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2019—2020 学年度第二学期阶段性检测
高 一 数 学
考试时间：90 分钟
一、选择题（本大题共 12 小题，共 48.0 分）
1. 与 终边相同的角可表示为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知角훼的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合．若훼的终边经过点(푚,2푚)(푚 ≠ 0)，
则푠푖푛2훼 = ( )
A. 3
5 B. 1
3 C. 4
5 D. ― 4
5
3. 훥퐴퐵퐶中，푎,푏,푐分别是퐴,퐵,퐶的对边，已知 △ 퐴퐵퐶的面积푆 = 푎2 ―(푏2 + 푐2)，则푐표푠퐴 = (
)
A. ― 4 17
17 B. 17
17 C. ± 17
17 D. ― 17
17
4. 为了得到푦 = sin(2푥 + 휋
3)的图象只需将푦 = cos(2푥 ― 휋
4)的图象向左平移( )个单位
A. 휋 B. 휋
2 C. D. 휋
24
5. 测量河对岸某一高层建筑物 AB 的高度时，可以选择与建筑物的最低点 B 在同一水平
面内的两个观测点 C 和 D，如图，测得∠퐵퐶퐷 = 15°，∠퐵퐷퐶 = 30°，퐶퐷 = 30푚，并在
C 处测得建筑物顶端 A 的仰角为60°，则建筑物 AB 的高度为（ ）
A. 30 6m
B. 15 6m
C. 5 6m
D. 15 2m
6. 在 △ 퐴퐵퐶中，푎,푏,푐分别是퐴,퐵,퐶的对边给出下列说法：
①若퐴 > 퐵，则一定有푠푖푛퐴 > 푠푖푛퐵；
②恒有푐표푠퐴 + 푐표푠퐵 > 0；
③若푠푖푛퐴 < 푐표푠퐵，则 △ 퐴퐵퐶为锐角三角形．
其中正确说法的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7. 被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和
科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比푚 = 5 ― 1
2 的近似值，黄
金分割比还可以表示成2sin18°，则 푚 4 ― 푚2
2cos227° ― 1
=( )
A. 4 B. 5 + 1 C. 2 D. 5 ― 1
8. 已知函数푓(푥) = cos(2푥 - π
2) + x
x2 + 1 +1,则푓(푥)的最大值与最小值的和为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
9. 若 1
sin훼 + 1
cos훼 = 3，则sin훼cos훼 = ( )
A. ― 1
3 B. 1
3 C. ― 1
3或 1 D. 1
3或 ―1
10. 如图，在矩形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，N 是 CD 的中点，若 →
퐴퐶 = 휆 →
퐴푀 +휇 →
퐵푁，则
휆 + 휇 = ( )
A. 2
5 B. 4
5
C. 6
5 D. 8
5
11. 已知휔 > 0，푎 > 0，푓(푥) = 푎sin휔푥 + 3푎cos휔푥，푔(푥) = 2cos(푎푥 + 휋
6)，ℎ(푥) =
푓(푥)
푔(푥),这 3 个函数在同一直角坐标系中的部分图象如下图所示，则函数푔(푥) + ℎ(푥)的图
象的一条对称轴方程可以为( )
A. 푥 = 휋
6 B. 푥 = 13휋
6 C. 푥 = ― 23휋
12 D. 푥 = ― 29휋
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12. 已知푎，푏，푒是平面向量，푒是单位向量．若非零向量푎与푒的夹角为 휋
3 ，向量푏满足푏2
―4푒·푏 +3 = 0，则|푎 ― 푏|的最小值是( )
A. 3 ―1 B. 3 +1 C. 2 D. 2 ― 3
二、填空题（本大题共 4 小题，共 16.0 分）
13. 已知在 △ 퐴퐵퐶中，퐵퐶 = 15，퐴퐶 = 10，퐴 = 60°，则푐표푠퐵 = ____________．
14. 函数푦 = sin(2푥 ― 휋
3)的单调递减区间是______．
15. 已知等边훥퐴퐵퐶的边长为 2，若点 D 满足퐴퐷 = 2퐷퐶，则퐵퐷 ⋅ 퐴퐶 = _________；
16. 定义푎 ⊕ 푏 = { 푎,푎 ≥ 푏
푏,푎 < 푏，已知푓(푥) = cos푥 ⊕ ( 2
2 tan푥)( ― 휋
2 < 푥 < 휋
2)，若方程푓(푥) ―
1
sin훼 ― 1
2
= 0有解，则훼的取值范围是_______．
三、解答题（本大题共 3 小题，共 36.0 分）
17. 设向量푎 = (cos훼,휆sin훼)，푏 = (cos훽,sin훽)，其中휆 > 0，0 < 훼 < 훽 < π
2，且푎 + 푏与푎 ―
푏相互垂直．
(1)求实数휆的值；
(2)若푎 ⋅ 푏 = 4
5，且tan훽 = 2，求tan훼的值．
18. 阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有
sin(훼 + 훽) = sin훼cos훽 + cos훼푠푖푛훽…①
sin(훼 ― 훽) = sin훼푐표푠훽 ― 푐표푠훼sin훽…②由① + ②得sin(훼 + 훽) + sin(훼 ― 훽) = 2sin훼
cos훽…③
令훼 + 훽 = 퐴，훼 ― 훽 = 퐵有훼 = 퐴 + 퐵
2 ，훽 = 퐴 ― 퐵
2
代入③得sin퐴 + sin퐵 = 2sin퐴 + 퐵
2 푐표푠퐴 ― 퐵
2 ．
(1)利用上述结论，试求sin15° + sin75°的值．
(2)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cos퐴 + cos퐵 = 2cos
퐴 + 퐵
2 ⋅ cos퐴 ― 퐵
2 ．
(3)求푥 ∈ [0,휋
4]时，函数푦 = cos2푥 ⋅ cos(2푥 + 휋
6)的最大值．
19. 在非直角훥퐴퐵퐶中，푎,푏,푐分别是퐴,퐵,퐶的对边.已知푎 = 4，퐴퐵 ⋅ 퐴퐶 = 5，求：
(1)tan퐴
tan퐵 + tan퐴
tan퐶的值；
(2)퐵퐶边上的中线 AD 的长．
2019—2020 学年度第二学期阶段性检测
副标题
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 48.0 分）
20. 与 终边相同的角可表示为 ( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查终边相同的角的定义和表示方法，利用了与角 ―463°终边相同的角一定可以写成
푘 × 360° + ( ― 463°)，푘 ∈ 푧的形式，属于中档题．
【解答】第 3 页，共 9 页
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解： ∵ ―463° = ―2 × 360° + 257°，
∴ 257°与 ―463°终边相同，
由此可得与角 ―463°终边相同的角一定可以写成푘 × 360° + 257°，푘 ∈ 푧的形式，
故选 C．
21. 已知角훼 的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合．若훼 的终边经过点
(푚,2푚)(푚 ≠ 0)，则푠푖푛2훼 = ( )
A. 3
5 B. 1
3 C. 4
5 D. ― 4
5
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查三角函数的定义以及二倍角正弦公式，属于简单题．
由题意，푡푎푛훼 = 2，利用푠푖푛2훼 = 2푠푖푛훼푐표푠훼 = 2sin훼cos훼
푠푖푛2훼 + 푐표푠2훼 = 2tan훼
푡푎푛2훼 + 1，可得结论．
【解答】
解： ∵ 角훼的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，又훼的终边经过点(푎,2푎)(푎 ≠ 0)，
∴ 푡푎푛훼 = 2，
∴ 푠푖푛2훼 = 2푠푖푛훼푐표푠훼 = 2sin훼cos훼
푠푖푛2훼 + 푐표푠2훼 = 2tan훼
푡푎푛2훼 + 1 = 4
5．
故选 C．
22. 已知 △ 퐴퐵퐶的面积푆 = 푎2 ―(푏2 + 푐2)，则푐표푠퐴 = ( )
A. ― 4 17
17 B. 17
17 C. ± 17
17 D. ― 17
17
【答案】D
【解析】【分析】
本题以三角形得面积为载体，考查余弦定理与三角求值，属于较易题．
利用余弦定理以及面积公式，结合三角恒等关系即可求值．
【解答】
解：由题意， △ 퐴퐵퐶的面积푆 = 푎2 ―(푏2 + 푐2)，
而
则有 ，
所以 ，
又sin2퐴 + cos2퐴 = 1，
可求得푐표푠퐴 = ― 17
17 ，
故选 D.
23. 为了得到푦 = sin(2푥 + 휋
3)的图象只需将푦 = cos(2푥 ― 휋
4)的图象向左平移( )个单位
A. 휋 B. 휋
2 C. D. 휋
24
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数图象之间的关系和变换，根据三角函数解析式之间的关系是解决本
题的关键，属于中档题．
利用诱导公式化简两个函数的表达式为同名函数，然后利用左加右减的原则确定平移的方
向与单位，即可得解．
【解答】
解：分别把两个函数解析式简化为푦 = sin(2푥 + 휋
3) = sin[2(푥 + 휋
6)]，
函数푦 = cos(2푥 ― 휋
4) = sin(2푥 ― 휋
4 + 휋
2) = sin[2(푥 + 휋
8)] = sin[2(푥 + 휋
6 ― 휋
24)]，
可知只需把函数푦 = cos(2푥 ― 휋
4)的图象向左平移 휋
24个长度单位，得到函数푦 = sin(2푥 + 휋
3)的
图象．
故选 D．
24. 测量河对岸某一高层建筑物 AB 的高度时，可以选择与建筑物的最低点 B 在同一水平
面内的两个观测点 C 和 D，如图，测得∠퐵퐶퐷 = 15°，∠퐵퐷퐶 = 30°，퐶퐷 = 30푚，并在
C 处测得建筑物顶端 A 的仰角为60°，则建筑物 AB 的高度为
A. 30 6m B. 15 6m C. 5 6m D. 15 2m
【答案】B
【解析】【分析】第 4 页，共 9 页
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本题考查正弦定理，解三角形的应用，在 △ 퐵퐶퐷中使用正弦定理得出 BC，在푅푡 △ 퐴퐵퐶中，
利用特殊角的三角函数得出 AB 的值，属于中档题．
【解答】
解： ∵ ∠퐵퐶퐷 = 15°，∠퐵퐷퐶 = 30°，
∴ ∠퐶퐵퐷 = 135°，
在 △ 퐵퐶퐷中使用正弦定理得 퐵퐶
sin∠퐶퐷퐵 = 퐶퐷
sin∠퐶퐵퐷，
即 퐵퐶
푠푖푛30° = 30
푠푖푛135°，
∴ 퐵퐶 = 15 2，
∵ ∠퐵퐶퐴 = 60°，
∴ ∠퐶퐴퐵 = 30°，
∴ 퐴퐵 = 3퐵퐶 = 15 6.
故选 B.
25. 在 △ 퐴퐵퐶中，给出下列说法：
①若퐴 > 퐵，则一定有푠푖푛퐴 > 푠푖푛퐵；
②恒有푐표푠퐴 + 푐표푠퐵 > 0；
③若푠푖푛퐴 < 푐표푠퐵，则 △ 퐴퐵퐶为锐角三角形．
其中正确说法的个数有( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数的性质，属于中档题．
根据题意逐项进行判断即可得到结果．
【解答】
解：①在 △ 퐴퐵퐶中，若퐴 > 퐵，则푎 > 푏，即푠푖푛퐴 > 푠푖푛퐵成立，正确；
，
，
∴ cos퐴 + cos퐵 > 0，正确；
， 时，푠푖푛퐴 > 푐표푠퐵，而 △ 퐴퐵퐶为钝角三角形，错误；
因此正确说法的个数有 2 个．
故选 C．
26. 被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生
产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比푚 = 5 - 1
2 的近似值，
黄金分割比还可以表示成 ，则
A. 4 B. 5 + 1 C. 2 D. 5 - 1
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查同角三角函数基本关系式与倍角公式的应
用，属于基础题．
把푚 = 2푠푖푛18°代入 푚 4 ― 푚2
2푐표푠227° ― 1
，然后结合同角三角函数基本关系式与倍角公式化简求值．
【解答】
解：由题意，2푠푖푛18° = 푚 = 5 ― 1
2 ，
∴ 푚2 = 4푠푖푛218°，
则
．
故选 C．
27. 已知函数 ，则푓(푥)的最大值与最小值的和为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】 【分析】
本题考查函数的奇偶性以及对称性，属于中档题．
由函数解析式的化简，得到푓(푥)的图象关于点(0,1)对称，即可得到答案．
【解答】
解：
，
因为 为奇函数，关于点(0,0)对称，第 5 页，共 9 页
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所以푦 = 푓(푥)关于点(0,1)对称，则푓(푥)的最大值与最小值的和为 2．
故选 C．
28. 若 1
sin훼 + 1
cos훼 = 3，则sin훼cos훼 = ( )
A. - 1
3 B. 1
3 C. - 1
3或 1 D. 1
3或 ―1
【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及二倍角公式，熟练掌握同角三角函数的基本
关系是解题的关键，首先根据题意得푠푖푛훼 + 푐표푠훼 = 3·푠푖푛훼푐표푠훼，然后根据同角三角函数
基本关系得到1 + 2푠푖푛훼푐표푠훼 = 3(푠푖푛훼푐표푠훼)2，进而求解即可．
【解答】
解： ∵ 1
푠푖푛훼 + 1
푐표푠훼 = 푠푖푛훼푐표푠훼
푠푖푛훼푐표푠훼 = 3，
∴ 푠푖푛훼 + 푐표푠훼 = 3·푠푖푛훼푐표푠훼，
两边平方得1 + 2푠푖푛훼푐표푠훼 = 3(푠푖푛훼푐표푠훼)2，
化简得：(푠푖푛훼푐표푠훼 ― 1)(3푠푖푛훼푐표푠훼 + 1) = 0，
因为푠푖푛훼푐표푠훼 = 1
2푠푖푛2훼 ≤ 1
2，
所以푠푖푛훼푐표푠훼 = ― 1
3，
故选 A．
29. 如图，在矩形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，N 是 CD 的中点，若
→
퐴퐶 = 휆 →
퐴푀 +휇 →
퐵푁，则휆 + 휇 = ( )
A. 2
5
B. 4
5
C. 6
5
D. 8
5
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，
平面向量基本定理，属于中档题.根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得퐴퐶 = 퐴퐵 +
퐴퐷，퐴푀 = 퐴퐵 + 1
2퐴퐷，퐵푁 = 퐴퐷 ― 1
2퐴퐵，并进行向量的数乘运算便可得出퐴퐵 + 퐴퐷 = (1
2
휆 + 휇)퐴퐷 +(휆 ― 1
2휇)퐴퐵，根据平面向量基本定理即可得出关于휆，휇的方程组，解出휆，휇便
可得出휆 + 휇的值．
【解答】
解： ∵ 퐴퐶 = 퐴퐵 + 퐴퐷，퐴푀 = 퐴퐵 + 퐵푀 = 퐴퐵 + 1
2퐴퐷，
퐵푁 = 퐵퐶 + 퐶푁 = 퐴퐷 + 1
2퐶퐷 = 퐴퐷 ― 1
2퐴퐵，
∴ 퐴퐶 = 퐴퐵 + 퐴퐷 = 휆퐴푀 + 휇퐵푁 = 휆(퐴퐵 +
1
2퐴퐷) + 휇(퐴퐷 ―
1
2퐴퐵)
= (1
2휆 + 휇)퐴퐷 +(휆 ― 1
2휇)퐴퐵，
∴ 由平面向量基本定理得{1
2휆 + 휇 = 1
휆 ― 1
2휇 = 1，
解得휆 = 6
5，휇 = 2
5，
∴ 휆 + 휇 =
8
5故选 D ．
30. 已知휔 > 0，푎 > 0，푓(푥) = 푎sin휔푥 + 3푎cos휔푥，푔(푥) = 2cos(푎푥 + 휋
6)，ℎ(푥) = 푓(푥)
푔(푥)
这 3 个函数在同一直角坐标系中的部分图象如下图所示，则函数푔(푥) + ℎ(푥)的图象的
一条对称轴方程可以为( )第 6 页，共 9 页
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A. 푥 = 휋
6 B. 푥 = 13휋
6 C. 푥 = ― 23휋
12 D. 푥 = ― 29휋
12
【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用函数图象求出
푓(푥)和푔(푥)解析式是解决本题的关键．属于中档题．
由函数图象可知，三函数的最大值均为 2，可得：푎 = 1，由图象可知，푓(푥)的周期为휋，
可得휔 = 2，即可求出푓(푥)和푔(푥)解析式，因为ℎ(푥) = 푓(푥)
푔(푥)可求ℎ(푥)，那么函数푔(푥) + ℎ(푥)
化解，可得对称轴方程．从而得答案．
【解答】
解： ∵ 푓(푥) = 푎푠푖푛휔푥 + 3푎푐표푠휔푥 = 2푎푠푖푛(휔푥 + 휋
3)，푔(푥) = 2푐표푠(푎푥 + 휋
6)，
又由函数图象可知，三函数的最大值均为 2，可得：푎 = 1，
∴ 푓(푥) = 2푠푖푛(휔푥 + 휋
3)，푔(푥) = 2푐표푠(푥 + 휋
6)，
由图象可知，푓(푥)的周期为휋， ∴ 휔 = 2
ℎ(푥) = 푓(푥)
푔(푥) =
2푠푖푛(2푥 + 휋
3)
2푐표푠(푥 + 휋
6)
= 2푠푖푛(푥 + 휋
6)，
那么函数푔(푥) + ℎ(푥) = 2푐표푠(푥 + 휋
6) + 2푠푖푛(푥 + 휋
6) = 2 2sin(푥 + 휋
6 + 휋
4) = 2 2sin(푥 + 5휋
12).
令푥 + 5휋
12 = 휋
2 +푘휋，(푘 ∈ 푍)
可得对称轴方程为푥 = 휋
12 +푘휋，
当푘 = ―2时，可得푥 = ― 23휋
12 ．
故选 C．
31. 已知푎，푏，푒是平面向量，푒是单位向量．若非零向量푎与푒的夹角为 휋
3 ，向量푏满足푏2
―4푒·푏 +3 = 0，则|푎 ― 푏|的最小值是( )
A. 3 ―1 B. 3 +1 C. 2 D. 2 ― 3
【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查的是向量的综合应用，可先由条件分析点 B 位置，再求最值即可．
【解答】
解： ∵ 푏2 ―4푒 ⋅ 푏 +3 = 0，
∴ 푏2 ―4푒 ⋅ 푏 + (2푒)2 = 1，
∴ |푏 ―2푒| = 1．
设푂퐶 = 2푒,푂퐵 = 푏，则|푂퐵 ― 푂퐶| = |퐶퐵| = 1．
以 O 点为原点，푂퐶方向为 x 轴正方向建立平面直角坐标系如图所示，则易知点 B 在以点 C
为圆心，1 为半径的圆上．
设푂퐴 = 푎，则∠퐴푂퐶 = 60∘，如图，|푎 ― 푏| = |푂퐴 ― 푂퐵| = |퐴퐵|．
∵ 퐴在射线 OA 上运动，B 在圆 C 上运动，
∴ 퐴，B 两点间距离的最小值转化为圆心 C 到射线 OA 距离的最小值减去半径 r，即当
퐶퐴 ⊥ 푂퐴时，|푎 ― 푏|最小，
此时|퐶퐴| = |푂퐶|푠푖푛60∘ = 3，
∴ |푎 ― 푏|min = |퐶퐴| ― |퐶퐵| = 3 ―1，
故选 A．
二、填空题（本大题共 4 小题，共 16.0 分）
32. 已知在 △ 퐴퐵퐶中，퐵퐶 = 15，퐴퐶 = 10，퐴 = 60°，则푐표푠퐵 = ____________．
【答案】 6
3
【解析】【分析】
本题考查正弦定理以及同角三角函数基本关系式的应用，为基础题．
利用正弦定理直接求解正弦函数值，然后利用同角三角函数基本关系式，求解即可．
【解答】
解：因为퐵퐶 > 퐴퐶，
所以0° < 퐵 < 60°，
又 ，
则푠푖푛퐵 = 퐴퐶푠푖푛퐴
퐵퐶 = 10 × 3
2
15
= 3
3 ，第 7 页，共 9 页
… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
得 ．
故答案为 6
3 ．
33. 函数푦 = sin(2푥 ― 휋
3)的单调递减区间是______．
【答案】[푘휋 + 5
12휋,푘휋 + 11
12휋],푘 ∈ 푍
【解析】【分析】
本题主要考查正弦函数的单调区间的求法，属于中档题．
由2푘휋 + 휋
2 ≤ 2푥 ― 휋
3 ≤ 2푘휋 + 3휋
2 ，푘 ∈ 푧，由此求得 x 的范围，即可得到函数푦 = sin(2푥 ― 휋
3)
的单调递减区间．
【解答】
解：由2푘휋 + 휋
2 ≤ 2푥 ― 휋
3 ≤ 2푘휋 + 3휋
2 ，푘 ∈ 푧，可得푘휋 + 5
12휋 ≤ 푥 ≤ 푘휋 + 11
12휋,푘 ∈ 푍，
故函数푦 = sin(2푥 ― 휋
3)的单调递减区间是[푘휋 + 5
12휋,푘휋 + 11
12휋],푘 ∈ 푍，
故答案为[푘휋 + 5
12휋,푘휋 + 11
12휋],푘 ∈ 푍．
34. 已知等边훥퐴퐵퐶的边长为 2，若点 D 满足퐴퐷 = 2퐷퐶，则퐵퐷 ⋅ 퐴퐶 = _________；
【答案】2
3．
【解析】【分析】
利用向量的三角形法则和数量积运算即可得出．
熟练掌握量的三角形法则和数量积运算是解题的关键．
【解答】
解： ∵ 퐴퐷 = 2퐷퐶， ∴ 퐴퐷 = 2
3퐴퐶，
= ―2 × 2 × 1
2 + 2
3 × 2 × 2 = 2
3，
故答案为2
3．
35. 定义푎 ⊕ 푏 = { 푎,푎 ≥ 푏
푏,푎 < 푏.若푓(푥) = cos푥 ⊕ ( 2
2 tan푥)( ― 휋
2 < 푥 < 휋
2)，若方程푓(푥) ―
1
sin훼 ― 1
2
= 0有解，则훼的取值范围是_______．
【答案】
【解析】本题考查分段函数及三角函数的图象和性质，属中档题．
(1)本小题考查三角函数的图象和性质，根据题意写出푓(푥)解析式，结合三角函数图象即
可得出其单调区间．
(2)本小题考查方程有解问题及正弦函数的图象，根据方程有解得出 ，再结合
正弦曲线即可得到훼的范围．
三、解答题（本大题共 3 小题，共 36.0 分）
36. 设向量푎 = (cos훼,휆sin훼)，푏 = (cos훽,sin훽)，其中휆 > 0， ，且푎 + 푏与푎
― 푏相互垂直．
(1)求实数휆的值；
(2)若푎 ⋅ 푏 = 4
5，且 ，求 的值．
【答案】解： (1)由푎 + 푏与푎 ― 푏互相垂直，
可得(푎 + 푏)·(푎 ― 푏) = |푎|2 ― |푏|2 = 0，
所以cos2훼 + 휆2sin2훼 ― 1 = 0．
又因为sin2훼 + cos2훼 = 1，
所以(휆2 ―1)sin2훼 = 0．
因为0 < 훼 < 휋
2，
所以sin2훼 ≠ 0，
所以휆2 ―1 = 0．
又因为휆 > 0，
所以휆 = 1．
(2)由(1)知푎 = (푐표푠훼,푠푖푛훼)．
由푎·푏 = 4
5，得푐표푠훼푐표푠훽 + 푠푖푛훼푠푖푛훽 = 4
5，第 8 页，共 9 页
… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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即cos(훼 ― 훽) = 4
5．
因为0 < 훼 < 훽 < 휋
2，
所以 ― 휋
2 < 훼 ― 훽 < 0，
所以sin(훼 ― 훽) = ― 1 ― cos2(훼 ― 훽) = ― 3
5．
所以tan(훼 ― 훽) = sin(훼 ― 훽)
cos(훼 ― 훽) = ― 3
4，
因此푡푎푛훼 = tan(훼 ― 훽 + 훽)
= tan (훼 ― 훽) + tan훽
1 ― tan (훼 ― 훽)tan훽 = 1
2．
【解析】本题主要考查向量垂直的坐标运算，以及同角三角函数的关系式，两角和与差的
三角函数公式．
(1)利用向量垂直的坐标运算，以及同角三角函数的关系式，即可得；
(2)利用同角三角函数的关系式，以及两角和与差的三角函数公式，即可得．
37. 阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有
sin(훼 + 훽) = 푠푖푛훼푐표푠훽 + 푐표푠훼푠푖푛훽 …①
sin(훼 ― 훽) = 푠푖푛훼푐표푠훽 ― 푐표푠훼푠푖푛훽 …②
由① + ②得sin(훼 + 훽) + sin(훼 ― 훽) = 2푠푖푛훼푐표푠훽 …③
令훼 + 훽 = 퐴，훼 ― 훽 = 퐵 有훼 = 퐴 + 퐵
2 ，훽 = 퐴 ― 퐵
2
代入③得푠푖푛퐴 + 푠푖푛퐵 = 2푠푖푛퐴 + 퐵
2 cos퐴 ― 퐵
2 ．
(1)利用上述结论，试求푠푖푛15° + 푠푖푛75°的值．
(2)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：푐표푠퐴 + 푐표푠퐵 = 2푐표푠퐴 + 퐵
2
⋅ cos퐴 ― 퐵
2 ．
(3)求函数푦 = 푐표푠2푥 ⋅ cos(2푥 + 휋
6)푥 ∈ [0,휋
4]的最大值．
【答案】解：(1) ∵ 푠푖푛퐴 + 푠푖푛퐵 = 2푠푖푛퐴 + 퐵
2 cos퐴 ― 퐵
2
∴ 푠푖푛15° + sin75° = 2푠푖푛
15° + 75°
2 ⋅ cos
15° ― 75°
2 = 2푠푖푛45° ⋅ cos( ― 30°) =
6
2 (2)因为
cos(훼 + 훽) = 푐표푠훼푐표푠훽 ― 푠푖푛훼푠푖푛훽，------①
cos(훼 ― 훽) = 푐표푠훼푐표푠훽 + 푠푖푛훼푠푖푛훽------②
① + ②得cos(훼 + 훽) + cos(훼 ― 훽) = 2푐표푠훼푐표푠훽，③
令훼 + 훽 = 퐴，훼 ― 훽 = 퐵有훼 = 퐴 + 퐵
2 ，훽 = 퐴 ― 퐵
2 ，
代入③得：푐표푠퐴 + 푐표푠퐵 = 2푐표푠퐴 + 퐵
2 ⋅ cos퐴 ― 퐵
2 ．
(3)由(2)知，푦 = 푐표푠2푥푐표푠(2푥 + 휋
6) = 1
2[cos(4푥 + 휋
6) + cos휋
6] = 1
2cos(4푥 + 휋
6) + 3
4
∵ 푥 ∈ [0,휋
4]，
∴ 4푥 + 휋
6 ∈ [휋
6,7휋
6 ]，
故函数的最大值为푦 = 3
2 ．
【解析】(1)由푠푖푛퐴 + 푠푖푛퐵 = 2푠푖푛퐴 + 퐵
2 cos퐴 ― 퐵
2 ，令퐴 = 15°，퐵 = 75°，代和可得
푠푖푛15° + 푠푖푛75°的值．
(2)由cos(훼 + 훽) = 푐표푠훼푐표푠훽 ― 푠푖푛훼푠푖푛훽，cos(훼 ― 훽) = 푐표푠훼푐표푠훽 + 푠푖푛훼푠푖푛훽两式相加得：
cos(훼 + 훽) + cos(훼 ― 훽) = 2푐표푠훼푐표푠훽，令훼 + 훽 = 퐴，훼 ― 훽 = 퐵 有훼 = 퐴 + 퐵
2 ，훽 = 퐴 ― 퐵
2 ，
可得结论；
(3)结合(2)的结论，将퐴 = 2푥，퐵 = 2푥 + 휋
6，代入化简函数的解析式，进而根据푥 ∈ [0,휋
4]，
求出相位角4푥 + 휋
6 ∈ [휋
6,7휋
6 ]，进而根据余弦函数的图象和性质得到函数푦 = 푐표푠2푥 ⋅ cos(2푥 +
휋
6)푥 ∈ [0,휋
4]的最大值．
本小题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，
考查推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想等．
38. 在非直角훥퐴퐵퐶中，푎,푏,푐分别是퐴,퐵,퐶的对边.已知푎 = 4，퐴퐵 ⋅ 퐴퐶 = 5，求：
(1)tan퐴
tan퐵 + tan퐴
tan퐶的值；
(2)퐵퐶边上的中线 AD 的长．
【答案】解：(1)tan퐴
tan퐵 + tan퐴
tan퐶 = sin퐴
cos퐴 ⋅ (cos퐵
sin퐵 + cos퐶
sin퐶)
= sin퐴
cos퐴 ⋅ cos퐵sin퐶 + sin퐵cos퐶
sin퐵sin퐶 = sin2퐴
sin퐵sin퐶cos퐴
= 푎2
푏푐cos퐴 = 푎2
퐴퐵 ⋅ 퐴퐶 = 16
5 ．
(2)由余弦定理푎2 = 푏2 + 푐2 ―2푏푐푐표푠퐴，第 9 页，共 9 页
… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
即：16 = 푏2 + 푐2 ―10， ∴ 푏2 + 푐2 = 26
设 AD 的长为푥.则在 △ 퐴퐵퐷中，
由余弦定理得：cos∠퐴퐷퐵 = 푥2 + 4 ― 푐2
4푥 ，
在 △ 퐴퐶퐷中，由余弦定理得：cos∠퐴퐷퐶 = 푥2 + 4 ― 푏2
4푥 ，
∴ cos∠퐴퐷퐵 + cos∠퐴퐷퐶 = 2푥2 + 8 ― (푐2 + 푏2)
4푥 = 0
得푥 = 3，即퐴퐷 = 3．
【解析】本题主要考查了同角三角函数的基本关系式子，及余弦定理的运用，考查学生计
算能力，属于基础题．
(1)把原式化简即可求解得．
(2)由余弦定理的计算即可解．
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