点，则①不正确，②正确．
③令 AC∩BD＝O，因为 M，N 分别是 C1D1，BC 的中点，
所以 ON∥D1M∥CD，푶푵 = 푫ퟏ푴 =
1
2푪푫，则 MNOD1 为平行四边形，
所以 MN∥OD1，因为 MN⊄平面 BD1D，OD1⊂平面 BD1D，
所以 MN∥平面 BD1D，③不正确，④正确．
综上所述，②④正确，
故选：B．
【点评】本题考查了空间中点、线、面的位置关系，需要学生有较强的空间想象能力，
逻辑分析能力．
10．“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契发现，因为斐波那契以
兔子繁殖为例子而提出，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列{an}满足 a1＝1，
a2＝1，풂풏 = 풂풏―ퟏ + 풂풏―ퟐ(풏 ≥ ퟑ，풏 ∈ 푵∗)．如图是输出斐波那契数列的一个算法流程图，现要输出斐波那契数列的前 50 项，则图中的空白框应填入（ ）
A．A＝B，B＝C B．B＝A，C＝B C．C＝A，B＝C D．A＝C，C＝B
【分析】由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，
可得答案．
解：模拟程序的运行，可得
执行第 1 次，A＝1，B＝1，C＝2，i＝4，循环，
因为第二次应该计算 C＝1+2，i＝i+1＝5，循环，
执行第 3 次，因为第三次应该计算 C＝2+3，
由此可得图中的空白框应填入 A＝B，B＝C．
故选：A．
【点评】本题考查数学文化在算法中的应用，考查赋值语句的应用，考查逻辑推理能力，
属于基础题．
11．过抛物线 C：y2＝16x 的焦点 F 作直线 l，且直线 l 与 C 及其准线分别相交于 A，B，D
三点，若 →
푨푫 = ퟑ →
푩푫，则（ ）A．直线 l 的斜率为 ±
3
3 B．直线 l 的斜率为±3
C．|푨푩| =
64
3 D．|AB|＝16
【分析】当直线 l 的斜率为正数时，准线与 x 轴交于点 M，过 A，B 两点分别作 AA1，BB1
垂直于准线，结合图形，设|BB1|＝m，通过比例关系，转化求解弦长即可．
解：当直线 l 的斜率为正数时，准线与 x 轴交于点 M，过 A，B 两点分别作 AA1，BB1 垂
直于准线，
如图所示，则|퐵퐷|
|퐴퐷| =
|퐵퐵1|
|퐴퐴1| =
1
3，即|AA1|＝3|BB1|，设|BB1|＝m，
所以|AA1|＝|AF|＝3m，|BF|＝m，|BD|＝2m，풕풂풏∠푩ퟏ푩푫 =
|퐵1퐷|
|퐵퐵1| = (2푚)2 ― 푚2
푚
= ퟑ．
所以直线 l 的斜率为 ퟑ，
|퐵퐵1|
8 =
|퐵퐷|
|퐷퐹|，解得풎 =
16
3 ，即|푨푩| =
64
3 ．
由对称性可知直线 l 的斜率为 ± ퟑ，|푨푩| =
64
3 ．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，考查了数形结合的思想和
运算求解能力．
12．已知函数풇(풙) = ퟑ풔풊풏ퟐ휔푥
2 +
1
2풔풊풏흎풙 ―
3
2 (흎＞ퟎ)，若 f（x）在(
휋
2，
3휋
2 )上无零点，则 ω
的取值范围是（ ）
A．(ퟎ，
2
9] ∪ [
8
9， + ∞) B．(ퟎ，
2
9] ∪ [
2
3，
8
9]C．(ퟎ，
2
9] ∪ [
8
9，ퟏ] D．(
2
9，
8
9] ∪ [ퟏ， + ∞)
【分析】先结合二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简，得풇(풙) = 풔풊풏(흎풙 ―
휋
3)，由
于f（x）在(
휋
2，
3휋
2 )上无零点，因此(
3휔휋
2 ―
휋
3) ― (
휔휋
2 ―
휋
3) ≤
푇
2 =
휋
휔，且{풌흅 ≤
휔휋
2 ―
휋
3
(풌 + ퟏ)흅 ≥
3휔휋
2 ―
휋
3
，
k∈Z，在 ω＞0 的限制条件下，解不等式即可得解．
解：풇(풙) =
3
2 (ퟏ ― 풄풐풔흎풙) +
1
2풔풊풏흎풙 ―
3
2 =
1
2풔풊풏흎풙 ―
3
2 풄풐풔흎풙 = 풔풊풏(흎풙 ―
휋
3)，
若휋
2＜풙＜
3휋
2 ，则휔휋
2 ―
휋
3＜흎풙 ―
휋
3＜
3휔휋
2 ―
휋
3，
∵f（x）在(
휋
2，
3휋
2 )上无零点，
∴(
3휔휋
2 ―
휋
3) ― (
휔휋
2 ―
휋
3) ≤
푇
2 =
휋
휔，则 ω2≤1，
∵ω＞0，解得 0＜ω≤1．
又{풌흅 ≤
휔휋
2 ―
휋
3
(풌 + ퟏ)흅 ≥
3휔휋
2 ―
휋
3
，解得3휔
2 ―
4
3 ≤ 풌 ≤
휔
2 ―
1
3，k∈Z，
当 k＝0 时，2
3 ≤ 흎 ≤
8
9；当 k＝﹣1 时，ퟎ＜흎 ≤
2
9．
∴흎 ∈ (ퟎ，
2
9] ∪ [
2
3，
8
9]．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，还涉及二倍角公式和辅助角公式，考查
学生数形结合的思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知函数풇(풙) = {ퟑ풙，풙 ≥ ퟏ
ퟐ풇(풙 + ퟏ)，풙＜ퟏ，则 f（﹣1）＝ 12 ．【分析】根据题意，由函数的解析式可得 f（﹣1）＝2f（0），f（0）＝2f（1），f（1）＝
31＝3；计算即可得答案．
解：根据题意，函数풇(풙) = {ퟑ풙，풙 ≥ ퟏ
ퟐ풇(풙 + ퟏ)，풙＜ퟏ，
则 f（﹣1）＝2f（0），f（0）＝2f（1），f（1）＝31＝3；
则有 f（﹣1）＝2f（0）＝4f（1）＝12；
故答案为：12．
【点评】本题考查分段函数的函数值计算，注意认真分析函数的解析式，属于基础题．
14．已知直线 y＝4x+b 是曲线 y＝4lnx+3 的一条切线，则 b＝ ﹣1 ．
【分析】先对函数求导数，然后令导数为 4，求出切点的横坐标，进而利用曲线求出切
点坐标，代入直线方程，即可求出 b 的值．
解：设 f（x）＝4lnx+3，且与 y＝4x+b 相切于点（x0，4lnx0+3），
因为풇′(풙) =
4
푥，所以
4
푥0
= ퟒ，且 b＝4lnx0+3﹣4x0，解得 b＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力．属于基础题．
15．设 α 为锐角，若풄풐풔(휶 +
휋
8) =
4
5，则 cos2α＝ 31 2
50
．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求풔풊풏(휶 +
휋
8) =
3
5，进而根据二倍角公式
即可求解．
解：因为 α 为锐角，풄풐풔(휶 +
휋
8) =
4
5，
所以풔풊풏(휶 +
휋
8) =
3
5，
则풄풐풔(ퟐ휶 +
휋
4) = ퟐ × (
4
5)ퟐ ―ퟏ =
7
25，풔풊풏(ퟐ휶 +
휋
4) =
24
25，所以풄풐풔ퟐ휶 = 풄풐풔(ퟐ휶 +
휋
4 ―
휋
4) =
2
2 (
7
25 +
24
25) = 31 2
50
．
故答案为：31 2
50
．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中
的应用，考查了转化思想，属于基础题．
16．一个圆锥恰有三条母线两两夹角为 60°，若该圆锥的侧面积为ퟑ ퟑ흅，则该圆锥的体积
为 ퟔπ ．
【分析】由题意画出图形，由圆锥的侧面积求出母线长及底面半径，再由圆锥体积公式
求解．
解：如图，设∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝60°，则 SA＝SB＝SC＝AB＝AC＝BC，
设 AB＝x，则底面的直径为ퟐ푹 =
푥
푠푖푛60° =
2푥
3，
该圆锥的侧面积为1
2흅 ⋅
2푥
3풙 = ퟑ ퟑ흅，解得 x＝3，
高푶푺 = ퟑퟐ ― ( ퟑ)ퟐ = ퟔ，
∴该圆锥的体积为 V =
1
3흅 × ( ퟑ)ퟐ × ퟔ = ퟔ흅．
故答案为： ퟔ흅．
【点评】本题考查圆锥的结构特征、体积与表面积计算公式，考查空间想象能力和运算
求解能力，是中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～
21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）
必考题：共 60 分.
17．在公比大于 0 的等比数列{an}中，已知 a3a5＝a4，且 a2，3a4，a3 成等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）已知 Sn＝a1a2…an，试问当 n 为何值时，Sn 取得最大值，并求 Sn 的最大值．
【分析】（1）设{an}的公比为 q，（q＞0），运用等比数列的通项公式和等差数列的中
项性质，解方程可得首项和公比，即可得到所求通项公式；
（2）由等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，可得 Sn，结合二次函数的最值求
法，可得所求最大值和 n 的值．
解：（1）设{an}的公比为 q，（q＞0），由 a3a5＝a42＝a4，得 a4＝1，即 a1q3＝1，
因为 a2，3a4，a3 成等差数列，所以 a2+a3＝6a4，即 a1q+a1q2＝6a1q3，即 6q2﹣q﹣1＝0，
解得풒 =
1
2（ ―
1
3舍去），a1＝8，
所以 an＝8•（1
2）n﹣1＝24﹣n，n∈N*；
（2）푺풏 = 풂ퟏ풂ퟐ⋯풂풏 = ퟐퟑ+ퟐ+ퟏ+⋯+(ퟒ―풏) = ퟐ
(7―푛)푛
2 ，
由 n（7﹣n）＝﹣（n ―
7
2）2 +
49
4 ，
所以当 n＝3 或 4 时，Sn 取得最大值，（Sn）max＝64．
【点评】本题考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和
化简运算能力、推理能力，属于中档题．
18．在三棱锥 D﹣ABC 中，푨푩 = 푩푪 = ퟐ ퟐ，DA＝DC＝AC＝4，平面 ADC⊥平面 ABC，
点 M 在棱 BC 上．
（1）若 M 为 BC 的中点，证明：BC⊥DM．（2）若三棱锥 A﹣CDM 的体积为ퟐ ퟑ，求 M 到平面 ABD 的距离．
【分析】（1）取 AC 的中点 O，连接 OB，OD，则 OD⊥AC．推导出 OD⊥平面 ABC，
从而 OD⊥OB．推导出 AB⊥BC，OB＝OC，△OBD≌△OCD，DB＝DC，且 M 为 BC
的中点，由此能证明 BC⊥DM．
（2）푽푫―푨푩푪 =
1
6푫푶 ⋅ 푩푪 ⋅ 푨푩 = 8 3
3
，从而푽푫―푨푩푴 = 8 3
3 ―ퟐ ퟑ = 2 3
3
．设 M 到平面 ABD
的距离为 h，由1
3푺△푨푩푫 ⋅ 풉 = 푽푫―푨푩푴，能求出 M 到平面 ABD 的距离．
解：（1）证明：取 AC 的中点 O，连接 OB，OD，
因为 DA＝DC，所以 OD⊥AC．
又因为平面 ADC⊥平面 ABC，且相交于 AC，
所以 OD⊥平面 ABC，
所以 OD⊥OB．
因为 AB2+BC2＝AC2，所以 AB⊥BC，
所以 OB＝OC，所以△OBD≌△OCD，
所以 DB＝DC，且 M 为 BC 的中点，所以 BC⊥DM．
（2）解：푽푫―푨푩푪 =
1
6푫푶 ⋅ 푩푪 ⋅ 푨푩 = 8 3
3
，所以푽푫―푨푩푴 = 8 3
3 ―ퟐ ퟑ = 2 3
3
．
在△ABD 中，푺△푨푩푫 =
1
2 × ퟐ ퟐ × ퟒퟐ ― ( ퟐ)ퟐ = ퟐ ퟕ，
设 M 到平面 ABD 的距离为 h，则1
3푺△푨푩푫 ⋅ 풉 = 푽푫―푨푩푴，解得풉 =
21
7 ．所以 M 到平面 ABD 的距离为 21
7 ．
【点评】本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线
面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．某水果批发商经销某种水果（以下简称 A 水果），购入价为 300 元/袋，并以 360 元/袋
的价格售出，若前 8 小时内所购进的 A 水果没有售完，则批发商将没售完的 A 水果以 220
元/袋的价格低价处理完毕（根据经验，2 小时内完全能够把 A 水果低价处理完，且当天
不再购入）．该水果批发商根据往年的销量，统计了 100 天 A 水果在每天的前 8 小时内
的销售量，制成如频数分布条形图．
记 x 表示 A 水果一天前 8 小时内的销售量，y 表示水果批发商一天经营 A 水果的利润，n
表示水果批发商一天批发 A 水果的袋数．
（1）若 n＝16，求 y 与 x 的函数解析式；
（2）假设这 100 天中水果批发商每天购入 A 水果 15 袋或者 16 袋，分别计算该水果批
发商这 100 天经营 A 水果的利润的平均数，以此作为决策依据，每天应购入 A 水果 15
袋还是 16 袋？
【分析】（1）对 x 与 16 的大小关系进行分类，得出 y 关于 x 的分段函数；（2）分别计算两种情况时的平均利润，得出结论．
解：（1）当 x＜16 时，y＝60×x﹣80×（16﹣x）＝140x﹣1280，
当 x≥16 时，y＝60×16＝960，
综上，y = {ퟏퟒퟎ풙 ― ퟏퟐퟖퟎ，ퟎ ≤ 풙＜ퟏퟔ
ퟗퟔퟎ，풙 ≥ ퟏퟔ ．
（2）若水果批发商每天购入 A 水果 15 袋，则这 100 天中有 80 天的利润为 900 元，有 20
天的利润为 760 元，
因 此 该 水 果 批 发 商 这 100 天 经 营 A 水 果 的 利 润 的 平 均 数 为 1
100
× (ퟕퟔퟎ × ퟐퟎ + ퟗퟎퟎ × ퟖퟎ) = ퟖퟕퟐ．
若水果批发商每天购入 A 水果 16 袋，则这 100 天中有 50 天的利润为 960 元，有 30 天
的利润为 820 元，有 20 天的利润为 680 元，
因 此 该 水 果 批 发 商 这 100 天 经 营 A 水 果 的 利 润 的 平 均 数 为 1
100
× (ퟔퟖퟎ × ퟐퟎ + ퟖퟐퟎ × ퟑퟎ + ퟗퟔퟎ × ퟓퟎ) = ퟖퟔퟐ．
比较两个平均数可知，每天应购入 A 水果 15 袋．
【点评】本题考查了函数解析式，函数值计算，属于基础题．
20．已知函数 f（x）＝x3﹣a（x+2）．
（1）若 a＝3，求 f（x）的单调区间；
（2）若 f（x）存在唯一的零点 x0，且 x0＞0，求 a 的取值范围．
【分析】（1）将 a＝3 代入，求导，解关于导函数的不等式，进而得出函数 f（x）的单
调区间；
（2）分 a＝0 及 a≠0 两种情况讨论，当 a＝0 时显然不符合题意，当 a≠0 时，再分 a＜
0 及 a＞0 两种情况讨论，综合即可得出结论．
解：（1）因为 a＝3，则 f（x）＝x3﹣3x﹣6，f'（x）＝3x2﹣3，令 f'（x）＝0，解得 x＝±1．
当 x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，f'（x）＞0；当 x∈（﹣1，1）时，f'（x）＜0．
故 f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递增，f（x）在（﹣1，1）上单调递
减．
（2）当 a＝0 时，f（x）＝x3，f（x）的零点是 x＝0，不符合题意．
当 a≠0 时，f'（x）＝3x2﹣a，
当 a＜0 时，f（x）在 R 上单调递增，所以 f（0）＝﹣2a＞0，不符合题意，
当 a＞0 时，令 f'（x）＝0，解得풙 =±
푎
3，f（x）在( ― ∞， ―
푎
3)，(
푎
3， + ∞)上单调
递增，在( ―
푎
3，
푎
3)上单调递减．
若 f（x）存在唯一的零点 x0，且 x0＞0，则풇( ―
푎
3)＜ퟎ，解得 0＜a＜27．
综上，a 的取值范围为（0，27）．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，考查函数的零点，考查分类讨论
思想及运算求解能力，属于中档题．
21．已知椭圆푥2
푎2 +
푦2
푏2 = ퟏ(풂＞풃＞ퟎ)上的点 P 到左、右焦点 F1，F2 的距离之和为ퟐ ퟐ，且离
心率为 2
2 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过 F2 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，点 C 与点 B 关于 x 轴对称，求△AF2C 面积的
最大值．
【分析】（1）利用椭圆的定义以及离心率，转化求解椭圆的标准方程．
（2）已知 F2（1，0），直线斜率显然存在，设直线的方程为 y＝k（x﹣1），A（x1，
y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，结合三角形的面积通过基
本不等式转化求解即可．解：（1）|푷푭ퟏ| + |푷푭ퟐ| = ퟐ풂 = ퟐ ퟐ，所以풂 = ퟐ，풆 =
푐
푎 =
2
2 ，
所以풄 =
2
2 × ퟐ = ퟏ，所以 b2＝a2﹣c2＝2﹣1＝1，
椭圆的标准方程为푥2
2 + 풚ퟐ = ퟏ．
（2）由题可知直线 l 的斜率必存在，又 F2（1，0），
设直线 l 的方程为 y＝k（x﹣1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x2，﹣
y2）．
联立直线与椭圆的方程，化简得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，
所以풙ퟏ + 풙ퟐ =
4푘2
1 + 2푘2，풙ퟏ풙ퟐ =
2푘2 ― 2
1 + 2푘2．
푺△푨푭ퟐ푪 = 푺△푨푩푪 ― 푺△푭ퟐ푩푪 =
1
2|ퟐ풚ퟐ||(풙ퟏ ― 풙ퟐ) ― (ퟏ ― 풙ퟐ)| = |y2（x1﹣1）|
= |풌(풙ퟏ ―ퟏ)(풙ퟐ ―ퟏ)| = |풌(풙ퟏ풙ퟐ ― 풙ퟏ ― 풙ퟐ +ퟏ)| = |
푘
1 + 2푘2| = |
1
2푘 + 1
푘
| ≤
2
4 ，
当且仅当풌 =±
2
2 时，取得最大值．
所以△AF2C 面积的最大值为 2
4 ．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转
化思想以及计算能力．如果是考试用题：建议：（1）第一问得出풂 = ퟐ，b＝1 各得，
写出椭圆的标准方程得（1 分）；
（2）第二问未说明直线 l 的斜率存在扣（1 分）；
（3）若采用其他方法解题，参照本评分标准按步骤给分．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分[选修 4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，极点为 O，一条封闭的曲线 C 由四段曲线组成：흆 = ퟒ풄풐풔휽(휽 ∈ [ퟎ，
휋
4) ∪ [
7휋
4
，ퟐ흅))， 흆 = ퟒ풔풊풏휽(휽 ∈ [
휋
4，
3휋
4 ))， 흆 = ―ퟒ풄풐풔휽(휽 ∈ [
3휋
4 ，
5휋
4 ))， 흆 = ―ퟒ풔풊풏휽(휽 ∈ [
5휋
4
，
7휋
4 ))．
（1）求该封闭曲线所围成的图形面积；
（2）若直线 l：흆풔풊풏(휽 +
휋
4) = 풌与曲线 C 恰有 3 个公共点，求 k 的值．
【分析】（1）首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步求出封
闭图形的面积．
（2）利用直线和曲线的位置关系的应用求出 k 的值．
解：（1）以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系，
则曲线 C 的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4（2≤x≤4），x2+（y﹣2）2＝4（2≤y≤4），
（x+2）2+y2＝4（﹣4≤x≤﹣2），x2+（y+2）2＝4（﹣4≤y≤﹣2）．
曲线 C 由弧푨푩푪，弧푪푫푬，弧푬푭푮，弧푮푯푨四段圆弧组成，每段圆弧均在半径为 2 的圆
上，则该封闭曲线所围成的图形面积 S＝4（2×2+2π）＝8π+16．
（2）直线 l 的直角坐标方程为 2
2 풙 +
2
2 풚 = 풌，即풙 + 풚 ― ퟐ풌 = ퟎ．
当直线 l 经过点 H，A，B 时，풌 = ퟐ ퟐ．
当直线 l 经过点 E，F，D 时，풌 = ―ퟐ ퟐ，
故 k 的值为 ± ퟐ ퟐ．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，分割
法的应用，直线和曲线的位置关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维
能力，属于基础题型．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|x|+|2x﹣1|．
（1）求不等式 f（x）＜3 的解集；
（2）若存在 α∈（0，π），使得关于 x 的方程 f（x）＝msinα 恰有一个实数根，求 m 的
取值范围．
【分析】（1）写出分段函数解析式，作出图象，数形结合可得不等式 f（x）＜3 的解集；
（2）存在 α∈（0，π），使得关于 x 的方程 f（x）＝msinα 恰有一个实数根，即存在 α∈
（0，π），使得 msinα =
1
2，即 m =
1
2푠푖푛훼，由 α 的范围求得 1
2푠푖푛훼的范围得答案．
解：（1）f（x）＝|x|+|2x﹣1| = { ―ퟑ풙 + ퟏ，풙＜ퟎ
―풙 + ퟏ，ퟎ ≤ 풙＜
1
2
ퟑ풙 ― ퟏ，풙 ≥
1
2
，
作出函数的图象如图：
由 3x﹣1＝3，得 x =
4
3，由﹣3x+1＝3，得 x = ―
2
3．
∴不等式 f（x）＜3 的解集为（ ―
2
3，
4
3）；
（2）存在 α∈（0，π），使得关于 x 的方程 f（x）＝msinα 恰有一个实数根，
即存在 α∈（0，π），使得 msinα =
1
2，即 m =
1
2푠푖푛훼，
∵ 1
2푠푖푛훼 ∈ (
1
2， + ∞)，
∴m 的取值范围是（1
2， + ∞）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的应用，考查数学转化思想方法
与数形结合的解题思想方法，是中档题．
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