2020 年高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（共 12 小题）
1．已知复数풛 =
10
3 + 푖 ―ퟐ풊（其中 i 为虚数单位），则 z 的共轭复数풛 = （ ）
A．3﹣3i B．3+3i C．3﹣i D．3+i
2．已知集合 A＝{﹣2，﹣1，1，2}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则 A∩B＝（ ）
A．{1} B．{﹣1，1} C．{﹣2，2} D．{0，1}
3．居民消费价格指数，简称 CPI，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价
格水平变动情况的宏观经济指标．一般来说，CPI 的高低直接影响着国家的宏观经济调
控措施的出台与力度，如图是国家统计局发布的我国 2009 年至 2018 年这十年居民消费
价格指数的折线图．
则下列对该折线图分析正确的是（ ）
A．这十年的居民消费价格指数的中位数为 2013 年的居民消费价格指数
B．这十年的居民消费价格指数的众数为 2015 年的居民消费价格指数
C．2009 年～2012 年这 4 年居民消费价格指数的方差小于 2015 年～2018 年这 4 年居民
消费价格指数的方差
D．2011 年～2013 年这 3 年居民消费价格指数的平均值大于 2016 年～2018 年这 3 年居
民消费价格指数的平均值4．函数 f（x）＝ex﹣cosx 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．把书架上的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《五曹算经》、《孙子算经》
5 本中国古代数学专著重新排列一下，若要求其中的《周髀算经》和《九章算术》这 2
本书相邻，则所有不同排法的种数为（ ）
A．120 B．96 C．48 D．24
6．函数풇(풙) = 풔풊풏(풙 +
휋
3) + 풔풊풏풙的最小正周期及对称轴是（ ）
A．흅，풙 = 풌흅 +
휋
3（k∈Z） B．흅，풙 = ퟐ풌흅 +
휋
3（k∈Z）
C．ퟐ흅，풙 = 풌흅 +
휋
3（k∈Z） D．ퟐ흅，풙 = ퟐ풌흅 +
휋
3（k∈Z）
7．已知 m，n 是两条不同直线，α，β 是两个不同平面，给出四个命题：
①若 α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则 α⊥β
②若 m⊥α，m⊥β，则 α∥β
③若 m⊥α，n⊥β，m⊥n，则 α⊥β
④若 m∥α，n∥β，m∥n，则 α∥β
其中正确的命题是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．②④8．已知双曲线푥2
푎2 ―
푦2
푏2 = ퟏ(풂＞ퟎ，풃＞ퟎ)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线的右支
上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．(
5
3，ퟐ] B．(ퟏ，
5
3] C．（1，2] D．[
5
3， + ∞)
9．若ퟒ풔풊풏휽풄풐풔ퟐ휃
2 = 풕，则 2sinθ+sin2θ＝（ ）
A． ퟐ풕 B．t C．2t D．4t
10．如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 是棱 CC1 的中点，则平面 AD1E 与平面 ABCD
的交线与直线 C1D1 所成角的正切值为（ ）
A．1
2 B．2
3 C．3
2 D．2
11．已知抛物线 C：x2＝2py（p＞0）的焦点为 F，若 O 为坐标原点，点 A、B 在抛物线 C
上，且ퟐ →
푨푭 = →
푭푩，则|퐴퐹|
|푂퐹| = （ ）
A．5
4 B．4
3 C．3
2 D．5
3
12．已知定义在[﹣2，2]上的函数 y＝f（x）满足 f'（x）＜f（x），则不等式 ex﹣1f（x）＞f
（2x﹣1）的解集为（ ）
A．（﹣∞，1） B．[
1
2，
3
2] C．[0，1] D．(ퟏ，
3
2]
二、填空题：
13．在菱形 ABCD 中，若 BD＝6，则 →
푪푩 ⋅ →
푫푩的值为 ．14．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 c2＝（a﹣b）2+8，푪 =
휋
3，则△
ABC 的面积为 ．
15．若实数 x，y 满足 x＞y＞0，且 log2x+log2y＝1，则푥2 + 푦2
푥 ― 푦
的最小值为 ．
16．“水能载舟，亦能覆舟”是古代思想家荀子的一句名言，意指事物用之得当则有利，
反之必有弊害．对于高中生上学是否应该带手机，有调查者进行了如下的随机调查：调
查者向被调查者提出两个问题：（1）你的编号是奇数吗？（2）你上学时是否带手机？
学生在被调查时，先背对着调查人员抛掷一枚硬币（保证调查人员看不到硬币的抛掷结
果），如果正面向上，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题．被调查的学生不必
告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，由于只有被调查
者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答．某次调查活动共有 800 名高中
生（编号从 1 至 800）参与了调查，则回答为“不是”的人数的最大值是 ．如果
其中共有 260 人回答为“是”，则由此可以估计这 800 名学生中，上学带手机的人数约
为 ．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，S3＝15，an＞0，d＞1，且______．从
“①等比数列{bn}的公比풒 =
1
2，b1＝a2，b3＝a3；②a1﹣1，a2﹣1，a3+1 为等比数列{bn}
的前 3 项”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数
列{an}存在并作答．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{
1
푎푛푎푛+1
}的前 n 项和为 Tn，求证：푻풏 ≥
1
15．
18．如图，已知等边△ABC 与直角梯形 ABDE 所在的平面互相垂直，且 AE⊥AB，BD∥
AE，AB＝BD＝2AE＝2， →
푨푴 =
1
2
→
푴푪．
（1）证明：直线 CD∥平面 BEM；
（2）求直线 ED 与平面 BEM 所成角的正弦值．19．我国是世界上严重缺水的归家之一，某市为了制订合理的节水方案，对家庭用水情况
进行了抽样调查，获得了某年 100 个家庭的月均用水量（单位：t）的数据，将这些数据
按照[0，0.5），[0.5，1），[1，1.5），[1.5，2），[2，2.5），[2.5，3），[3，3.5），
[3.5，4），[4，4.5）分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中的 b 值，若该市有 30 万个家庭，试估计全市月均用水量不低于 3t 的家庭数；
（2）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，试估计全市家庭月均用水量的
平均数；
（3）现从月均用水量在[0，0.5），[0.5，1）的家庭中，先按照分层抽样的方法抽取 9
个家庭，再从这 9 家庭中抽取 4 个家庭，记这 4 个家庭中月均用水量在[0.5，1）中的数
量 为 ξ ， 求 ξ 的 分 布 列 及 数 学 期
望．
20．已知椭圆 C1：푥2
6 + 푦2
4 = 1，A 为椭圆 C1 上的动点，点 B 在 y 轴上，且直线 AB 垂直于 y
轴，点 M 满足 →
푩푴 =
6
3
→
푩푨．（1）求 M 的轨迹方程 C2；
（2）设点 F 是椭圆 C1 的右焦点，点 N 是 C2 上在第一象限内的点，过点 N 作 C2 的切线
交椭圆 C1 于 P，Q 两点，试判断△FPQ 的周长是否为定值，若是定值，求出这个定值；
若不是定值，请说明理由．
21．已知函数 f（x）＝x2﹣x，g（x）＝lnx．
（1）讨论函数 h（x）＝af（x）﹣g（x）（a∈R）的单调性；
（2）证明：若 a＜1，则对于任意 x＞0，不等式 f（x）＞（x+1）g（x）+（a﹣2）x 恒
成立．
※考生注意：请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计
分．作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修 4--4：坐标系与参
数方程]
22 ． 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 {풙 = ퟐ풄풐풔휽
풚 = ퟐ풔풊풏휽（ θ 为 参 数 ） ， 曲 线 C2 的 参 数 方 程 为
{풙 = 풕풄풐풔
휋
4
풚 = ퟐ + 풕풔풊풏
휋
4
（t 为参数），以坐标原点为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐
标系．
（1）求曲线 C1 与曲线 C2 的公共点的极坐标；
（2）若点 A 的极坐标为（2，π），设曲线 C2 与 y 轴相交于点 B，则在曲线 C1 上是否存
在点 P，使得 PA⊥PB，若存在，求出点 P 的直角坐标，若不存在，请说明理由．
[选修 4--5：不等式选讲]23．设풇(풙) = |풙 + ퟐ풕| + |풙 ―
1
푡|（t＜0），g（x）＝x+3．
（1）当 t＝﹣1 时，求不等式 f（x）＜g（x）的解集；
（2）证明：풇(풙) ≥ ퟐ ퟐ恒成立．参考答案
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1．已知复数풛 =
10
3 + 푖 ―ퟐ풊（其中 i 为虚数单位），则 z 的共轭复数풛 = （ ）
A．3﹣3i B．3+3i C．3﹣i D．3+i
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
解：∵풛 =
10
3 + 푖 ―ퟐ풊 =
10(3 ― 푖)
(3 + 푖)(3 ― 푖) ―ퟐ풊 = ퟑ ― ퟑ풊，
∴풛 = ퟑ + ퟑ풊．
故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2．已知集合 A＝{﹣2，﹣1，1，2}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则 A∩B＝（ ）
A．{1} B．{﹣1，1} C．{﹣2，2} D．{0，1}
【分析】可以求出集合 B，然后进行交集的运算即可．
解：∵A＝{﹣2，﹣1，1，2}，B＝{x|﹣1＜x＜2，x∈Z}＝{0，1}，
∴A∩B＝{1}．
故选：A．
【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考
查了计算能力，属于基础题．
3．居民消费价格指数，简称 CPI，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价
格水平变动情况的宏观经济指标．一般来说，CPI 的高低直接影响着国家的宏观经济调
控措施的出台与力度，如图是国家统计局发布的我国 2009 年至 2018 年这十年居民消费
价格指数的折线图．则下列对该折线图分析正确的是（ ）
A．这十年的居民消费价格指数的中位数为 2013 年的居民消费价格指数
B．这十年的居民消费价格指数的众数为 2015 年的居民消费价格指数
C．2009 年～2012 年这 4 年居民消费价格指数的方差小于 2015 年～2018 年这 4 年居民
消费价格指数的方差
D．2011 年～2013 年这 3 年居民消费价格指数的平均值大于 2016 年～2018 年这 3 年居
民消费价格指数的平均值
【分析】根据折线统计图以及中位数，众数，方差，平均数的定义即可判断．
解：对于 A：十年的居民消费价格指数的中位数为 2013 和 2014 年的居民消费价格指数
的平均数，故 A 不正确；
对于 B：这十年的居民消费价格指数的众数为 2015 年的居民消费价格指数，不正确，
故 B 不正确，
对于 C：方差反应了数据的波动大小，故 2009 年～2012 年这 4 年居民消费价格指数的
方差大于 2015 年～2018 年这 4 年居民消费价格指数的方差，故 C 不正确，
对于 D：2011 年～2013 年这 3 年居民消费价格指数的平均值大于 2016 年～2018 年这 3
年居民消费价格指数的平均值，正确，故 D 正确．
故选：D．
【点评】本题考查折线图的应用，考查数据分析能力以及运算求解能力．4．函数 f（x）＝ex﹣cosx 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】函数 f（x）为非奇非偶函数，可排除 AB 选项，由 f（1）＞0，可排除 C 选项，
进而得出答案．
解：易知函数 f（x）既不是奇函数也不是偶函数，由函数奇偶性的对称性可知，选项 A，B
错误；
又 f（1）＝e﹣cos1＞0，故选项 C 错误．
故选：D．
【点评】本题考查函数图象的运用，考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题．
5．把书架上的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《五曹算经》、《孙子算经》
5 本中国古代数学专著重新排列一下，若要求其中的《周髀算经》和《九章算术》这 2
本书相邻，则所有不同排法的种数为（ ）
A．120 B．96 C．48 D．24
【分析】根据题意，分 2 步进行分析：①，将《周髀算经》和《九章算术》看成一个整
体，考虑 2 者的顺序，②，将这个整体与其他 3 本书全排列，由分步计数原理计算可得
答案．
解：根据题意，分 2 步进行分析：①，要求其中的《周髀算经》和《九章算术》这 2 本书相邻，将两者看成一个整体，考
虑 2 者的顺序，有 2 种情况，
②，将这个整体与其他 3 本书全排列，有 A44＝24 种情况，
则有 2×24＝48 种不同的排法；
故选：C．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
6．函数풇(풙) = 풔풊풏(풙 +
휋
3) + 풔풊풏풙的最小正周期及对称轴是（ ）
A．흅，풙 = 풌흅 +
휋
3（k∈Z） B．흅，풙 = ퟐ풌흅 +
휋
3（k∈Z）
C．ퟐ흅，풙 = 풌흅 +
휋
3（k∈Z） D．ퟐ흅，풙 = ퟐ풌흅 +
휋
3（k∈Z）
【分析】直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步
求出函数的最小正周期和对称轴方程．
解 ： 函 数 풇(풙) = 풔풊풏(풙 +
휋
3) + 풔풊풏풙 =
1
2sinx +
3
2 풄풐풔풙 + 풔풊풏풙 =
3
2풔풊풏풙 +
3
2 풄풐풔풙 = ퟑ
풔풊풏(풙 +
휋
6)．
所以函数的最小正周期为 2π．
令풙 +
휋
6 = 풌흅 +
휋
2（k∈Z），整理得：풙 = 풌흅 +
휋
3（k∈Z）．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，
主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
7．已知 m，n 是两条不同直线，α，β 是两个不同平面，给出四个命题：
①若 α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则 α⊥β
②若 m⊥α，m⊥β，则 α∥β③若 m⊥α，n⊥β，m⊥n，则 α⊥β
④若 m∥α，n∥β，m∥n，则 α∥β
其中正确的命题是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
【分析】由面面垂直的判定定理，可判断①的真假；由面面平行的判定定理及线面垂直
的几何特征，可以判断②的真假；由面面垂直的判定定理，及线面垂直的几何特征，可
以判断③的真假；根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可以判断④的真
假．
解：①若 α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，如图，则 α 与 β 不一定垂直，故①为假命题；
②若 m⊥α，m⊥β，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则 α∥β；故②为真命题；
③若 m⊥α，n⊥β，m⊥n，则 α⊥β，故③为真命题；
④若 m∥α，n∥β，m∥n，如图，则 α 与 β 可能相交，故④为假命题．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间直线与平面平
行及垂直的判定定理、性质定义、几何特征是解答的关键．
8．已知双曲线푥2
푎2 ―
푦2
푏2 = ퟏ(풂＞ퟎ，풃＞ퟎ)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线的右支
上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A．(
5
3，ퟐ] B．(ퟏ，
5
3] C．（1，2] D．[
5
3， + ∞)
【分析】根据题意，由双曲线的定义分析可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，又由|PF1|＝4|PF2|，则|푷
푭ퟐ| =
2푎
3 ，由双曲线的几何性质分析可得2푎
3 ≥ 풄 ― 풂，变形可得 e 的范围，即可得答
案．
解：根据题意，双曲线푥2
푎2 ―
푦2
푏2 = ퟏ(풂＞ퟎ，풃＞ퟎ)中，点 P 在双曲线的右支上，
则|PF1|﹣|PF2|＝2a，又由|PF1|＝4|PF2|，
则|푷푭ퟐ| =
2푎
3 ，
则有2푎
3 ≥ 풄 ― 풂，
变形可得：2
3 ≥ e﹣1，
即可得：e ≤
5
3，
则双曲线的离心率取值范围为(ퟏ，
5
3]．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是利用双曲线的定义分析|PF1|、|PF2|的值．
9．若ퟒ풔풊풏휽풄풐풔ퟐ휃
2 = 풕，则 2sinθ+sin2θ＝（ ）
A． ퟐ풕 B．t C．2t D．4t
【分析】由已知利用二倍角公式即可化简求解．
解：∵ퟒ풔풊풏휽풄풐풔ퟐ휃
2 = 풕，
∴4sinθ•
1 + 푐표푠휃
2 = 2sinθ+2sinθcosθ＝2sinθ+sin2θ＝t．
故选：B．【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
10．如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 是棱 CC1 的中点，则平面 AD1E 与平面 ABCD
的交线与直线 C1D1 所成角的正切值为（ ）
A．1
2 B．2
3 C．3
2 D．2
【分析】延长 D1E、DC，设 D1E∩DC＝O，连接 AO，则 AO 为平面 AD1E 与平面 ABCD
的交线，可得平面 AD1E 与平面 ABCD 的交线与直线 C1D1 所成角为∠AOD，设正方体
ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1，由题意可得 OD＝2．则答案可求．
解：如图，
延长 D1E、DC，设 D1E∩DC＝O，连接 AO，
则 AO 为平面 AD1E 与平面 ABCD 的交线，
∵DC∥D1C1，∴平面 AD1E 与平面 ABCD 的交线与直线 C1D1 所成角为∠AOD，
设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1，
∵E 为棱 CC1 的中点，∴C 为 OD 的中点，则 OD＝2．∴tan∠푨푶푫 =
퐴퐷
푂퐷 =
1
2．．
即平面 AD1E 与平面 ABCD 的交线与直线 C1D1 所成角的正切值为1
2．
故选：A．
【点评】本题考查空间中异面直线所成角的求法，考查数形结合的解题思想方法，正确
作出平面 AD1E 与平面 ABCD 的交线是关键，是中档题．
11．已知抛物线 C：x2＝2py（p＞0）的焦点为 F，若 O 为坐标原点，点 A、B 在抛物线 C
上，且ퟐ →
푨푭 = →
푭푩，则|퐴퐹|
|푂퐹| = （ ）
A．5
4 B．4
3 C．3
2 D．5
3
【分析】作 AA'⊥准线于 A'，BB'⊥准线于 B'，过点 A 作 AC∥x 轴，与 BB'交于点 C，
与 y 轴交于点 E，设|AF|＝m，结合ퟐ →
푨푭 = →
푭푩和抛物线的定义，可以导出풑 =
4
3풎，而|퐴퐹|
|푂퐹|
=
푚
푝
2
，代入消元即可得解．
解：如图所示，作 AA'⊥准线于 A'，BB'⊥准线于 B'，过点 A 作 AC∥x 轴，与 BB'交于
点 C，与 y 轴交于点 E，
设|AF|＝m，则|AA'|＝m，|FB|＝|BB'|＝2m，
∴|BC|＝|BB'|﹣|CB'|＝|BB'|﹣|AA'|＝2m﹣m＝m，|EF| =
1
3|푩푪| =
1
3풎，
而点 F 到准线的距离为 p，也等于|EF|+|AA'| =
1
3풎 + 풎 =
4
3풎，∴풑 =
4
3풎，∴|퐴퐹|
|푂퐹| =
푚
푝
2
=
푚
2
3푚 =
3
2．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的定义，平面向量的数乘，考查学生的分析能力和运算能力，
属于基础题．
12．已知定义在[﹣2，2]上的函数 y＝f（x）满足 f'（x）＜f（x），则不等式 ex﹣1f（x）＞f
（2x﹣1）的解集为（ ）
A．（﹣∞，1） B．[
1
2，
3
2] C．[0，1] D．(ퟏ，
3
2]
【分析】构造函数품(풙) =
푓(푥)
푒푥 ，풙 ∈ [ ― ퟐ，ퟐ]，求导后根据题设条件可知 g（x）在[﹣2，
2]上单调递减，而所求不等式等价于 g（x）＞g（2x﹣1），进而建立关于 x 的不等式组，
解出即可．
解：构造函数품(풙) =
푓(푥)
푒푥 ，풙 ∈ [ ― ퟐ，ퟐ]，则품′(풙) =
푓′(푥) ― 푓(푥)
푒푥 ＜ퟎ，
故函数 g（x）在[﹣2，2]上单调递减，
∴ex﹣1f（x）＞f（2x﹣1）等价于
푓(푥)
푒푥 ＞
푓(2푥 ― 1)
푒2푥―1 ，即 g（x）＞g（2x﹣1），
∴{ ―ퟐ ≤ 풙 ≤ ퟐ
―ퟐ ≤ ퟐ풙 ― ퟏ ≤ ퟐ
풙＜ퟐ풙 ― ퟏ
，解得ퟏ＜풙 ≤
3
2，
∴不等式的解集为(ퟏ，
3
2]．
故选：D．
【点评】本题考查里利用导数研究函数的单调性，考查构造函数思想以及运算求解能力，
属于基础题．
二、填空题：
13．在菱形 ABCD 中，若 BD＝6，则 →
푪푩 ⋅ →
푫푩的值为 18 ．【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分，利用平面向量的数量积公式计算即可．
解：菱形 ABCD 中，BD＝6，
则 →
푪푩 ⋅ →
푫푩 = →
푩푪• →
푩푫 = | →
푩푪|×| →
푩푫|×cos∠CBD＝| →
푩푶|×| →
푩푫|＝3×6＝18．
故答案为：18．
【点评】本题考查了平面向量的数量积计算问题，是基础题．
14．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 c2＝（a﹣b）2+8，푪 =
휋
3，则
△ABC 的面积为 ퟐ ퟑ ．
【分析】根据 c2＝（a﹣b）2+8，푪 =
휋
3，利用余弦定理求出 ab 的值，再利用面积公式求
解．
解：因为 c2＝（a﹣b）2+8＝a2+b2﹣2ab+8，即 a2+b2﹣c2＝2ab﹣8，结合푪 =
휋
3，
两边同除以 2ab 得푎2 + 푏2 ― 푐2
2푎푏 = ퟏ ―
4
푎푏 = 풄풐풔푪 =
1
2．
所以 ab＝8，∴푺△푨푩푪 =
1
2풂풃풔풊풏푪 =
1
2 × ퟖ풔풊풏
휋
3 = ퟐ ퟑ．
故答案为：ퟐ ퟑ．
【点评】本题考查余弦定理、面积公式以及整体代换的思想．属于中档题．
15．若实数 x，y 满足 x＞y＞0，且 log2x+log2y＝1，则푥2 + 푦2
푥 ― 푦
的最小值为 4 ．
【分析】先根据对数的运算性质求出 xy＝2，再根据基本不等式求出最小值即可
解：∵log2x+log2y＝1，∴log2xy＝1＝log22，
∴xy＝2，
∴푥2 + 푦2
푥 ― 푦 = (푥 ― 푦)2 + 2푥푦
푥 ― 푦 = （x﹣y） +
4
푥 ― 푦 ≥ 2 (풙 ― 풚) ⋅
4
푥 ― 푦 = 4，但且仅当 x＝1 +
ퟑ，y = ퟑ ― 1 时取等号，
故푥2 + 푦2
푥 ― 푦
的最小值为 4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了对数的运算性质和基本不等式，属于中档题
16．“水能载舟，亦能覆舟”是古代思想家荀子的一句名言，意指事物用之得当则有利，
反之必有弊害．对于高中生上学是否应该带手机，有调查者进行了如下的随机调查：调
查者向被调查者提出两个问题：（1）你的编号是奇数吗？（2）你上学时是否带手机？
学生在被调查时，先背对着调查人员抛掷一枚硬币（保证调查人员看不到硬币的抛掷结
果），如果正面向上，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题．被调查的学生不必
告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，由于只有被调查
者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答．某次调查活动共有 800 名高中
生（编号从 1 至 800）参与了调查，则回答为“不是”的人数的最大值是 800 ．如果
其中共有 260 人回答为“是”，则由此可以估计这 800 名学生中，上学带手机的人数约
为 120 ．
【分析】调查活动共有 800 名高中生（编号从 1 至 800）参与了调查，每人只回答一个
问题，只需回答“是”或“不是”，从而回答为“不是”的人数的最大值是 800．推导
出回答第一个问题的人数有 400 人，其中有 200 人的学号是奇数，回答第二个问题的人
数为 400 人，其中 60 人回答了“是”，由此可以估计这 800 人中经常带手机上学的人
数．
解：某次调查活动共有 800 名高中生（编号从 1 至 800）参与了调查，
由于每人只回答一个问题，只需回答“是”或“不是”，
∴回答为“不是”的人数的最大值是 800．被调查的 800 人（学号从 1 至 800）中有 400 人的学号是奇数，
400 抛掷一枚硬币，出现正面的概率是1
2，
∴回答第一个问题的人数有 400 人，其中有 200 人的学号是奇数，
∴这 200 人都回答了“是”，
回答第二个问题的人数为 400 人，其中 60 人回答了是，
由此可以估计这 800 人中经常带手机上学的人数是：800 ×
60
400 = 120．
故答案为：800，120．
【点评】本题考查频数的求法，考查古典概型的应用，考查学生分析解决问题的能力，
考查函数的性质及应用，是中档题．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，S3＝15，an＞0，d＞1，且______．从
“①等比数列{bn}的公比풒 =
1
2，b1＝a2，b3＝a3；②a1﹣1，a2﹣1，a3+1 为等比数列{bn}
的前 3 项”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数
列{an}存在并作答．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{
1
푎푛푎푛+1
}的前 n 项和为 Tn，求证：푻풏 ≥
1
15．
【分析】（1）若选①，由等比数列和等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，
判断不符题意，故选②，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得
首项和公差，即可得到所求通项公式；
（2）求得
1
푎푛푎푛+1
=
1
(2푛 + 1)(2푛 + 3) =
1
2(
1
2푛 + 1 ―
1
2푛 + 3)，再由数列的裂项相消求和，计
算可得 Tn，再由数列的单调性和不等式的性质，即可得证．解：（1）若选①等比数列{bn}的公比풒 =
1
2，b1＝a2，b3＝a3，
可得 b3＝b1q2，即 a3 =
1
4a2，即有（a1+2d） =
1
4（a1+d），
又 S3＝15，可得 3a1 +
1
2 × 3×2d＝15，即 a1+d＝5，
解得 d = ―
15
4 ＜1，不符题意，舍去①；
故选②a1﹣1，a2﹣1，a3﹣1 为等比数列{bn}的前 3 项，
由{an}为等差数列，S3＝15，得 3a2＝15，所以 a2＝5，
又 a1﹣1，a2﹣1，a3﹣1 为等比数列{bn}的前 3 项，得(풂ퟏ ―ퟏ)(풂ퟑ +ퟏ) = (풂ퟐ ―ퟏ)ퟐ，
即（4﹣d）（6+d）＝16，解得 d＝2 或 d＝﹣4（舍）．
所以 a1＝3，an＝2n+1（n∈N*）．
（2）证明：因为
1
푎푛푎푛+1
=
1
(2푛 + 1)(2푛 + 3) =
1
2(
1
2푛 + 1 ―
1
2푛 + 3)，
所以 Tn =
1
2（1
3 ―
1
5 +
1
5 ―
1
7 +⋯ +
1
2푛 + 1 ―
1
2푛 + 7） =
1
2（1
3 ―
1
2푛 + 3） =
푛
3(2푛 + 3) =
1
6•
1
1 + 3
2푛
≥
1
6•
1
1 + 3
2
=
1
15．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项
相消求和和不等式的性质，主要考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
18．如图，已知等边△ABC 与直角梯形 ABDE 所在的平面互相垂直，且 AE⊥AB，BD∥
AE，AB＝BD＝2AE＝2， →
푨푴 =
1
2
→
푴푪．
（1）证明：直线 CD∥平面 BEM；
（2）求直线 ED 与平面 BEM 所成角的正弦值．【分析】（1）连接 AD 交于 EB 点 O，连接 OM，推导出 MO∥CD，由此能证明 CD∥平面
BEM．
（2）取 AB 中点 F，ED 中点 G，连接 CF，FG，则 FG∥AE，推导出 CF⊥AB，AE⊥平面
ABC，FG⊥平面 ABC．分别以 FC，FB，FG 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角
坐标系，利用向量法能求出直线 ED 与平面 BEM 所成角的正弦值．
解：（1）证明：连接 AD 交于 EB 点 O，连接 OM，
因为 BD∥AE，BD＝2AE，所以 AO：OD＝1：2，
因为 →
푨푴 =
1
2
→
푴푪，
所以 AM：MC＝1：2，所以 MO∥CD
又因为 CD⊄平面 BEM，MO⊂平面 BEM，
所以 CD∥平面 BEM．
（2）解：取 AB 中点 F，ED 中点 G，连接 CF，FG，所以 FG∥AE，
又因为△ABC 等边，所以 CF⊥AB；
因为平面 ABC⊥平面 ABDE，AE⊥AB，平面 ABC∩平面 ABDE＝AB，AE⊂平面
ABDE，
所以 AE⊥平面 ABC，所以 FG⊥平面 ABC．
分别以 FC，FB，FG 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
A（0，﹣1，0），B（0，1，0），푪( ퟑ，ퟎ，ퟎ)，D（0，1，2），E（0，﹣1，1），所 以 →
푨푴 = (
3
3 ，
1
3，ퟎ)， →
푩푨 = (ퟎ， ― ퟐ，ퟎ)， →
푩푴 = (
3
3 ， ―
5
3，ퟎ)， →
푬푩
= (ퟎ，ퟐ， ― ퟏ)， →
푬푫 = (ퟎ，ퟐ，ퟏ)．
设平面 BEM 的一个法向量为→
풏 = （x，y，z），
则{→
풏 ⋅
→
푬푩 = ퟐ풚 ― 풛 = ퟎ
→
풏 ⋅
→
푩푴 =
3
3 풙 ―
5
3풚 = ퟎ，取 x＝5，得→
풏 = （5， ퟑ，2 ퟑ），
设直线 ED 与平面 BEM 所成角为 θ，
则直线 ED 与平面 BEM 所成角的正弦值：
풔풊풏휽 = |풄풐풔＜풏， →
푬푫＞| =
6
5 ．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线
面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．我国是世界上严重缺水的归家之一，某市为了制订合理的节水方案，对家庭用水情况
进行了抽样调查，获得了某年 100 个家庭的月均用水量（单位：t）的数据，将这些数据
按照[0，0.5），[0.5，1），[1，1.5），[1.5，2），[2，2.5），[2.5，3），[3，3.5），[3.5，4），[4，4.5）分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中的 b 值，若该市有 30 万个家庭，试估计全市月均用水量不低于 3t 的家庭数；
（2）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，试估计全市家庭月均用水量的
平均数；
（3）现从月均用水量在[0，0.5），[0.5，1）的家庭中，先按照分层抽样的方法抽取 9
个家庭，再从这 9 家庭中抽取 4 个家庭，记这 4 个家庭中月均用水量在[0.5，1）中的数
量 为 ξ ， 求 ξ 的 分 布 列 及 数 学 期
望．
【分析】（1）利用频率分布直方图的性质求解 b，然后求解抽样的样本中月均用水量不
低于 3t 的家庭所占比例，家庭数．
（2）因为（0.25×0.08+0.75×0.16+1.25×0.3+1.75×0.44+2.25×0.5+2.75×0.28+3.25×
0.12+3.75×0.08+4.25×0.04）×0.5＝2.02，因此估计全市家庭月均用水量的平均数为2.02．
（3）求解 ξ 可能取值为 1，2，3，4，求出概率，得到 ξ 的分布列，然后求解期望．
解：（1）因为频率分布直方图中所有矩形的面积之和为 1，
所以（0.04+2b+0.12+0.16+0.28+0.3+0.44+0.5）×0.5＝1，解得 b＝0.08，
抽样的样本中月均用水量不低于 3t 的家庭所占比例（0.04+0.08+0.12）×0.5＝0.12＝12%，因此估计全市月均用水量不低于 3t 的家庭所占比例为 12%，家庭数约为 300000×12%＝
36000．
（2）因为（0.25×0.08+0.75×0.16+1.25×0.3+1.75×0.44+2.25×0.5+2.75×0.28+3.25×
0.12+3.75×0.08+4.25×0.04）×0.5＝2.02，因此估计全市家庭月均用水量的平均数为2.02．
（3）在月均用水量[0，0.5），[0.5，1）中，[0，0.5）有 4 家，[0.5，1）有 8 家，共 12
家，按照分层抽样抽取 9 个家庭，即[0，0.5）抽 3 家，[0.5，1）抽 6 家……，因此 ξ 可
能取值为 1，2，3，4，其中푷(흃 = ퟏ) =
푐3
3퐶1
6
퐶4
9
=
1
21，푷(흃 = ퟐ) =
푐2
3퐶2
6
퐶4
9
=
5
14，푷(흃 = ퟑ) =
퐶1
3퐶3
6
퐶4
9
=
10
21，푷(흃 = ퟒ) =
퐶0
3퐶4
6
퐶4
9
=
5
42，所以 ξ 的分布列：
ξ 1 2 3 4
P 1
21
5
14
10
21
5
42
为数学期望푬(흃) = ퟏ ×
1
21 +ퟐ ×
5
14 +ퟑ ×
10
21 +ퟒ ×
5
42 =
8
3．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查频率分布直方图的应
用，是中档题．
20．已知椭圆 C1：푥2
6 + 푦2
4 = 1，A 为椭圆 C1 上的动点，点 B 在 y 轴上，且直线 AB 垂直于 y
轴，点 M 满足 →
푩푴 =
6
3
→
푩푨．
（1）求 M 的轨迹方程 C2；
（2）设点 F 是椭圆 C1 的右焦点，点 N 是 C2 上在第一象限内的点，过点 N 作 C2 的切线
交椭圆 C1 于 P，Q 两点，试判断△FPQ 的周长是否为定值，若是定值，求出这个定值；
若不是定值，请说明理由．【分析】（1）先设出点 M 与点 N 的坐标，由题设条件利用相关点法求出 M 的轨迹方程
C2；
（2）设出点 P、Q 的坐标，结合题设条件求出 PF、FQ、PQ 的距离，从而解决三角形 PQF
的周长是定值的问题．
解：（1）设 A（x1，y1），M（x，y），由已知有 B（0，y1），
因为 →
푩푴 =
6
3
→
푩푨，所以(풙 ― ퟎ，풚 ― 풚ퟏ) =
6
3 (풙ퟏ ―ퟎ，풚ퟏ ― 풚ퟏ)，解得{풙ퟏ =
3
6풙
풚ퟏ = 풚
，
代入 C1 得 x2+y2＝4，所以 C2 的方程为 x2+y2＝4；
（2）由（1）得푭( ퟐ，ퟎ)，设 P（x2，y2），Q（x3，y3）且풙ퟐ，풙ퟑ ∈ ( ― ퟔ， ퟔ)
则|푷푭| = (풙ퟐ ― ퟐ)ퟐ + 풚ퟐ
ퟐ，又푥2
2
6
+ 푦2
2
4
= ퟏ，代入上式得|푷푭| = (풙ퟐ ― ퟐ)ퟐ + 풚ퟐ
ퟐ =
(풙ퟐ ― ퟐ)ퟐ + ퟒ(ퟏ ―
푥2
2
6 ) =
1
3(풙ퟐ ― ퟑ ퟐ)ퟐ =
3
3 (ퟑ ퟐ ― 풙ퟐ)，|푷푵| = |푶푷|ퟐ ― |푶푵|ퟐ =
풙ퟐ
ퟐ + 풚ퟐ
ퟐ ― ퟒ = 풙ퟐ
ퟐ + ퟒ(ퟏ ―
푥2
2
6 ) ― ퟒ =
3
3
풙ퟐ，
所以|푷푭| + |푷푵| = ퟔ，
同理|푸푭| + |푸푵| = ퟔ，得|푷푭| + |푸푭| + |푷푸| = ퟐ ퟔ，故△PQF 的周长是定值 2 ퟔ．【点评】本题主要考查相关点法求点的轨迹方程及圆锥曲线中的定值问题，属于中档
题．
21．已知函数 f（x）＝x2﹣x，g（x）＝lnx．
（1）讨论函数 h（x）＝af（x）﹣g（x）（a∈一、选择题）的单调性；
（2）证明：若 a＜1，则对于任意 x＞0，不等式 f（x）＞（x+1）g（x）+（a﹣2）x 恒
成立．
【分析】（1）函数 h（x）＝a（x2﹣x）﹣lnx 的定义域为（0，+∞），풉′(풙) = ퟐ풂풙 ― 풂 ―
1
푥 = 2푎푥2 ― 푎푥 ― 1
푥
．对 a 分类讨论即可得出单调性．
（2）原不等式即（x+1）lnx﹣x2+ax﹣x＜0，变形为(푥 + 1)푙푛푥
푥 ―풙 + 풂 ― ퟏ＜ퟎ，所以，
只需풍풏풙 ― 풙＜ ―
푙푛푥
푥 ―풂 + ퟏ恒成立．设函数 F（x）＝lnx﹣x，푮(풙) = ―
푙푛푥
푥 ―풂 + ퟏ，利
用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明结论．
【解答】（1）解：函数 h（x）＝a（x2﹣x）﹣lnx 的定义域为（0，+∞），풉′(풙) = ퟐ풂풙 ― 풂 ―
1
푥 = 2푎푥2 ― 푎푥 ― 1
푥
．
当 a＝0 时，h（x）＝﹣lnx，h（x）在（0，+∞）内单调递减；
当 a＞0 时，h（x）在（0，푎 ― 푎2 + 8푎
4푎
）内单调递减；在（푎 + 푎2 + 8푎
4푎
，+∞）内单调
递减，当﹣8≤a＜0 时，h（x）在（0，+∞）内单调递减；
当 a＜﹣8 时，h（x）在(ퟎ，푎 + 푎2 + 8푎
4푎
)，(푎 ― 푎2 + 8푎
4푎
， + ∞)内单调递减，在(
푎 + 푎2 + 8푎
4푎
，푎 ― 푎2 + 8푎
4푎
)内单调递增
（2）证明：原不等式即（x+1）lnx﹣x2+ax﹣x＜0，变形为(푥 + 1)푙푛푥
푥 ―풙 + 풂 ― ퟏ＜ퟎ，
所以，只需풍풏풙 ― 풙＜ ―
푙푛푥
푥 ―풂 + ퟏ恒成立．
设函数 F（x）＝lnx﹣x，푮(풙) = ―
푙푛푥
푥 ―풂 + ퟏ，因为푭′(풙) =
1
푥 ―ퟏ =
1 ― 푥
푥 ，易得 F（x）
在（0，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以 F（x）≤F（1）＝﹣1.푮′(풙) = ―
1 ― 푙푛푥
푥2 =
푙푛푥 ― 1
푥2 ，G（x）在（0，e）单调递减，在上（e，+∞）单调递增，
所以푮(풙) ≥ 푮(풆) = ―
1
푒 +ퟏ ― 풂
因为 a＜1，所以 ―
1
푒 +ퟏ ― 풂＞ ―
1
푒＞ ― ퟏ，即풍풏풙 ― 풙＜ ―
푙푛푥
푥 ―풂 + ퟏ在（0，+∞）内恒
成立．
因此：若 a＜1，则对于任意 x＞0，不等式 f（x）＞（x+1）g（x）+（a﹣2）x．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等
价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
※考生注意：请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计
分．作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修 4--4：坐标系与参
数方程]
22 ． 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 {풙 = ퟐ풄풐풔휽
풚 = ퟐ풔풊풏휽（ θ 为 参 数 ） ， 曲 线 C2 的 参 数 方 程 为
{풙 = 풕풄풐풔
휋
4
풚 = ퟐ + 풕풔풊풏
휋
4
（t 为参数），以坐标原点为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐
标系．
（1）求曲线 C1 与曲线 C2 的公共点的极坐标；（2）若点 A 的极坐标为（2，π），设曲线 C2 与 y 轴相交于点 B，则在曲线 C1 上是否存
在点 P，使得 PA⊥PB，若存在，求出点 P 的直角坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进
行转换，进一步求出交点的极坐标．
（2）利用三角函数关系式的恒等变换和向量的坐标运算的应用和存在性问题的应用求出
交点的坐标．
解：（1）由题知，曲线 C1 消去参数 θ 得到曲线 C1 的直角坐标方程为 y2+y2＝2，
曲线 C2 消去参数 t 得到曲线 C2 的直角坐标方程为풚 = 풙 + ퟐ
联立 C1 与 C2 的直角坐标故两曲线的公共点的直角坐标为( ― ퟐ，ퟎ)和(ퟎ， ퟐ)
所以曲线 C1 与曲线 C2 的公共点的极坐标为( ퟐ，흅)，( ퟐ，
휋
2)
（2）点 A 的直角坐标为（﹣2，0），点 B 的直角坐标为(ퟎ， ퟐ)，
假设存在点 P 满足条件，不妨设点푷( ퟐ풄풐풔휽， ퟐ풔풊풏휽)
则 →
푨푷 = ( ퟐ풄풐풔휽 + ퟐ， ퟐ풔풊풏휽)， →
푩푷 = ( ퟐ풄풐풔휽， ퟐ풔풊풏휽 ― ퟐ)
因为 PA⊥PB，
所以 →
푨푷 ⊥ →
푩푷，即 →
푨푷 ⋅ →
푩푷 = ퟎ，且 →
푩푷 ≠ ퟎ
得( ퟐ풄풐풔휽 + ퟐ) ⋅ ퟐ풄풐풔휽 + ퟐ풔풊풏휽 ⋅ ( ퟐ풔풊풏휽 ― ퟐ) = ퟎ，
化简得 ퟐ풄풐풔휽 ― 풔풊풏휽 = ―ퟏ，
又 cos2θ+sin2θ＝1，
得풄풐풔휽 = ― 2 2
3
，풔풊풏휽 = ―
1
3，
所以点푷( ―
4
3， ―
2
3 )，即在曲线 C1 上存在点푷( ―
4
3， ―
2
3 )，使得 PA⊥PB
【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，向量
的坐标运算的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，存在性问
题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
[选修 4--5：不等式选讲]
23．设풇(풙) = |풙 + ퟐ풕| + |풙 ―
1
푡|（t＜0），g（x）＝x+3．
（1）当 t＝﹣1 时，求不等式 f（x）＜g（x）的解集；
（2）证明：풇(풙) ≥ ퟐ ퟐ恒成立．
【分析】（1）把 t＝﹣1 代入不等式，然后分段去绝对值求解，取并集得答案；
（2）利用放缩法结合基本不等式求最值．
【解答】（1）解：当 t＝﹣1 时，不等式 f（x）＜g（x）等价于|x﹣2|+|x+1|＜x+3，
当 x≤﹣1 时，不等式化为 2﹣x﹣x﹣1＜x+3，解得 ―
2
3＜풙，解集为∅；
当﹣1＜x＜2 时，不等式化为 2﹣x+x+1＜x+3，解得 0＜x，从而 0＜x＜2；
当 x≥2 时，不等式化为 x﹣2+x+1＜x+3，解得 0＜4，从而 2≤x＜4．
∴不等式 f（x）＜g（x）的解集为{x|0＜x＜4}；
（2）证明：∵t＜0，∴풇(풙) = |풙 + ퟐ풕| + |풙 ―
1
푡| ≥ |(풙 + ퟐ풕) ― (풙 ―
1
푡)|
= |ퟐ풕 +
1
푡| = |ퟐ풕| + |
1
푡| ≥ ퟐ |ퟐ풕| ⋅ |
1
푡| = ퟐ ퟐ．
当且仅当|2t| = |
1
푡|，即﹣2t = ―
1
푡，即 t = ―
2
2 （t＜0）时上式等号成立．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查利用放缩法及基本不等式求最值，是中档
题．
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