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用思维导图突破函数导数问题 专题 1 极值（最值）问题 精讲篇 （12 页）
用思维导图突破导数压轴题
《挑战压轴题•高中数学•精讲解读篇》（华东师大出版社第 1-10 版（2009-2019 年））、
《上海高考好题赏析》（浙江大学出版社 2019 年）、330 多篇论文（文章）作者
上海市特级教师文卫星
解答数学题的“思维导图”：
逛公园顺道看景，好风光驻足留影.
把条件翻成图式，关键处深挖搞清.
综合法由因导果，分析法执果索因.
两方法嫁接联姻，让难题无以遁形.
这里把解题比作逛公园，沿路而行，顺道看景，既有活跃气氛，又有借景喻理之意，即
理解题意后把已知条件“翻译”出来，如果能得到结论那是最好，如果不行就要转化，即从已
知条件入手推出中间结论（可知），当中间结论能直接证明最终结论时，则解题成功.当中间
结论不能直接证明最终结论时，可把最终结论等价转化为“需知”，再用中间结论证明“需知”
从而达到解题目的.有时还要挖掘题目的隐含条件.从某种意义上说，解题就是“找关系”----找
出已知与未知的联系，不断缩小以至消除二者之间的差距，从而达到解题目的.
这个思维导图不仅是用来解答压轴题，其实，每个层次的学生都有相应的难题。中等以
下水平的学生高考基本不用做压轴题的，但他们做中档题会有困难，思维导图一样适用。
专题 01 导数与函数的最（极）值问题
利用导数求函数 f(x)极值、最值的基本方法是先求 f(x)的导数 ，再求 的零
点 ， ，根据 在 两边的符号判断的单调性，最后确定 是极大值或极小
值，再确定最值。
先求导数
再定零点
考查单调
极值来了
否
已知条件 隐 含 条 件
件
中间结论（可知） 已知条件的等价转化
待求（证）的结论 结论的等价转化（需知）
能
f ' x（ ） f ' x（ ）
ix i N∈ f ' x（ ） ix if x（ ）
否
能
引例（2019江苏卷第19题）设函数 ， ， ， ，
为 的导函数.
（1）若 ， （4） ，求 的值；
（2）若 ， ，且 和 的零点均在集合 ，1， 中，求
的极小值；
（3）若 ， ， ，且 的极大值为 ，求证： .
( ) ( )( )( )f x x a x b x c= − − − a b c R∈
( )f x′ ( )f x
a b c= = f 8= a
a b≠ b c= ( )f x ( )f x′ { 3− 3} ( )f x
0a = 0 1b< 1c = ( )f x M 4
27M2
用思维导图突破函数导数问题 专题 1 极值（最值）问题 精讲篇 （12 页）
思路点拨
第（1）只要直接计算即可。第（2）题先求出 和 的含参数零点（用 a、b 表
示），再根据零点均在集合 ，1， 中确定 a、b 的值。第（3）题求出 的零点
（设 ），根据单调性确定极大值为 ，这里含有两个变量，最
容易想到的方法就是转化为一元变量，但恒等变形能力要求较高，也可以挖掘隐含条件利用
基本不等式整体消元。第（3）解题思维导图如下：
满分解答
（1）因为 ，所以 ，又 ，所以 ，解得 .
（2） ， ，设 ，
令 ，解得 ，或 .
又 ， 令 ， 解 得 ， 或
.
因为 和 的零点均在集合 ，1， 中，所以
， ，则 ，舍去；
， ，则 ，舍去；
， ，则 ，舍去；
， ，则 ；
( )f x ( )f x′
{ 3− 3} ( )f x′ 1 2,x x
1 2x x< 3 2
1 1 1 1( ) ( 1)= − + +f x x b x bx
a b c= = 3( ) ( )f x x a= − (4) 8f = 3(4 ) 8a− = 2a =
a b≠ b c= 2( ) ( )( )f x x a x b= − −
2( ) ( )( ) 0f x x a x b= − − = x a= x b=
2( ) ( ) 2( )( ) ( )(3 2 )f x x b x a x b x b x b a′ = − + − − = − − − ( ) 0f x′ = x b=
2
3
a bx
+=
( )f x ( )f x′ { 3A = − 3}
3a = − 1b = 2 6 1 5
3 3 3
a b A
+ − += = − ∉
1a = 3b = − 2 2 3 1
3 3 3
a b A
+ −= = − ∉
3a = − 3b = 2 6 3 13 3
a b A
+ − += = − ∉
3a = 3b = − 2 6 3 13 3
a b A
+ −= = ∈
求 的极大值 ( )f x M
对 求导可得 的极大值 = ( )f x ( )f x M 3 2
1 1 1 1( ) ( 1)= − + +f x x b x bx
又 ， ，
再放大，或
再放大求 M
M 2 2
1
1[( 2 2 2) ]9 b b x b b= − + − + +
22 2 2 0− + − −则 ( )g x 1(0, ]3
1
1 4( ) ( )3 27f x g≤ = 4
27M
0 1b< ≤
(0,1]∈b 1 (0, )∈x b 1 10, 1 0.∴ − < − < '( )f x
[0 1] M m M m−
2( ) 6 2 2 (3 )f x x ax x x a′ = − = − ( ) 0f x′ = 0x =
3
ax =
0a = 2( ) 6 0f x x′ = ( )f x ( , )−∞ +∞
0a > (x∈ −∞ ( ,0) ( , )3
a−∞ +∞ ( ) 0f x′ > (0, )3
ax∈ ( ) 0f x′ <
( )f x ( ,0)−∞ ( , )3
a +∞ (0, )3
a
0a < ( , ) (0, )3
a−∞ +∞ ( ) 0f x′ > (3
ax∈ 0) ( ) 0f x′ <
( )f x ( , )3
a−∞ (0, )+∞ (3
a 0)
0 3a< < ( )f x (0, )3
a (3
a 1)
( )f x [0 1]
3
( ) 23 27
a af = − + (0) 2f = (1) 4f a= −
3
+227
am = − 4 ,0 2
2,2 3
a aM a
− < ∆ 2>a 0)( =xh
2
42 −± aa )(xh
2 24 4(0, ) ( , )2 2
a a a ax
− − + −∈ +∞ ( ) 0f x′ <
2 24 4( , )2 2
a a a ax
− − + −∈ ( ) 0f x′ >
例 3（2018 全国 1 卷理科第 21 题）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个极值点 ， ，证明： ．
( ) 1 lnf x x a xx
= − +
( )f x
( )f x 1x 2x
( ) ( )1 2
1 2
2f x f x ax x
− < −−7
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在 上是减函数；在 是
增函数。
综上所述，当 时， 在 上单调递减；
当 时 ， 在 上 单 调 递 减 ； 在
上单调递增。
（2）因为 存在两个极值点 ，所以由（1）得 .
不妨设 ，因为 为方程 的两个实根，所以 ，
=
所 以 ， 要 证 ， 只 要 证
，因为 且 ，只要证 ，即证 。
由 （ 1 ） 得 函 数 在 上 单 调 递 减 ， 而 ， 因 此
，得证！
附注 可以有多种证法。
,即 ，亦即 在 上恒成立，
设 ， ，则 ，所以
在 在 单 调 递 减 ， 所 以 ， 从 而
，即 ，所以 。
)(xf ),2
4(),2
4,0(
22
+∞−+−− aaaa )2
4,2
4(
22 −+−− aaaa
2≤a )(xf ),0( +∞
2>a )(xf ),2
4(),2
4,0(
22
+∞−+−− aaaa
)2
4,2
4(
22 −+−− aaaa
)(xf 21, xx 2>a
21 xx < 21, xx 012 =+− axx 121 =xx
)ln(ln)()()( 2121
21
12
21 xxaxxxx
xxxfxf −+−−−=− )ln(ln)(2 2121 xxaxx −+−−
21
21
21
21 )ln(ln2)()(
xx
xxa
xx
xfxf
−
−+−=−
−
2)()(
21
21 − ( )f x
1x > ' ( ) 0f x < ( )f x
( )f x (1)=0f
1x ≠ ( ) 0f x < ln 1 0x x− + < ln 1x x< −
(1, )x∈ +∞ ln 0x > ln 1x x< − 11 ln
x
x
−<
x 1
x
1 1ln 1x x
< − 1 lnx xx
− < 1
ln
x xx
− <
( ) 1 ( 1) xg x c x c= + − − ' ( ) 1 lnxg x c c c= − −
' ( ) 0g x = 1c >
1
1ln ln
ln
c
cx c
−
=
1x x< 1,lnc c> > 1' '
1( ) 1 ln 1 ln ( ) 0xxg x c e c c e c g x= − − > − − = =
例 4 （16 全国 3 文 21）设函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）证明当 时， ；
（3）设 ，证明当 时， .
( ) ln 1f x x x= − +
( )f x
(1, )x∈ +∞
11 ln
x xx
−< <
1c > (0,1)x∈ 1 ( 1) xc x c+ − >9
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，只要 在 上单调递增；
当 时，同理可得 ， 单调递减.
由（2）得 ，故 .
又 ，故当 时， .
所以当 时， .
思路点拨
（1） 先对 求导，再判断的单调性，根据 在 上的单调性，比较
与 的大小关系证明不等式；（2）对 求导判断单调区间，求出最小值 h(a),
再求 h(a)的值域.
满分解答
（1）证明： ， .
当 时， ，所以 在 上单
调递增.
又当 时， ，所以 ， .
⑵
由(1)知，当 时， 单调递增，所以对 ， ，
1 ( 1) xc x c+ − >
' ( ) 0g x > ( )g x 1( , )x x
1x x> ' ( ) 0g x < ( )g x
11 ln ln
c cc
−< < 10 1x< <
(0) 1 =0g g= （） 0 1x< < ( ) 0g x >
(0,1)x∈
( )f x ( )f x (0, )+∞
( )f x (0)f ( )g x
( ) 2 e2
xxf x x
−= +
( ) ( ) ( )
2
2 2
1)( 2) ( 2) ee
2 2
x
xx x x xf x
x x
− + − −′ = ⋅ =
+ +
（
x∈( ) ( )2 2 ,−∞ − − + ∞， ( ) 0f x′ > ( )f x ( ) ( )2 2 ,−∞ − − + ∞， 和
0x > ( )2 e 0 = 12
xx fx
− > −+ ( )2 e 2xx x− > − − ( )2 e 2 0xx x− + + >
( ) ( ) ( )2
4
e 2 ex xa x x ax a
g x x
− − − −
′ =
( )
4
e 2e 2x xx x ax a
x
− + +
=
( ) ( )( )
3 3
22 e 2 ( )2 = .
xxx a x f x ax
x x
− + ⋅ + + ++ =
0x > ( )f x a+ [ )0 1a∈ ， ( )0 1 0f a a+ = − <
例 5（2016 年全国 1 理第 21 题）
(1)讨论函数 的单调性，并证明当 时，
(2)证明：当 时，函数 有最小值.设 的最小
值为 ，求函数 的值域.
2(x) e2
xxf x
−= + 0x > ( 2)e 2 0;xx x− + + >
[0,1)a∈ ( ) 2
e= ( 0)
x ax ag x xx
− − > ( )g x
( )h a ( )h a10
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.因此，存在唯一 ，使 ，即 .
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
因此， 在 x=t 是取得最小值，最小值为
=
记 ，在 时， ，所以 单调递增，
．
例 5（2015 年安徽理第 21 题）设函数 .
(1)讨论函数 在 内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
(2)记 ,求函数 在 上的最大值 ；
(3)在（2）中，取 ,求 满足条件 时的最大值．
思路点拨
（1） ，所以 ，
因为 ，所以 .
①当 时，函数在 上单调递增，无极值；
②当 时，函数在 上单调递减，无极值；
(2) 0f a a+ = ≥ (0,2]t ∈ ( ) 0f t a+ = ' ( =0g t）
0 x t< < '( ) 0, ( ) 0f t a g x+ < < (g x）
x t> '( ) 0, ( ) 0f t g x+ > > (g x）
(g x）
( ) ( ) ( )
2 2
e 1 e ( ) 1t ta t f t th a t t
− + + += =
( )
2
2e 1 e e2 .2
t t
t
tt t
t t
−+ + ⋅+ = +
( ) e
2
t
k t t
= +
( ]0 , 2t ∈ ( ) ( )
( )2
e 1 0
2
t tk t
t
+′ = >
+
( )k t
( ) ( ) 21 e
2 4h a k t
= ∈
，
( ) baxxxf +−= 2
( )xf sin
−
2,2
ππ
( ) 00
2
0 bxaxxf +−= ( ) ( )xfxf sinsin 0−
−
2,2
ππ
D
000 == ba
4
2abz −= 1≤D
( ) 2sin sin sinf x x a x b= - + ( ) ( )sin 2sin cosf x x a x¢é ù = -ë û
2 2xp p- < < cos 0, 2 2sin 2x x> - < <
2a £-
−
2,2
ππ
2a ³
−
2,2
ππ
例 6（2015 年安徽理第 21 题）设函数 .
(1)讨论函数 在 内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
(2)记 ,求函数 在 上的最大值
；
(3)在（2）中，取 ,求 满足条件 时的最大值．
( ) baxxxf +−= 2
( )xf sin
−
2,2
ππ
( ) 00
2
0 bxaxxf +−= ( ) ( )xfxf sinsin 0−
−
2,2
ππ
D
000 == ba 4
2abz −= 1≤D11
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③对于 ，在 内存在唯一的 使得 ．
当 时，函数单调递减；
当 时，函数单调递增，因此， 时，函数在 处有极小值
．
(2) 时，
当 时，取 ，等号成立；
当 时，取 ，等号成立.
由此可知， 在上的最大值为 .
（ 3 ） 解 1 即 为 ， 此 时 ， 从 而
．
取 ，则 ，且 ，可知， 满足条件
时最大值为 1．
解 2 即为 ，在平面直接坐标系 中，对应
的平面区域如图所示，而 ，亦即 ，对
应曲线是开口向上的抛物线 向上平移 个单位所得，其在
上的最大值是 1.
2 2a- < <
−
2,2
ππ
0x 02sin x a=
0 ]2x x（ ，Î - p
0 2x x（ ， ）Î p 2 2a- < < 0x
( )
2
0sin 2 4
a af x f bæ ö÷ç= = -÷ç ÷çè ø
2 2xp p- £ £ ( ) ( ) ( )0 0 0sin sin sinf x f x a a x b b- = - + -
( )0 0 0 0sin | | .a a x b b a a b b£ - + - £ - + -
( )( )0 0 0a a b b- - ³ 2x p=
( )( )0 0 0a a b b- - < 2x p=-
( ) ( )xfxf sinsin 0− 0 0D a a b b= - + -
1≤D 1a b+ £ 20 1, 1 1a b£ £ - £ £
2
14
az b= - £
0, 1a b= = 1a b+ £
2
14
az b= - = 4
2abz −= 1≤D
1≤D 1a b+ £ aOb
2
4
az b= -
2
4
ab z= +
2
4
ab = z b
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