1
用思维导图突破导数压轴题 专题 2 导数与不等式 精讲篇（12 页）
用思维导图突破导数压轴题
《挑战压轴题•高中数学•精讲解读篇》（华东师大出版社第 1-10 版（2009-2019 年））、
《上海高考好题赏析》（浙江大学出版社 2019 年）、330 多篇论文（文章）作者
特级教师文卫星
专题 02 导数与函数、不等式
导数与函数、不等式综合题是近年高考试题的一个热点，往往是在运用导数知识以后，
由不等式提升试题难度。
证明不等式 一般是作 ，通过对 求导，求出
的最小值大于或大于 0,；证明不等式 成立的方法类似。如果要证明的不等式中
含有参数，需要分类讨论，才能确定单调性，就要根据题设条件确定恰当的分类标准。如果
要求参数的范围，在得到相关不等式后可以分离变量，也可能需要构造新函数，找出参数满
足的条件，才能求出参数的范围。
作差求导
判断单调
求出极值
思路点拨
第（1）题由 或 解出相应的 x 的范围即可确定单调区间。第（2）
题记不等式左边为 ，证明 指定区间上函数值非负，理想状态是 在该区间单
调 ， 且 最 小 值 为 0。 第 （3） 题 利 用 第 （2） 结 论 ， 由 ， 得
'( ) 0f x > '( ) 0f x <
( )h x ( )h x ( )h x
π π2 ,2 π4 2nx n nπ∈ + +（ ）
f x g x≥（ ） （ ） h( x ) f x g x= −（ ） （ ） h x（ ） h x（ ）
f x g x−>− πξ
00 cossincossin xxxx nn −≥−
例 2 （2018 全国 1 卷理科第 21 题）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个极值点 ， ，证明： ．
( ) 1 lnf x x a xx
= − +
( )f x
( )f x 1x 2x
( ) ( )1 2
1 2
2f x f x ax x
− < −−8
用思维导图突破导数压轴题 专题 2 导数与不等式 精讲篇（12 页）
选拔性.
思路点拨
（ 1 ） 讨 论 的 单 调 性 ， 就 是 要 比 较 与 的 大 小 。 因 为
， 恒 小 于 ， 所 求 问 题 转 化 为 函 数
在定义域 上函数值与 的大小关系。 是一个过定点 开
口向上的抛物线，对称轴为 。分类讨论的标准：（1） ，即对称轴在 轴左侧
或为 轴；（2） ，即对称轴在 轴右侧；这时又需要进一步讨论： ，即
； ，即 。
解（1） 的定义域为 ，
令 ，这是一个过定点 开口向上的抛物线，对称轴为 。
（i）当 时，即 时， 在 恒大于 0， ，此时 在
上是减函数。
（ii）当 时，即 时，令 ，
当 ，即 时， 恒成立，此时 在 上是减函数。
当 ，即 时， 的两根为 ，作出 的草图，由图可
知，当 时， ；
当 时， ．
在 上是减函数；在 是
增函数。
综上所述，当 时， 在 上单调递减；
( )f x )(' xf 0
)1(111)( 2
22
' +−−=+−−= axxxx
a
xxf 2
1
x
− 0
1)( 2 +−= axxxh ),0( +∞ 0 )(xh )1,0(
2
ax = 0≤a y
y 0>a y 0)( ≤∆i
20 ≤< a 0)( >∆ii 2>a
)(xf ),0( +∞ )1(111)( 2
22
' +−−=+−−= axxxx
a
xxf
1)( 2 +−= axxxh )1,0( 2
ax =
02
≤a 0≤a )(xh ),0( +∞ 0)(' a 0>a 42 −=∆ a
0≤∆ 20 ≤< a 0)(' ≤xf )(xf ),0( +∞
0>∆ 2>a 0)( =xh 2
42 −± aa )(xh
2 24 4(0, ) ( , )2 2
a a a ax
− − + −∈ +∞ ( ) 0f x′ <
2 24 4( , )2 2
a a a ax
− − + −∈ ( ) 0f x′ >
)(xf ),2
4(),2
4,0(
22
+∞−+−− aaaa )2
4,2
4(
22 −+−− aaaa
2≤a )(xf ),0( +∞9
用思维导图突破导数压轴题 专题 2 导数与不等式 精讲篇（12 页）
当 时 ， 在 上 单 调 递 减 ； 在
上单调递增。
（2）因为 存在两个极值点 ，所以由（1）得 .
不妨设 ，因为 为方程 的两个实根，所以 ，
=
所 以 ， 要 证 ， 只 要 证
，因为 且 ，只要证 ，即证 。
（因为 ）
由 （ 1 ） 得 函 数 在 上 单 调 递 减 ， 而 ， 因 此
，得证！
附注 可以有多种证法。
,即 ，亦即 在 上恒成立，
设 ， ，则 ，所以
在 在 单 调 递 减 ， 所 以 ， 从 而
2>a )(xf ),2
4(),2
4,0(
22
+∞−+−− aaaa
)2
4,2
4(
22 −+−− aaaa
)(xf 21, xx 2>a
21 xx < 21, xx 012 =+− axx 121 =xx
)ln(ln)()()( 2121
21
12
21 xxaxxxx
xxxfxf −+−−−=− )ln(ln)(2 2121 xxaxx −+−−
21
21
21
21 )ln(ln2)()(
xx
xxa
xx
xfxf
−
−+−=−
−
2)()(
21
21 − ( )f x (0, )x∈ +∞
21( )
xax ef x x
−′ = (0, )x∈ +∞
2( ) 1 xg x ax e= − 10 a e
< < ( )g x (0, )x∈ +∞ g
1 0ae= − > 2 21 1 1 1( ) 1 ( ) 1 ( ) 0g ln a ln lna a a a
− = −⋅= < ( )g x 0
1(1, )x ln a
∈
( )f x 0(0, )x 0(x )+∞ 0x ( )f x
( ) 1h x lnx x= − + ( 0)x > 1( ) xh x x
−′ = ( )h x h 0= 1x >
1lnx x< −
11 1 1 1 1( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1) 0lnaf ln ln ln a ln e ln ln lna a a a a
= − − = − − <
0( ) (1) 0f x f> = ( )f x 0(x )+∞ ( )f x
0( ) 0f x′ = 1( ) 0f x = 02
0 1xax e = 1
1 1( 1) xlnx a x e= −
1 01
1 2
0
1 x xxlnx ex
−−= 1 0
2
0 1
1 1
x x x lnxe x
− = − 1x > 1lnx x< −
1 0 1x x> > 1 0
2
20 1
0
1
( 1)
1
x x x xe xx
− −< =− 1 0 0 02 2( 1)x x lnx x− < < −
0 13 2x x− >
( ) cosf x x x′′ = (0, )2x
π∈ ( , )2x
π π∈ ( )f x′ ( , )2x
π π∈
( )f x′ (0, )π [0x∈
]π ( )f x ( )h x ax=
( ) 2sin cosf x x x x x= − −
10
8
6
4
2
2
4
6
8
15 10 5 5 10 15π
2
g(x)
π
O
y
xx0
例 4 （2019 年Ⅰ卷文第 20 题）已知函数 ， 为
的导数.
（1）证明： 在区间 存在唯一零点；
（2）若 ， 时， ，求 的取值范围.
( ) 2sin cosf x x x x x= − − ( )f x′ ( )f x
( )f x′ (0, )π
[0x∈ ]π ( )f x ax a11
用思维导图突破导数压轴题 专题 2 导数与不等式 精讲篇（12 页）
，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，所以当 时，极大值为
，又 ， ， 在 上有唯一零点，即 在 上
有唯一零点。
（2）由（1）知， 在 上有唯一零点 ，使得
，且 在 为正，在 ， 为负，所以
在 ， 递增，在 ， 递减。
又 ， ，从而 在 ， 上非负。
令 ，作出图示， ，所以 .
（10 山东理）已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
（2）设 当 时，若对任意 ，存在 ，使
，求实数 取值范围.
解 (1) ，
令
①当 时， ，当 ,函数 单调
递减；当 ，函数 单调递增.
②当 时，由 ，即 ，解得 .
当 时 ， 恒成立，此时 ，函数 单调递减；
当 时， ， 时 ，函数 单调递减；
时， ，函数 单调递增；
时， ，函数 单调递减.
( ) 2cos cos sin 1f x x x x x′ = − + − cos sin 1x x x= + −
( ) cos sin 1g x x x x= + − ( ) sin sin cosg x x x x x′ = − + + cosx x=
(0, )2x
π∈ cos 0x x > ( , )2x
π π∈ cos 0x x <
2x
π=
( ) 1 02 2g
π π= − > (0) 0g = ( ) 2g π = − ( )g x (0, )π ( )f x′ (0, )π
( )f x′ (0, )π 0x
0( ) 0f x′ = ( )f x′ 0(0, )x 0(x )π ( )f x
[0 0 ]x 0[x ]π
(0) 0f = ( ) 0f π = ( )f x [0 ]π
( )h x ax= ( ) ( )f x h x 0a
1( ) ln 1af x x ax x
−= − + − ( )a R∈
1
2a ≤ ( )f x
2( ) 2 4.g x x bx= − + 1
4a = 1 (0,2)x ∈ [ ]2 1,2x ∈
1 2( ) ( )f x g x≥ b
1( ) ln 1( 0)af x x ax xx
−= − + − >
2
2 2
l 1 1( ) ( 0)a ax x af x a xx x x
− − + + −′ = − + = >
2( ) 1 ( 0)h x ax x a x= − + − >
0a = ( ) 1( 0)h x x x= − + > (0,1), ( ) 0, ( ) 0x h x f x′∈ > < ( )f x
(1, ), ( ) 0, ( ) 0x h x f x′∈ +∞ < > ( )f x
0a ≠ ( ) 0f x′ = 2 1 0ax x a− + − = 1 2
11, 1x x a
= = −
1
2a = 1 2x x= ( ) 0h x ≥ ( ) 0f x′ ≤ ( )f x
10 2a< < 1 1 1 0a
− > > (0,1)x∈ ( ) 0, ( ) 0h x f x′> < ( )f x
1(1, 1)x a
∈ − ( ) 0, ( ) 0h x f x′< > ( )f x
1( 1, )x a
∈ − +∞ ( ) 0, ( ) 0h x f x′> < ( )f x
10
8
6
4
2
2
4
6
8
15 10 5 5 10 15
y=ax
y=f(x)
π
O
y
xx012
用思维导图突破导数压轴题 专题 2 导数与不等式 精讲篇（12 页）
当 时 ，当 ,函数 单调递减；
当 ，函数 单调递增.
综上所述：当 时，函数 在 单调递减， 单调递增；
当 时 ， 恒成立，此时 ，函数 在 单调递减；
当 时，函数 在 单调递减， 单调递增， 单调递减.
（2）当 时， 在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意
，有 。
又已知存在 ，使 ，所以 ， ，（※）
（条件“若对任意 ，存在 ，使 ”等价于“ 在区间[1，2]
上的最小值不大于 在 上的最小值 。不要误以为是 的最大值不大于 。）
又 。
当 时， 与（※）矛盾；
当 时， 也与（※）矛盾；
当 时， .
综上，实数 的取值范围是 .
0a < 1 1 0a
− < (0,1), ( ) 0, ( ) 0x h x f x′∈ > < ( )f x
(1, ), ( ) 0, ( ) 0x h x f x′∈ +∞ < > ( )f x
0a ≤ ( )f x (0,1) (1, )+∞
1
2a = 1 2x x= ( ) 0h x ≥ ( ) 0f x′ ≤ ( )f x (0, )+∞
10 2a< < ( )f x (0,1) 1(1, 1)a
− 1( 1, )a
− +∞
1
4a = ( )f x
1 (0,2)x ∈ 1
1( ) (1) - 2f x f≥ =
[ ]2 1,2x ∈ 1 2( ) ( )f x g x≥ 2
1 ( )2 g x− ≥ [ ]2 1,2x ∈
1 (0,2)x ∈ [ ]2 1,2x ∈ 1 2( ) ( )f x g x≥ ( )g x
( )f x (1,2) 1
2
− ( )g x 1
2
−
2 2( ) ( ) 4 , [1,2]g x x b b x= − + − ∈
1b < min( ) (1) 5 2 0g x g b= = − >
[ ]1,2b∈ 2
min( ) (1) 4 0g x g b= = − ≥
2b > min
1 17( ) (2) 8 4 ,2 8g x g b b= = − ≤ − ≥
b 17[ , )8
+∞
微信/支付宝扫码支付