四川省南充市白塔中学2019-2020高二数学（理）下学期第二次月考试题（Word版带答案）

白塔中学高二下第二次月考理数试题 数学试卷（理科） 考试时间：120 分钟总分：150 分 一.选择题（每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 要求.把答案涂在答题卷上.） A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2．抛物线 的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 3．已知函数 ，则 ( ) A. B. e C. D. 1 4．用数学归纳法证明 的过程中，设 ，从 递推到 时，不等式左边为（ ） A． B． C． D． .)(12)1(.1 ）于（在复平面内对应的点位，则复数为虚数单位满足设复数 ziiizz +=+⋅ 28y x= − ( )0, 2− ( )2,0− 10, 32  −   1 ,032  −   ( ) 2 ( ) lnf x xf e x′= + ( )f e = e− 1− ( )1 1 1 13 21 2 2 24n nn n + +⋅⋅⋅+ > ≥+ + ( ) 1 1 1 1 2 2kf k k k = + +⋅⋅⋅++ + n k= 1n k= + ( ) 1 1 2kf k ++ ( ) 1 1 1 2 1 2k kf k ++ ++ ( ) 1 1 1 1 2 1 2 1k kf k k++ +⋅⋅⋅+ −+ + ( ) 1 1 1 2 1kf k k++ − +6．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ,且 ，则直 线 与直线 夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 7．以下不等式在 时不成立的是（ ） A. B. C. D. 9．设函数 在 上可导，其导函数为 ，如图是函数 的图象，则 的极值点是( ) A. 极大值点 ，极小值点 B. 极小值点 ，极大值点 C. 极值点只有 D. 极值点只有 1 1 1ABC A B C− 1 2CA CC CB== 1BC 1AB 5 5 5 3 2 5 5 3 5 0x > ln x x< exx < ln 1 xx e+ > 1xe x> + 6.6.3.3 3A. AF|BF|3|AF|1 BAF)0(1CFF.8 211 12 2 2 2 21 DCB xyl lbab y a x ）为（轴，则此椭圆的长轴长，且，若轴上的截距为在 两点，，交椭圆于的直线的左、右焦点，过：分别是椭圆，设 ⊥= >>=+ ( )f x R ( )'f x ( ) ( )'g x xf x= ( )f x 2x = − 0x = 2x = − 0x = 2x = − 0x = ),4 1.[)1,4 1.[)4 1,0.()1,0.(A )(, )1(ln )1(14 1 )(.10 eDeCBe e aaxxf xx xxxf 为自然对数的底数））（注：范围是（ 的取值，实数恰有两个不同的实根时则方程已知函数 =    > ≤+= 14.14. 1414.1414.A C,02 149 与椭C标轴上的双曲线中心在原点，焦点在坐5. 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 22 =−=− =−=−=−=− =− =+ xyDyxC xyyxBxyyx yx yx 或或 ）的方程为（则双曲线为 近线方程有相同的焦点，一条渐圆 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线 上.） 13． __________． 14．安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成， 则不同的安排 方式有 . 15．已知抛物线 的准线与双曲线 交于 、 两点， 点 为抛物线的焦点，若 为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 . 16．定义在 R 上的函数 满足: , ,则不等式 的解集为 ． 三.解答题（17 题 10 分，18-22 每小题 12 分，共 70 分.在答题卷上解答，解答应 写出文字说明，证明过程或演算步骤.） （2）已 知（ 是虚数单位）是关于 的方程 的根， 、 ， 求 的值。 2 5.10.2 10.5.A |,PF2|3|PF| FF)0,0(1P.11 1 21 2222 2 2 2 2 DCB bayxbab y a x ）则双曲线的离心率为（，且别为双曲线的左右焦点 分，在第一象限的交点，与圆是双曲线点 = +=+>>=− ),2 1.(),0.(),2 1.()2 1,0(A. )1(ln)(..12 +∞+∞ ∞+−−= DCeB axaxxxf ）的取值范围为（上存在零点，则实数，在区间若函数 2 2 1 4(2 )dtt + =∫ 2 4y x= 2 2 2 2 1( 0 0)x y a ba b ，− = > > A B F FAB∆ ( )f x ( ) '( ) 1f x f x+ > (0) 4f = ( ) 3x xe f x e> + 的范围；是纯虚数，求实数）（为虚数单位，若复数）设（ kikkkzi )1(321.17 2 −+−+= 2 1i − i x 1 0mx n+ − = m n∈R m n+18．已知函数 ，曲线 在 处的切线方程为 . （Ⅰ）求实数 ， 的值； （Ⅱ）求 在区间 上的最值. 19．设椭圆 的离心率为 ，椭圆 上一点 到左右两个 焦点 的距离之和是 4. （1）求椭圆的方程； （2）已知过 的直线与椭圆 交于 两点，且两点与左右顶点不重合，若 ，求四边形 面积的最大值． 21．已知椭圆 离心率等于 ， 、 是椭圆上 的两点. （1）求椭圆 的方程； 3( ) 3 2f x x ax= − + ( )y f x= 1x = 3 0x y m+ + = a m ( )f x [1,2] 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1 2e = C P 1 2,F F 2F C ,A B 1 1 1F M F A F B= +   1AMBF 理由。的长，若不存在，说明？若存在，求出大小为 的，使得二面角上是否存在一点）线段（ ；平面）求证：（ 的中点，且为，若 ，，是矩形，且中，底面如图四棱柱 BP3 P-AA-DPBC2 ABCDOA1 O.ACDADO3ADA 2AA2CD2ADABCDDCBA-ABCD.20 1 1 11 11111 π π ⊥ ⊥=∠ === ( )2 2 2 2 1 0x yC a ba b + = > >： 1 2 ( )2 3P ， ( )2, 3Q − C（2） 是椭圆上位于直线 两侧的动点.当 运动时，满足 ， 试问直线 的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值； 如果不是定值，请说明理由. 22．已知函数 . （Ⅰ）当 时，求 的单调区间； （Ⅱ）设函数 ，当 时，若 是 的唯一极值点， 求 . ,A B PQ ,A B APQ BPQ∠ = ∠ AB ( ) ( ) ( )22 1 lnf x a x ax a Rx = − − − ∈ 1a = ( )f x ( ) ( ) 1 2 xe ax ag x f x x − − += + 0a ≤ 2x = ( )g x a白塔中学高二下期第二次考试理科数学---参考答案 考试时间：120 分钟总分：150 分 一. 选择题（每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合要求.把答案涂在答题卷上.） ACCCC ACDCC BD 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线 上.） 13 .____4______．14. 36 ．15. ．16. ． 三.解答题（17 题 10 分，18-22 每小题 12 分，共 70 分.在答题卷上解答，解答应 写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. （2）由已知得 ， ， ，解得 ， 18.解：（Ⅰ） ， ∵曲线 在 处的切线方程为 ， ∴ 解得 ， . （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，则 ， 令 ，解得 ， ∴ 在 上单调递减，在 上单调递增， 又 ， ， ， ( )5,+∞ (0, )+∞ 3, 01 0321 2 −=    ≠− =−+ k k kk 解得）由已知得解：（ ( )2 1 1 0m i n− + − = ( )1 2 0n m mi∴ − − + = 1 0 2 0 n m m − − =∴ = 1 0 n m =  = 1m n∴ + = 2( ) 3 3f x x a′ = − 3( ) 3 2f x x ax= − + 1x = 3 0x y m+ + = (1) 3 3 3 (1) 3 3 3 f a f a m = − = −  = − = − − ′  2a = 0m = 3( ) 6 2f x x x= − + 2( ) 3 6f x x′ = − ( ) 0f x′ = 2x = ± ( )f x [1, 2) ( 2,2] (1) 1 6 2 3f = − + = − 3(2) 2 6 2 2 2f = − × + = − ( ) ( )3 2 2 6 2 2 2 4 2f = − × + = −∴ 在区间 上的最大值为 ，最小值为 . 19.解：（1）依题意， ， 因为 ，所以 ，所以椭圆 方程为 ； （2）设 ，则由 ，可得 ， 即， ， ， 又因为 ，所以四边形 是平行四边形， 设平面四边形 的面积为 ，则 设 ，则 ，所以 ，因为 ， 所以 ，所 以 ，所以四边形 面积的最大值为 . ( )f x [1,2] 2− 2 4 2− 2 4, 2a a= = 1 2e = 2 2 21, 3c b a c= = − = C 2 2 14 3 x y+ = ( ) ( )1 1 2 2, , , , : 1A x y B x y AB x my= + 2 2 1 14 3 x my x y = + + = ( )2 23 1 4 12my y+ + = ( )2 23 4 6 9 0m y my+ + − = ( ) ( )2 2 236 36 3 4 144 1 0m m m∆ = + + = + > 1 1 1F M F A F B= +   1AMBF 1AMBF S 1 2 1 2 1 2 2 2 1 12 2 2 242 3 4 3 4ABF mS S F F y y m m∆ ∆ += = × × × − = × = ×+ + 2 1t m= + ( )2 2 1 1m t t= − ≥ 2 124 24 13 1 3 tS t t t = × = ×+ + 1t ≥ 13 4t t + ≥ ( ]0,6S ∈ 1AMBF 621.解：（1）由题意可得 ，解得 a＝4，b ，c＝2．∴椭圆 C 的方程为 ； （2）设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 当∠APQ＝∠BPQ，则 PA、PB 的斜率之和为 0，设直线 PA 的斜率为 k， 则 PB 的斜率为﹣k，直线 PA 的直线方程为 y﹣3＝k（x﹣2）， 联立 ，得（3+4k2）x2+8k（3﹣2k）x+4（3﹣2k）2﹣48＝0．∴ ． 同理直线 PB 的直线方程为 y﹣3＝﹣k（x﹣2）， 可得 ．∴ ， ， ， ∴AB 的斜率为定值 ． 22.解：（Ⅰ）∵ ，∴当 时， ， 定义域 ， ， 令 ，得 .当 时， ， 在 上单调递增； 当 时， ， 在 上单调递减. 2 2 2 2 2 1 2 4 9 1 c a a b a b c  =  + =  = +  2 3= 2 2 116 12 x y+ = ( ) 2 2 2 3 116 12 y k x x y  = − + + = ( ) 1 2 8 2 32 3 4 k kx k −+ = + ( ) ( ) 2 2 2 8 2 3 8 2 32 3 4 3 4 k k k kx k k − − − ++ = =+ + 2 1 2 2 16 12 3 4 kx x k −+ = + 1 2 2 48 3 4 kx x k −− = + ( ) ( ) ( )1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 2 3 2 3 4 AB k x k x k x x ky yk x x x x x x − + + − − + −−= = =− − − 2 2 2 16 12 4 13 4 48 2 3 4 kk kk k k −⋅ −+= =− + 1 2 ( ) ( ) ( )22 1 lnf x a x ax a Rx = − − − ∈ 1a = ( ) 2lnf x x x x = − − ( )0,x∈ +∞ ( ) ( )( )2 2 2 2 1 21 2 21'f x x xx x x x x x − + −− + += − + = = ( )' 0f x = 2x = 0 2x< < ( )' 0f x > ( )f x ( )0,2 2x > ( )' 0f x < ( )f x ( )2,+∞综上， 的单调递增区间为 ，单调递减区间 . （Ⅱ）由题意， ， ， ， ， 由于 是 的唯一极值点，则有以下两种情形： （1） 对任意 恒成立； （2） 对任意 恒成立； 设 ， ，且有 ， ， ①当 时， ， ， 当 时， ， 在 上单调递减； 当 时， ， 在 上单调递增； 所以 对任意的 恒成立，符合题意. ②当 时， ， ，∵ ， ∴ 在 单调递增. 又 ， ，所以存在 ，使得 ， 当 时， ， 在 上单调递增， 所以 ，这与题意不符，故 . ( )f x ( )0,2 ( )2,+∞ 1 2 2( ) (2 1) xe ax ag x a lnx ax x x − − += − − − + (0, )x∈ +∞ ∴ ( ) ( ) ( )1 2 1 2 4 22 1 2' x xe a x e ax a xa ax xg xx − −− − − + ⋅−= − + + ( )( )1 2 3 2 xx e ax x a x −− − − + = ( )0,x∈ +∞ 2x = ( )g x 1 2 0xe ax x a− − − + ≥ ( )0,x∈ +∞ 1 2 0xe ax x a− − − + ≤ ( )0,x∈ +∞ ( ) ( )1 2 0xe ax xh x a a−= − − + ≤ ( )0,x∈ +∞ ( )1 0h = ( ) 1' 2 1xh x e ax−= − − 0a = ( ) 1' 1xh x e −= − ( )' 1 0h = 0 1x< < ( )' 0h x < ( )h x ( )0,1 1x > ( )' 0h x > ( )h x ( )1,+∞ ( ) ( )1 0h x h≥ = ( )0,x∈ +∞ 0a < 2 0a− > ( ) 1' 2 1xh x e ax−= − − ( ) 1'' 2 0xh x e a−= − > ( )'h x ( )0,x∈ +∞ ( ) 1' 0 1 0h e = − < ( )' 1 2 0h a= − > ( )0 0,1x ∈ ( )0' 0h x = 0x x> ( )' 0h x > ( )h x ( )0 ,x +∞ ( ) ( ) ( )0 1 0 2h x h h< = < 0a =