1
江苏省 2019—2020 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）
数学试题
第 I 卷（必做题，共 160 分）
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置
上．）
1．已知集合 A＝{1，2}，B＝{﹣1，a}，若 A B＝{﹣1，a，2}，则 a＝ ．
2．若复数 z 满足(1﹣i)z＝1＋i，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ．
3．某校 100 名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，
70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在
[80，90)内的学生人数是 ．
4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 y 的值为 ．
5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”
的概率是“选到男生”的概率的 ，则这个班级的男生人数与女生人数的比值
为 ．
6．函数 的定义域为 ．
7．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y2＝4x 的焦点是双曲线 的顶点，则 a＝
．
8．已知等比数列 的前 n 项和为 ， ， ，则 ＝ ．
9．已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 6，点 M 是对角线 A1C 上靠近点 A1 的三等分点，
则三棱锥 C—MBD 的体积为 ．
10 ． 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 的 周 期 为 2 ， 且 x [0 ， 1] 时 ，
，则 a＋b＝ ．
1
2
( ) 2 lnf x x x= − +
2 2
2 14
x y
a a
− =
{ }na nS 4 25S S= 2 2a = 4a
( )f x ∈
12 , 0 2( ) 1 1, 11 2
x a x
f x bx xx
+ ≤ ≤= − < ≤ +2
11．已知锐角 满足 ，则 ＝ ．
12．如图，在△ABC 中，∠ABC＝ ，AB＝1，BC＝3，以 AC 为一边在△ABC 的另一侧
作正三角形 ACD，则 ＝ ．
13．在平面直角坐标系 xOy 中，AB 是圆 O：x 2＋y2＝1 的直径，且点 A 在第一象限；圆
O1：(x﹣a)2＋y2＝r2(a＞0)与圆 O 外离，线段 AO1 与圆 O1 交于点 M，线段 BM 与圆 O
交于点 N，且 ，则 a 的取值范围为 ．
14．已知 a，b R，a＋b＝t（t 为常数），且直线 y＝ax＋b 与曲线 （e 是自然对数的
底数，e≈2.71828…）相切．若满足条件的有序实数对(a，b)唯一存在，则实数 t 的取
值范围为 ．
二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分 14 分）
已知△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且 bsin2A＝asinB．
（1）求 A；
（2）求 cos(B＋ )＋sin(C＋ )的最大值．
16．（本小题满分 14 分）
已知在四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是菱形，且平面 A1ADD1⊥平面
ABCD，DA1＝DD1，点 E，F 分别为线段 A1D1，BC 的中点．
（1）求证：EF∥平面 CC1D1D；
（2）求证：AC⊥EBD．
α sin 2 2cos2 1α α− = − tan( )4
πα +
2
π
BD AC⋅
1OM O N 0+ =
∈ exy x=
6
π
3
π3
17．（本小题满分 14 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： (a＞b＞0)的离心率为 ，右焦点到右
准线的距离为 3．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）过点 P(0，1)的直线 l 与椭圆 C 交于两点 A，B．己知在椭圆 C 上存在点 Q，使得
四边形 OAQB 是平行四边形，求 Q 的坐标．
18．（本小题满分 16 分）
某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以 C 为圆心，半径为 1 千米的圆周．已有两
条互相垂直的道路 OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点 A，B．现规划修建一
条新路（由线段 MP， ，线段 QN 三段组成），其中点 M，N 分别在 OE，OF 上，且使
得 MP，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点 P，Q， 所对的圆心角为
．记∠PCA＝ （道路宽度均忽略不计）．
（1）若 ，求 QN 的长度；
（2）求新路总长度的最小值．
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 1
2
PQ
PQ
6
π
2θ
5
12
πθ =4
19．（本小题满分 16 分）
已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 的 前 n 项 和 为 ， ， 且 对 任 意 n ，
恒成立．
（1）求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）设 ，已知 ， ， (2＜i＜j)成等差数列，求正整数 i，j ．
20．（本小题满分 16 分）
已知函数 ， ，m，n R．
（1）当 m＝0 时，求函数 的极值；
（2）当 n＝0 时，函数 在(0， )上为单调函数，求 m 的取值范
围；
{ }na nS 1 2a = N∗∈
1 1 12 2n n n n n na S a S a a+ + +− = −
2n
n
S
a
+
{ }na
4 3n nb a n= + − 2b ib jb
( ) ( 1) lnf x m x x= − + 2( ) ( 2) ( 3) 2g x m x n x= − + + − ∈
( )f x
( ) ( ) ( )F x g x f x= − +∞5
（3）当 n＞0 时，判断是否存在正数 m，使得函数 与 有相同的零点，并说明
理由．
第 II 卷（附加题，共 40 分）
21．【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分，
解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
A．选修 4—2：矩阵与变换
已知点 M(2，1)在矩阵 A＝ 对应的变换作用下得到点 N(5，6)，求矩阵 A 的特
征值．
B．选修 4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ( 为参数)．以原点 O
为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 C 和直线 l 的普通方程；
（2）点 P 是曲线 C 上的动点，求 P 到直线 l 的距离的最小值．
( )f x ( )g x
1
2
a
b
2cos
sin
x
y
α
α
=
=
α
sin( ) 104
πρ θ + =6
C．选修 4—5：不等式选讲
已知 a，b，c 是正数，求证：对任意 R，不等式 恒成立．
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程
或演算步骤．
22．（本小题满分 10 分）
如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，AB＝2，AD＝
AP＝3，点 M 是棱 PD 的中点．
（1）求二面角 M—AC—D 的余弦值；
（2）点 N 是棱 PC 上的点，已知直线 MN 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 ，求
的值．
23．（本小题满分 10 分）
已知数列 中， ， ( n )．
（1）分别比较下列每组中两数的大小：① 和 ；② 和 ；
x ∈ 2 1 b c ax x a b c
− − + ≤ + +
3 22
22
PN
PC
{ }na 1 6a = 2
1
1 33n n na a a+ = − + N∗∈
2a 36 2
× 3a 336 ( )2
×7
（2）当 n≥3 时，证明： ．
江苏省 2019—2020 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）
数学试题
第 I 卷（必做题，共 160 分）
1．已知集合 A＝{1，2}，B＝{﹣1，a}，若 A B＝{﹣1，a，2}，则 a＝ ．
答案：1
考点：集合并集运算
解析：∵集合 A＝{1，2}，B＝{﹣1，a}，且 A B＝{﹣1，a，2}，
∴a＝1．
2．若复数 z 满足(1﹣i)z＝1＋i，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ．
答案：0
考点：复数
解析： ，∴z 的实部为 0．
3．某校 100 名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，
70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在
[80，90)内的学生人数是 ．
答案：30
2
2
3( ) 2( ) 36 2
n i ni
i
a
=
> −∑
2 2
2
1 (1 ) 1 2
1 (1 )(1 ) 1
i i i iz ii i i i
+ + + += = = =− − + −8
考点：频率分布直方图
解析： ．
4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 y 的值为 ．
答案：﹣1
考点：伪代码
解析：第一步：y＝2，x＝2；
第一步：y＝﹣1，x＝﹣1；故最后输出的 y 的值为﹣1．
5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”
的概率是“选到男生”的概率的 ，则这个班级的男生人数与女生人数的比值
为 ．
答案：2
考点：随机变量的概率
解析：∵“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的 ，
∴男生人数与女生人数的比值为 2．
6．函数 的定义域为 ．
答案：(0，2]
考点：函数的定义域
解析： ，故与函数的定义域为(0，2]．
7．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y2＝4x 的焦点是双曲线 的顶点，则 a＝
．
答案：1
考点：抛物线与双曲线的简单性质
解析：∵抛物线 y2＝4x 的焦点是(1，0)，
∴双曲线 的顶点为(1，0)，故 a＝1．
[1 (0.005 0.02 2 0.025) 10] 100 30− + × + × × =
1
2
1
2
( ) 2 lnf x x x= − +
2 0 0 20
x xx
− ≥ ⇒ < ≤ >
2 2
2 14
x y
a a
− =
2 2
2 14
x y
a a
− =9
8．已知等比数列 的前 n 项和为 ， ， ，则 ＝ ．
答案：2 或 8
考点：等比数列的简单性质
解析：∵ 为等比数列， ，∴ ，
∴ ，
当 时， ，此时 ＝2；
当 时， ，此时 ，
综上所述， ＝2 或 8．
9．已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 6，点 M 是对角线 A1C 上靠近点 A1 的三等分点，
则三棱锥 C—MBD 的体积为 ．
答案：24
考点：棱锥的体积
解析： ．
10 ． 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 的 周 期 为 2 ， 且 x [0 ， 1] 时 ，
，则 a＋b＝ ．
答案：0
考点：函数的奇偶性与周期性
解析：∵ 为定义在 R 上的奇函数，∴ ①， ，
∵函数 的周期为 2，∴ ②，由①，②得
∴ ．
{ }na nS 4 25S S= 2 2a = 4a
{ }na 4 25S S= 1 2 3 4 1 25( )a a a a a a+ + + = +
3 4 1 24( )a a a a+ = +
1 2 0a a+ = 1q = − 4a
1 2 0a a+ ≠ 2 4q = 2
4 2 2 4 8a a q= = × =
4a
2 3
1
1 1 2 1= 6 243 2 3 9C MBDV BC AA× × = × =—
( )f x ∈
12 , 0 2( ) 1 1, 11 2
x a x
f x bx xx
+ ≤ ≤= − < ≤ +
( )f x ( 1) (1)f f− = − (0) 0f =
( )f x ( 1) (1)f f− = ( 1) (1) 0f f− = =
0(0) 2 0 1 01 1(1) 02
f a a a bb bf
= + = = − ⇒ ⇒ + = − == = 10
11．已知锐角 满足 ，则 ＝ ．
答案：2
考点：三角恒等变换
解析：∵ ，
∴ ，
化简得 ，两边同时除以 得，
，∵ 为锐角，∴ ＞0
解得 ，
∴ ．
12．如图，在△ABC 中，∠ABC＝ ，AB＝1，BC＝3，以 AC 为一边在△ABC 的另一侧
作正三角形 ACD，则 ＝ ．
答案：4
考点：平面向量的数量积
解析：取 AC 中点 E，则
．
13．在平面直角坐标系 xOy 中，AB 是圆 O：x 2＋y2＝1 的直径，且点 A 在第一象限；圆
O1：(x﹣a)2＋y2＝r2(a＞0)与圆 O 外离，线段 AO1 与圆 O1 交于点 M，线段 BM 与圆 O
交于点 N，且 ，则 a 的取值范围为 ．
答案：( ，4)
考点：圆与圆的位置关系
解析： 四边形 ONO1M 为平行四边形，即 ON＝MO1＝r＝1，
α sin 2 2cos2 1α α− = − tan( )4
πα +
sin 2 2cos2 1α α− = −
2 2 2 22sin cos 2(cos sin ) sin cos 0α α α α α α− − + + =
2 23sin 2sin cos cos 0α α α α+ − = 2cos α
23tan 2tan 1 0α α+ − = α tanα
1tan 3
α =
1 1tan tan 34tan( ) 214 1 tan tan 1 14 3
παπα πα
++
+ = = =
− − ×
2
π
BD AC⋅
1BD AC (BE ED) AC BE AC (BA BC) (BC BA)2
⋅ = + ⋅ = ⋅ = + ⋅ −
2 2 2 21 1(BC BA ) (3 1 ) 42 2
= − = × − =
1OM O N 0+ =
2 2
1OM O N 0+ = ⇒ 11
且 ON 为△ABM 的中位线 AM＝2ON＝2 AO1＝3，
故点 A 在以 O1 为圆心，3 为半径的圆上，该圆的方程为： ，
故 与 x2＋y2＝1 在第一象限有交点，即 2＜a＜4，
求得 ，故 a 的取值范围为( ，4)．
14．已知 a，b R，a＋b＝t（t 为常数），且直线 y＝ax＋b 与曲线 （e 是自然对数的
底数，e≈2.71828…）相切．若满足条件的有序实数对(a，b)唯一存在，则实数 t 的取
值范围为 ．
答案：( ， ) {e}
考点：利用导数研究函数的切线，函数与方程
解析：设切点为( ， )
，
∴ ，
有唯一解，
，
( ，﹣2) ﹣2 (﹣2，1) 1 (1， )
﹣ 0 ﹢ 0 ﹣
递减 递增 e 递减
故 有唯一解时 t 的取值范围为( ， ) {e}．
二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分 14 分）
已知△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且 bsin2A＝asinB．
（1）求 A；
（2）求 cos(B＋ )＋sin(C＋ )的最大值．
解：（1）∵bsin2A＝asinB，∴2bsinAcosA＝asinB，
∴由正弦定理 ，得 ，
⇒ ⇒
2 2( ) 9x a y− + =
2 2( ) 9x a y− + =
2 8 0 2 22A
ax aa
−= > ⇒ > 2 2
∈ exy x=
−∞ 2
5
e
−
0x 0
0
xx e
( 1)exy x′ = +
0
0
0
0 2
0
0 0
( 1)e e
e
x
x
x
a x b x
x ax b
= + ⇒ = − = +
0 2
0 0 0e ( 1) ( )xa b x x f x t+ = − + + = =
0
0 0 0( ) e ( 2)( 1)xf x x x′ = − + −
0x −∞ +∞
0( )f x′
0( )f x 2
5
e
−
0( )f x t= −∞ 2
5
e
−
6
π
3
π
sin sin
a b
A B
= 2 cosba A ab=12
∵ ，∴ ，
又∵三角形内角 A ，∴A＝ ；
（2）由（1）A＝ ，又 A＋B＋C＝ ，得 C＝ ，B ，
cos(B＋ )＋sin(C＋ )
∵B ，∴ ，∴当 ，
即 时， 取最大值 1，
∴cos(B＋ )＋sin(C＋ )的最大值为 1．
16．（本小题满分 14 分）
已知在四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是菱形，且平面 A1ADD1⊥平面
ABCD，DA1＝DD1，点 E，F 分别为线段 A1D1，BC 的中点．
（1）求证：EF∥平面 CC1D1D；
（2）求证：AC⊥EBD．
证明：（1）连结 CD，四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中，A1B1C1D1，BB1C1C 是平行四边形，
∴A1D1// B1C1，BC//B1C1，且 A1D1＝B1C1，BC＝B1C1，
又∵点 E，F 分别为线段 AD，BC 的中点，
∴ED1 // FC，ED1＝FC，
所以四边形 ED1CF 是平行四边形，
∴EF //CD1，又∵EF 平面 CC1D1D，CD 平面 CC1D1D，
∴EF //平面 CC1D1D
（2）四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中，四边形 AA1D1D 是平行四边形，
∴AD // A1D1，在△DA1D1 中，DA1＝DD1，点 E 为线段 A1D1 的中点，
∴DE⊥A1D1，又∵AD// A1D1，∴DE⊥AD，
又∵平面 A1ADD1⊥平面 ABCD，平面 A1ADD1 平面 ABCD＝AD，DE 平面
A1ADD1，
∴DE⊥平面 ABCD，又 AC 平面 ABCD，∴DE⊥AC，
∵底面 ABCD 是菱形，∴BD⊥AC，
又∵BD DE＝D，BD，DE 平面 EBD，
0ab ≠ 1cos 2A =
(0 )π∈ ，
3
π
3
π π 2
3A B B
ππ − − = − 2(0 )3
π∈ ，
6
π
3
π
cos cos sin sin sin( )6 6B B B
π π π= − + −
1 3sin cos sin( )2 2 3B B B
π+ = +
2(0 )3
π∈ ， ( )3 3B
π π π+ ∈ ， =3 2B
π π+
6B
π= sin( )3B
π+
6
π
3
π
⊄ ⊂
⊂
⊂
⊂13
∴AC⊥平面 EBD．
17．（本小题满分 14 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： (a＞b＞0)的离心率为 ，右焦点到右
准线的距离为 3．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）过点 P(0，1)的直线 l 与椭圆 C 交于两点 A，B．己知在椭圆 C 上存在点 Q，使得
四边形 OAQB 是平行四边形，求 Q 的坐标．
解：（1）设焦距为 2c，
∵椭圆 C 的离心率为 ，∴ ①，
∵右焦点到右准线的距离为 3，∴ ②，
由①，②解得 a＝2，c＝1，故 b2＝a2﹣c2＝3，
∴椭圆 C 的标准方程为 ，
（2）当直线 l 斜率不存在时，四边形 OAQB 不可能平行四边形，故直线 l 斜率存在
∵直线 l 过点 P(0，1)，设直线 l 为： ，
设 A( ， )，B( ， )，
由四边形 OAQB 是平行四边形，得 Q( ， )
，化简得： ，
，
，
∴Q( ， )，∵点 Q 在椭圆 C 上，
∴ ，解得 ，代入 Q 的坐标，得
Q(1， )或(﹣1， )．
18．（本小题满分 16 分）
某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以 C 为圆心，半径为 1 千米的圆周．已有两
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 1
2
1
2
1
2
c
a
=
2
3a cc
− =
2 2
14 3
x y+ =
1y kx= +
1x 1 1kx + 2x 2 1kx +
1 2x x+ 1 2( ) 2k x x+ +
2 2
1
3 4 12 0
y kx
x y
= +
+ − =
2 2(3 4 ) 8 8 0k x kx+ + − =
1 2 2
2
1 2 2
8
8 3 4
82(3 4 )
3 4
kx xk kx k x x k
+ = −− ± ∆ += ⇒ + = − +
1 2 2 2
8 6( ) 2 ( ) 23 4 3 4
kk x x k k k
+ + = ⋅ − + =+ +
2
8
3 4
k
k
− + 2
6
3 4k+
2 2
2 2
8 63( ) 4( ) 123 4 3 4
k
k k
− + =+ +
1
2k = ±
3
2
3
214
条互相垂直的道路 OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点 A，B．现规划修建一
条新路（由线段 MP， ，线段 QN 三段组成），其中点 M，N 分别在 OE，OF 上，且使
得 MP，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点 P，Q， 所对的圆心角为
．记∠PCA＝ （道路宽度均忽略不计）．
（1）若 ，求 QN 的长度；
（2）求新路总长度的最小值．
解：（1）连接 CB，CN，CM，OM⊥ON，OM，ON，PM，QN 均与圆 C 相切
∴CB⊥ON，CA⊥OM，CP⊥MP，CQ⊥NQ，∴CB⊥CA
∵∠PCA＝ ，∠PCQ＝ ，∴∠QCB＝ ，
此时四边形 BCQN 是正方形，∴QN＝CQ＝1，
答：QN 的长度为 1 千米；
（2）∵∠PCA＝ ，可得∠MCP＝ ，∠NCQ＝ ，
则 MP＝ ， ，NQ＝
设新路长为 ，其中 ( ， )，即
∴ ，
，当 时取“＝”，
答：新路总长度的最小值为 ．
19．（本小题满分 16 分）
已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 的 前 n 项 和 为 ， ， 且 对 任 意 n ，
PQ
PQ
6
π
2θ
5
12
πθ =
2θ 5
6
π=
6
π 52 6 6 2 2
π π π ππ − − − =
2θ θ 2
3
π θ−
tanθ PQ 6
π=
2tan tan2 tan 33tan( ) 23 3 tan 11 tan tan3
π θπ θθ π θθ
− +− = =
−+
( )f θ θ ∈
6
π
2
π 3tan 3
θ ≥
tan 3 3 4 2 3( ) tan tan6 3 3 63 tan 1 3tan 3
f
π θ πθ θ θ
θ θ
+= + + = − + + +
− −
2 3+ 6
π≥ tan 3θ =
2 3+ 6
π
{ }na nS 1 2a = N∗∈15
恒成立．
（1）求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）设 ，已知 ， ， (2＜i＜j)成等差数列，求正整数 i，j ．
解：（1）∵ ，
∴ ，
∵数列 各项均为正数，∴ ，等式两边同时除以 ，
得 ，故数列 是等差数列，首项为 2，公差为 0，
∴ ，即 ①， ，求得 ，
∴ (n≥2)②，①﹣②得 ，即 ，
又 ，∴对任意 n ，数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列
故数列 的通项公式为 ；
（2） ，
∴ ， ， ，
∵ ， ， (2＜i＜j)成等差数列，
∴ ，
变形得 (*)，
①当 时， ，
令 (i≥3)，则 (i≥3)，
∴数列 单调递减，故 ，
∴ ， ，故 时*式不成立，
1 1 12 2n n n n n na S a S a a+ + +− = −
2n
n
S
a
+
{ }na
4 3n nb a n= + − 2b ib jb
1 1 12 2n n n n n na S a S a a+ + +− = −
1 1( 2) ( 2)n n n na S a S+ ++ = +
{ }na 1 0n na a + > 1n na a +
1
1
2 2 0n n
n n
S S
a a
+
+
+ +− = 2n
n
S
a
+
2 2n
n
S
a
+ = 2 2n nS a+ = 2 22 2S a+ = 2 4a =
1 12 2n nS a− −+ = 12 2n n na a a −= − 12n na a −=
2 14 2a a= = N∗∈ { }na
{ }na 2n
na =
4 3 2 4 3n
n nb a n n= + − = + −
2 9b = 2 4 3i
ib i= + − 2 4 3j
jb j= + −
2b ib jb
2(2 4 3) 9 2 4 3i ji j+ − = + + −
1
1 1
2 3 2 12 2
j i
i i
i j− −
− −
− = + −
2j i≥ + 1
12 1 12
j i
i
j− −
−+ − >
1
2 3
2i i
ic −
−= 1 1
2 1 2 3 5 2 02 2 2i i i i i
i i ic c+ −
− − −− = − = <
{ }ic (max) 3
3 14ic c= = <
1
2 3 12i
i
−
− < 1
12 1 12
j i
i
j− −
−+ − > 2j i≥ +16
②当 时，*式转化为 ，解得 i＝4，故 j＝5．
20．（本小题满分 16 分）
已知函数 ， ，m，n R．
（1）当 m＝0 时，求函数 的极值；
（2）当 n＝0 时，函数 在(0， )上为单调函数，求 m 的取值范
围；
（3）当 n＞0 时，判断是否存在正数 m，使得函数 与 有相同的零点，并说明
理由．
解：（1）当 m＝0 时， ，
∴ ，令 ，解得 x＝1，列表如下：
x (0，1) 1 (1， )
＋ 0 －
单调递增 单调递减
∴当 x＝1 时，函数 有极大值﹣1，无极小值；
（2）当 n＝0 时，函数
∴ ，
要使函数 在(0， )上为单调函数，
则对 (0， )， 或 恒成立，
令 ， 或 恒成立
①当 0＜m＜2 时， (0， ) ( ， )时， ， ( ， )
时， ，不符题意；
②当 m＜0 时， (0， ) ( ， )时， ， ( ， )时，
，不符题意；
1j i= + 0
1 1
2 3 12 12 2i i
i i
− −
− += + −
( ) ( 1) lnf x m x x= − + 2( ) ( 2) ( 3) 2g x m x n x= − + + − ∈
( )f x
( ) ( ) ( )F x g x f x= − +∞
( )f x ( )g x
( ) lnf x x x= − +
1( ) 1f x x
′ = − + ( ) 0f x′ =
+∞
( )f x′
( )f x
( )f x
2( ) ( ) ( ) ( 2) ( 4) ln 2F x g x f x m x m x x= − = − − − − −
22( 2) ( 4) 1 (2 1)[( 2) 1]( ) m x m x x m xF x x x
− − − − − − +′ = =
( ) ( ) ( )F x g x f x= − +∞
x∀ ∈ +∞ ( ) 0F x′ ≥ ( ) 0F x′ ≤
( ) (2 1)[( 2) 1]g x x m x= − − + ( ) 0g x ≥ ( ) 0g x ≤
x ∈ 1
2
1
2 m− +∞ ( ) 0g x < x ∈ 1
2
1
2 m−
( ) 0g x >
x ∈ 1
2 m−
1
2
+∞ ( ) 0g x < x ∈ 1
2 m−
1
2
( ) 0g x >17
③当 m≥2 时， (0， )时， ， ( ， )时， ，不符题
意；
④当 m＝0 时， ，此时 恒成立，
函数 在(0， )上单调递减，符合题意，
综上所述，m 的取值范围为{0}；
（3）∵函数 与 有相同的零点，不妨设 为相同的零点
则 ，
得 ①， ②，
有（1）知 ，故 ，
∴ ，
令 ，
又 ， ，
故当 (1，n＋3)时， ，②式有解，且能满足 ，
∴存在正数 m，使得函数 与 有相同的零点．
第 II 卷（附加题，共 40 分）
21．【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分，
解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
A．选修 4—2：矩阵与变换
已知点 M(2，1)在矩阵 A＝ 对应的变换作用下得到点 N(5，6)，求矩阵 A 的特
征值．
解：∵点 M(2，1)在矩阵 A＝ 对应的变换作用下得到点 N(5，6)，
∴ ，则 ，解得 ，∴A＝ ，
x ∈ 1
2 ( ) 0g x < x ∈ 1
2
+∞ ( ) 0g x >
2( ) (2 1) 0g x x= − − ≤ ( ) 0F x′ ≤
( ) ( ) ( )F x g x f x= − +∞
( )f x ( )g x 0x
0 0
2
0 0
( 1) ln 0
( 2) ( 3) 2 0
m x x
m x n x
− + = − + + − =
0 0
0
lnx xm x
−= 2
0 0 0 0ln ( 3) 2 0x x x n x− − + + − =
( ) ln (1) 1 0f x x x f= − + ≤ = − < 0 0ln 0x x− >
0 0
0
ln 0x xm x
−= >
2
0 0 0 0 0( ) ln ( 3) 2h x x x x n x= − − + + −
(1) 0h n= > ( +3) ( 3)ln( 3) 2 0h n n n= − + + − <
0x ∈ 0( ) 0h x = 0 0
0
ln 0x xm x
−= >
( )f x ( )g x
1
2
a
b
1
2
a
b
1 2 5
2 1 6
a
b
=
2 5
2 2 6
a
b
+ =
+ =
3
2
a
b
=
=
1 3
2 2
18
，令 ，
得 ，解得 ， ，
∴矩阵 A 的特征值为 4 或﹣1．
B．选修 4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ( 为参数)．以原点 O
为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 C 和直线 l 的普通方程；
（2）点 P 是曲线 C 上的动点，求 P 到直线 l 的距离的最小值．
解：（1）由题意，曲线 C 的普通方程为 ，
直线 l 的普通方程为 ．
（2）设 P(2cos ，sin )，则 P 到直线 l 的距离
所以当 ＝1 时，dmin＝
所以 P 到直线 l 的距离的最小值为 ．
C．选修 4—5：不等式选讲
已知 a，b，c 是正数，求证：对任意 R，不等式 恒成立．
证明：对于正数 a，b，c，由均值不等式得 ，
当且仅当 a＝b＝c 时取“＝”，
任意 ，由绝对值不等式得
当且仅当 x≤﹣1 时取“＝”，
∴对任意 ，都有不等式 成立．
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程
或演算步骤．
22．（本小题满分 10 分）
1 3( ) ( 1)( 2) 62 2f E A
λλ λ λ λλ
− −= − = = − − −− − ( ) 0f λ =
2 3 4 0λ λ− − = 1 4λ = 2 1λ = −
2cos
sin
x
y
α
α
=
=
α
sin( ) 104
πρ θ + =
2
2 14
x y+ =
2 5 0x y+ − =
α α
2cos sin 2 5 5 sin( ) 2 5 2 5 5 sin( )
2 2 2
d
α α α θ α θ+ − + − − += = =
sin( )α θ+ 10
2
10
2
x ∈ 2 1 b c ax x a b c
− − + ≤ + +
33 3b c a b c a
a b c a b c
+ + ≥ × × =
x R∈
x R∈ 2 1 b c ax x a b c
− − + ≤ + +19
如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，AB＝2，AD＝AP
＝3，点 M 是棱 PD 的中点．
（1）求二面角 M—AC—D 的余弦值；
（2）点 N 是棱 PC 上的点，已知直线 MN 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 ，求
的值．
解：（1）以{ ， ， }为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 A— xyz，
则各点的坐标为 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，3，0)，D(0，3，0)，P(0，0，3)，
M(0， ， )，
＝(0，0，3)， ＝(2，3，0)， ＝(0， ， )
因为 PA⊥平面 ABCD，所以平面 ACD 的一个法向量为 ＝(0，0，3)，
设平面 MAC 的法向量为 ＝(x，y，z)，所以 ，
即 ，取 ＝(3，﹣2，2)，
3 22
22
PN
PC
AB AD AP
3
2
3
2
AP AC AM 3
2
3
2
AP
n AC 0
AM 0
n
n
⋅ = ⋅ =
2 3 0
3 3 02 2
x y
y z
+ = + =
n20
∴cos< ， >＝ ，
∴二面角 M—AC—D 的余弦值为 ；
（2）设 ，其中 ，
∴ ，
∵平面 ABCD 的一个法向量为 ＝(0，0，3)，
∴
∵直线 MN 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 ，
∴ ，∴ ，
化简得 ，即 ，∴ ．
23．（本小题满分 10 分）
已知数列 中， ， ( n )．
（1）分别比较下列每组中两数的大小：① 和 ；② 和 ；
（2）当 n≥3 时，证明： ．
解：（1）①∵ ， ，∴ ＝ ；
②∵ ， ，∴ ＞ ；
AP n AP 6 2 17= = 173 9+4+4AP
n
n
⋅
2 17
17
( (0,1))PN PCλ λ= ∈ (2,3, 3)PC = −
3 3 3 3(0, , ) (2 ,3 , 3 ) (2 ,3 , 3 )2 2 2 2MN MP PN λ λ λ λ λ λ= + = − + − = − − +
AP
2 2 2
33( 3 )2cos ,
3 33 4 (3 ) ( 3 )2 2
AP MNAP MN
AP MN
λ
λ λ λ
− +⋅< >= =
+ − + − +
2
33 2
922 18 2
λ
λ λ
− +
=
− +
3 22
22
2
33 3 222 = 22922 18 2
λ
λ λ
− +
− +
2
2
3( 3 ) 92 =9 2222 18 2
λ
λ λ
− +
− +
4 1λ = 1
4
λ = PN 1
PC 4
=
{ }na 1 6a = 2
1
1 33n n na a a+ = − + N∗∈
2a 36 2
× 3a 336 ( )2
×
2
2
3( ) 2( ) 36 2
n i ni
i
a
=
> −∑
2 9a = 36 92
× = 2a 36 2
×
3 21a = 33 816 ( )2 4
× = 3a 336 ( )2
×21
（2）先用数学归纳法证明：当 n≥3 时， ，
当 n＝3 时， ＞ ；
假设当 n＝k（k≥3，k ）时，结论成立，即 ，
当 n＝k＋1 时，
其中 ，
∴ ，∴当 n＝k＋1 时，结论也成立，
综上所得，当 n≥3 时， ，
从而，当 n≥3 时， ，
则 ，
，
∴当 n≥3 时， ．
( 1)
236 ( )2
n n
na
−
> ×
3a 336 ( )2
×
N∗∈
( 1)
236 ( )2
k k
ka
−
> ×
( 1) ( 1)
2 22 2
1
1 1 3 33 (6 ( ) ) 6 ( ) 33 3 2 2
k k k k
k k ka a a
− −
+ = − + > × − × +
( 1) ( 1)
22 21 3 3(6 ( ) ) 6 ( )3 2 2
k k k k− −
> × − ×
( 1) ( 1)
22 2 ( 3)
1 2
( 1) ( 1) ( 1)
2 2 2
1 3 3(6 ( ) ) 6 ( ) 33 2 2 2( ) 123 3 36 ( ) 6 ( ) 6 ( )2 2 2
k k k k
k k
k
k k k k k k
a
− −
−
+
− − +
× ×
> − = >
× × ×
( 1)
2
1
36 ( )2
k k
ka
+
+ > ×
( 1)
236 ( )2
n n
na
−
> ×
2
13( ) ( )6 2
nn na −>
2 2
2 3 1 2 3 12 2
2
3 3 3 3 3 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 6 2 2 2 2 2 2 2
n i n ni
i
a a − −
=
> + + + + = + + + +∑
131 ( )3 32 2( ) 332 21 2
n
n
−−
= × = −
−
2
2
3( ) 2( ) 36 2
n i ni
i
a
=
> −∑
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