高三数学模拟试题
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分．不需写出解答过程，请把答案写在
答题纸的指定位置上）
1.已知集合 , ,则集合 中元素的个数为__________.
2.复数 ，则 __________.
3.已知一组数据 4,6,5,8,6,7,那么该组数据的方差为__________.
4.根据如图所示的伪代码，最后输出的 的值为__________.
5. 的定义域为__________.
6．从长度分别为 的四条线段中，任取三条的不同取法共有 种，在这些取法中，以取
出的三条线段为边可组成的三角形的个数为 ，则 等于____________.
7．若双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 _______.
8．已知 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则 ______.
9. 若关于 的不等式 的解集不是空集，则 的取值范围是________.
10. 已知等边三角形 的边长为 ， 为 边的中点，沿 将 折成直二面角
，则三棱锥 的外接球的表面积为__________.
11. 若 ， 是方程 的两个根，则 __________.
12.设 为正实数，则 的最小值为__________.
13. 已知点 ， ， 均位于同一单位圆 上，且 ，若 ，则
的取值范围为__________．
{ }3,2,1=A { }4,3,2=B BA∪
i
iz −
+=
1
1 =z
i
xy lg1−=
1 2 3 4、、、 n
m m
n
( )2
2
2 1 0x y mm
− = > 3 0x y+ = m =
nS { }na n 1 2 3 4a a a+ + = 6 10S = 3a =
x 2 1 0mx mx− + < m
ABC 8 D BC AD ABC∆
B AD C− − A DCB−
tanα tan β 2 6 7 0x x− + = α β+ =
ba,
ba
b
ba
a
+++ 2
A B C O 2
BA BC AB⋅ = 3PB PC⋅ =
PA PB PC+ + 14. 已知函数 ，若 有两个零点 ，则
的取值范围__________.
二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．）
15.(本题满分 14 分）
设函数
（1）当 时，求 的值域；
（2）已知 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ， ，求
面积的最大值.
16. (本题满分 14 分）
如图，四棱锥 中，底面 为矩形， ， 为 上一点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ∥平面 ，求证： 为 的中点．
( )
ln , 1
1 , 12
x x
f x x x
≥= − > 2C 2 2 2x y b+ = 2C 1C
1C 2
4 1C E O
l 2C A B
1C
EA EB 1C
P M
MP
( ,0)m 3 2
5
G PM AB G
m19. (本题满分 16 分）
已知函数 （a， ）.
（1）若 ，且 在 内有且只有一个零点，求 a 的值；
（2）若 ，且 有三个不同零点，问是否存在实数 a 使得这三个零点成等差数
列？若存在，求出 a 的值，若不存在，请说明理由；
（3）若 ， ，试讨论是否存在 ，使得 .
20. (本题满分 16 分）
设数列 （任意项都不为零）的前 项和为 ，首项为 ，对于任意 ，满足
.
（1）数列 的通项公式；
（2）是否存在 使得 成等比数列，且 成等差数列？
若存在，试求 的值；若不存在，请说明理由；
（3）设数列 ， ，若由 的前 项依次构成的数列是
单调递增数列，求正整数 的最大值.
( ) 3 21 13f x x ax bx= + + + b R∈
0b = ( )f x ( )0, ∞+
2 0a b+ = ( )f x
1a = 0b < 0
1 10, ,12 2x ∈ ( )0
1
2f x f =
{ }na n nS 1 n ∗∈N
1
2
n n
n
a aS +⋅=
{ }na
( ), ,k m n N k m n∗∈ < < , ,k m na a a 4 216 , ,k m na a a
k m n+ +
{ }b ( )1
, 2 1,
, 2 , 0
n
n n
a n k k Nb q n k k N q
∗
− ∗
= − ∈= = ∈ >
{ }nb r
r高三数学模拟试题附加题
21A.已知矩阵 ，向量 .
（1）求矩阵 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量；
（2）求 .
21B．已知曲线 的极坐标方程是 .以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴
的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 的参数方程是: （ 是参数）.
若直线 与曲线 相交于 、 两点，且 ，试求实数 值.
设 为曲线 上任意一点，求 的取值范围.
21C．已知 a≥2，x∈R.求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3.
4 3
2 1M
− = −
7
5
α =
M
3M α
C 4cosρ θ= x
l
2
2
2
2
x m t
y t
= +
=
t
( )1 l C A B 14AB = m
( )2 ( ),M x y C x y+22．如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 平面 ，垂足
为 ， 在 上，且 ， 是 的中点．
（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（2）若 点是棱 上一点，且 ，求 的值．
23．棋盘上标有第 、 、 、 、 站，棋子开始位于第 站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋
游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到调到第 站
或第 站时，游戏结束.设棋子位于第 站的概率为 .
（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币 次后，求棋手所走步数之和 的分布列与数学期望；
（2）证明： ；
（3）求 、 的值.
P ABCD− ABCD PG ⊥ ABCD
G G AD 14, , , 23PG AG GD BG GC GB GC= = ⊥ = = E BC
GE PC
F PC DF GC⊥ PF
FC
0 1 2 100 0
99
100 n nP
3 X
( )( )1 1
1 1 982n n n nP P P P n+ −− = − − ≤ ≤
99P 100P参考答案
1.4； 2.1; 3.略 4.7; 5. ； 6. ；7. ；8. ； 9. 或 ；
10. ；11. ；12. ；13. ；14 .
15. 解：（1）因为
所以
即 ，
， ，
所以 的值域为 ；
（2）由 ，得 ，
又 ， ，
在 中，由余弦定理，得 ，
把 ，代入得： ，当且仅当 时取等号，
的面积 ，
则 面积的最大值为 ．
( ]10,0 4
1 3 9
14 0m < 4m >
π80 4
ππ −k 222 − [ ]7,5 ),( e−∞
( ) 22cos cos 2 3f x x x
π = − −
( ) cos2 cos 2 13f x x x
π = − − +
cos2 cos2 cos sin 2 sin 13 3x x x
π π= − − +
1 3cos2 sin 2 1 cos 2 12 2 3x x x
π = − + = + +
( ) cos 2 13f x x
π = + +
0, 2x
π ∈
42 ,3 3 3x
π π π ∴ + ∈
1cos 2 1,3 2x
π ∴ + ∈ −
( )f x 30, 2
3( ) cos 2( ) 13 2f B C B C
π + = + + + =
1cos 2 3 2A
π − =
(0, )A π∈
3A
π∴ =
ABC
2 2 2 2 cos 3a b c bc
π= + −
2a = 2 24 2b c bc bc bc bc= + − − = b c=
ABC∴
1 3 3sin 4 32 3 4 4S bc bc
π= = × =
ABC 316. （1） 底面 为矩形，
，
又 ，
， ，
平面 ，
又 ，
平面 平面 ；
（2）连接 ，交 于 ，连接 ，
平面 ，
平面 平面 ，
，
，
底面 为矩形，
是 的中点，即 ，
，
为 的中点.
17. （1）以 O 为原点，以 OA 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A（0，8），P（2，
10），Q（7，0），
∴直线 PQ 的方程为 2x+y﹣14＝0．设 C（a，b），则 ，
两式相减得：a+b﹣10＝0，又 2a+b﹣14＝0，解得 a＝4，b＝6，
∴ ．∴当 时，点 Q 恰好在路面中线上．
（2）由（1）知 a+b﹣10＝0，
当 a＝2 时，灯罩轴线所在直线方程为 x＝2，此时 HQ＝0．
当 a≠2 时，灯罩轴线所在方程为：y﹣10＝ （x﹣2），
ABCD
BC CD∴ ⊥
PD BC⊥
,CD PD PCD⊂ 平面 PD CD D∩ =
BC∴ ⊥ PCD
BC ABCD⊂ 平面
∴ ABCD ⊥ PCD
AC BD O GO
/ /PC BDG
PCA∩ BDG GO=
/ /PC GO∴
PG CO
GA OA
∴ =
ABCD
∴ O AC CO OA=
PG GA∴ =
∴ G PA
2 2 2
2 2 2
( 2) ( 10)
( 8)
a b r
a b r
− + − =
+ − =
2 24 (6 8) 2 5r = + − = 2 5r =
2
a
a
−
−令 y＝0 可得 x＝12﹣ ，即 Q（12﹣ ，0），
∵H 在线段 OQ 上，∴12﹣ ≥a，解得 2≤a≤10．
∴|HQ|＝12﹣ ﹣a＝12﹣（ +a）≤12﹣ ＝12﹣ ，
当且仅当 ＝a 即 a＝ 时取等号．∴|HQ|的最大值为（12﹣ ）m．
【点睛】
本题考查了直线方程，直线与圆的位置关系，考查基本不等式与函数最值的计算，属于中
档题．
18. Ⅰ ）依题意， ，则 ，
∴ ，又 ，∴ ，则 ，
∴椭圆方程为 ．
（2）①由题意知直线 的斜率存在且不为 0，设直线 的斜率为 ，则 ：
，
由 得 或
∴ ，
用 去代 ，得 ，
20
a
20
a
20
a
20
a
20
a 2 20 4 5
20
a 2 5 4 5
12 23b a= ⋅ 3a b=
2 2 2 2c a b b= − =
2 2 2
4
a bcc c
− = = 1b = 3a =
2
2 19
x y+ =
,PE ME PE k PE
1y kx= −
2
2
1,
{
1,9
y kx
x y
= −
+ =
2
2
2
18 ,9 1{
9 1,9 1
kx k
ky k
= +
−= +
0,{ 1,
x
y
=
= −
2
2 2
18 9 1( , )9 1 9 1
k kP k k
−
+ +
1
k
− k
2
2 2
18 9( , )9 9
k kM k k
− −
+ +方法 1： ，
∴ ： ，即 ，
∴直线 经过定点 ．
方法 2：作直线 关于 轴的对称直线 ，此时得到的点 、 关于 轴对称，则 与
相交于 轴，可知定点在 轴上，
当 时， ， ，此时直线 经过 轴上的点 ，
∵
∴ ，∴ 、 、 三点共线，即直线 经过点 ，
综上所述，直线 经过定点 ．
②由 得 或 ∴ ，
则直线 ： ，
设 ，则 ，直线 ： ，直线 ： ，
假设存在圆心为 ，半径为 的圆 ，使得直线 和直线 都与圆 相交，
则 由（ ）得 对 恒成立，则 ，
由（ ）得， 对 恒成立，
2 2
22 2
2 2
9 1 9
19 1 9
18 18 10
9 1 9
PM
k k
kk kk k k k
k k
− −− −+ += =
++ +
PM
2 2
2 2
9 1 18( )9 10 9
k k ky xk k k
− −− = ++ +
2 1 4
10 5
ky xk
−= +
PM 4(0, )5T
l y 'l 'P 'M y PM
' 'P M y y
1k = 9 4( , )5 5P 9 4( , )5 5M − PM y 4(0, )5T
2
22
2
9 1 4
19 1 5 ,18 10
9 1
PT
k
kkk k k
k
− − −+= =
+
2
22
2
9 4
19 5 ,18 10
9
MT
k
kkk k k
k
− − −+= =
− +
PT MTk k= P M T PM T
PM 4(0, )5T
2 2
1,{ 1,
y kx
x y
= −
+ =
2
2
2
2 ,1{
1,1
kx k
ky k
= +
−= +
0,{ 1,
x
y
=
= −
2
2 2
2 1( , )1 1
k kA k k
−
+ +
AB
2 1
2
ky xk
−=
2 1
10
kt k
−= t R∈ PM 4
5y tx= + AB 5y tx=
( ,0)m 3 2
5
G PM AB G
2
2
5 3 2, ( )51 25
{ 4
35 2, ( )51
tm i
t
mt
ii
t
<
+
+
<
+
i 2 2 18 1825 ( )25 25t m − < t R∈ 2 18
25m ≤
ii 2 218 8 2( ) 025 5 25m t mt− + − < t R∈当 时，不合题意；当 时， ，得
，即 ，
∴存在圆心为 ，半径为 的圆 ，使得直线 和直线 都与圆 相交，所有
的取值集合为 ．
解法二：圆 ，由上知 过定点 ，故 ；又直线
过原点，故 ，从而得 ．
考点：1.直线与圆锥曲线的关系；2.椭圆的标准方程．
19. （1）若 ，则 ， ，
若 ，则在 ，则 ，则 在 上单调递增，
又 ，故 在 上无零点，舍；
若 ，令 ，得 ， ， ，
在 上， ， 在上单调递减，
在 上， ， 在上单调递增，
故 ，
若 ，则 ， 在 上无零点，舍；
若 ，则 ， 在 上恰有一零点，此时 ；
若 ，则 ， ， ，
则 在 和 上有各有一个零点，舍；
2 18
25m = 2 18
25m < 2 28 18 2( ) 4( )( ) 05 25 25m m∆ = − − − <
2 2
25m < 2 2
5 5m− < <
( ,0)m 3 2
5
G PM AB G m
2 2( , )5 5
−
2 2 18:( ) 25G x m y− + = PM 4(0, )5
2 24 18( )5 25m + <
AB 2 2 18: 0 25G m + < 2 2( , )5 5m∈ −
0b = ( ) 3 21 13f x x ax= + + ( ) 2 2f x x ax′ = +
0a ≥ ( )0, ∞+ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0, ∞+
( )0 1 0f = > ( )f x ( )0, ∞+
0a < ( ) 2 2 0f x x ax′ = + = ( ) 0f x′ = 1 0x = 2 2x a= −
( )0, 2a− ( ) 0f x′ < ( )f x
( )0, 2a− ( ) 0f x′ > ( )f x
( ) ( ) 3 3 38 42 4 1 13 3f x f a a a a= − = − + + = +极小值
34 1 03 a + > ( )2 0f a− > ( )f x ( )0, ∞+
34 1 03 a + > ( )2 0f a− = ( )f x ( )0, ∞+
1
33
4a = −
34 1 03 a + < ( )2 0f a− < ( )0 1 0f = > ( ) ( ) ( )23 3 1 0f a a a a− = − − + + >
( )f x ( )0, 2a− ( )2 , 3a a− −故 a 的值为 .
（2）因为 ，则 ，若 有三个不同零点，且成等差
数列，可设
，
故 ，则 ，故 ， ， .
此时， ， ，故存在三个不同的零点.
故符合题意的 a 的值为 .
（3）若 ， ， ，
∴若存在 ，使得 ，
必须 在 上有解.
，
方程的两根为： ， ，
只能是 ，
1
33
4
−
2 0a b+ = ( ) 3 2 21 13f x x ax a x= + − + ( )f x
( ) ( )( )( ) ( )( )3 2 2 2 3 21 1 3 33 3f x x m d x m x m d x mx m d x m md= − − − − + = − + − − +
m a− = ( ) 0f a− = 3 3 31 1 03 a a a− + + + = 35 13 a = − 3 3
5a = −
3 3
5m = 26d a= ±
1
33
5
−
1a = 0b < ( ) 3 21 13f x x x bx= + + +
( ) 3 2
3 2
0 0 0 0
1 1 1 1 1 11 12 3 3 2 2 2f x f x x bx b
− = + + + − + + +
( )3 2
3 2 2
0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 4 14 7 123 2 2 2 12 2x x b x x x x b
= − + − + − = − + + +
0
1 10, ,12 2x ∈ ( )0
1
2f x f =
2
0 04 14 7 12 0x x b+ + + = 1 10, ,12 2
∪
0b
14 2 21 48 7 21 48
8 4
b b− ± − − ± −= 0 0x >
0x∴ 7 21 48
4
b− + −依题意 ，即 ，
即 ，
又由 ，得 ，故欲使满足题意的 存在，则 ，
∴当 时，存在唯一的 满足 ，
当 时，不存在 使 .
【点睛】
本题考查了函数的零点问题，解方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
20.
（1） 数列 是非零数列， .
当 时， ， ；
当 且 时， ， ，
是首项为 ，公差为 的等差数列， 是首项为 ，公差为 的等差数列，
， ，
.
（2）设存在 ，满足题意，
成等比数列， ；
成等差数列， ，
消去 可得： ， ，
， ， ，解得： ，
7 21 480 14
b− + −< < 7 21 48 11b< − < 49 21 48 121b∴ < − <
25 7
12 12b− < < −
7 21 48 1
4 2
b− + − = 5
4b = − 0x 5
4b ≠ −
25 5 5 7, ,12 4 4 12b ∈ − − − − 0
1 10, ,12 2x ∈ ( )0
1
2f x f =
25 7 5, ,012 12 4b ∈ −∞ − − − 0
1 10, ,12 2x ∈ ( )0
1
2f x f =
{ }na 0na∴ ≠
1n = 1 2
1 1 2
a aa S= = 2 2a∴ =
2n ≥ n ∗∈N 1 1
1 2 2
n n n n
n n n
a a a aa S S + −
−= − = − 1 1 2n na a+ −∴ − =
{ }2 1na −∴ 1 2 { }2na 2 2
( )2 1 1 2 1 2 1na a n n−∴ = + − = − ( )2 2 2 1 2na a n n= + − =
( )na n n N ∗∴ = ∈
( ), ,k m n N k m n∗∈ < <
, ,k m na a a 2m kn∴ =
4 216 , ,k m na a a 4 22 16m k n∴ = +
m 2 2 22 16k n k n= + 2
2
16
2 1
kn k
∴ = −
k m n< −
1 30 2k
+< ( ),x e∈ +∞ ( ) 0f x′ <
( )f x∴ ( )0,e ( ),e +∞
( )f x∴ x e=
∴ 4n ≥ ( )ln 1
1
n
n
−
−
ln1 ln3
1 3
< ln3
3
∴ ( )ln 1
1
n
n
−
−
ln3ln 3q∴ >
( ) ( ) ( )ln 2 1xg x xx
+= ≥ ( )
( ) ( )
2 2
2ln 2 1 ln 22 2 0
x x xx xg x x x
− + − − ++ +′ = = <
( )ln 1
1
n
n
+∴ − 6n = ln 7 ln3
5 3
> 8n = ln9 ln3
7 3
<
∴ 2 6n≤ ≤ 1
33q > 11 1nn q n−− < < +
8n = 1 1nq n− < +
∴ 8 r 8
M ( ) ( 1)( 2)f λ λ λ= − −
( ) 0f λ = 1 1λ = 2 2λ =设 对应的一个特征向量为 ，
则由 ，得 ，可令 ，则 ，
所以矩阵 的一个特征值 对应的一个特征向量为 ，
同理可得矩阵 的一个特征值 对应的一个特征向量为 ．
（2）
所以 ．
【点睛】
本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解
掌握水平．
21B． 解： 曲线 的极坐标方程是 化为直角坐标方程为： ，
直线 的直角坐标方程为： .
圆心到直线 的距离（弦心距） ,
圆心 到直线 的距离为 ： ,
或 .
曲线 的方程可化为 ，其参数方程为： （ 为参数）
为曲线 上任意一点，
的取值范围是 .
【点睛】
1 1λ = x
y
α =
1 Mλ α α= 3 3 0x y− + = 1x = 1y = −
M 1 1λ = 1
1
M 2 2λ = 3
2
7 1 325 1 2
α = = +
3 31 3 492 21 2 33M α = + × × =
( )1 C 4cosρ θ= 2 2 4 0x y x+ − =
l y x m= −
∴ l
2
2 14 22 2 2d
= − =
( )2,0 y x m= − 2 0 2
22
m− − =
∴ 2 1m − =
∴ 1m = 3m =
( )2 C ( )2 22 4x y− + = 2 2cos
2sin
x
y
θ
θ
= +
=
θ
( ),M x y C 2 2 sin2 4x y
πθ + = + +
x y∴ + 2 2 2,2 2 2 − + 本题考查参数方程与极坐标的应用，属于中档题.
22．试题解析：（1）以 点为原点， 、 、 分别为 轴、 轴、 轴建立空间直
角坐标系，则 ，
，故
∵ ，
∴ 与 所成角的余弦值为 ．
（2）解：设 ，则 ，
∵ ，∴ ，
即 ，∴ ，
又 ，即 ，
∴ ，故 ，
，∴
考点：空间向量求解空间角及在证明线线垂直中的应用.
G x y z
(2,0,0)B
(0,2,0), (0,0,4)C P ( ) ( )1,1,0 , 1,1,0 , (0,2, 4),E GE PC= = −
GE PC 10
10
(0, , )F y z
3 3( , , ) (0,2,0) 2 3 02 2y z y− ⋅ = − = 3
2y =
3(0, , 4) (0,2, 4)2 z λ− = −
1z = 3(0, ,1)2F
3 5
2 3
5
2
PF
FC
= =23.（1）由题意可知，随机变量 的可能取值有 、 、 、 .
， ，
， .
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
所以，随机变量 的数学期望为 ；
（2）根据题意，棋子要到第 站，由两种情况，由第 站跳 站得到，其概率为 ，
也可以由第 站跳 站得到，其概率为 ，所以， .
等式两边同时减去 得 ；
（3）由（2）可得 ， ， .
由（2）可知，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
，
，
又 ，则 ，
X 3 4 5 6
( ) 31 13 2 8P X = = =
( ) 3
1
3
1 34 2 8P X C = = ⋅ =
( ) 3
2
3
1 35 2 8P X C = = ⋅ =
( ) 31 16 2 8P X = = =
X
X 3 4 5 6
P 1
8
3
8
3
8
1
8
X 1 3 3 1 93 4 5 68 8 8 8 2EX = × + × + × + × =
( )1n + n 1 1
2 nP
( )1n − 2 1
1
2 nP − 1 1
1 1
2 2n n nP P P+ −= +
nP ( ) ( )1 1 1
1 1 1 1 982 2 2n n n n n nP P P P P P n+ − −− = − + = − − ≤ ≤
0 1P = 1
1
2P = 2 1 0
1 1 3
2 2 4P P P= + =
{ }1n nP P+ − 2 1
1
4P P− = 1
2
−
1 1
1
1 1 1
4 2 2
n n
n nP P
− +
+
∴ − = ⋅ − = −
( ) ( ) ( ) 2 3 99
99 1 2 1 3 2 99 98
1 1 1 1
2 2 2 2P P P P P P P P ∴ = + − + − + + − = + − + − + + −
98
100
1 114 21 2 1112 3 21 2
− − = + = − − −
99
99 98 99
1 1= 2 2P P − − = − 98 99
2 113 2P = + 由于若跳到第 站时，自动停止游戏，故有 .
【点睛】
本题考查相互独立事件的概率乘法公式以及等比数列的判定与应用，同时也考查了累加法求
数列通项，综合性较强，属于难题.
99 100 98 99
1 1 112 3 2P P = = +
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