2019-2020 学年度第二学期期中学业水平检测
高一数学
本试卷 4 页，22 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条
形码粘贴在答题卡指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，请将答题卡上交。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一
项是符合题目要求的。
1．某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸奶、
婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有 种、 种、 种、 种不同的品牌．现采用分层抽样
的方法从中抽取一个容量为 的样本进行质量检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是 种，则
（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量 ，向量 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．复数 （ 是虚数单位），则 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．在 中， 、 、 分别是角 、 、 的对边，若 ，
则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知数据 的平均数、标准差分别为 ，数据 的
平均数、标准差分别为 ，若 ，则（ ）
A． B． C ．
D．
6．已知向量 ， ， ， 为向量 在向量 上的投影向量，则
（ ）
A． B． C． D．
7．已知复数 是关于 的方程 的一个根，则实数 的值分别为（ ）
A． B． C． D．
8．在 中，若 ，则此三角形为（ ）
30 10 35 25
n 7
=n
100 50 20 10
(1,2)a = ( ,4)b x= a b⊥ x =
6 2 6− 8−
i
2 iz = + i z
ABC∆ a b c A B C 2 2sin cos sin
a b c
A B B
= = =
ABC∆
2 4 2 2 2
1 2 2020, , ,x x x 90, 20xx s= = 1 2 2020, , ,y y y
, yy s 5( 1,2, ,2020)2
n
n
xy n= + =
45, 5yy s= = 45, 10yy s= = 50, 5yy s= =
50, 10yy s= =
(1,2)a = (6,4)A (4,3)B b AB a | |b =
4 5
5 1 5 4
3 2i− x 22 0x mx n− + = ,m n
6,8 12,0 12,26 24,26
ABC∆ 2| |AC AB AB⋅ > A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角直角三角形 D．等腰三角形
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有
多项
符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
9．已知复数 （ 是虚数单位），则下列结论正确的是（ ）
A． B．复数 的共轭复数
C．复数 的虚部等于 D．
10．如图，在梯形 中， ， ， 与 相交于点 ，则下列
结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．设 为非零向量，下列有关向量 的描述正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感
染的标志为“连续 天，每天新增疑似病例不超过 人”．过去 日，甲、乙、丙、丁四
地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是（ ）
甲地：总体平均数 ，且中位数为 ；
乙地：总体平均数为 ，且标准差 ；
丙地：总体平均数 ，且极差 ；
丁地：众数为 ，且极差 ．
A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地
三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则 ．
14 ． 若 向 量 ， 满 足 ， ， ， 记 与 的 夹 角 为 ， 则
．
1 i
iz
−= i
| | 2z = z i1+=z
z 1− 2 *| | 2 ,n nz n= ∈N
ABCD //AB CD | | 2 | |AB CD= AD BC O
1
2AD AC AB− =
0AB BC CD DA+ + + =
| 2 | 0OA OD+ =
2 1
3 3OA DC DB= +
a
| |
a
a
| | 1
| |
a
a
=
//
| |
a a
a
| |
a a
a
=
| |
| |
a a a
a
⋅ =
7 5 7
3x ≤ 0
2 2s ≤
3x ≤ 2c ≤
1 4c ≤
i )R(i2
i3 ∈+
−= mmz =m
a b | | 1a = | | 2b = | 2 | 21a b+ = a b θ
θ =
A B
C D
O15．（本题第一空 2 分，第二空 3 分）某地区年龄超过 周岁的男士的体重（单位：千克）
全部介于 千克到 千克之间，现从该地区年龄超过 周岁的男士中随机抽取 人
组成一个样本进行统计．将这 名男士的体重的统计结果按如下方式分成五组：第 组
，第 组 ，第 组 ，第 组 ，第 组 ，其频率
分布直方图如图所示．
则：（1） ；（2）以每组的中位数作为本组每人体重的估计值估算该
地区年龄超过 周岁的男士体重的平均值为 （千克）．
16．已知开始时 轮船在 轮船正南 千米处，当 轮船以 千米/分钟的速度沿北偏东
方向直线行驶时， 轮船同时以 千米/分钟的速度直线行驶去拦截 轮船，则 轮船
拦截所用的最短时间为 分钟．
四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10 分）
甲、乙两台机床同时生产一种零件，在 天中，两台机床每天生产的次品数分别为：
甲： ；乙： ．
（1）分别求两组数据的众数、中位数；
（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能．
18．（12 分）
在复平面内，平行四边形 的顶点 ， ， ，对应复数分别为 ， ， ．
（1）求 ， 及 ， ；
（2）设 ，求 ．
19．（12 分）
已知 ．
（1）若向量 ，求 的值；
（2）若向量 ，证明： ．
20．（12 分）
在 中，若 、 、 分别是内角 、 、 的对边，已知 同时满足下列
40
49 99 40 100
100 1
[49,59) 2 [59,69) 3 [69,79) 4 [79,89) 5 [89,99]
m =
40
A B 6 A 2 60°
B 7 A B
10
0,0,1,2,0,0,3,0,4,0 2,0,2,0,2,0,2,0,2,0
OABC O A C 0 2 i+ 1 3i− +
OB CA | |OB | |CA
OCB θ∠ = cosθ
1tan( ) , R4 2
π α α+ = ∈
(2tan ,1), (1, tan )a bα α= = − a b⋅
2(6,1 cos2 ), ( 5,sin 2 cos )a bα α α= + = − − //a b
ABC∆ a b c A B C ABC∆ 4
体重（单位：千克）
m
—频率
组距
49 59 69 79 89 99
0.005
0.01
0.03
0.02个条件中的 个：① ；② ；③ ；④ ．
（1）请指出这 个条件，并说明理由；
（2）求 ．
21．（12 分）
一年来，某足球队的 足球运动员每天进行距离球门 米远的射门训练 次，若打进
球门算成功，否则算失败．随机提取该球员连续 天的成功次数统计如下：
．
（1）估计该球员一天射门成功次数的四分位数；
（2）若每天 三位球员均进行“三角战术”配合训练，要求三位球员在运动中必须保
持如下规则：三人所在的位置构成 ， ， 的面积 （平
方米）．求 球员之间的距离的最小值（米）．
22．（12 分）
如图所示，在四边形 中： ， ， ， ，
．点 为四边形 的外接圆劣弧 （不含 ）上一动点．
（1）证明： ；
（2）若 ，设 ， ，求 的最小值．
3 1sin 2 2
B = 2 2 2 0a b c ab+ − + = 2 3b = 3c =
3
sin A
A 20 100
20
68,66,72,58,49,62,67,49,80,76,66,59,60,71,70,68,78,60,66,68
, ,A B C
ABC∆
3BAC
π∠ = ABC∆ 4 3S =
,B C
ABCD 3ACB
π∠ = 3AB = + 3AC BC = AC BC>
//AB CD E ABCD CD ,C D
AB BC⊥
( , R)AC xAB yAE x y= + ∈ DAE α∠ = ( )y f α= ( )f α
A B
C
E
D2019-2020 学年度第二学期期中学业水平检测高一数学参考
答案
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
1-8: C D A A D A C B
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
9：ACD； 10：ABC； 11：ABD; 12：CD；
三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. ； 14. ； 15. （1） ；（2） ； 16. ；
四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（10 分）
解：（1）由题知：甲的众数等于 ；乙的众数等于 和 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
甲的中位数等于 ；乙的中位数等于 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
（2）甲的平均数等于 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
乙的平均数等于 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
甲的方差等于
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
乙的方差等于
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
所以甲的标准差等于 ，乙的标准差 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
因此，甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定！∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
18．（12 分）
解：（1）因为
所以 所对应的复数
所以 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
因为
所以 所对应的复数
所以 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
（2）由题
因为 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
2
3
3
π
035.0 72 2
0 0 2
0 1
0 0 1 2 0 0 3 0 4 0 110
+ + + + + + + + + =
2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 110
+ + + + + + + + + =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(0 1) (0 1) (1 1) (2 1) (0 1) (0 1) (3 1) (0 1) (4 1) (0 1) 210
− + − + − + − + − + − + − + − + − + − =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(2 1) (0 1) (2 1) (0 1) (2 1) (0 1) (2 1) (0 1) (2 1) (0 1) 110
− + − + − + − + − + − + − + − + − + − =
2 1
OB OA OC= +
OB
1 2 ( 1 3 ) 1( 4)z i i i= + + − + = +
(1,4)OB = 2 2| | 1 4 17OB = + =
CA OA OC= −
CA
2 2 ( 1 3 ) 3 2( )z i i i= + − + = −−
(3, 2)CA = − 2 2| | 3 ( 2) 13CA = + − =
,CB COθ =< >
(2,1)CB OA= = (1, 3)CO OC= − = − 所以 ，
，
所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
19．（本小题满分 12 分）
解：（1）因为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
（2）因为
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
所以
所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
20．（本小题满分 12 分）
解：（1） 同时满足条件①，③，④．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
理由如下：
若 同时满足①，②．
因为 ，且 ，所以 ，即 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
因为 ，且 ，所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
所以 ，矛盾 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
所以 只能同时满足③，④．
因为 ，所以 ，故 不满足②
故 满足①，③，④∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
（2）在 中， ， ，
又由正弦定理知： ，所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
又因为 ，所以 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
21.（12 分）
解：（1）将该球员连续 天的成功次数从小到大排序，可得
2 1 1 ( 3) 1CB CO⋅ = × + × − = −
2 2| | 2 1 5CB = + = 2 2| | 1 ( 3) 10CO = + − =
2cos cos , 10| | | |
CB COCB CO
CB CO
θ ⋅= < >= = −
⋅
tan tan 1 tan 14tan( )4 1 tan 21 tan tan4
π απ αα π αα
+ ++ = = =−− ⋅
αtan 3
1−=
12tan tan tan 3a b α α α⋅ = − = = −
2 2
2
sin 2 cos 2sin cos cos
1 cos2 2cos
α α α α α
α α
− −=+
2sin cos 1 5tan2cos 2 6
α α αα
−= = − = −
0)2cos1(5)cos2(sin6 2 =++− ααα
//a b
ABC∆
ABC∆
1sin 2 2
B = (0, )2 2
B π∈ =2 6
B π
3B
π=
2 2 2 1cos 2 2
a b cC ab
+ −= = − (0, )C π∈ 2
3C
π=
B C π+ =
ABC∆
b c> B C> ABC∆
ABC∆
ABC∆ 2 3b = 3c =
3B
π=
sin sin
b c
B C
= sin 3sin 4
c BC b
= =
B C> (0, )2C
π∈ 7cos 4C =
3 7 1 3 3 21sin sin( ) sin( )3 2 4 2 4 8A B C C
π += + = + = × + × =
20∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
因为 ， ， ，
所以，样本数据的第 分位数等于 ，第 分位数等于 ，
第 分位数等于 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
所以该球员一天射门成功次数的第 ， ， 分位数分别约为： ， ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
（2）设 的内角 所对的边分别为 ，则 ，
因为 ，所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
由余弦定理知：
所以 （当且仅当 时等号成立）∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
所以 球员之间的距离的最小值是 （米） ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
22.（12 分）
解：（1）在 中，由余弦定理知：
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
所以 ，又因为 ，所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
所以 分别为方程 的两根，
因为 ，所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
所以 ，所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（2）因为 ，所以 是四边形 的外接圆的直径，
所以四边形 为矩形，连接 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
设 交 于 ，作 平行于 且交 于 ，则四边形 为平行四边形，
所以 ，又因为 ，
由平面向量基本定理知： ，所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
在 中，因为 ， ，所以
由正弦定理知： ，所以
在 中，
所以 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
所以
49 49 58 59 60 60 62 66 66 66
67 68 68 68 70 71 72 76 78 80
25% 20 5× = 50% 20 10× = 75% 20 15× =
25 60 60 602
+ = 50 66 67 66.52
+ =
75 70 71 70.52
+ =
25 50 75 60 66.5 70.5
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 3A
π=
1 3sin 4 32 4S bc A bc= = = 16bc =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
2 2 2 2 16a b c bc bc bc bc= + − ≥ − = = 4b c= =
4a ≥
,B C 4
ABC∆
2 2 2 2 cosAB AC BC AC BC ACB= + − ⋅ ⋅ ∠
23 ( ) 3AC BC AC BC= + − ⋅ + 3AC BC = 2AC BC⋅ =
,AC BC 2 3 2 0x x− + =
AC BC> 2, 1AC BC= =
2 2 2AC AB BC= + AB BC⊥
AB BC⊥ AC ABCD AD DC⊥
ABCD DE 6AED ACD
π∠ = ∠ =
AE CD F CG AF AB G AGCF
AC AG AF= + ( , R)AC xAB yAE x y= + ∈
AF yAE= AFy AE
=
ADE∆
6AED
π∠ = DAE α∠ = 5
6ADE
π α∠ = −
sin sin
AE AD
ADE AED
=∠ ∠
52sin( )6AE
π α= −
RtΔADF 1
cos cos
ADAF α α= =
1( ) 52cos sin( )6
AFf y AE
α πα α
= = =
⋅ −
(0, )3
πα ∈
1( ) 52cos sin( )6
f α πα α
=
⋅ − 2
1
cos 3sin cosα α α
=
+
A B
C
E
D F
G∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
因为 ，所以 ，所以
所以，当 时， 取最小值，最小值为 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
2
1 cos2 3sin 2α α
=
+ +
2
1 2sin(2 )6
πα
=
+ +
(0, )3
πα ∈ 52 ( )6 6 6
π π πα + ∈ ， 2 1 2sin(2 ) 36
πα< + + ≤
6
πα = ( )f α 2
3
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